2024中考數(shù)學(xué)壓軸題（解答題三）（原卷版）

壓軸題(解答題三)G圖①H備用1備用2(2)點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,D重合),點(diǎn)F在邊AD上，且BE=√3DF;①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；果不是，請說明理由.3.在正方形ABCD中，等腰直角△AEF,∠AFE=90°,連接CE,H為CE中點(diǎn)，連接BH、BF、HF,發(fā)現(xiàn)和∠HBF為定值.②/HBF=;③小明為了證明①②,連接AC交BD于O,連接OH,證明了的關(guān)系，請你按他的思路證明①(2)小明又用三個(gè)相似三角形(兩個(gè)大三角形全等)擺出如圖2,,∠BDA=∠EAF=0(用k的代數(shù)式表示)(用k、θ的代數(shù)式表示)4.背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個(gè)正方形按背景圖位置擺放(點(diǎn)E,A,D在同一條直線上),(3)把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD,且,AE=4,AB=8,將矩形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(如圖3),連接DE,BG.FD//AC,FE//AB.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練【解答】某數(shù)學(xué)興趣小姐的小明同學(xué)提出了如下的解題方法：如圖2,過點(diǎn)F作FG⊥ADFG=FM,FH=FM.圖3于點(diǎn)G,作FH⊥AE于點(diǎn)H,作FM⊥BC于點(diǎn)M,由角平分線的性質(zhì)定理可得：【探究】(1)小方在研究小明的解題過程時(shí)，還發(fā)現(xiàn)圖2中BG、BC和CH三條線段存在一定的數(shù)量關(guān)系，請你直接寫(2)小明也發(fā)現(xiàn)∠BFC和∠GFH之間存在一定的數(shù)量關(guān)系.請你直接寫出它們的數(shù)量關(guān)系： (3)如圖3,邊長為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是邊CD、BC上的點(diǎn)，且DE=1.連接AE,AF,EF,點(diǎn)處，邊DF交線段AB于點(diǎn)G,邊DE交線段AC于點(diǎn)H,連接G2.(統(tǒng)考二模)平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，連AE,點(diǎn)F在線段AE上，連BF,連AC.EE圖1圖2圖3(2)如圖2,已知AB=AE,∠BFE=∠BAC,將射線AE沿AC翻折交CD于H,過點(diǎn)C作CG⊥AC交AH于(3)如圖3,已知AB⊥AC,若∠ACB=30°,AB=2,直接寫出AF+BF+CF的最小值3.(統(tǒng)考一模)將正方形ABCD的邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AE,記旋轉(zhuǎn)角為α,連接BE,過點(diǎn)B作BF⊥直線DE,垂足為點(diǎn)F,連接CF.的值為①(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請根據(jù)圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請說明理由；②如圖3,正方形ABCD邊長為4,DN⊥BE,CM⊥BE,在AE旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在△AMN與△BEF相似?若存在，則CE的值為,若不存在，請說明理由.4.(統(tǒng)考一模)如圖1,已知點(diǎn)G在正方形ABCD的對角線AC上，GE⊥BC,垂足為點(diǎn)E,GF⊥CD,垂足為點(diǎn)F.關(guān)系，并說明理由；正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B、E、F三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖3所示，延長CG交AD于點(diǎn)H,若AG=4.GH=√2,則BC=.5.(深圳市南山外國語學(xué)校校聯(lián)考二模)已知矩形ABCD,點(diǎn)E為直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合),連接AE,以AE為一邊構(gòu)造矩形AEFG(A,E,F,G按逆時(shí)針方向排列),連接DG.(1)如圖1,(2)如圖2,時(shí)，請直接寫出線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；時(shí)，請猜想線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3,在(2)的條件下，連接BG,EG,分別取線段BG,EG的中點(diǎn)M,N,6.(二模)如圖1,點(diǎn)E是正方形ABCD外的一點(diǎn)，以DE為邊構(gòu)造正方DEFG,連接MN,MD,ND,點(diǎn)M是△ADE邊AE上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是△CDG的邊CG上的動(dòng)點(diǎn).圖1(2)如圖(1):當(dāng)DM和DN分別是△ADE和△CDG的中線時(shí)，試猜想DM和DN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并說明理由；①在(2)問中，當(dāng)DM、DN分別是△ADE和△CDG的高(如圖2),其他條件不變時(shí)，問題(2)的結(jié)論是否仍然成立?(只寫出結(jié)論，不要求證明)②在(2)問中，當(dāng)DM、DN分別是△ADE和△CDG的角平分線，其他條件不變時(shí)，問題(2)的結(jié)論是否仍然成立?(只寫出結(jié)論，不要求證明)7.(?？寄M預(yù)測)已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G.圖1圖2圖3圖4②如圖2,當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，且DE⊥CF于G,AB=m,AD=n,(3)解決問題：如圖4,若BA=BC=5,DA=DC=10,∠BAD=90°,DE⊥CF不重合),連接BE.取)(1)如圖①,若BC=2BA,求∠CBE的度數(shù)；(2)如圖②,當(dāng)AB=5,且AF·FD=10時(shí)，求EF的長(3)如圖③,延長EF,與∠ABF的角平分線交于點(diǎn)M,BM交AD于點(diǎn)N,當(dāng)NF=AN+FD時(shí)，請直接寫出的值.圖①(1)如圖①,若點(diǎn)H恰好落在BC上，連接BE,EH(2)如圖②,點(diǎn)H落在矩形ABCD內(nèi)，連接CH,若AD=4,AB=3,求四邊形FHCB面積的最大值CF,延長CF交AD于點(diǎn)G.圖2圖3(3)拓展應(yīng)用：在(2)的條件下，連接CP,當(dāng)時(shí)若,求CP的長.(3)在(2)的條件下，AC=4,若M為AC的中點(diǎn)，求MG的長.4.(模擬預(yù)測)如圖1.在△ABC中，∠A=120°,AB=AC,點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD=AE,連(1)圖1中，線段NM、NP的數(shù)量關(guān)系是,∠MNP的度數(shù)為：(2)將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置.連接MP.你認(rèn)為△NMP是什么特殊三角形，請寫(3)把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，若AD=3,AB=5,請寫出△MNP面積的最大值.5.(二模)如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE,交AC于點(diǎn)F.DD圖②圖②(1)如圖①,當(dāng)時(shí)，求的值；(2)如圖②當(dāng)DE平分∠CDB時(shí)，求證：AF=√2OA;(3)如圖③,當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G,求證：6.(校聯(lián)考二模)在四邊形ABCD中，交BC延長線于點(diǎn)M,AE的延長線交DC(E、F分別為邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)),AF的延長線延長線于點(diǎn)N.(1)問題證明：如圖①,若四邊形ABCD是正方形，求證：△ACN∽△MCA(3)深入探究：如圖③,若四邊形ABCD是菱形，連接MN,當(dāng)MN=MA時(shí)，且∠EAF=a,試用關(guān)于α的式來表示的值，則.(直接寫出結(jié)果7.(深圳中學(xué)校聯(lián)考二模)已知四邊形ABCD中，P為射線CA上一點(diǎn)，過P作PE//BA交射線DA于點(diǎn)E過P作PF//EB交射線BA于點(diǎn)F.(1)如圖1,四邊形ABCD是正方形，連接CF交AD于G,則CF與BE的數(shù)量關(guān)系為;若CD=3,CP=7√2,CF=(填數(shù)字):的值；(2)如圖2,四邊形ABCD是菱形，且直線PF恰好經(jīng)過點(diǎn)D,連接CF,求的值；8.(模擬預(yù)測)如圖1,正方形ABCD中，AC為對角線，點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)，以PF為邊向右作正方(1)則AP與CE的數(shù)量關(guān)系是,AP與CE的夾角度數(shù)為(2)點(diǎn)P在線段AC及其延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究線段DC,PC和CE三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)P在對角線AC的延長線上時(shí)，連接AE,若AB=2√2,AE=2√13,求四邊形DCPE的面積9.(?？寄M預(yù)測)【操作與發(fā)現(xiàn)】如圖①,在正方形ABCD中，點(diǎn)N,M分別在邊BC、CD上.連接AM、AN、MN.∠MAN=45°,將△AMD(1)【實(shí)踐探究】在圖①條件下，若CN=6,CM=8,則正方形ABCD的邊長是.(2)如圖②,在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN、MN,∠MAN=45°,(3)【拓展】如圖③,在矩形ABCD中，AB=12,AD=16,點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN已知∠MAN=45°,BN=4,則DM的長是.10.(校考一模)如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD邊AD上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合).連接BE交AC于點(diǎn)F,PQ經(jīng)過點(diǎn)F,分別與AB、CD交于點(diǎn)P、Q,且PQ=BE.11.(統(tǒng)考一模)【探究發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1,正方形ABCD兩條對角線相交于點(diǎn)O,正方形ABCO與正方形ABCD的邊長相等，在正方形A,B?CO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)過程中，邊OA交邊AB于點(diǎn)M,邊OC交邊BC于點(diǎn)N.①線段BM、BN、AB之間滿足的數(shù)量關(guān)系是【類比探究】(2)如圖2,若將(1)中的“正方形ABCD”改為“含60°的菱形ABCD”,即∠B,OD?=∠DAB=60°,且菱形OBC;D與菱形ABCD的邊長相等.當(dāng)菱形OBCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，保持邊OB?交邊AB于點(diǎn)M,邊OD?交邊BC于①線段BM、BN與AB之間的數(shù)量關(guān)系是;請你證明其中的一個(gè)猜想.【拓展延伸】(用含a的式表示)(用含a的式表示)12.(校聯(lián)考三模)某數(shù)學(xué)小組在探究軸對稱的性質(zhì)這一內(nèi)容時(shí)，準(zhǔn)備了若干大小不一的矩形進(jìn)行折疊實(shí)驗(yàn)探究.實(shí)驗(yàn)操作如下：第二步，將矩形ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)C恰好落在線段EF上的點(diǎn)H處，折痕為BG.CC①四邊形AEFD是;②求證：△GFH∽△HEB;(2)【問題解決求HM如圖2,延長GH交AF于M點(diǎn)，若AB=8,AD求HM(備用圖)數(shù)學(xué)小組通過對若干個(gè)矩形進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作后，發(fā)現(xiàn)有些矩形的GH的延長線與線段AF沒有交點(diǎn).若要使得GH的延長線與線段AF(不含端點(diǎn))有交點(diǎn)時(shí)，請直接寫出的取值范圍.13.(校考模擬預(yù)測)已知平行四邊形EFGH的頂點(diǎn)E、G分別在其的邊AD、BC上，頂點(diǎn)F、H在其的對角線BD上.(3)如圖1,當(dāng)∠HEF=∠A=120°,求時(shí)，求k的值，14.(?？家荒?在等邊△ABC中，AB=2,點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，∠DEF=60°,且∠DEF的兩邊分別與△ABC的邊AB,AC交于點(diǎn)P,Q(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,B重合).(1)若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，請?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形；量x的取值范圍；(