廣東省茂名市2024屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省茂名市2024屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.若集合，其中且，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得，解得.故選：A.2.若，則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，所以，所以的虛部為，故選：D.3.已知直角斜邊的中點為O，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為點是直角斜邊的中點，且，所以，則為等邊三角形，，又因為是直角三角形，所以，所以，向量在向量上的投影向量為：.故選：B.4.直線，的傾斜角分別為，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗因為直線，的傾斜角分別為，，所以，若，則，若，則都不存在，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.5.如圖，在三棱柱中，分別為的中點，則下列說法錯誤的是（）A.四點共面 B.C.三線共點 D.〖答案〗D〖解析〗對于AB，如圖，連接，，因為是的中位線，所以，因為，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以四點共面，故AB正確；對于C，如圖，延長，相交于點，因為，平面，所以平面，因為，平面，所以平面，因為平面平面，所以，所以三線共點，故C正確；對于D，因為，當(dāng)時，，又，則，故D錯誤.故選：D.6.已知拋物線C：（）的焦點為F，C的準(zhǔn)線與x軸的交點為M，點P是C上一點，且點P在第一象限，設(shè)，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗過作垂直準(zhǔn)線于，如圖，在中，由正弦定理可得，即，在中，因為，所以，即，故選：A7.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a6，3a4，－a5成等差數(shù)列，則＝（）A.3 B.9C.10 D.13〖答案〗C〖解析〗設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a6，3a4，－a5成等差數(shù)列，所以6a4＝a6－a5，所以6a4＝a4(q2－q).由題意得a4>0，q>0.所以q2－q－6＝0，解得q＝3，所以＝＝1＋q2＝10.故選：C8.已知m，，，記直線與直線的交點為P，點Q是圓C：上的一點，若PQ與C相切，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗直線即直線，過定點，直線即直線，過定點，又由斜率關(guān)系可得兩直線垂直，所以交點的軌跡是以為直徑的圓，即軌跡方程為，圓心，因為Q圓C上一點，且PQ與C相切，所以問題轉(zhuǎn)化為圓上任意一點作直線與圓相切，求切線的范圍.設(shè)設(shè)圓的半徑為，因為圓的圓心，半徑為定值，當(dāng)取得最小值和最大值時，切線取得最小值和最大值，，又因為，即，即，所以，即，故選：C.二、選擇題9.已知i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是（）A.若復(fù)數(shù)，則B.若，則C.若，則D.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，若，則點的軌跡是一個橢圓〖答案〗AC〖解析〗對于A，因為，所以，故A正確；對于B，令，滿足，但，故B錯誤；對于C，設(shè)且不同時為，則，故C正確；對于D，設(shè)復(fù)數(shù)，則點，由，得，則點到點與點的距離和為，故點的軌跡是線段，故D錯誤.故選：AC10.質(zhì)地均勻的正四面體模型四個表面分別標(biāo)有四個數(shù)字，拋擲一次并記錄與地面接觸面上的數(shù)字，記事件“數(shù)字為2的倍數(shù)”為事件，“數(shù)字是5的倍數(shù)”為事件，“數(shù)字是7的倍數(shù)”為事件，則下列選項不正確的是（）A.事件、、兩兩互斥B.事件與事件對立C.D.事件、、兩兩獨立〖答案〗ABC〖解析〗依題意拋擲一次可能出現(xiàn)的結(jié)果有、、、，事件包含的基本事件有、，則；事件包含的基本事件有、，則；事件包含的基本事件有、，則；顯然事件與事件，事件與事件，事件與事件均可以同時發(fā)生，故事件與事件，事件與事件，事件與事件均不互斥，故A錯誤；事件包含的基本事件有、、，事件包含的基本事件有，當(dāng)出現(xiàn)時事件與事件均發(fā)生，故事件與事件不互斥，顯然不對立，故B錯誤；又事件包含的基本事件有，所以，所以，故C錯誤；因為事件包含的基本事件有，所以，所以與相互獨立；因為事件包含的基本事件有，所以，所以與相互獨立；因為事件包含的基本事件有，所以，所以與相互獨立；即事件、、兩兩獨立，故D正確.故選：ABC.11.已知函數(shù)的定義域為,且為偶函數(shù)，則（）A. B.為奇函數(shù)C. D.〖答案〗BCD〖解析〗令，，則有，故，即，令，則，即恒成立，故，又函數(shù)的定義域為，故為奇函數(shù)，故B正確；則，又為偶函數(shù)，故，則，故A錯誤；，故C正確；，則，故函數(shù)的周期為，，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題12.的展開式中常數(shù)項為__________．〖答案〗16〖解析〗依題意，展開式的常數(shù)項為，含的項為，所以的展開式中常數(shù)項為.故〖答案〗為：1613.在公差為正數(shù)的等差數(shù)列中，若，，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前10項和為____________.〖答案〗165〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公比為，由題意得，即，因公差大于零，解得，（舍），所以，故〖答案〗：165.14.已知拋物線：，定點，為直線上一點，過作拋物線的兩條切線，，，是切點，則面積的最小值為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)，的斜率分別為，且過點M的切線方程為，聯(lián)立，解得，所以，即，所以，設(shè)切點，由導(dǎo)數(shù)幾何意義知，所以，，所以直線，即：且，所以：，直線恒過定點，其到的距離為1，聯(lián)立得，∴，，即，∴，故〖答案〗為：.四、解答題15.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；（2）若在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.解：（1）因為，所以，定義域為，可得，令，顯然在上單調(diào)遞增且，因此當(dāng)時，則有，當(dāng)時，則，于是有當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以.（2）化簡得，即，因為在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，由，設(shè)，則有，當(dāng)時，，單調(diào)逆減，當(dāng)時，，單調(diào)逆增，所以，要想在上恒成立，只需，經(jīng)檢驗，當(dāng)符合題意，因此a的取值范圍為.16.如圖，已知四邊形為等腰梯形，為以為直徑的半圓弧上一點，平面平面，為的中點，為的中點，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：取的中點，連接，，則且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．（2）解：取的中點，連接，因為四邊形為等腰梯形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．過點作直線的垂線交于點，以為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為為直徑，所以，所以，，．在等腰梯形中，，，所以，所以，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則所以令，則，，所以．設(shè)平面的法向量為，則，?。O(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．17.設(shè)等差數(shù)列的公差為，記是數(shù)列的前項和，若，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，求證：.（1）解：由，，得，解得，由，，所以，所以或，當(dāng)時，此時；當(dāng)時，此時；綜上可得數(shù)列的通項公式為或；（2）證明：因為，所以，則，則，所以.18.2024年初，多地文旅部門用各種形式展現(xiàn)祖國大美河山，掀起了一波旅游熱潮．某地游樂園一迷宮票價為8元，游客從處進入，沿圖中實線游玩且只能向北或向東走，當(dāng)路口走向不確定時，用拋硬幣的方法選擇，硬幣正面朝上向北走，否則向東走（每次拋擲硬幣等可能出現(xiàn)正反兩個結(jié)果）直到從號出口走出，且從號出口走出，返現(xiàn)金元．（1）隨機調(diào)查了進游樂園的50名游客，統(tǒng)計出喜歡走迷宮的人數(shù)如表：

男性女性總計喜歡走迷宮121830不喜歡走迷宮13720總計252550判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為喜歡走迷宮與性別有關(guān)？附：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）走迷宮“路過路口”記為事件，從“號走出”記為事件，求和的值；（3）設(shè)每天走迷宮的游客為500人，則迷宮項目每天收入約為多少？解：（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，所以不能在犯錯誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為喜歡走迷宮與性別有關(guān).（2）依題意當(dāng)路口走向不確定時，用拋硬幣的方法選擇，所以向北與向東走的概率均為，由到路口需向北走個，向東走個路口，則不同路線有條，所以，事件表示從出發(fā)經(jīng)過路口最后從號路口走出，則，所以，表示從出發(fā)最后從號路口走出的條件下經(jīng)過路口的概率，又，，所以.（3）依題意從號出口走出，返現(xiàn)金元，所以每名游客游玩一次游樂園收入可能取值為，所以，，，，，，，所以每名游客游玩一次游樂園收入的期望為：，每天走迷宮的游客為人，則迷宮項目每天收入約為元.19.曲線的曲率是描述幾何彎曲程度的量，曲率越大，曲線的彎曲程度越大．曲線在點M處的曲率（其中表示函數(shù)在點M處的導(dǎo)數(shù)，表示導(dǎo)函數(shù)在點M處的導(dǎo)數(shù)）．在曲線上點M處的法線（過該點且垂直于該點處的切線的直線為曲線在此處的法線）指向曲線凹的一側(cè)上取一點D,使得，則稱以D為圓心，以為半徑的圓為曲線在M處的曲率圓，因為此曲率圓與曲線弧度密切程度非常好，且再沒有圓能介于此圓與曲線之間而與曲線相切，所以又稱此圓為曲線在此處的密切圓．（1）求出曲線在點處的曲率，并在曲線的圖象上找一個點E，使曲線在點E處的曲率與曲線在點處的曲率相同；（2）若要在曲線上支凹側(cè)放置圓使其能在處與曲線相切且半徑最大，求圓的方程；（3）在（2）的條件下，在圓上任取一點P，曲線上任取關(guān)于原點對稱的兩點A，B，求的最大值．解：（1）曲線在