2025屆北京市西城外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

2025屆北京市西城外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．等比數(shù)列,…的第四項(xiàng)等于(

)A．-24 B．0 C．12 D．242．化簡(jiǎn)=（）A． B．C． D．3．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則A．140 B．70 C．154 D．774．己知某三棱錐的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．5．如圖，長(zhǎng)方體中，，，，分別過(guò)，的兩個(gè)平行截面將長(zhǎng)方體分成三個(gè)部分，其體積分別記為，，，.若，則截面的面積為（）A． B． C． D．6．給出下面四個(gè)命題：①；②；③；④.其中正確的個(gè)數(shù)為()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（）A．8 B．2 C．4 D．68．已知等差數(shù)列中，，則公差（）A． B． C．1 D．29．若且，則下列不等式成立的是()A． B． C． D．10．一個(gè)圓柱的母線長(zhǎng)為5，底面半徑為2，則圓柱的軸截面的面積是（）A．10 B．20 C．30 D．40二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知圓柱的底面圓的半徑為2，高為3，則該圓柱的側(cè)面積為________.12．空間一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是_______.13．若、是方程的兩根，則__________.14．各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知成等差數(shù)列,則數(shù)列的公比為________.15．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________.16．若，則函數(shù)的值域?yàn)開_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．本題共3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.已知數(shù)列滿足.（1）若，求的取值范圍；（2）若是公比為等比數(shù)列，，求的取值范圍；（3）若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值，以及取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列的公差.18．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將由四個(gè)直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”.已知三棱維P-ABC中，PA⊥底面ABC.(1)從三棱錐P-ABC中選擇合適的兩條棱填空_________⊥________，則該三棱錐為“鱉臑”;(2)如圖，已知AD⊥PB垂足為D,AE⊥PC，垂足為E,∠ABC=90°.(i)證明:平面ADE⊥平面PAC;(ii)作出平面ADE與平面ABC的交線l,并證明∠EAC是二面角E-l-C的平面角.(在圖中體現(xiàn)作圖過(guò)程不必寫出畫法)19．如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面，垂直于和，為棱上的點(diǎn)，，.（1）若為棱的中點(diǎn)，求證：//平面；（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（3）在第（2）問(wèn)條件下，設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成的角為，求當(dāng)取最大值時(shí)點(diǎn)的位置.20．已知0<α<π，cos（1）求tanα+（2）求sin2α+121．已知.（1）求的值；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】由x，3x+3，6x+6成等比數(shù)列得選A.考點(diǎn)：該題主要考查等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力.2、D【解析】

根據(jù)向量的加法與減法的運(yùn)算法則，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得=++==，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的加法與減法的運(yùn)算法則，其中解答中熟記向量的加法與減法的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，及等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法和等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

先找到三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體原圖，再求幾何體的體積.【詳解】由題得三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體原圖是如圖所示的三棱錐A-BCD，所以幾何體的體積為.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖找到幾何體原圖，考查三棱錐體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

解：由題意知，截面是一個(gè)矩形，并且長(zhǎng)方體的體積V=6×4×3=72，∵V1：V2：V3=1：4：1，∴V1=VAEA1-DFD1=×72=12，則12=×AE×A1A×AD，解得AE=2，在直角△AEA1中，EA1=故截面的面積是EF×EA1=46、B【解析】①；②；③；④,所以正確的為①②，選B.7、D【解析】

設(shè)點(diǎn)，根據(jù)條件知點(diǎn)均在單位圓上，由向量數(shù)量積或斜率知識(shí)，可發(fā)現(xiàn)，對(duì)目標(biāo)式子進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其幾何意義為兩點(diǎn)到直線的距離之和有關(guān).【詳解】設(shè)，，均在圓上，且，設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，點(diǎn)在圓上，設(shè)到直線的距離分別為，，，.【點(diǎn)睛】利用數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)現(xiàn)代數(shù)式的幾何意義，即構(gòu)造系數(shù)，才能看出目標(biāo)式子的幾何意義為兩點(diǎn)到直線距離之和的倍.8、C【解析】

利用通項(xiàng)得到關(guān)于公差d的方程，解方程即得解.【詳解】由題得.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)的基本量的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.9、D【解析】

利用不等式的性質(zhì)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷.【詳解】選項(xiàng)A:，符合，但不等式不成立，故本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)B:當(dāng)符合已知條件，但零沒(méi)有倒數(shù)，故不成立，故本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)C:當(dāng)時(shí)，不成立，故本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)D:因?yàn)?，所以根?jù)不等式的性質(zhì)，由能推出，故本選項(xiàng)是正確的，因此本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)，舉特例是解決這類問(wèn)題的常見(jiàn)方法.10、B【解析】分析：要求圓柱的軸截面的面積，需先知道圓柱的軸截面是什么圖形，圓柱的軸截面是矩形，由題意知該矩形的長(zhǎng)、寬分別為，根據(jù)矩形面積公式可得結(jié)果.詳解：因?yàn)閳A柱的軸截面是矩形，由題意知該矩形的長(zhǎng)是母線長(zhǎng)，寬為底面圓的直徑，所以軸截面的面積為，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查圓柱的性質(zhì)以及圓柱軸截面的面積，屬于簡(jiǎn)單題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

圓柱的側(cè)面打開是一個(gè)矩形，長(zhǎng)為底面的周長(zhǎng)，寬為圓柱的高，即，帶入數(shù)據(jù)即可．【詳解】因?yàn)閳A柱的底面圓的半徑為2，所以圓柱的底面圓的周長(zhǎng)為，則該圓柱的側(cè)面積為.【點(diǎn)睛】此題考察圓柱側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題目．12、【解析】

直接運(yùn)用空間兩點(diǎn)間距離公式求解即可.【詳解】由空間兩點(diǎn)距離公式可得：.【點(diǎn)睛】本題考查了空間兩點(diǎn)間距離公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.13、【解析】

由題意利用韋達(dá)定理求得、的值，再利用兩角差的正切公式，求得要求式子的值．【詳解】解：、是方程的兩根，，，，或，，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查韋達(dá)定理，兩角差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

根據(jù)成等差數(shù)列得到，計(jì)算得到答案.【詳解】成等差數(shù)列，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式的靈活運(yùn)用.15、【解析】

利用來(lái)求的通項(xiàng).【詳解】，化簡(jiǎn)得到，填.【點(diǎn)睛】一般地，如果知道的前項(xiàng)和，那么我們可利用求其通項(xiàng)，注意驗(yàn)證時(shí)，（與有關(guān)的解析式）的值是否為，如果是，則，如果不是，則用分段函數(shù)表示.16、【解析】

令，結(jié)合可得，本題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在的值域，求解即可.【詳解】，.令，，則，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故所求值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的值域，利用換元法是解決本題的一個(gè)方法.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）的最大值為1999，此時(shí)公差為.【解析】

（1）依題意：，又將已知代入求出x的范圍；（2）先求出通項(xiàng)：，由求出，對(duì)q分類討論求出Sn分別代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到關(guān)于q的不等式組，解不等式組求出q的范圍．（3）依題意得到關(guān)于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值時(shí)a1，a2，…ak的公差．【詳解】（1）依題意：，∴；又∴3≤x≤27，綜上可得：3≤x≤6（2）由已知得，，，∴，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立．當(dāng)1＜q≤3時(shí)，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴不等式∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0恒成立，而對(duì)于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n＝1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又當(dāng)1≤q≤2，q﹣3＜0，∴qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，∴1＜q≤2，當(dāng)時(shí)，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0∴時(shí)，不等式恒成立，∴q的取值范圍為：．（3）設(shè)a1，a2，…ak的公差為d．由，且a1＝1，得即當(dāng)n＝1時(shí)，d≤2；當(dāng)n＝2，3，…，k﹣1時(shí)，由，得d，所以d，所以1000＝k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值為1999，k＝1999時(shí)，a1，a2，…ak的公差為．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的求法；考查不等式組的解法；找好分類討論的起點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵，屬于一道難題．18、（1）BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC.（2）(i)見(jiàn)證明；(ii)見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)已知填BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC均可；（2）(i)先證明PC⊥平面ADE，再證明平面ADE⊥平面PAC;(ii)在平面PBC中，記DE∩BC，=F，連結(jié)AF，則AF為所求的l.再證明∠EAC是二面角E-l-C的平面角.【詳解】（1）BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC.（2）（i）在三棱錐P-ABC中，BC⊥AB，BC⊥PA，BC∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，又AD?平面PAB，所以BC⊥AD，又AD⊥PB,PB∩BC=B，所以AD⊥平面PBC.又PC?平面PBC，所以PC⊥AD，因?yàn)锳E⊥PC且AE∩AD=A，所以PC⊥平面ADE，因?yàn)镻C?平面PAC，所以平面ADE⊥平面PAC.（ii）在平面PBC中，記DE∩BC=F，連結(jié)AF，則AF為所求的l.因?yàn)镻C⊥平面AED，l?平面AED，所以PC⊥l，因?yàn)镻A⊥平面ABC，l?平面ABC，所以PA⊥l，又PA∩PC=P，所以l⊥平面PAC.又AE?平面PAC且AC?平面PAC，所以AE⊥l，AC⊥l.所以∠EAC就是二面角E-l-C的一個(gè)平面角.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面位置關(guān)系，面面角的作圖及證明，屬于中檔題．19、（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）即點(diǎn)N在線段CD上且【解析】

（1）取線段SC的中點(diǎn)E，連接ME，ED．可證是平行四邊形，從而有，則可得線面平行；（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立分別以AD、AB、AS所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面與平面的法向量，由法向量夾角的余弦值可得二面角的余弦值；（3）設(shè)，其中，求出，由MN與平面所成角的正弦值為與平面的法向量夾角余弦值的絕對(duì)值可求得結(jié)論．【詳解】（1）證明：取線段SC的中點(diǎn)E，連接ME，ED．在中，ME為中位線，∴且，∵且，∴且，∴四邊形AMED為平行四邊形．∴．∵平面SCD，平面SCD，∴平面SCD．（2）解：如圖所示以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立分別以AD、AB、AS所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，由條件得M為線段SB近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)．于是，即，設(shè)平面AMC的一個(gè)法向量為，則，將坐標(biāo)代入并取，得．另外易知平面SAB的一個(gè)法向量為，所以平面AMC與平面SAB所成的銳二面角的余弦為．（3）設(shè)，其中．由于，所以．所以，可知當(dāng)，即時(shí)分母有最小值，此時(shí)有最大值，此時(shí)，，即點(diǎn)N在線段CD上且．【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查求二面角與線面角．求空間角時(shí)，一般建立空間直角坐標(biāo)系，由平面法向量的夾角求得二面角，由直線的方向向量與平面法向量的夾角與線面角互余可求得線面角．20、（1）12；（2）1【解析】

（1）利用同角三角函數(shù)平方和商數(shù)關(guān)系求得tanα；利用兩角和差正切公式求得結(jié)果；（2）利用二倍角公式化簡(jiǎn)所求式子，分子分母同時(shí)除以cos2α【詳解】（1）∵0<α<π，cosα=-3∴tanα=（2）sin=【點(diǎn)睛】本題考查利用同角三角函數(shù)、兩角和差正切公式、二倍角的正余弦公式化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用求