江蘇省姜堰區(qū)蔣垛中學(xué)2024屆高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷含解析

江蘇省姜堰區(qū)蔣垛中學(xué)2024屆高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在長方體中，，則直線與平面所成角的余弦值為（）A． B． C． D．2．設(shè)、，數(shù)列滿足，，，則（）A．對于任意，都存在實數(shù)，使得恒成立B．對于任意，都存在實數(shù)，使得恒成立C．對于任意，都存在實數(shù)，使得恒成立D．對于任意，都存在實數(shù)，使得恒成立3．已知雙曲線：的左右焦點分別為，，為雙曲線上一點，為雙曲線C漸近線上一點，，均位于第一象限，且，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A． B． C． D．5．若復(fù)數(shù)滿足，則（其中為虛數(shù)單位）的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．46．若集合，，則=（）A． B． C． D．7．如圖示，三棱錐的底面是等腰直角三角形，，且，，則與面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．8．已知雙曲線（）的漸近線方程為，則（）A． B． C． D．9．設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）．A． B．C． D．10．若a＞b＞0，0＜c＜1，則A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．a(chǎn)c＜bc D．ca＞cb11．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的-一個公共點，且，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的關(guān)系為（）A． B．C． D．12．如圖，在中，，是上的一點，若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足，則________．14．已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,,若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點為,則_____．15．在等比數(shù)列中，，則________．16．已知，，且，則最小值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)().（1）討論的單調(diào)性；（2）若對，恒成立，求的取值范圍.18．（12分）近年來，隨著“霧霾”天出現(xiàn)的越來越頻繁，很多人為了自己的健康，外出時選擇戴口罩，在一項對人們霧霾天外出時是否戴口罩的調(diào)查中，共調(diào)查了人，其中女性人，男性人，并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)畫出等高條形圖如圖所示：（1）利用圖形判斷性別與霧霾天外出戴口罩是否有關(guān)系并說明理由；（2）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)建立一個列聯(lián)表；（3）能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為性別與霧霾天外出戴口罩的關(guān)系.附：19．（12分）已知橢圓：過點，過坐標(biāo)原點作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于，兩點.（1）證明：當(dāng)取得最小值時，橢圓的離心率為.（2）若橢圓的焦距為2，是否存在定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.20．（12分）已知.（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線上的定點在曲線外且其到上的點的最短距離為，試求點的坐標(biāo).22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，為側(cè)棱上一點，已知.（Ⅰ）證明:平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

在長方體中，得與平面交于，過做于，可證平面，可得為所求解的角，解，即可求出結(jié)論.【詳解】在長方體中，平面即為平面，過做于，平面，平面，平面，為與平面所成角，在，，直線與平面所成角的余弦值為.故選:C.【點睛】本題考查直線與平面所成的角，定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”，三步驟缺一不可，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

取，可排除AB；由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列的單調(diào)情況，進而得到要使，只需，由此可得到答案.【詳解】取，，數(shù)列恒單調(diào)遞增，且不存在最大值，故排除AB選項；由蛛網(wǎng)圖可知，存在兩個不動點，且，，因為當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增，則；當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，則；所以要使，只需要，故，化簡得且.故選：D．【點睛】本題考查遞推數(shù)列的綜合運用，考查邏輯推理能力，屬于難題．3、D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點分別為，為雙曲線上的一點，為雙曲線的漸近線上的一點，且都位于第一象限，且，可知為的三等分點，且,點在直線上，并且，則，，設(shè)，則，解得，即，代入雙曲線的方程可得，解得，故選D．點睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．4、B【解析】

列出每一次循環(huán)，直到計數(shù)變量滿足退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：，退出循環(huán)，輸出的為.故選：B.【點睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果，要注意在哪一步退出循環(huán)，是一道容易題.5、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可確定，即可得的最大值.【詳解】由知，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點與點間的距離，又復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在圓的圓心到的距離為1，所以.故選：B【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的定義及其幾何意義應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】試題分析：化簡集合故選C．考點：集合的運算．7、A【解析】

首先找出與面所成角，根據(jù)所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且，是等邊三角形，設(shè)中點為，連接，，可知，，同時易知，，所以面，故即為與面所成角，有，故.故選：A.【點睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計算，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)雙曲線方程（），確定焦點位置，再根據(jù)漸近線方程得到求解.【詳解】因為雙曲線（），所以，又因為漸近線方程為，所以，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

由奇偶性定義可判斷出為偶函數(shù)，由單調(diào)性的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，由此知在上單調(diào)遞減，從而將所求不等式化為，解絕對值不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意知：定義域為，，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，由得：，解得：或，的取值范圍為.故選：.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題；奇偶性的作用是能夠確定對稱區(qū)間的單調(diào)性，單調(diào)性的作用是能夠?qū)⒑瘮?shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，進而化簡不等式.10、B【解析】試題分析：對于選項A，，，，而，所以，但不能確定的正負，所以它們的大小不能確定;對于選項B，,，兩邊同乘以一個負數(shù)改變不等號方向，所以選項B正確;對于選項C，利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到，所以C錯誤;對于選項D，利用在上為減函數(shù)易得，所以D錯誤.所以本題選B.【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較.11、A【解析】

設(shè)橢圓的半長軸長為，雙曲線的半長軸長為，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得：，解得，然后在中，由余弦定理得：，化簡求解.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的長半軸長為，由橢圓和雙曲線的定義得：，解得，設(shè)，在中，由余弦定理得：，化簡得，即.故選：A【點睛】本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和性質(zhì)以及余弦定理的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.12、B【解析】

變形為，由得，轉(zhuǎn)化在中，利用三點共線可得.【詳解】解：依題：，又三點共線，，解得．故選：．【點睛】本題考查平面向量基本定理及用向量共線定理求參數(shù).思路是(1)先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.(2)直線的向量式參數(shù)方程：三點共線?(為平面內(nèi)任一點,)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

項和轉(zhuǎn)化可得，討論是否滿足，分段表示即得解【詳解】當(dāng)時，由已知，可得，∵，①故，②由①-②得，∴．顯然當(dāng)時不滿足上式，∴故答案為：【點睛】本題考查了利用求，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算，分類討論的能力，屬于中檔題.14、4038.【解析】

由函數(shù)圖象的對稱性得：函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點關(guān)于點對稱，則，,即，得解．【詳解】由知：得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點關(guān)于點對稱則故，即本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象的對稱性來求值的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對稱中心，屬中檔題．15、1【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為,再根據(jù)題意用基本量法求解公比,進而利用等比數(shù)列項之間的關(guān)系得即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.由,得,解得.又由,得.則.故答案為：1【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解方法,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

首先整理所給的代數(shù)式，然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得其最小值.【詳解】，結(jié)合可知原式，且，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.即最小值為.【點睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；（2）.【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，，對討論，得導(dǎo)函數(shù)的正負，得原函數(shù)的單調(diào)性；（2）法一:由得，分別運用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)()，的單調(diào)性，和其函數(shù)的最值，可得，可得的范圍;法二:由得，化為令()，研究函數(shù)的單調(diào)性，可得的取值范圍.【詳解】（1）的定義域為，，①當(dāng)時，由得，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，恒成立,在上單調(diào)遞增；（2）法一:由得，令()，則，在上單調(diào)遞減，，，即，令，則，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，所以，即，(*)當(dāng)時，，(*)式恒成立，即恒成立，滿足題意法二:由得，，令()，則，在上單調(diào)遞減，，，即，當(dāng)時，由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增，恒成立，滿足題意當(dāng)時，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時，，，使得，當(dāng)時，，即，又，，，不滿足題意，綜上所述，的取值范圍是【點睛】本題考查對于含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性的討論，不等式恒成立時，求解參數(shù)的范圍，屬于難度題.18、（1）圖形見解析，理由見解析；（2）見解析；（3）犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為性別與霧霾天外出戴口罩有關(guān)系【解析】

（1）利用等高條形圖中兩個深顏色條的高比較得出性別與霧霾天外出戴口罩有關(guān)系；（2）填寫列聯(lián)表即可；（3）由表中數(shù)據(jù)，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論．【詳解】解：（1）在等高條形圖中，兩個深色條的高分別表示女性和男性中霧霾天外出戴口罩的頻率，比較圖中兩個深色條的高可以發(fā)現(xiàn)，女性中霧霾天外出帶口罩的頻率明顯高于男性中霧霾天外出帶口罩的頻率，因此可以認(rèn)為性別與霧霾天外出帶口罩有關(guān)系.（2）列聯(lián)表如下：戴口罩不戴口罩合計女性男性合計（3）由（2）中數(shù)據(jù)可得：.所以，在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為性別與霧霾天外出戴口罩有關(guān)系.【點睛】本題考查了列聯(lián)表與獨立性檢驗的應(yīng)用問題，也考查了登高條形圖的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）證明見解析；（2）存在，【解析】

（1）將點代入橢圓方程得到，結(jié)合基本不等式，求得取得最小值時，進而證得橢圓的離心率為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，根據(jù)橢圓的對稱性，求得到直線的距離.當(dāng)直線的斜率存在時，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，利用，則列方程，求得的關(guān)系式，進而求得到直線的距離.根據(jù)上述分析判斷出所求的圓存在，進而求得定圓的方程.【詳解】（1）證明：∵橢圓經(jīng)過點，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時橢圓的離心率.（2）解：∵橢圓的焦距為2，∴，又，∴，.當(dāng)直線的斜率不存在時，由對稱性，設(shè)，.∵，在橢圓上，∴，∴，∴到直線的距離.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為.由，得，.設(shè)，，則，.∵，∴，∴，∴，即，∴到直線的距離.綜上，到直線的距離為定值，且定值為，故存在定圓：，使得圓與直線總相切.【點睛】本小題主要考查點和橢圓的位置關(guān)系，考查基本不等式求最值，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查點到直線的距離公式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.20、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】

（1）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）分離出參數(shù)后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決，注意函數(shù)定義域.【詳解】（1）由得或①當(dāng)時，由，得.由，得或此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和.②當(dāng)時，由，得由，得或此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和綜上：當(dāng)時，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（2）依題意，不等式恒成立等價于在上恒成立，可得，在上恒成立，設(shè)，則令，得，（舍）當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)變化時，，變化情況如下表：10單調(diào)遞增單調(diào)遞減∴當(dāng)時，取得最大值，，∴.∴的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題，屬于中檔題.21、（1）的普通方程為．的直角坐標(biāo)方程為