人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊 章末綜合測評 第一章 空間向量與立體幾何（含解析）

章末綜合測評（一）空間向量與立體幾何

（時間：120分鐘滿分：150分）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的

四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.若A,B,C,。為空間不同的四點，則下列各式為零向量的是（）

①贏+2詼+2詼+而@2AB+2BC+3CD+3DA+AC；?AB+CA+BD；

?AB-CB+CD-AD.

A.①②B.②③

C.②④D.①④

jr

2.若a=(2,2,0),8=(1,3,z))<(a,b)=g,則z等于()

A.A/22B.一,\/22

c.+V22D.±742

3.已知向量。=（—2,1,3）,Q（—1,2,1）,若?。?。一勸），則實數(shù)2的值為（）

14

A.-2B.一弓~

C.弓D.2

4.已知正四面體A-BCD的棱長為1,且危=2而，AF=2FD,則庫?詼=

（）

2121

A.B.C.—D.—

5.已知>=（2,-1,3）,6=（-1,4,-2）,c=（7,5,2）.若a,b,c三向量

共面，則實數(shù)人等于（）

6263八6065

A.萬B.萬C.萬D.

6.如圖所示，已知空間四邊形ABC。，連接AC,BD,M,G分別是8C,

CO的中點，則贏防等于（）

A

A.ADB.GA

C.AGD.MG

7.已知四面體0-A3C的各棱長均為1,。是棱。4的中點，則異面直線8。

與AC所成角的余弦值為（）

1

V3-

A.B.4

D.乎

o

8.在三棱錐P-ABC中，PC_L底面ABC,ZBAC=90°,AB=AC=4,NPBC

=60°,則點。到平面山8的距離是（）

嫗嫗

/x?7Jo?7

嫗嫗

Vxa7L*?7

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的

選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得分5分，部分選對的得3分，有選

錯的得0分.

9.已知初，。分別為直線/”，2的方向向量（八，/2不重合），〃1，〃2分別為

平面a,4的法向量（a,4不重合），則下列說法中，正確的是（）

A.v\//vi^l\//hB.S_LS<=>/I_L/2

C.n\//n^a///iD.n\

10.已知點尸是平行四邊形ABC。所在的平面外一點，如果靠=（2,-1,

-4）,45=（420），崩=（—1,2,-1）.對于結(jié)論：

?AP±AB；②APLA。；③成是平面ABC。的法向量；④祚〃麗.其中正

確的是（）

A.①B.②C.③D.④

11.在以下命題中，不正確的命題有()

A.同一向=|a+b|是a,b共線的充要條件

B.若?！▋簞t存在唯一的實數(shù)"使。=勸

―>—>—>—>

C.對空間任意一點。和不共線的三點A,B,C,^OP=2OA-2OB-OC,

則尸，A,B,C四點共面

D.若｛a,b,c｝為空間的一個基底，貝！J｛a十"b+c,c+a｝構(gòu)成空間的另一

個基底

12.將正方形A8CO沿對角線8。折成直二面角有如下四個結(jié)論：

①ACJ_BO；

②△AC。是等邊三角形；

③AB與平面BCD所成的角為60。；

@AB與CD所成的角為60°.

其中正確的結(jié)論是()

A.①B.②C.③D.@

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線

上.

13.已知向量Q=(2,4,5),CD=(3,x,y),若Q〃而，則砂=.

14.已知A(2,-5,1),8(2,-4,2),C(l,-4,1),則Q與啟的夾角為.

15.已知矩形A8CD中，AB=\,BC=4將矩形A8CZ)沿對角線AC折

起，使平面ABC與平面AC。垂直，則8與。之間的距離為.

16.在正三棱柱ABC-AIiG中，已知A8=l,D在棱BBi上,且3。=1,

則AD與平面A41cle所成的角的正弦值為，平面ACD與ABC所成二

面角的余弦值為.(本題第一空2分，第二空3分)

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程

或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)如圖所示，在四棱錐M-A8CD中，底面ABCD是邊

長為2的正方形，側(cè)棱AM的長為3,且AM和A&AO的夾角都是60。，N是

CM的中點，設(shè)4=贏，b=AD,c=AM,試以a,b,c為基向量表示出向量BN,

并求BN的長.

M

18.(本小題滿分12分)已知向量a=(l,—3,2),分=(—2,1,1),點A(—3,

-1,4),5(-2,-2,2).

⑴求|2a+回；

(2)在直線上，是否存在一點E,使得無_Lb?(。為原點)

71

19.(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC-AiBG中，NABC=QD是

棱AC的中點，且AB=BC=BB=2.

(1)求證：A3〃平面BG。；

(2)求異面直線AB\與BC\所成的角.

20.(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，點。在棱A\B\

上，E,尸分別是CG，的中點，AELABi，AAi=AB=AC=2.

(1)證明:DF±AEi

(2)當(dāng)。為AiB的中點時，求平面OEP與平面ABC所成銳二面角的余弦值.

21.(本小題滿分12分)如圖，四邊形A8CO為正方形，E,尸分別為AO,

BC的中點，以。尸為折痕把△OFC折起，使點。到達(dá)點尸的位置，且

(1)證明：平面PEF，平面ABED；

(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

22.(本小題滿分12分)已知三棱柱ABC-AIBIG中，ZACB=90°,AiBLACi,

AC=A4i=4,BC=2.

(1)求證：平面A?ACC，平面ABC；

(2)若NA]AC=60。，在線段AC上是否存在一點P,使二面角B-AiP-C的平

面角的余弦值為乎?若存在，確定點P的位置；若不存在，說明理由.

章末綜合測評(一)空間向量與立體幾何

答案

(時間:120分鐘滿分：150分)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的

四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.若A,B,C,。為空間不同的四點，則下列各式為零向量的是()

①贏+2正+2詼+詼；?2AB+2BC+3CD+3DA+AC；③贏+鼻+礪;

@AB-CB+CD-AD.

A.①②B.②③

C.②④D.①④

C[①中，原式=贏+2麗+虎=q+彷+訪+虎=屐＞+病，不符合

題意；②中，原式=2（贏+病+麗+而）+（就+4）+方入）=0;③中，原式=詬,

不符合題意；④中，原式=（贏一花）+（匕分一覘）=0.故選C.]

_K

2.若a=(2,2,。)，力=(1,3,z)fb)=g，則z等于（）

A.722B.-yj22

c.+V22D.±\/42

,.、ab2Xl+2X3+0Xz

-2,可彳寸z土y22.j

L…"/一碰廠VsX^lO+z2

3.已知向量a=（—2,1,3）"=（—1,2,1）,若小（。一勸），則實數(shù)2的值為（)

D[Va±(a-AZ?),

.".a(a—zh)=|a|2—xla&=0,\a^=Aab,

14=2(2+2+3)=72,

解得2=2.故選D.]

4.已知正四面體A-BCD的棱長為1,且危=2無，AF=2FD,則樂?虎=

（）

A.|B.gC.—D.—

D[由正四面體A-BCD的棱長為1,且靠=2逝，AF=2FD,得際=|防,

則亦虎=|曲灰=|義IXlXcos120。=一；，故選D.]

5.已知>=（2,一1,3）,8=（-1,4,-2）,c=（7,5,A）.若a,b,c三向量

共面，則實數(shù)義等于（）

D[由題意得c=fa+〃b=（2，一〃，一f+4〃，3，-2/z）,

r33

t=不，

[7=2/-//,

彳5=-7+4〃，.?.<〃=*]

[2=3,一2//.65

/=萬.

6.如圖所示，已知空間四邊形ABC。，連接AC,BD,M,G分別是BC,

f1—I—

CO的中點，則AB+5BC+5B。等于（）

A.ADB.GA

C.AGD.MG

C['：M,G分別是BC,CD的中點，.?.；反:=俞，^BD=MG,：.AB+^BC

1—?—?—?―?—?―?—?

^^BD=AB+BM+MG=AM+MG=AG.]

7.已知四面體O-ABC的各棱長均為1,D是棱QA的中點，則異面直線BD

與AC所成角的余弦值為（）

近1

A.3B.4-

C也

。6

-A-A—?1—?―?—A—?―?-?\13-?

C\BD=OD-OB=^OA-OB,AC=OC-OA,于是由。|=彳，|AC|=1,

1

分-

Ac-4

且麗?啟后一司?（女一殖）=一（，于是cos〈訪，AC）-

V3

ACI2X

故異面直線皿與4C所成角的余弦值為*.]

8.在三棱錐P-A3C中，PC,底面ABC,ZBAC=90°,AB=AC=4,ZPBC

=60°,則點C到平面的距離是（）

364^42

7

5匹

7

B「.?在三棱錐P-ABC中，PC_L底面ABC,ZBAC=90°,AB=AC=4,NPBC

=60°,

...以A為原點，A3為x軸，AC為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,4,0),尸(0,4,4#),A(0,0,0),B(4,0,0),危=(0,4,0),誦=(4,0,0),AP

=(0,4,4%),

設(shè)平面布8的法向量〃=(x,y,z),

〃?AP=4.y+4&z=0,

n-AB=4x=0,

取z=l,得〃=(0,—1),

...點C到平面%8的距離4=端型=需=生”.故選B.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的

選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得分5分，部分選對的得3分，有選

錯的得0分.

9.已知小，02分別為直線/”/2的方向向量G，/2不重合)，n\,〃2分別為

平面％夕的法向量(原夕不重合)，則下列說法中，正確的是()

A.v\//V2^>1]//hB.OiJ_V2O/I_L/2

C.20a〃4D.〃1_1_〃2臺。_1-夕

ABCD[Vn,0分別為直線/i,〃的方向向量(/i,，2不重合)，：.vi//v2^

l\//h,sJ_02臺/i-Lb;'"i,〃2分別為平面a,B的法向量(a,6不重合),:、n\Hn?

B，;ii±M2^a±^,故全部正確.]

10.已知點尸是平行四邊形ABC。所在的平面外一點，如果贏=（2,-1,

-4）,AD=（4,2,0）,布=（一1,2,-1）.對于結(jié)論：

①APJ_AB；②APLA。；③亦是平面ABC。的法向量；④成〃麗.其中正

確的是（）

A.①B.②C.③D.@

ABC[ABAP=Q,ADAP=0,

：.AB1AP,AD1AP,則AB正確.

又贏與病不平行，

...亦是平面ABCD的法向量，則C正確.

由于訪=AB-Q=（2,3,4）,崩=（一1,2,-1）,

.?.而與崩不平行，故D錯誤.]

11.在以下命題中，不正確的命題有（）

A.同一網(wǎng)=|a+例是a,、共線的充要條件

B.若?！ㄉ蟿t存在唯一的實數(shù)九使Q=〃>

-?-?—>―>

C.對空間任意一點。和不共線的三點A,B,C,若02=2。4—2。8一。。,

則P,A,B,。四點共面

D.若｛a,b,c｝為空間的一個基底，則｛a+b,b+c,c+a｝構(gòu)成空間的另一

個基底

ABC[A.|a|一四=|a+加與5共線，但a與）共線時同一例=|a+例不一

定成立，故不正確；B力需為非零向量，故不正確；C.因為2—2—1/1,由共面

向量定理知，不正確；D.由基底的定義知正確.]

12.將正方形ABC。沿對角線3。折成直二面角A-BQ-C,有如下四個結(jié)論:

①AC_LBO；

②△ACO是等邊三角形；

③與平面BCD所成的角為60°；

@AB與CD所成的角為60°.

其中正確的結(jié)論是)

A.①B.②C.③D.@

ABD［如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,設(shè)正方形ABC。邊長為啦,

則0(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,1),40,1,0),所以啟=(0,-1,1),防=(2,0,0),

ACBD=Q,故①正確.

又以為=地，|而|=6，\AD\=\l2,

所以△ACO為等邊三角形.②正確.

對于③，為平面BCD的一個法向量，

/k\AB-OA

cos(,AB,OA)=-------

\AB\\OA\

_(一1,-1,0>(0,1,。)_一1__應(yīng)

—V2-V1-V2_-2,

因為直線與平面所成的角e[0。，90°],

所以45與平面BCD所成角為45°.

故③錯誤.

，一一、ABCD

又cos(AB,CD)=-------

m\cb\

_(一1,-1,0>(1,0,—1)_1

也?啦2，

因為異面直線所成的角為銳角或直角，

所以A8與CD所成角為60°.故④正確.]

三'填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線

上.

13.已知向量油=(2,4,5),CD=(3,x,y),若贏〃詼，則孫=.

45[,：AB//CD,.?.存在實數(shù)%使得B=左詼.

「2=3%,

.14=依，則D，=患20=券20=45-1

[5=砥同

14.已知A(2,-5,1),8(2,-4,2),C(L-4,1),則贏與啟的夾角為

-?一—一ABAC

60°[由題意得A8=(0,l,l),AC=(-1,1,0),cos<AB,AC>=----------=

m\Ac\

ii

所以贏與啟的夾角為60°.]

啦x啦―1

15.已知矩形ABC。中，AB=1,BC=y[3,將矩形ABC。沿對角線AC折

起，使平面ABC與平面AC。垂直，則8與。之間的距離為.

乎[如圖，過8,。分別向AC作垂線，垂足分別為M,N.

1、/31、/3

則可求得AM=yBM=2^CN=],DN=2>MN=1.

由于粉=俞+加+Nb,

所以|訪F=(BM+MN+ND)2=|BM|2+|W|2+|A?|2+2(BM-MN+MN-ND+

BM-ND)=[^+12+(^|+2(0+0+0)=|,故|訪|=邛.]

16.在正三棱柱ABCABCi中,已知AB=L。在棱BBi上，且比)=1,

則AD與平面AAiCiC所成的角的正弦值為,平面ACD與ABC所成二

面角的余弦值為.(本題第一空2分，第二空3分)

乎璋[取AC中點E,連接BE,則BELAC,

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Bryz,

應(yīng)=惇，T，一”

設(shè)平面ACD的法向量為〃=(x,y,z),

DC-n=0,

DAn=Q,

令x=2小，z=3,y=0,

.?.〃=(2小，0,3),

又訪為平面ABC的法向量，訪=(0,0,1),

?/俞、3V21

#2啊2+97

二平面ACD與平面ABC所成二面角的余弦值為華.

?.?平面ABC,平面AAtCiC,

平面ABCC平面A4iGC=AC,BEA.AC,

.?.BE，平面A41clC,

，醞=停，0,0)為平面A4CC的一個法向量，

又屐)=(一李一/1),

Acos(AD,BE)=一半,

設(shè)A。與平面A4CC所成的角為a,

則sina=|cos(AD,BE〉尸乎.］

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程

或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)如圖所示，在四棱錐中，底面A8CD是邊

長為2的正方形，側(cè)棱AM的長為3,且AM和AB,AO的夾角都是60。，N是

CM的中點，設(shè)b=AD,c=AM,試以a,b,c為基向量表示出向量8V,

并求BN的長.

［解］VBN=BC+CN=AD+^CM

―?I―?―?―?I-?―?―?

=AD+^AM-AC)=AD+^AM-(<AD+AB)］

1―1-1―

=—^AB+^AD+^AM,

丁|麗2=^2=(_ga+g5+gc)2

117

=^(層+〃2+。2-2。山一2a?c+2〃?c)=a，

.,?麗=年，

即8N的長為手.

18.(本小題滿分12分)已知向量只=(1,-3,2),3=(—2,1,1),點A(—3,

—1,4),3(—2,—2,2).

(1)求|2a+2|；

(2)在直線45上，是否存在一點E,使得無，6?(。為原點)

［解］(l)2a+b=(2,—6,4)+(—2,1,1)=(0,-5,5),

故12a+b\=^/02+(-5)2+52=5啦.

(2)aE=dA+AE=OA+tAB=(-3,-1,4)+

/(I,—1,—2)=(—3+t—1—z,4—2z),

一一9

若OE，。，則OE?b=0,所以一2(—3+。+(—1一。+(4—2。=0,解得，=予

因此在直線上存在點E,使得為：J_b,此時點E的坐標(biāo)為心,,-y,|).

jr

19.(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABCAICi中，ZABC=^,。是

棱AC的中點，且A8=8C=B8=2.

(1)求證：〃平面BCD；

(2)求異面直線ABi與BCi所成的角.

［解］(1)證明：如圖，連接81c交3cl于點。，連接00.

因為。為BC的中點，。為AC的中點，所以0D〃A8i.

因為4?依平面BGO,0QU平面BG。，

所以ABi〃平面BC\D.

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz,

則5(0,0,0),A(0,2,0),Ci(2,0,2),8(0,0,2),

因此A8=(0,-2,2),BG=(2,0,2).

0+0+41

所以cos<ABi,BCi〉\ABi\\BCt\2啦X2啦

設(shè)異面直線與3G所成的角為。，則cos9=3，由于9G(0,守，故9=

20.(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC-A\B\C\中，點D在棱A\B\

上，E,尸分別是CG,8C的中點，AE±AiBi,AAi=AB=AC=2.

Bi

D

(1)證明：DF1AE；

(2)當(dāng)。為的中點時，求平面OEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值.

［解］(1)證明：在直三棱柱4BC-AI1G中，有

又因為AELABi,所以A］3i_L平面AAC1C,

因為AiGu平面AAiCC,所以AiBLACi.

所以AB_LAC,AB1.AA1,AClAAt,

如圖，分別以AC,A4i,AB所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則C(2,0,0),8(0,0,2),A(0,0,0),4(0,2,0),尸(1,0,1。￡(2,1,0).

設(shè)0(0,2,f)(0WtW2),則#5=(-1,2,7—1),贏=(2,1,0),FDAE=(-1,2,

r-1).(2,1,0)=0,

所以DFA.AE.

(2)當(dāng)力為AiBi的中點時,0(0,2』)，EF=(-1,-1,1),彷=(一1,2,0),

設(shè)平面。底尸的法向量為〃=(x,y,z),則

n-EF=O,x+y—z=0,

即＜

x-2j=0,

n-DF=O,

令y=l得，n=(2,l,3),

容易知平面ABC的法向量為no=(0,1,0),

nnp________1_______V14

所以cos〈〃，no)

-l?l'l?o|--\/22+l24-32-14

即平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為彎.

21.(本小題滿分12分)如圖，四邊形A3CD為正方形，E,尸分別為AD,

8C的中點，以。尸為折痕把△。尸C折起，使點C到達(dá)點P的位置，且PBF.

(1)證明：平面PEEL平面A3FD；

(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

［解］⑴證明：由已知可得，BFLPF,BFLEF,

又PFU平面PEF,EfU平面PEF,且尸/CEF=F,

所以8nL平面PEF.

又BFU平面ABFD,所以平面PEF1.平面ABFD.

(2)作垂足為”.由(1)得，PH_L平面AB/Z).

以“為坐標(biāo)原點，前的方向為y軸正方向，|的為單位長，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系H-xyz.

由(1)可得，DELPE.又。P=2,DE=1,所以PE=小.叉PF=1,EF=2