一年級奧數(shù)下冊知識點

一年級奧數(shù)下冊：第一講速算與巧算（一）

第一講速算與巧算（一）

一、度十法：

同學(xué)們已經(jīng)知道，下面的五組成對的數(shù)相加之和都等于10：

1+9=10

2+8=10

3+7=10

4+6=10

5+5=10

巧用這些結(jié)果，可以使計算又快又準(zhǔn)。

例1計算

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

解：對于這道題，當(dāng)然可以從左往右逐步相加：

1+2=33+3=6

6+4=1010+5=15

15+6=2121+7=28

28+8=3636+9=45

45+10=55

這種逐步相加的方法，好處是可以得到每一步的結(jié)果，但缺點是麻煩、容

易出錯；而且一步出錯，以后步步都錯。若是利用湊十法，就能克服這種缺

點。

二、湊整法

同學(xué)們還知道，有些數(shù)相加之和是整十、整百的數(shù)，如：

1+19=2011+9=30

2+18=2012+28=40

3+17=2013+37=50

4+16=2014+46=60

5+15=2015+55=70

6+14=2016+64=80

7+13=2017+73=90

8+12=2018+82=100

9+11=20

又如：

15+85=10014+86=100

25+75=10024+76=100

35+65=10034+66=100

45+55=10044+56=100等等

巧用這些結(jié)果，可以使那些較大的數(shù)相加又快又準(zhǔn)。像10、20、30、

40、50、60、70、80、90、100等等這些整十、整百的數(shù)就是湊整的目標(biāo)。

例2計算

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

解：這是求1到19共10個單數(shù)之和，用湊整法做:

O

O

O

O

O

-OO

2+4+6+8+10+12+14+16+18+20

解：這是求2到20共10個雙數(shù)之和，用禳整法做:

--------------20--------------------

----------20--------------

I-------20---------1

?—20~?

2-H4+6+8+10+12+14+16+18+20=110

例4計算

2+13+25+44+18+37+56+75

解：用湊整法:

I乙I|

2+13+25+44+18+37+56+75=270

三、用已知求未知

利用已經(jīng)獲得較簡單的知識來解決面臨的更復(fù)雜的難題這是人們認(rèn)識事物

的一般過程，湊十法、湊整法的實質(zhì)就是這個道理，可見把這種認(rèn)識規(guī)律用于

計算方面，可使計算更快更準(zhǔn)。下面再舉兩個例子。

例5計算

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20

解：由例2和例3,己經(jīng)知道從1開始的前10個單數(shù)之和以及從2開始的前10個雙

數(shù)之和，巧用這些結(jié)果計算這道題就容易了。

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20

=(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)+(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)

=100+110(這步利用了例2和例3的結(jié)果)

二210

例6計算5+6+7+8+9+10

解：可以利用前10個自然數(shù)之和等于55這一結(jié)果。

5+6+7+8+9+10

=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)-(1+2+3+4)

(熟練后，此步驟可省略)

=55-10=45

四、改變運算順序

在只有加減運算的算式中，有時改變加、減的運算順序可使計算顯得十分

巧妙！

例7計算

10-9+8-7+6-5+4-3+2-1

解：這題如果從左到右按順序進行加減運算，是能夠得出正確結(jié)果的。但因為

算式較長，多次加減又繁又慢且容易出錯。如果改變一下運算順序，先減后

力口，就使運算顯得非?！捌料率嚼ㄌ栔械乃闶奖硎鞠人悖?/p>

10-9+8-7+6-5+4-3+2-1

=（10-9）+（8-7）+（6-5）+（4-3）+（2-1）

=1+14-1+1+1=5

五、帶著“+”、"-”號搬家

例8計算

1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11

解：這題只有加減運算，而且1-2不夠減。我們可以采用帶著加減號搬家的方

法解決。要注意每個數(shù)自己的符號就是這個數(shù)前面的那個“+”號或”號，

搬家時要帶著符號一起搬。

1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11

=1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10

=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（9-8）+（11-10）［先減后加］

=1+1+1+1+14-1

二6

在這道題的運算中，把“+3”搬到“-2”的前面,把“+5”搬到了“-4”

的前面，……把“+11”搬到了“-10”的前面，這就叫帶著符號搬家。巧妙利

用這種搬法，可以使計算簡便。

第二講速算與巧算(二)

例1哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1塊，妹妹拿2塊；哥哥拿3塊，妹妹拿4塊；接著

哥哥拿5塊、7塊、9塊、11塊、13塊、15塊，妹妹拿6塊、8塊、10塊、12塊、

14塊、16塊。你說誰拿得多，多幾塊？

解:方法1：先算哥哥共拿了多少塊？

I--------20----------

1+3+5+7+9+11+13+15=64(塊)

再算妹妹共拿了多少塊？

I-----------20-----------

?------20--------1

2+4+6+8+10+li+14+16=72(塊)

72-64=8(塊)

方法2：這樣想：先算每次妹妹比哥哥多拿幾塊，再算共多拿了多少塊。

(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)

=1+1+1+14-1+1+1+1

=8(塊)

可以看出方法2要比方法1巧妙！

平時注意積累，記住一些有趣的和重要的運算結(jié)果，非常有助于速算。比

如，請同學(xué)記住幾個自然數(shù)相加之和：

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

1+2+3+4+5+6=21

1+2+3+4+5+6+7=28

1+2+3+4+5+6+7+8=36

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

例2星期天，小明家來了9名小客人。小明拿出一包糖，里面有54塊。小明

說：“咱們一共10個人，每人都要分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，

誰會分？”結(jié)果大家都無法分，你能幫他們分好嗎？

解：按小明提的要求確實無法分。

因為要使得每個人都得到糖，糖塊數(shù)人人不等，需要糖塊數(shù)最少的分法

是：笫一人分到1塊，第二人分到2塊，…笫十人分到10塊。但是，這種分法共

需要有

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（塊）

而小明這包糖一共才54塊，所以按這種方法無法分。如果改變一下，有一

人少得1塊糖，比如說，應(yīng)該得10塊糖的小朋友只分到了9塊，但是這樣一來，

他就和另一個先分得9塊糖的那個小朋友一樣多了，這又不符合小明提出“每

人分到的糖塊數(shù)不能一樣多”的要求。

（注意：“按小明提的要求無法分”就是此題的答案。在數(shù)學(xué)上“無解”

也叫問題的答案。）

例3時鐘1點鐘敲1下，2點鐘敲2下，3點鐘敲3下，……照這樣敲下去，從1點

到12點，這12個小時時鐘共敲了幾下？

解：這是一道美國小學(xué)奧林匹克試題，要求在3分鐘內(nèi)就要得出答案。

方法1：湊十法

I「1U-]

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78

方法2：如果能記住從1到10前十個自然數(shù)之和是55,計算會更快。

(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+11+12

=55+11+12=78(下)

第三講數(shù)數(shù)與計數(shù)（一）

例1請你數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少個“X”？

X

XXX

XXXX

XXXXXX

XXXXXXXX

XXXXXX

XXXXXXXX

XXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXX

解：①分層數(shù)

I—10—.

I—^-iII-20―?

1+3+5+7+9+6+10+14+17=72

②先按“實心”三角形計算，再減去“空白”三角形中“X”的個數(shù)

（1+3+5+7+9+11+13+15+17）-（5+3+1）

=7+9+11+13+15+17=72

例2下圖所示的“塔''由4層沒有縫隙的小立方塊壘成，求塔中共有多少小立

方塊？

從頂層開始數(shù)，各層小立方塊數(shù)是:

第一層：1塊；

總塊數(shù)1+3+6+10=20（塊）

例3右圖是由小立方體弱放起來的，其中有一些小立方體被壓住看不見。請笈

致一數(shù)共看多少小立方體？

Z2

第第

第第

三

五四

二

排

排排

排

解：從右往左數(shù)，并且編號

第一排：1塊

第二排：7塊;

第三排：5塊;

第四排：9塊;

第五排：16塊;

總數(shù)：1+7+5+9+16=38（塊）o

例4數(shù)一數(shù)下面的立體圖形的面數(shù)、棱數(shù)和頂點數(shù)各是多少?

面數(shù):4

棱數(shù)：6

頂點數(shù)：4

面數(shù)：5

棱數(shù)：8

頂點數(shù)：5

面數(shù)：6（左圖）

棱數(shù)：12

頂點數(shù)：8

面數(shù)：9（右圖）

棱數(shù)：16

頂點數(shù)：9

第四講數(shù)數(shù)與計數(shù)（二）

數(shù)數(shù)與計數(shù)時，注意不應(yīng)漏掉，不應(yīng)重復(fù)。如果漏掉了，要加上；如果重

復(fù)了，要減掉。

例1小朋友排隊，小紅前面4個人，后面3個人，問這隊共有幾個人？

解：

小紅

這隊的總?cè)藬?shù)要數(shù)上小紅，所以是4+3+1=8（人）。

例2排好隊，來報數(shù)，

正著報數(shù)我報七，

倒著報數(shù)我報九，

一共多少小朋友？

解：見下圖

正報「我”

12345617

987654321

W=

正著報數(shù)“我”報了一次，倒著報數(shù)“我”又報了一次，所以把兩次報數(shù)

加起來時，“我”被加了兩次。因此算這隊的總?cè)藬?shù)時，應(yīng)從兩次報數(shù)之和減

lo

7+9-1=15（人）。

也可以這樣想：正著報數(shù)報到我為止，倒著報數(shù)時，我就不報了，只報到

我的后面相鄰的那個人他應(yīng)該報8,所以全隊總?cè)藬?shù)是：

7+C9-1?=15（人）o

例3少先隊員排成隊去參觀科技館。從排頭數(shù)起劉平是第20個；從排尾數(shù)起,

張英是第23個。己知劉平的前一個是張英。問這隊少先隊員共有多少人？

解：畫示意圖，用點代表少先隊員。

叢排頭數(shù)起一…糠劉乎從拄尾敵薪

20人23人

由圖可見，從排頭數(shù)起時，把張英和劉平數(shù)了一次。由排尾數(shù)起時，又把

劉平和張英數(shù)了一次，可見把他兩人多數(shù)了一次，所以點總?cè)藬?shù)時，應(yīng)減去多

數(shù)的那一次才對。

20+23-2=41（人）。

例445個小朋友排成一隊去春游。從排頭往后數(shù)，小剛是第19個；從排尾往前

數(shù)，小莉是第12個，問小剛和小莉中間有幾個人？

解：畫示意圖。用點“?”代表人

4》

―聯(lián)數(shù)個剛，呼特工

?……■……:???,

”中（鐘?人’i?F

由圖可見，小剛和小莉中間的人數(shù)是：

45-（19+12）=14（人）。

例5一班同學(xué)做花，做紅花的有38人，做黃花的有39人，沒有做花的有3人。

如果全班55人，那么既做紅花又做黃花的有多少人？

解：畫圖如下：

38人做紅花3人沒做花

亞又做黃花

由圖可見，做花的人：55-3=52（人）。

圖中陰影部分表示兩色花都做的人：

38+39-52=25（人）。

第五講數(shù)數(shù)與計數(shù)（三）

例1

小朋友，張開手，

五個手指人人有。

手指之間幾個“空”，

請你仔細瞅一瞅？

（注）"瞅一瞅'’就是"看一看''的意思。

解：見右圖看一看、數(shù)一數(shù)可知：5個手指間有4個“空"空''又叫"間

隔”，也就是，人的一只手有5個手指4個間隔。

例2小朋友在一段馬路的一邊種樹。每隔1米種一棵，共種了11棵，問這段馬

路有多長？

解:畫示意圖如下：

由圖可見，這段馬路的11棵樹之間有10個“空”，也就是10個間隔。每彳

間隔長1米，10個間隔長10米。也就是說這段馬路長10米。像這類問題一般叫

做“植樹問題可以得出一個公式：當(dāng)兩頭都種樹時：

I棵數(shù)—1=1司隔數(shù)廠

例3把一根粗細一樣的木頭鋸成5段，需要4分鐘。

①如果把這根木頭鋸成10段，需要幾分鐘？

②如果把這根木頭鋸成100段，需要幾分鐘？

解：畫出示意圖：

由圖可見，把木頭鋸成5段，只需鋸4次。

所以鋸一次需1分鐘。

①同樣道理，把這根木頭鋸成10段，只需鋸9次，所以需9分鐘。

②同理，把這根木頭鋸成100段，只需鋸99次，所以需99分鐘。

例4鼓樓的鐘打點報時，5點鐘打5下需要4秒鐘。問中午12點時打12下需要幾

秒鐘？

解：畫示意圖。鐘打一下用一個點代表，打5下畫5個點。

J司隔1辭’.，

由圖可見，鐘打5下中間有4個時間間隔，4個間隔是4秒鐘，每個間隔就是

1秒鐘。由此推理鐘打12下時有12-1=11個時間間隔，故用11秒鐘。

第六講數(shù)數(shù)與計數(shù)（四）

本講采用枚舉法解決數(shù)數(shù)與計數(shù)的問題。比如老奶奶數(shù)雞蛋，她小心翼翼

地把雞蛋從藍子里一個一個地往外拿，邊拿邊數(shù)?；@子里的雞蛋拿光了，有多

少個雞蛋也就數(shù)出來了。

這種最簡單的數(shù)數(shù)與計數(shù)的方法就叫做枚舉法。

例1用分別寫有數(shù)字1和2的兩張紙片，能夠推出多少個不同的二位數(shù)？

解：用ID和②代表這兩張紙片。把所有可能的排法枚舉出來，可知能排出兩

個二位數(shù)來。它們是：

0H］,EE

例2用分別寫有數(shù)字0,1,2的三張紙片叵］，臼，②，能排出多少個不同的二

位數(shù)？

解：因為“0”不能作為首位數(shù)字，所以只能排出4個二位數(shù)，它們是：

1作十位數(shù)字，。或2作個位數(shù)字:

①叵］,田回

2作十位數(shù)字，0或1作個位數(shù)字:

②圖,回田

例3用分別寫有數(shù)字1,2,3的三張紙片①，②，團能排出多少不同的三位

數(shù)？

解：用枚舉法，即把所有可能排出的每一個三位數(shù)都寫出來。再數(shù)一數(shù)共有多

少個。

123132

213231

3123|2|111

共6個不同的三位數(shù)。

例4小明左邊抽屜里放有三張數(shù)字卡片①，②，國右邊抽屜里也放有三張卡

片田，回，團。如果他每次從左右兩邊抽屜里任意各拿一張出來，組成一個

二位數(shù)，在紙上記下來之后，再把卡片放回各自原來的抽屜里。然后再拿、再

組數(shù)、再記、再放回……這樣一直做下去，問他一共可能組成多少個不同的二

位數(shù)？

解：不妨假設(shè)小明先從左邊抽屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排在十位；再從右邊抽

屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排在個位。下面是記下來的所有不同的二位數(shù)：11,

12,13,21,22,23,31,32,33。共9個不同的二位數(shù)。

例5有一群人，若規(guī)定每兩個人都提一次手而且只提一次手，求他們共握多少

次手？假設(shè)這群人是：

①兩個人，②三個人，③四個人

解：畫圖。用點“?”代表人。如果兩人提一次手就在兩個點之間連一條線。

那么，點和點之間連線的條數(shù)就代表握手的次數(shù)。見以下的圖。

①兩個人:

兩點之間只能連一條線，表示兩個人共握1次手。

②三個人:

三點之間有三條連線，表示三個人共握3次手。

③四個人:

四點之間有六條連線，表示四個人共握6次手。

例6鐵路上的火車票價是根據(jù)兩站距離的遠近而定的，距離愈遠，票價愈高。

如果一段鐵路上共有五個車站，每兩站間的距離都不相等，問這段鐵路上的火

車票價共有多少種？

解：

__a___

如圖所示，用一條線段表示這段鐵路，用線段上的五個點代表五個車站，

各點間距離不同表示各車站間距離不同，因而票價不同。

車站1和車站

軍站2

車站2和車站

冊4

由圖可見，各段長度不同的線段就表示各種不同的票價。

數(shù)一數(shù),票價種數(shù)是：4+3+2+1=10種。

例7小明到小華家有甲、乙兩條路，小華到小英家有a,b,c三條路（如下圖

所示）。小明經(jīng)過小華家去找小英，他想每次都不走完全重復(fù)的路線，問有多

少祎不同的耒法？

甲a

解：共有6種不同的走法，見下圖。

第七講填圖與拆數(shù)（一）

例1如右圖，把3、4、6、7四個數(shù)填在四個空格里，使橫行、豎行三個數(shù)相加

都得14。怎樣填？

解：先看豎行，最上格中已有個5。要使5+（）=14,括號里的數(shù)就要填9。把

9拆成兩個數(shù)：9=3+6,（因為3和6是題中給出的數(shù)）分別填在豎行的兩個空格

里。但進一步想，應(yīng)該把哪一個填在中間空格里呢？這就需要看橫行。橫行兩

頭的空格應(yīng)填剩下的兩個數(shù)4和7,因為4和7相加和為11,而11+3=14,可見中

間空格應(yīng)填3。

?

?

0

例2如圖所示。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上三個數(shù)相加之和都等于

12o

解：見下圖Q）、（2）、（3）。把12分拆成三個不同的數(shù)相加之和，得七

種分拆方式：

12=9+2+112=8+3+1

12=7+4+112=7+3+2

12=6+5+112=6+4+2

12=5+4+3

從各式中選擇有一個相同加數(shù)的兩個式子。12=1+5+6和12=1+4+7兩式，將

相同的加數(shù)1填在中間圓圈里，不同的加數(shù)分別填在橫行和豎行的其他圓圈

里。答案有很多種不同的填法，這里只填了三種，同學(xué)們還可以自己選擇另外

的填法。

例3如右圖所示。把L2、3、4、5五個數(shù)填入五個圓圈里，要求分別滿足以

下條件：

（1）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于8；

（2）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于9；

（3）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于10。

（1）將8分拆成三個數(shù)之和（注意，這三個數(shù)要從1、2、3、4、5中選

?。?/p>

8=1+2+58=1+3+4

因為中間圓圈里的數(shù)是要公用的，所以應(yīng)把“1”填在中間圓圈里其他四

個數(shù)填在邊上；

（2）解法思路與（1）相同，分拆方式如下:

9=1+3+59=2+3+4

（3）解法思路與Q）相同

10=1+4+510=2+3+5。

一年級奧數(shù)下冊：第八講填圖與拆數(shù)（二）

第八講填圖與拆數(shù)（二）

本講主要介紹在填圖與拆數(shù)中找關(guān)鍵數(shù)的思考方法。

例1如右圖所示。把三個1、三個2、三個3分別填在九個格內(nèi)，使橫行、豎

行、斜行三個數(shù)加起來的和都等于6。

解：找關(guān)鍵數(shù)先填。因為中間格的數(shù)和橫行、豎行、斜行都有關(guān)，所以它是關(guān)

鍵數(shù)，確定了它，其他各格就容易填了。

（1）嘗試法：若中間填“1”，再填其他格，如右圖。結(jié)果有一條斜線上

的數(shù)都是1,其和為3,不合題目要求。

若中間格填“3”，再填其他格，如右圖結(jié)果有一條斜行上的數(shù)都是3,其

和為9,不合題目要求。

若中間格填“2”，再填其他格，經(jīng)檢查，符合題目要求，如圖。

（2）分析法：顯然在每一橫行、豎行和斜行只能填一個“1”或一個

“3”。因為若填兩個1后，即使再填一個最大的3,這一行的這三個數(shù)之和才

是5,小于6,不符合題目要求；同樣，若填兩個3后，即使再填一個最小的數(shù)

1,這一行的三個數(shù)之和就是7,大于6,也不符合題目要求。

如果在一行里填入兩個“2”，即使在此行里再填一個2,這一行的三個數(shù)

之和也可等于6,符合題要求。

由此得出，中間方格必須填“2”。中間方格填好之后其他各格中的數(shù)也

就容易填出了。

例2如圖。把1、2、3、4、5填入右圖的圓圈中，使每條斜線上的三個數(shù)相加

之和都是8。

解：中間圓圈里的數(shù)是個關(guān)鍵數(shù)，應(yīng)該首先確定它。如何確定它呢？這樣想:

假如我們己經(jīng)按題目要求把1、2、3、4、5填入了五個圓圈中，這樣每條斜線

上的三個數(shù)相加都得8。那么當(dāng)我們把兩條斜線上的數(shù)都加起來，它們的和應(yīng)

為8+8=16,

但是五個圓圈中所填數(shù)之和應(yīng)為

1+2+3+4+5=15,

兩個和數(shù)之差是1,即：16-15=1。

這個差是如何產(chǎn)生的呢？這是因為把兩條斜線上的和數(shù)相加時，中間圓圈

中的數(shù)被加了兩次，即多加了一次。把一個數(shù)多加了一次和就多了1,可見此

數(shù)是1。

然后，再求每條斜線兩端的數(shù)?？汕蟪鰞蓴?shù)之和應(yīng)為8-1=7把7分拆成兩個

數(shù)，有兩種分拆方式：

2+5

7=

3+4

把2和5填入一條斜線兩端的圓圈中o

把3和4填入另一條斜線兩端的圓圈中。

例3如圖所示。把1、2、3、4、5、6、7七個數(shù)填在右圖中的七個圓圈里，每

個數(shù)只能用一次，使每條線上的三個數(shù)相加之和都等于12。

解：見圖。中間圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，應(yīng)該如何確定它呢?

與例2的想法類似。假設(shè)己經(jīng)按題目要求把數(shù)全部填入了圓圈，那么每條

線上的三個圓圈中的數(shù)相加應(yīng)該都得12。我們?nèi)绻M一步把三條直線上的數(shù)都

加起來，得數(shù)應(yīng)為：12+12+12=36。

不難看出，這樣就把中間圓圈里那個數(shù)加了三次。因而它比七個圓圈中的

數(shù)相加之和：1+2+3+4+5+6+7=28

多了36-28=8

也就是8應(yīng)是中間圓圈里的數(shù)的2倍所以中間圓圈里的數(shù)應(yīng)是8的一半，

即8*2=4

下面再確定每條線上另外的兩個圓圈里的數(shù)，方法如下：12-4=8

1+7

將8分拆：8=2+6把這六個數(shù)適當(dāng)?shù)靥钊肓鶄€圓圈。但要注意使橫

3+5

例4如圖所示。把1、2、3、4、5、6六個數(shù)分別填入右圖的圓

圈里，使三角形每條邊上三個數(shù)之和都等于9。

解：見圖。

三個角上圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，因為它們中的每個都是兩條邊上共有的

數(shù)。先確定關(guān)鍵數(shù)。這樣想：六個數(shù)之和是1+2+3+4+5+6=21每條邊上三個數(shù)之

和是9,9+9+9=27這樣算每個角上圓圈里的數(shù)都被加了兩次，因此角上三個圓

圈中的數(shù)之和是

27-21=6

把6分拆成三個數(shù)之和：6=1+2+3；

把1、2、3分別填入三個角上的圓圈里，其余的圓圈里的數(shù)就容易填了。

第九講分組與組式

課本上的算題，多數(shù)是己經(jīng)列好算式要求計算出結(jié)果。但在這一講里，往

往是知道結(jié)果或要達到的目標(biāo)，請你回答如何才能得出這種結(jié)果或達到目標(biāo)

值。為此就要求同學(xué)們在掌握好以前所學(xué)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，還要進一步做

到：仔細地觀察，發(fā)現(xiàn)題中給出的一些數(shù)中存在的規(guī)律，并且大膽地進行嘗

試，培養(yǎng)思維的靈活性和敏捷性。

例1如下圖所示把1、2、3、4、5、6,7、8,9九個數(shù)字分成兩部分，再組成

兩個數(shù)，填入下面的兩個方框里，使兩個數(shù)的和等于99999

+=99999

解：把九個數(shù)字分成兩部分，組成兩個數(shù)，要求相加之和由五個9組成，可見

一個數(shù)應(yīng)是五位數(shù)，且9應(yīng)在最高位，另一個是四位數(shù)。把除9之外的其余八個

數(shù)字分成四對，每對的和是9,它們應(yīng)是1和8,2和7,3和6,4和5。它們可以

組成以下算式，如：

98765

+12349567891234

+4321+8765

999999999999999

可見分組方法是多種多樣的。

例2給你1、2、3、4、16,17、18、19這八個數(shù)，要求：

①把它們分成四組，使每組的兩個數(shù)相加之和相等。

②再用這八個數(shù)組成如下的兩個算式。

□+□-□=□

①解：仔細觀察可發(fā)現(xiàn)：在這八個數(shù)中，前四個都是一位數(shù)，且后一個數(shù)

比前一個數(shù)大1;后四個都是兩位數(shù)，也是后一個數(shù)比前一個數(shù)大1。因此把它

們互相搭配后，可使每組的兩數(shù)之和相等。分組如下：

（1,19）；（2,18）；（3,17）；（4,16）。

可以看出，每組的兩數(shù)之和都等于20。

②解：如下圖所示，由于

1+19=2+18,3+17=4+16

因此可以組成符合題目要求的算式如下：

[H+回一固=叵

團+回一道=口

注意：符合題目要求的算式不只這些，同學(xué)們自己還可以再寫出一些。

例3在1、2、3、4、5、6、7之間放幾個“+”號，使它們的和等于100,試試

著。

1234567=100

解：對這類題目一是要大膽嘗試，邊想邊寫，千萬不要只想不寫！二是可以先

考慮與目標(biāo)值（此題是100）較接近的大數(shù)，再考慮用較小的數(shù)進行調(diào)整、修

正，使式子的得數(shù)逐漸接近目標(biāo)值，也就是使之轉(zhuǎn)化為較簡單的情況。

（1）對此題可考慮先在67前面放一個“+”號，這樣比100還小33,也就

是說，轉(zhuǎn)化成了較簡單的情況：

12345=33

再考慮在23前放個“+”號，它比33還小10,這樣問題又轉(zhuǎn)化為：

145=10

這就很容易看出來了：1+4+5=10

所以最后可以確定組成的算式是：

1+23+4+5+67=100

（2）此題還可以有另外的解法，邊看邊想可得出：34+56=90

剩下的三個數(shù)：

1+2+7=10

所以最后可以組成如下的算式：

1+2+34+56+7=100。

例4某公園里有三棵樹，它們的樹齡分別由1、2、3、4,5、6這六個數(shù)字中的

不同的兩個數(shù)字組成，而且其中一棵的樹齡正好是其他兩棵樹齡和的一半，你

知道這三棵樹各是多少歲嗎？

解：這道題的實質(zhì)就是：把1、2,3、4、5、6六個數(shù)分成三組，每組兩個數(shù)，

組成二位數(shù)，使其中的兩個二位數(shù)之和等于第三個二位數(shù)的2倍。順便說一

下，把生活中的趣味問題轉(zhuǎn)化成為純數(shù)學(xué)型的題目是一種重要的本領(lǐng)，同學(xué)們

要從小就注意增強這種能力，以便將來能夠運用數(shù)學(xué)知識解決實際工作中遇到

的難題。

仔細觀察、大膽嘗試，將這六個數(shù)分組、組合，可得出的三個數(shù)是：12,

34,56,因為

12+56=34X2

即這三棵樹的樹齡是12歲、34歲、56歲。這道題有幾種不同的答案，請你

動動腦筋找出另外的答案。

第十講自然數(shù)串趣題

從1開始，1,2,3、4、5、6、7、8、9,10、11,12……連起來成一串，

像一串糖葫蘆，我們把這樣的一串?dāng)?shù)叫作自然數(shù)串（也叫自然數(shù)列），其中的

每一個數(shù)都叫作自然數(shù)。自然數(shù)串的特點是：

①從1開始，1是頭；

②在相鄰的兩個數(shù)中，后一個數(shù)比前一個數(shù)大1;

③后面的數(shù)要多大有多大，也就是說，自然數(shù)串是有頭無尾的。

在自然數(shù)串中，如果寫到某一個數(shù)為止，就叫做有限自然數(shù)串，也簡稱自

然數(shù)串。

這一講的題目，都是與（有限）自然數(shù)串有關(guān)的。

例1如下頁圖所示。一份學(xué)習(xí)材料放在桌上，一陣風(fēng)把材料吹落了一地。小軍

揀起來一看，糟糕，少了兩張。根據(jù)下面揀到的材料的頁的，你能說出少了哪

幾頁嗎？

解：一張材料的正反兩面用兩個自然數(shù)作頁碼，這兩個自然數(shù)是相鄰的。仔細

觀察找到的材料的頁碼，根據(jù)自然數(shù)串的特點，可知少了的兩張紙的頁碼是

8）和（13,14）o

例2從1連續(xù)地寫到100,“0”出現(xiàn)了多少次？

解：“0”出現(xiàn)了11次。因為從1到100含有“0”的自然數(shù)是：10、20、30、

40、50、60、70,80,90、100。

數(shù)一數(shù)，這些自然數(shù)中共有11個“0

例3把1,2,3,4,5,……28,29,30這三十個數(shù)，從左往右依次排列起

來，成為一個數(shù)，你知道這個數(shù)共有多少個數(shù)字嗎？

解：把這個數(shù)寫出一部分來看看:

123456789101112131415……282930

下面，分段計算這個數(shù)共包含有多少個數(shù)字：

1至9共有9個數(shù)字；

10至19共有10個自然數(shù)，每個都由兩個數(shù)字組成，這一段共有2X10=20個

數(shù)字。20至29這一度也看10個自感數(shù)，共宥20個數(shù)字。30這個數(shù)由兩個數(shù)字組

成。所以這個數(shù)所包含的數(shù)字總數(shù)是：

9+20+20+2=51（個）。

例4小青每年都和家長一起參加植樹節(jié)勞動。七歲那年，他種了第一棵樹，以

后每年都比前一年多種一棵?，F(xiàn)在他己經(jīng)長到15歲了，連續(xù)地種了九年樹。請

你算一算，這九年中小青一共種了多少棵樹？

解：先把小青每年種幾棵樹寫出來

年齡（歲）789101112131415

種樹（棵）123456789

再把每年種樹的棵樹加起來

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（棵）。

例5如下圖所示。商店的貨架上堆放著一堆火腿腸。你能很快地算出它的總數(shù)

有多少根嗎？

解：從上向下數(shù)，每層的火腿腸的根數(shù)組成一個自然數(shù)串，1,2,3,4,5,

6,7,8,9

方法1：利用患+法求和

10-------

10-----

1+2+3r+r4l+o5+^6n+7+8I+9=45（根）

方法2：用兩串?dāng)?shù)“頭尾相加”法求和

和=1+2+3+4+5+64-7+8+9

+和=9+8+7+6+5-M+3+2+l___________________

2X和=]0+10+10+10+[0+10+10+10+1。=90

共有6個10

和=90+2=45

這種自然數(shù)串的求和方法很巧妙，很重要，希望同學(xué)們能學(xué)會它。

例6把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10,11、12、13、14、15、16填入正方

形的方格中，使每一橫行豎行、斜行的四個數(shù)相加得數(shù)都是34。

解：(1)把這16個數(shù)依次排成如下四行

1234

5678

9101112

13141516

(2)把帶箭頭的線的兩端的數(shù)互換

\23...4

5\6'"/&

9\JO'll.1'12

13"伍”論…416

（3）互換后，把16個數(shù)填到正方形的空格里你會發(fā)現(xiàn)每一橫行、豎行、

斜行的四個數(shù)相加的和都等于弘。

162313

511108

97612

414151

如果你仔細觀察的話，還可以發(fā)現(xiàn)這個圖中的奇妙的性質(zhì)：不但每一橫

行、每一豎行和每一斜行的四個數(shù)相加之和都等于34,而且

①四個角上的四個小正方形里的四個數(shù)之和都是34；

②中間的一個小正方形里的四個數(shù)之和也是弘；

③大正方形四個角上的四個數(shù)相加之和也是34。真是不可思議！人們給它

起了個有趣的名字一一幻方。見圖。

例7如果全體自然數(shù)如下表排列，請問

■A'B'C'D'E'F'G

1234567

891011121314

151617...................................

①數(shù)20在哪個字母下面？

②數(shù)27在哪個字母下面？

③數(shù)70在哪個字母下面？

④數(shù)71在哪個字母下面？

解：仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)排列的規(guī)律：開頭的七個數(shù)1,2,3,4,5,6,7分別

排在A,B,C,D,E,F,G的下面以后每加七個數(shù)就又從頭排起，如1+7=8,

1+7+7=15,貝U8和15都和1那樣，排在字母A的下面利用這個規(guī)律，就能求出哪

個數(shù)在哪個字母下面。

①20=6+7+7,

可見20和6排在同一個字母下，即在字母F下面；

②27=20+7=6+7+7+7,

可見27也是排在字母F的下面；

@70=7+7+7+7+7+7+7+7+7+7,

---------------------------------------'

10個7

可見70排在字母G下面；

?71=1+70,

可見71和1都排在字母A的下面。

第十一講不等與排序

兩個數(shù)或者相等或者不等，不等關(guān)系又分為大于和小于。排序就是把互相

不等的一些數(shù)通過比較按大小順序排列起來，或是按照一定的要求把一些東西

排列起來。

例1把下面圈里的數(shù)從大到小排起隊來。

28375964

78938016

解：容易看出，圈里的數(shù)都是兩位數(shù)，比較兩個兩位數(shù)的大小時，首先看十位

數(shù)字，十位數(shù)字大的數(shù)比十位數(shù)字小的數(shù)大，因此這些數(shù)從大到小排隊如下：

93,80,78,64,59,37,28,16。

例2把下面圈里的數(shù)從小到大排排隊，并用“<”連接起來。

4253278

28386515

解：這些數(shù)是一位數(shù)和兩位數(shù)。根據(jù)下面的原則對這些數(shù)進行比較、排隊：

(1)一位數(shù)比兩位數(shù)小，

(2)比較十位數(shù)字相同的兩個兩位數(shù)時，要看它們的個位數(shù)字，個位數(shù)

字小的那個兩位數(shù)小。排隊結(jié)果如下：

4<15<25<28<32<38<65<78

例3見下圖，把右邊大圓圈里的數(shù)分別填入左邊的小圓圈里，使圖中所示的不

等關(guān)系成立。

解：仔細觀察不等關(guān)系圖可以發(fā)現(xiàn):

①最左端的小圓圈中應(yīng)填的數(shù)都大于其他三個小圓圈中應(yīng)填的數(shù)，所以應(yīng)

填最大的數(shù)4;

②最上面的小圓圈應(yīng)填的數(shù)最小，所以應(yīng)填1,這樣其他兩個小圓圈中的

數(shù)就容易填了。見圖。

例4請把1、2、3、4、5、6,7填入右圖中的小圓圈里，使圖中的“大于”、

“小于”關(guān)系成立。

7

OO

d>>6

解：仔細觀察圖中不等關(guān)系符號的方向可知，在由小圓圈組成的三角形中：

①最上面的小圓圈中的數(shù)最小，應(yīng)填1,左下角的小圓圈中的數(shù)最大，應(yīng)

填入

②從上住下數(shù)，第二層的小圓圈中的數(shù)都大于最上面的小圓圈中的數(shù)1,

而小于第三層圓圈中的三個數(shù)，所以第二層應(yīng)填2、3、4,而第三層應(yīng)填7、

6、5；

③再考慮到第二層和第三層各層的不等號方向，填圖就可以最后完成了。

見圖。

①

△

②③

倉

>

例5老師發(fā)了數(shù)學(xué)考卷，一班（1）組的六個同學(xué)的分?jǐn)?shù)是這樣的：

①小王和小錢的分?jǐn)?shù)一樣多；

②小趙比小李的分?jǐn)?shù)多，可比小王的分?jǐn)?shù)少；

③小樂沒有小王、小趙的分?jǐn)?shù)多，但比小李的多；

④小錢的分?jǐn)?shù)比小顧的又要少一些。請給他們排排隊，并回答誰分?jǐn)?shù)最

多？誰分?jǐn)?shù)最少？

解：由①：小王二小錢

由②：小王〉小趙〉小李

由③：小王〉小趙〉小樂〉小李

由④：小顧〉小錢:小王〉小趙〉小樂〉小李

可見小顧的分?jǐn)?shù)最多，小李的分?jǐn)?shù)最少。

例6如圖。

有六間家畜欄圈，首尾接成一圓形，每個欄圈只關(guān)著一頭家畜。己知驢與

騾相隔兩個欄圈；羊的欄圈號碼比騾的欄圈號碼多；豬與驢、馬相鄰；牛在5

號欄圈。請說明驢、騾、馬、羊、豬、牛各關(guān)在幾號欄圈里。

解：見圖。

①先把牛填在5號欄圈；

②因為豬與驢、馬相鄰，所以試著把豬填在1號，而驢填在6號，馬填在2

號；

③因為羊的欄圈號比騾的欄圈號多，所以試著把騾填在3號，把羊填在4

號。

④檢查，題中要求驢和騾相隔兩個欄圈，上面填的滿足這一條件。這樣全

部己知的要求條件就都滿足了，所填無誤。

注意：此題答案不惟一，還有其他種填法也能滿足題中所要求的條件，如

圖所示。

第十二講奇與偶

整數(shù)0,1,2,3,4,5,6,7,……可以被分為兩類，一類是1,3,5,

7,9,…叫奇數(shù)；另一類是0,2,4,6,8,10…叫偶數(shù)。

一般習(xí)慣上，人們也把1,3,5,7,9…叫單數(shù)；把2,4,6,8,10…叫

雙數(shù)。

下面是有關(guān)奇數(shù)與偶數(shù)方面的趣題。

例1傍晚開電燈，小虎淘氣，一連拉了7下開關(guān)。請你說說這時燈是亮了還是

沒亮？我們還不妨接著問，拉8下呢？拉9下呢？拉10下呢？甚至拉100下呢？

你都能知道燈是亮還是不亮嗎？

解：見下表。為了回答上面這些問題，我們從簡單情況考慮起，并作出下表,

便可一目了然。

........

開關(guān)次數(shù)12345678910

燈亮嗎？亮不殼不克不亮不克不........

仔細觀察，就可以找出規(guī)律：

拉奇數(shù)次，燈亮；拉偶數(shù)次，燈不亮。

對于大的數(shù)，比如說拉100下，可知燈不亮。因為100是個偶數(shù)。

例2前十個自然數(shù)即1,2,3,……10的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？

解：方法1：先把十個數(shù)加起來，再看和數(shù)的奇偶性。

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

55是奇數(shù)，即前十個自然數(shù)之和是奇數(shù)。

方法2：不用把和求出來也可以進行判斷：

先把前十個自然數(shù)的奇偶性寫出來

12345678910

奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶

通過考察這些數(shù)相加相減的結(jié)果，不難理解：

兩個偶數(shù)的和與差，都是偶數(shù)；

兩個奇數(shù)的和與差也都是偶數(shù)；

一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的和與差，都是奇數(shù)；進一步還可以得出：

只有奇數(shù)個奇數(shù)的和或差，才是奇數(shù)。

現(xiàn)在再來數(shù)一數(shù)，前十個自然數(shù)中，一共有五個奇數(shù)，所以可以肯定它們

的和必是奇數(shù)。

例3①把10個球分成三組，要求每組球的個數(shù)都是奇數(shù)，怎樣分？

②把11個蘋果分給三個小朋友，要求每個小朋友分得偶數(shù)個蘋果，怎樣

分？

解：①不能分。因為如果三組球，每組都是奇數(shù)個球的話，總數(shù)必是奇數(shù)，而

不可能是偶數(shù)，而10個球卻是個偶數(shù)。

②不能分。因為如果每個小朋友都得到偶數(shù)個蘋果，那么三個小朋友得到

的蘋果總數(shù)也必定是個偶數(shù)。而11個蘋果是個奇數(shù)，所以無法分。

例4小華買了一支鉛筆、2塊橡皮、2個練習(xí)本，付了1元錢，售貨員找給他5分

錢。小華看了看1支鉛筆的價錢是8分，就說：“叔叔，您把賬算錯啦?！毕胍?/p>

想，小華為什么這么快就知道賬算錯了？

解：利用數(shù)的奇偶性判斷，不用計算就可知道這筆賬算錯了。因為1支鉛筆的

價錢8分是個偶數(shù)，另外，不論橡皮和練習(xí)本的價錢是多少，2塊橡皮，以及2

個練習(xí)本的錢也都是偶數(shù)，所以小華應(yīng)付的總錢數(shù)應(yīng)當(dāng)是個偶數(shù)，他付了1元

即100分，售貨員找回的錢數(shù)也應(yīng)是個偶數(shù)。但售貨員叔叔實際找給他的5分是

個奇數(shù)，所以小華說售貨員把這筆賬算錯了，可見小華并不需要計算，只是根

據(jù)奇偶性進行判斷，就知道這筆賬算錯了。

例5如下員圖所示。在10米長的一段馬路的一側(cè)種樹，每隔1米種一棵，兩頭

都種，共種了11棵。如果把三塊“愛護樹木”的小牌任意掛在三棵樹上，然后

再把每兩棵掛牌的樹之間的距離是多少米都算出來，看一看這三個距離數(shù)（即

多少米），至少有一個數(shù)是偶數(shù)，對嗎？然后把三塊小牌再掛在不同的三棵樹

上，再算算看。

卡§€

解：這三個距離數(shù)（即多少米）中，至少有一個數(shù)是偶數(shù)這話是對的。比如像

上圖那樣掛牌。

A樹和B樹之間的距離AB=3（米）（奇數(shù)）

B樹和C樹之間的距離BC=5（米）（奇數(shù)）

A樹和C樹之間的距離AC=3+5=8（米）（偶數(shù)）

這是為什么呢？可以這樣想：

假設(shè)距離AB和距離BC之中有一個為偶數(shù)，則自不待言；若AB和BC這兩個距

離都是奇數(shù)，則AB和BC之和必是偶數(shù)，因為兩個奇數(shù)之和是偶數(shù)。所以說這三

個距離中至少有一個是偶數(shù)。

第十三講是與非

例1判斷下面說法的對或錯：

（1）兩點間的直線距離最短。

（2）兩條直線相交，只有一個交點。

（3）在紙面上畫兩條直線，這兩條直線，或者相交，或者平行。

（4）三角形的兩邊之和大于第三邊。

解：Q）對（2）對（3）對⑷對。

例2判斷下列說法的對與錯：

（1）兩個數(shù)或者相等，或者不等

即：兩個數(shù)/口b,或者a=b,或者a盧b.

（2）兩個數(shù)如果第一個數(shù)大于第二個數(shù)，那么第二個數(shù)小于第一個數(shù)，

即:兩個數(shù)環(huán)口b,如果a>b,那么b<a.

（3）如果第一個數(shù)等于第二個數(shù)，第二個數(shù)等于第三個數(shù)，那么第一個

數(shù)就等于第三個數(shù)。

即：如果a=b,b=c,那么a=c

（4）如果第一個數(shù)大于笫二個數(shù)，第二個數(shù)又大于第三個數(shù)，那么第一

個數(shù)就大于笫三個數(shù)。

即：如果a〉b,b〉c,那么a〉c.

（5）如果第一個數(shù)小于第二個數(shù)，第二個數(shù)又小于第三個數(shù)，那么第一

個數(shù)就小于第三個數(shù)。

即：如果a〈b,b〈c,那么a<c.

（6）如果兩個數(shù)相等，那么它們分別加上或者減去同一個數(shù)之后，仍相

等。

即：如果a=b,那么

a+c=b+ca-c=b-c；

（7）如果兩個數(shù)相等，那么它們分別加上相等的數(shù)之后，仍相等。

即：如果a=b,而且c=d,

那么a+c=b+d.

或是寫成如下形式：

a=b

+）c=d

a-c=b-d

+）~表示兩個等式的兩邊分別相加

C8；如果兩個數(shù)相等，那么它們分別減去相等的數(shù)之后，仍柏等。

即：如果a=b,而且c=d,

那么a-c二b-d

或是寫成如下形式：

a=b

一）c=d

a-c=b-d

-）~表示兩個等式的兩邊分別相減

（9）如果兩個數(shù)不等，那么它們分別加上同一個數(shù)之后，仍不等；大數(shù)

對應(yīng)的和大于小數(shù)對應(yīng)的和

即：如果a>b,那么a+c>b+c

解：（1）對（2）對（3）對（4）對（5）對

（6）對（7）對（8）對（9）對。

例3判斷下列說法的對與錯：

（1）有一個角是直角的三角形叫直角三角形。

（2）有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形。

（3）既有一個直角，又有兩條邊相等的三角形叫直角等腰三角形或叫等

腰直角三角形。

/Az\

解：（1）對（2）對（3）對

例4判斷下列說法的對與錯

（1）四個角都是直角的四邊形叫長方形。I?

（2）四條邊長度相等的四邊形叫菱形。

（3）不但四個角都是直角，而且四條邊長度也相等的四邊形叫正方形。

解：（1）對（2）對（3）對。

例5如果第一個數(shù)大于第二個數(shù)，那么分別加上或是減去同一個數(shù)之后，差不

變。對嗎？

即a〉b,那么

a-b-（a+c）-