第三節(jié) 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)教材

第三節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)對(duì)于二維r.v.(X

,Y)。我們除了要討論X與Y

的均值和方差，還要討論X

與Y

之間的相互關(guān)系的數(shù)字特征。意味著若上不等式成立，說(shuō)明X與Y

存在一定的關(guān)系。回憶在第二節(jié)中證明方差的性質(zhì)言下之意是說(shuō)當(dāng)X與Y

不獨(dú)立時(shí)已看到如果X與Y

相互獨(dú)立，則所以我們用上式給出刻劃兩個(gè)r.v.間相關(guān)程序的一個(gè)重要數(shù)字特征：協(xié)方差，相關(guān)系數(shù).一、概念定義3.1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)分量的均值為E(X),E(Y),

若

E[X-E(X)][Y-E(Y)]存在，則稱它為X，Y

的協(xié)方差為了克服這一缺點(diǎn)，對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，就引出了相關(guān)系數(shù)。注：1

COV

(X,Y)是能反映X

與Y

之間有某種關(guān)系的數(shù)字特征。

2協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X

和Y

相互關(guān)系的程度。記為COV(X,Y)=E[X-E(X)][Y-E(Y)]。但它是個(gè)有量綱的量，其值受X與Y

本身度量單位的影響。定義3.2

若二維隨機(jī)變量(X,Y)分量的方差D(X),D(Y)都存在，且D(X)>0,D(Y)>0則稱：為r.v.X

和Y的相關(guān)系數(shù)。定義3.3什么叫相關(guān)？待討論性質(zhì)時(shí)可知其實(shí)際意義。二、協(xié)方差的性質(zhì)與計(jì)算

1.計(jì)算（1）用定義計(jì)算（2）用公式在第二節(jié)方差性質(zhì)中已證{用定義計(jì)算例2：已知(X,Y)的聯(lián)合分布率為01210.20.10.330.10.30

XY求COV(X,Y)。解：用公式計(jì)算COV(X,Y)=E(XY)–E(X)E(Y)先求出X,Y的邊緣分布，填入上表中，X~Pi

Y~Pj0.60.40.30.40.3

1求得自己用定義證明注：若X,Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)注：若X,Y

獨(dú)立，則D(XY)=D(X)+D(Y)Cov(X,a)=0和協(xié)方差0=X與Y獨(dú)立性質(zhì)3.3,4)2.0,100(~),2(~.3UVYXVXUbYXYXrp求令相互獨(dú)立，且與設(shè)隨機(jī)變量例-==三、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)。若X,Y

的相關(guān)系數(shù)存在，則

1.證明1.由于存在，故D(X),D(Y)存在，且都大于零。協(xié)方差用性質(zhì)2方差非負(fù)性2.的充分必要條件是：存在常數(shù)

a,b

且a0,使得{又由方差性質(zhì)知，上式成立的充要條件是即即性質(zhì)2.得證。參考書(shū)上證明方法自己看。幾點(diǎn)說(shuō)明：

(1)存在常數(shù)a,b,a0,使P{Y=aX+b

}=1

即X和Y以概率1線性相關(guān)。當(dāng)P{Y=aX+b

}=1.這時(shí)稱X與Y完全正相關(guān)(a>0)當(dāng)P{Y=aX+b

}=1.這時(shí)稱X與Y完全負(fù)相關(guān)(a<0)完全正相關(guān)和完全負(fù)相關(guān)統(tǒng)稱為完全相關(guān)。當(dāng)X與Y完全相關(guān)時(shí)，(X,Y)可能取的值概率為1的集中在一條直線上。(2)相關(guān)系數(shù)是用來(lái)刻畫(huà)X,Y

線性相關(guān)程度的一個(gè)數(shù)量指標(biāo)。當(dāng)值越接近1時(shí)，X與Y之間越近似有線性關(guān)系；當(dāng)值越較小（接近0）時(shí)，X與Y之間不能認(rèn)為有近似的線性關(guān)系；當(dāng)時(shí)，X與Y

不相關(guān)，X,Y

之間沒(méi)有線性關(guān)系?？赡躕,Y

之間有某種非線性的函數(shù)關(guān)系（如：例5）這時(shí)X,Y

之間的關(guān)系較復(fù)雜；可能

X,Y

相互獨(dú)立；{例4：設(shè)r.v.X

~b(100,0.2)，又Y=AX+B。(A,B

是常數(shù)A0)求r.v.X

與常數(shù)是獨(dú)立的。0{可看出：1二維正態(tài)隨機(jī)變量的分布完全可由X,Y

各自的均值、方差以及它們的相關(guān)系數(shù)所確定。例4：設(shè)二維隨機(jī)變量

可以求得：其證明見(jiàn)參考材料P.133要求知道結(jié)果。第三章曾討論二維正態(tài)分布X與Y

相互獨(dú)立由例5看出：

即X

與Y

不相關(guān)，但X

與Y

并不獨(dú)立，而是Y

與X有嚴(yán)格的非線性函數(shù)的關(guān)系。故知對(duì)二維正態(tài)分布(X,Y)而言；X

與Y

不相關(guān)等價(jià)于X

與Y

相互獨(dú)立?，F(xiàn)在知道。小結(jié)：隨機(jī)變量X,Y

相互獨(dú)立與相關(guān)與否關(guān)系：存在存在?不相關(guān)與獨(dú)立與特別二維正態(tài)分布YXYXo3第五節(jié)矩、協(xié)方差矩陣一、矩。定義5.1：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y),k，m為非負(fù)整數(shù)。若E(Xk

),k=1,2,…存在，則稱它為X

的k階原點(diǎn)矩。若E[X-E(X)

]k,K=2,3,…存在，則稱它為X的k階中心矩。若E[Xk

Ym],k,m=1,2,…存在，則稱它為X和Y的k+m

階混合矩。若E{[X-E(X)

]k

[Y-E(Y)

]m},k,m=1,2,…存在，則稱它為X

和Y的k+m

階混合中心矩。顯然E(X)是X

的一階原點(diǎn)矩。方差D(X)是X

的二階中心矩。協(xié)方差