2025屆山東青島平度第三中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2025屆山東青島平度第三中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，，，則的最小值為（）A． B． C．7 D．92．若直線(xiàn)與曲線(xiàn)有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．3．在正方體中，異面直線(xiàn)與所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°4．已知是等差數(shù)列，，其前10項(xiàng)和，則其公差A(yù)． B． C． D．5．甲箱子里裝有個(gè)白球和個(gè)紅球，乙箱子里裝有個(gè)白球和個(gè)紅球．從這兩個(gè)箱子里分別摸出一個(gè)球，設(shè)摸出的白球的個(gè)數(shù)為，摸出的紅球的個(gè)數(shù)為，則（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且6．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，將終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A． B． C． D．7．將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（）A． B． C． D．8．等差數(shù)列滿(mǎn)足，則其前10項(xiàng)之和為（）A．－9 B．－15 C．15 D．9．已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則公比q＝A．4 B．3 C．2 D．10．在中，，且，若，則（）A．2 B．1 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，若，則實(shí)數(shù)_______.12．如圖，已知，，任意點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則向量_______（用，表示向量）13．在中，角,,所對(duì)的邊分別為，，，若的面積為，且,,成等差數(shù)列，則最小值為_(kāi)_____．14．某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級(jí)，其中乙、丙兩級(jí)均屬次品，若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級(jí)品的概率為0.04，出現(xiàn)丙級(jí)品的概率為0.01，則對(duì)成品抽查一件抽得正品的概率為_(kāi)_______.15．中，，則A的取值范圍為_(kāi)_____．16．方程的解為_(kāi)_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)是.（1）求；（2）求；18．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，記M的軌跡為曲線(xiàn)C．（1）求曲線(xiàn)C的方程；（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線(xiàn)l交C于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，軸，垂足為H．連結(jié)QH并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)R．（i）設(shè)O到直線(xiàn)QH的距離為d．求d的取值范圍;（ii）求面積的最大值及此時(shí)直線(xiàn)l的方程．19．如圖，在四棱錐P‐ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．求證：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD．20．在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，為的中點(diǎn).（1）用和表示；（2）求的值.21．已知方程有兩個(gè)實(shí)根,記,求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)條件可知，，，從而得出，這樣便可得出的最小值．【詳解】；，且，；；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；；的最小值為．故選：．【點(diǎn)睛】考查基本不等式在求最值中的應(yīng)用，注意應(yīng)用基本不等式所滿(mǎn)足的條件及等號(hào)成立的條件．2、D【解析】

將本題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與半圓的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，求出的取值范圍【詳解】將曲線(xiàn)的方程化簡(jiǎn)為即表示以為圓心，以2為半徑的一個(gè)半圓，如圖所示：由圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑2，可得：解得或結(jié)合圖象可得故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化能力，在解題時(shí)運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式來(lái)計(jì)算，數(shù)形結(jié)合求出結(jié)果，本題屬于中檔題3、C【解析】

首先由可得是異面直線(xiàn)和所成角，再由為正三角形即可求解.【詳解】連接．因?yàn)闉檎襟w，所以，則是異面直線(xiàn)和所成角．又,可得為等邊三角形，則，所以異面直線(xiàn)與所成角為，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查異面直線(xiàn)所成的角，利用平行構(gòu)造三角形或平行四邊形是關(guān)鍵，考查了空間想象能力和推理能力，屬于中檔題.4、D【解析】，解得，則，故選D．5、D【解析】可取，；，，，，，故選D.6、B【解析】

先建立角和旋轉(zhuǎn)之后得所到的角之間的聯(lián)系，再根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式進(jìn)行計(jì)算可得．【詳解】設(shè)旋轉(zhuǎn)之后的角為，由題得，，，又因?yàn)?，所以得，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．7、A【解析】

先求得圖象變換后的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心，求出正確選項(xiàng).【詳解】向右平移的單位長(zhǎng)度，得到，由解得，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)中心為，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換，考查三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心的求法，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】由已知(a4＋a7)2＝9，所以a4＋a7＝±3，從而a1＋a10＝±3.所以S10＝×10＝±15.故選D.9、C【解析】

由，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合各項(xiàng)為正數(shù)求出，從而可得結(jié)果.【詳解】，，，，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列基本量運(yùn)算，意在考查靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，屬于簡(jiǎn)單題.10、A【解析】

取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)，即可得解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，在中，，且，所以，.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查求向量的數(shù)量積，涉及平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義求解，可以簡(jiǎn)化計(jì)算.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系可得，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得：，解方程即可.【詳解】因?yàn)?，所以，整理得：，解得：【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系及方程思想，屬于基礎(chǔ)題．12、【解析】

先求得，然后根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)，求得.【詳解】依題意，由于分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量減法運(yùn)算，考查三角形中位線(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題.13、4【解析】

先根據(jù),,成等差數(shù)列得到，再根據(jù)余弦定理得到滿(mǎn)足的等式關(guān)系，而由面積可得，利用基本不等式可求的最小值.【詳解】因?yàn)?,成等差數(shù)列，，故.由余弦定理可得.由基本不等式可以得到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.因?yàn)?，所以，所以即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故填4.【點(diǎn)睛】三角形中與邊有關(guān)的最值問(wèn)題，可根據(jù)題設(shè)條件找到各邊的等式關(guān)系或角的等量關(guān)系，再根據(jù)邊的關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征選用合適的基本不等式求最值，也可以利用正弦定理把與邊有關(guān)的目標(biāo)代數(shù)式轉(zhuǎn)化為與角有關(guān)的三角函數(shù)式后再求其最值.14、0.95【解析】

根據(jù)抽查一件產(chǎn)品是甲級(jí)品、乙級(jí)品、丙級(jí)品是互為互斥事件，且三個(gè)事件對(duì)立，再根據(jù)抽得正品即為抽得甲級(jí)品的概率求解.【詳解】記事件A={甲級(jí)品}，B={乙級(jí)品}，C={丙級(jí)品}因?yàn)槭录嗀，B，C互為互斥事件，且三個(gè)事件對(duì)立，所以抽得正品即為抽得甲級(jí)品的概率為故答案為：0.95【點(diǎn)睛】本題主要考查了互斥事件和對(duì)立事件概率的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由正弦定理將sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC變?yōu)?，然后用余弦定理推論可求，進(jìn)而根據(jù)余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可求得角A的取值范圍．【詳解】因?yàn)閟in2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，所以，即．所以，因?yàn)?，所以．【點(diǎn)睛】在三角形中，已知邊和角或邊、角關(guān)系，求角或邊時(shí)，注意正弦、余弦定理的運(yùn)用．條件只有角的正弦時(shí)，可用正弦定理的推論，將角化為邊．16、或【解析】

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，由此能求出結(jié)果．【詳解】方程，，或，解得或．故答案為或．【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)方程的解的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】

（1）求得點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，根據(jù)三角函數(shù)的定義求值；（2）同（1）可求出，然后用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再代入值計(jì)算．【詳解】（1）（2），為第四象限，【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，考查誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．18、(1)；(2)（i）（ii）面積最大值為，直線(xiàn)的方程為.【解析】

（1）根據(jù)題意列出方程求解即可（2）聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程，得出P、Q、H三點(diǎn)坐標(biāo)，表示出QH直線(xiàn)方程，采用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求解；利用圓的幾何關(guān)系，表示出三角形的底和高，再結(jié)合函數(shù)最值問(wèn)題進(jìn)行求解【詳解】（1）由及兩點(diǎn)距離公式，有，化簡(jiǎn)整理得，．所以曲線(xiàn)C的方程為；（2）（i）設(shè)直線(xiàn)l的方程為；將直線(xiàn)l的方程與圓C的方程聯(lián)立，消去y，得（，解得因此，，，所以直線(xiàn)QH的方程為．到直線(xiàn)QH的距離，當(dāng)時(shí)．，所以，（ii）過(guò)O作于D，則D為QR中點(diǎn)，且由（i）知，，，又由，故的面積，由，有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，且此時(shí)由（i）有，即.綜上，的面積最大值為的面積最大值為，且當(dāng)面積最大時(shí)直線(xiàn)的方程為.【點(diǎn)睛】直線(xiàn)與圓的綜合類(lèi)題型常采用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式、圓內(nèi)構(gòu)造的直角三角形，將代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題進(jìn)行有效結(jié)合，可大大降低解題難度.19、（1）詳證見(jiàn)解析；（2）詳證見(jiàn)解析.【解析】

（1）可通過(guò)連接交于，通過(guò)中位線(xiàn)證明和平行得證平面．（2）可通過(guò)正方形得證，通過(guò)平面得證，然后通過(guò)線(xiàn)面垂直得證面面垂直．【詳解】（1）證明：連交于O,因?yàn)樗倪呅问钦叫?所以,連，則是三角形的中位線(xiàn),,平面，平面所以平面.（2）因?yàn)槠矫?所以,因?yàn)槭钦叫?，所?所以平面,所以平面平面.【點(diǎn)睛】證明線(xiàn)面平行可通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)平行得證，證明面面垂直可