人教版高中數(shù)學(xué)必修一《古典概型》學(xué)案(含答案)

321古典概型(二)

【明目標(biāo)、知重點(diǎn)】

1?進(jìn)一步熟悉用列舉法寫出隨機(jī)事件所包含的基本事件及個(gè)數(shù)；

2?能從集合的角度理解古典概型的概率計(jì)算公式；

3?能應(yīng)用古典概型計(jì)算公式求復(fù)雜事件的概率.

【填要點(diǎn)、記疑點(diǎn)】

1?古典概型的適用條件

(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)：

(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相

2.古典概型的解題步驟

(1)求出總的某本事件數(shù):

⑵求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式

_人包含的基本事件的個(gè)數(shù)

P(A)=基本事件的總數(shù)-

【探要點(diǎn)、究所然】

探究點(diǎn)一與順序有關(guān)的古典概型

思考1在標(biāo)準(zhǔn)化的考試中既有單選題又有多選題，多選題是從A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中選

出所有正確答案，同學(xué)們可能有一種感覺，如果不知道正確答案，多選題更難猜對，這

是為什么？

答這是因?yàn)椴聦Φ母怕矢?，由概率公式可知，分子上的?shù)還是1，因正確答案是唯

一的，而分母上的數(shù)即基本事件的總數(shù)增多了，有(A),(B),(C),(D),(A,B),(A,

C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),(A.B,C),(A,B.D),(A,C,D),(B,

11

C,D),(A,B,C,D)共15個(gè)，所以所求概率為15<4-

例1同時(shí)擲兩個(gè)骰子，計(jì)算：

(1)一共有多少種不同的結(jié)果？

⑵其中向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種？

(3)向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率是多少？

解(1)擲一個(gè)骰子的結(jié)果有6種，我們把兩個(gè)骰子標(biāo)上記號1,2以便區(qū)分，由于1號骰

子的結(jié)果都可以與2號骰子的任意一個(gè)結(jié)果配對，我們用一個(gè)“有序?qū)崝?shù)對”來表示組

成同時(shí)擲兩個(gè)骰子的一個(gè)結(jié)果(如表)，其中第一個(gè)數(shù)表示1號骰子的結(jié)果，第二個(gè)數(shù)表

示2號骰子的結(jié)果.（可由列表法得到）

\2號骰子

123456

1號骰'

1(1,1)(1.2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)⑸3)(5,4)(5⑸(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6⑸(6,6)

由表中可知同時(shí)擲兩個(gè)骰子的結(jié)果共有36種.

(2)在上面的結(jié)果中，向上的點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果有4種，分別為(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).

A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)4_1

因此，由古典概型的概率計(jì)算公式可得P(A)二基本事件的總數(shù)36:9

⑶由于所有36種結(jié)果是等可能的，其中向上點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果(記為事件A)有4種,

思考2為什么要把兩個(gè)骰子標(biāo)上記號？如果不標(biāo)記號會出現(xiàn)什么情況？若用古典概型公

式，所求的概率是多少？

答如果不標(biāo)上記號，類似于(1,2)和(2,1)的結(jié)果將沒有區(qū)別，這時(shí)，所有可能的結(jié)果將

是

(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(414)(4,5)(4,6)(5,5)(5,

6)(6,6)共有21種，和是5的結(jié)果有2個(gè)，它們是(1,4)(2⑶，所求的概率為P(A)=

A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)_2

基本事件的總數(shù)=21

思考3在例1中所求的概率和思考2中所求的概率相同嗎？哪種求法不符合古典概型？為

什么？

答求出的概率不相同；思考2中的求法不符合古典概型；因?yàn)閮蓚€(gè)不同的骰子所拋擲

出來的點(diǎn)構(gòu)造的基本事件不是等可能事件

反思與感悟古典概型問題包含的題型較多，但都必須緊扣古典概型的定義，進(jìn)而用公

式進(jìn)行計(jì)算.列舉法是求解古典概型問題的常用方法，借助于圖表等有時(shí)更實(shí)用有效.

跟蹤訓(xùn)練1假設(shè)儲蓄卡的密碼由4個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可以是0,1,…….9十個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè).

假設(shè)一個(gè)人完全忘記了自己的儲蓄卡密碼，問他在自動取款機(jī)上隨機(jī)試一

次密碼就能取到錢的概率是多少？

解這個(gè)人隨機(jī)試一個(gè)密碼，相當(dāng)做1次隨機(jī)試驗(yàn)，試驗(yàn)的基本事件(所有可能的結(jié)果)共有10000

能取到錢”所包含的基本事件的個(gè)數(shù)

以P(“能取到錢”)=

1000010000

種,由于是假設(shè)的隨機(jī)的試密碼，相當(dāng)于試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果是等可能的.所

探究點(diǎn)二與順序無關(guān)的古典概型

例2現(xiàn)有8名奧運(yùn)會志愿者，其中志愿者A、A2、/通曉日語，Bi、B2、B3通曉俄語，

Ci'C2通曉韓語，從中選出通曉日語'俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個(gè)小組.

(1)求Ai被選中的概率；

(2)求Bi和G不全被選中的概率.

解⑴從8人中選出日語'俄語和韓語志愿者各i名，其一切可能的結(jié)果組成的基本

事件空間

Q={(Ai,Bi,Ci),(Ai,Bi,C2),(Ai,B2,Ci),(Ai,B2,C2),(Ai,B3,Ci),(Ai,

B3.C2),(A2,Bi,Ci),(A2,Bi,C2),(A2,B2,Ci),(A2,B2,C2),(A2,B3,Ci),(A2,

B3.C2),(A3,Bi,Ci),(A3,Bi,C2),(A3,B2,Ci),(A3,B2,C2),(A3,B3,Ci),(A3,

B3,C2)}有i8個(gè)基本事件組成.由于每一個(gè)基本事件被抽取的機(jī)會均等，因此這些基本事件的發(fā)生是

等可能的.

用M表示“A恰被選中”這一事件，則

M={(A,Bi.Ci),(Ai,Bi,C2),(Ai,B2,C),(Ai,B2,C2),(Ai,B3,C),(Ai,

B3.C2))

事件M有6個(gè)基本事件組成，

6i

因而P(M)=i8=i

(2)用N表示“Bi、G不全被選中”這一事件，則其對立事件~/V表示"Bi、G全被選中”

這一事件，由于"N={(A,Bi,Ci),(A2,Bi,Ci),(A3,Bi,C)}，事件”N有3個(gè)基

本事件組成，

所以P("N)=3=￡由對立事件的概率公式得

i86

i5

P(N)=i-P(N)=i-6=6.

反思與感悟在應(yīng)用古典概型概率計(jì)算公式求概率時(shí)，有些事件用文字書寫較麻煩，我

們常用一些字母或數(shù)字來表示事件，為解題帶來方便.

跟蹤訓(xùn)練2—只口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出

2只球.

(1)共有多少個(gè)基本事件？

(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？

解⑴分別記白球?yàn)閕、2、3號，黑球?yàn)?、5號，從中摸出2只球，有如下基本事件

(摸到「2號球用0,2)表示):。,2),。,3),。,4),。,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).

因此，共有iO個(gè)基本事件.

(2)上述10個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，且只有3個(gè)基本事件是摸到兩只白球(記為事

3

件A),即(1,2)、(1,3)、(2,3)，故P(A)=三.

故摸出2只球都是白球的概率為

例3有A、B、C、D四位貴賓，應(yīng)分別坐在a、b、c、d四個(gè)席位上，現(xiàn)在這四人均未留

意，在四個(gè)席位上隨便就坐時(shí)，

(1)求這四人恰好都坐在自己的席位上的概率；

(2)求這四人恰好都沒坐在自己的席位上的概率；

(3)求這四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率.

如上圖所示，本題中的等可能基本事件共有24個(gè).

(1)設(shè)事件A為“這四人恰好都坐在自己的席位則事件A只包含1個(gè)基本事件,

解將A、B、C、D四位貴賓就座情況用下面圖形表示出來：

i-E-[

1—

-0-[

(2)設(shè)事件B為“這四個(gè)人恰好都沒有坐在自己席位上“，則事件B包含9個(gè)基本事件,

所以P(B)=24；

(3)設(shè)事件C為“這四個(gè)人恰有1位坐在自己席位上，則事件C包含8個(gè)基本事件,

所以P(A)=24.

所以P（C）=24='

反思與感悟當(dāng)事件個(gè)數(shù)沒有很明顯的規(guī)律，并且涉及的基本事件又不是太多時(shí)，我們

可借助樹狀圖法直觀地將其表示出來，這是進(jìn)行列舉的常用方法.樹狀圖可以清晰準(zhǔn)確

地列出所有的基本事件，并且畫出一個(gè)樹枝之后可猜想其余的情況.

跟蹤訓(xùn)練3先后拋擲兩枚大小相同的骰子.

(1)求點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)7點(diǎn)的概率；

(2)求出現(xiàn)兩個(gè)4點(diǎn)的概率；

⑶求點(diǎn)數(shù)之和能被3整除的概率.解基本事件的總數(shù)共36種.

⑴記“點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)7點(diǎn)”為事件A,事件A包含的基本事件共6個(gè)：(6,i),(5,2),(4,3),

(3.4),(2,5),(i,6).故P(A)=36=I-

(2)記“出現(xiàn)兩個(gè)4點(diǎn)”為事件B,從圖中可以看出，事件B包含的基本事件只有i個(gè)，

i

即(4,4).故P(B)=-.

36

⑶記“點(diǎn)數(shù)之和能被3整除”為事件C,則事件C包含的基本事件共i2個(gè)：(i,2),(2,i),

皿i2i

(1-5),(5,i),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6).故P(C)&=3.

【當(dāng)堂測、查疑缺】

i.下圖是某公司iO個(gè)銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量

(單位：臺)的莖葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間［22,30)

A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6

內(nèi)的概率為

9

18

21*279

3003

解析10個(gè)數(shù)據(jù)落在區(qū)間［22,30)內(nèi)的數(shù)據(jù)有22,22,27,29共4個(gè)，因此，所求的頻率為4

K

答案B

=0.4.

故選B.

2.從甲、乙、丙三人中任選2人作代

表，則甲被選中的概率為()

11廠2

B.3C.3D.1

答案C

解析從甲、乙、丙三人中任選2人作為代表，基本事件有｛甲，乙｝,｛甲，丙｝,｛乙

2

丙｝，共三個(gè)，而甲被選中的事件包括兩個(gè)基本事件，故甲被選中的概率P=-.

3

3.從12,3,4,5這5個(gè)數(shù)字中，不放回地任取兩數(shù)，兩數(shù)都是奇數(shù)的概率是

3

答案

解析基本事件有(1,2),(牛3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),

3

共10個(gè)，而兩數(shù)都是奇數(shù)的有(1,3),(1,5),(3,5).故所求概率P=-.

4?同時(shí)擲兩枚骰子，求向上的點(diǎn)數(shù)之和恰為6這一事件的概率?點(diǎn)數(shù)和為多少時(shí)，概率最

大？并求出此概率.

為6這一事件的概率為3

36

解擲兩枚骰子得到點(diǎn)數(shù)和的情況如下表所示

第二枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)

點(diǎn)數(shù)之和

123456