高中數(shù)學(xué)北師大版必修五全冊學(xué)案 第課時(shí)基本不等式

§3基本不等式第1課時(shí)基本不等式知能目標(biāo)解讀1.理解基本不等式，并掌握基本不等式的幾何意義.2.掌握基本不等式成立的條件；能應(yīng)用基本不等式解決求最值、證明不等式、比較大小、求取值范圍等問題.3.在使用基本不等式過程中，要注意定理成立的條件，在解題時(shí)，常采用配湊的方法，創(chuàng)造條件應(yīng)用均值不等式.重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：理解并掌握基本不等式，借助幾何圖形說明基本不等式的意義，并用基本不等式求最值.難點(diǎn)：利用基本不等式求最值時(shí),等號成立的條件.學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)一、基本不等式1.基本不等式：如果a,b都是非負(fù)數(shù)，那么≥,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立，我們稱上述不等式為基本不等式.其中稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a,b的幾何平均數(shù)，因此，基本不等式又稱為均值不等式.2.重要不等式：如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取"＝"）.證明：a2+b2-2ab=(a-b)2,當(dāng)a≠b時(shí)，（a-b）2>0；當(dāng)a=b時(shí)，（a-b）2＝0.所以（a-b）2≥0,即a2+b2≥2ab.3.基本不等式的幾何解釋：基本不等式一種幾何解釋如下：以a+b長的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點(diǎn)C，使AC=a,CB=b.過點(diǎn)C作垂直于直徑AB的弦DD′，連結(jié)AD、DB，易證Rt△ACD∽Rt△DCB,則CD２=CA·CB,即CD=.這個(gè)圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即≥，其中，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即a=b時(shí)，等號成立.以上我們從幾何圖形中進(jìn)行了解釋，獲得了不等式≤（a≥0,b≥0）.其實(shí)質(zhì)是：在同一圓中，半徑不小于半弦，或者直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高.4.關(guān)于a2+b2≥2ab和≥（a,b>0）（1）兩個(gè)不等式：a2+b2≥2ab與≥成立的條件是不同的，前者要求a,b都是實(shí)數(shù)，后者則要求a,b都是正數(shù).如：（-3）2+（-4）2≥2×（-3）×（-4）是成立的，而≥是不成立的.注意：(1)要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)這兩個(gè)不等式成立的條件.(2)兩個(gè)不等式：a2+b2≥2ab，≥都是帶有等號的不等式.“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取‘＝’”這句話的含義是“a=b”時(shí)，a2+b2≥2ab，≥中只有等號成立，反之，若a2+b2≥2ab,≥中的等號成立時(shí),必有“a=b”，這一條件至關(guān)重要，忽略它，往往會導(dǎo)致解題的失誤.（3）兩個(gè)不等式的應(yīng)用兩個(gè)不等式的結(jié)構(gòu)都是一邊為“和式”，另一邊為“積式”，因此兩個(gè)不等式都具有將“和式”化為“積式”以及將“積式”化為“和式”的放縮功能，可證明不等式.利用等號成立的條件，可求最大、最小值.二、利用基本不等式求最大（?。┲道没静坏仁健荩谇竽承┖唵蔚淖畲螅ㄐ。┲祮栴}時(shí)，很有應(yīng)用價(jià)值.一般地：x,y都為正數(shù)時(shí)，（1）若x+y=S（和為定值），則當(dāng)x=y時(shí)，積xy取得最大值;（2）若xy=p（積為定值），則當(dāng)x=y時(shí)，和x+y取得最小值2.證明：∵x,y都為正數(shù)，∴≥(1)和式為定值S時(shí)，有≤，∴xy≤S2.上式當(dāng)“x=y”時(shí)取“＝”號，因式當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值S2；(2)積式xy為定值p時(shí)，有≥,∴x+y≥2.上式當(dāng)“x=y”時(shí)取“＝”，因此，當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2.注意：（1）在應(yīng)用均值不等式≤求最值時(shí)，需滿足三個(gè)條件：“一正、二定、三相等”.“正”是所有變量均為正數(shù)，“定”是指變量的積或和為定值，“相等”是指等號成立的條件，以上三者，缺一不可.(2)在有關(guān)證明或求最值時(shí)，不等式都可連續(xù)多次使用，但需注意的是等號成立是否矛盾，只有當(dāng)各次應(yīng)用基本不等式時(shí)"＝"號成立的條件一致時(shí)，“＝”才會取得，否則"＝"將不成立.知能自主梳理1.基本不等式如果a,b都是非負(fù)數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.此不等式稱為基本不等式，其中稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a,b的幾何平均數(shù).2.利用基本不等式求最值（1）兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有，即若a>0,b>0,且a+b=M,M為定值，則ab≤，等號當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)成立.（2）兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有，即若a>0,b>0,且ab=P,P為定值，則a+b≥,等號當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)成立.［答案］1.≥a=b2.(1)最大值(2)最小值2思路方法技巧命題方向利用基本不等式比較代數(shù)式的大?。劾?］已知0＜a＜1,0<b<1,則a+b,2,a2+b2,2ab中哪一個(gè)最大？［分析］由已知a,b均為正數(shù)，且四個(gè)式子均為基本不等式中的式子或其變形，可用基本不等式來加以解決.［解析］方法一：∵a>0,b>0,∴a+b≥2,a2+b2≥2ab,∴四個(gè)數(shù)中最大數(shù)應(yīng)為a+b或a2+b2.又∵0＜a＜1,0<b<1,∴a2+b2-(a+b)=a2-a+b2-b=a(a-1)+b(b-1)<0,∴a2+b2<a+b,∴a+b最大．方法二：令a=b=,則a+b=1,2=1,a2+b2=,2ab=2××=,再令a=,b=,a+b=+=,2=2＝，∴a+b最大.［說明］運(yùn)用基本不等式比較大小應(yīng)注意等號成立的條件.特殊值法是解決不等式的一個(gè)有效方法，但要使特殊值具有一般性.變式應(yīng)用1已知m=a+(a>2),n=22-b2(b≠0),則m、n的大小關(guān)系是（）A.m>nB.m<nC.m=nD.不確定［答案］A［解析］∵a>2,∴a-2>0,又∵m=a+=(a-2)++2≥２+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a-2=,即（a-2）2=1,又a-2>0，∴a-2=1,即a=3時(shí)取等號.∴m≥4.∵b≠0,∴b2≠0,∴2-b2<2,∴22-b2<4,即n<4，∴m>n.命題方向利用基本不等式求最值［例2］（1）若x>0，求函數(shù)f(x)=+3x的最小值；（2）若x<0，求函數(shù)f(x)=+3x的最大值.［分析］利用基本不等式求最值，必須同時(shí)滿足3個(gè)條件：①兩個(gè)正數(shù)；②其和為定值或積為定值；③等號必須成立.三個(gè)條件缺一不可.對（1），由x>0,可得>0,3x>0.又因?yàn)椤?x=36為定值，且=3x(x>0)時(shí)，x=2,即等號成立，從而可利用基本不等式求最值.對（2），由x<0，得<0,3x<0,所以->0,-3x>0,所以對(-)+(-3x)可利用基本不等式求最值.［解析］（1）因?yàn)閤>0，所以>0,3x>0,所以f(x)=+3x≥2=2=x.當(dāng)且僅當(dāng)=3x,即x=2時(shí)，等號成立.所以當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取得最小值x.（2）因?yàn)閤<0,所以-x>0,所以-f(x)=(-)+(-3x)≥2=x,所以f(x)≤-x.當(dāng)且僅當(dāng)-=-3x,即x=-2時(shí)，等號成立.所以當(dāng)x=-2時(shí)，f(x)取得最大值-x.［說明］利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，要注意體會“一正、二定、三相等”，當(dāng)兩個(gè)數(shù)均為負(fù)數(shù)時(shí)，首先將它們變?yōu)檎龜?shù)，即在前面加一個(gè)負(fù)號，再利用基本不等式求解.變式應(yīng)用2設(shè)x>0，求y=2-x-的最大值.［解析］∵x>0,∴x+≥2=4,∴y=2-(x+)≤2-4=-2.當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=2時(shí)等號成立，y取最大值-2.［例3］（1）已知x<，求函數(shù)y=4x-2+的最大值；（2）已知0<x<,求函數(shù)y=x(1-3x)的最大值.［分析］此題不容易看出積或和為定值，必須對函數(shù)解析式進(jìn)行拼湊，讓其產(chǎn)生定值.［解析］（1）因?yàn)閤<，所以4x-5<0,即5-4x>0,所以y=4x-2+=-(5-4x+)+3.因?yàn)?-4x+≥2=2,所以y≤-2+3=1,當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=,即x=1時(shí)等號成立，所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y取得最大值1.（2）因?yàn)?<x<，所以1-3x>0,所以y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤[]2=.當(dāng)且僅當(dāng)3x=1-3x,即x=時(shí)等號成立，所以當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)y取得最大值.［說明］解決本題的關(guān)鍵是拼湊.（1）中將4x-2拼湊成4x-5.(2)中將x拼湊成3x,從而可產(chǎn)生定值.（1）中是積為定值.（2）中是和為定值.變式應(yīng)用3求函數(shù)y=+x(x>3)的最小值.［解析］y=+x=+(x-3)+3,∵x>3,∴x-3>0,∴+(x-3)≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)=x-3,即x-3=1,x=4時(shí)，等號成立.∴當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)y=+x(x>3)取最小值2+3=5.命題方向利用基本不等式解決有關(guān)實(shí)際應(yīng)用問題［例4］某商品進(jìn)貨價(jià)為每件50元，據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)銷售價(jià)格每件x元（50<x≤80）時(shí)，每天銷售的件數(shù)為p=,若想每天獲得的利潤最多，則銷售價(jià)為多少元？［分析］首先據(jù)題意建立關(guān)于利潤的函數(shù)模型，利潤＝銷售件數(shù)×（銷售價(jià)格-進(jìn)貨價(jià)格）.再應(yīng)用基本不等式解決最值問題.［解析］解法一：由題意知利潤S=（x-50）·=(x-50)·=.∵x-50≥0，∴（x-50）+≥20.∴S≤＝2500，當(dāng)且僅當(dāng)（x-50）＝，即x=60或x=40（不合題意舍去）時(shí)取=.解法二：由題意知利潤S=（x-50）·令x－50＝t，x=t+50（t>0），則S===≤＝2500.當(dāng)且僅當(dāng)t=，即t=10時(shí)取等號，此時(shí)x=60.答：當(dāng)銷售價(jià)格定為60元時(shí)，每天獲得的利潤最多.［說明］1.解實(shí)際應(yīng)用問題要遵循以下幾點(diǎn)：（1）在理解題意的基礎(chǔ)上設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一定要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；（2）建立相應(yīng)的函數(shù)解析式，將實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化，抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題（純數(shù)學(xué)問題）；（3）在定義域內(nèi)（使實(shí)際問題有意義的自變量取值范圍）求出函數(shù)的最大值、最小值；（4）回到實(shí)際問題中，寫出正確答案.2.本題為分式函數(shù)模型，可將其轉(zhuǎn)化為基本不等式的形式求解.若分子次數(shù)高時(shí)，可把分子拼湊成分母的形式，用分母除開；若分母次數(shù)高時(shí)，可把分母拼湊成分子的形式，反過來相除，此外，也可以先使用換元法，再拼湊上基本不等式的形式，去求最值.變式應(yīng)用4某企業(yè)開發(fā)一種新產(chǎn)品，現(xiàn)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)，對產(chǎn)品進(jìn)行促銷，在一年內(nèi)，預(yù)計(jì)年銷量Q（萬件）與廣告費(fèi)x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系為Q＝(x>0).已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬元，每年生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需要投入32萬元，若年銷售額為“年生產(chǎn)成本的150％”與“年廣告費(fèi)的50％”之和，而當(dāng)年產(chǎn)銷量相等.(1)試將年利潤P（萬元）表示為年廣告費(fèi)x(萬元)的函數(shù)；（2）當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)年利潤最大？［解析］（1）P=(32Q+3)·150％＋x·50%-(32Q+3)-x=--+49.5(x>0)；（2）P＝-(＋)+49.5≤-2×4+49.5=41.5,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，即x=8時(shí)，P有最大值41.5萬元.答：當(dāng)年廣告費(fèi)投入8萬元時(shí)，企業(yè)年利潤最大，最大值為41.5萬元.名師辨誤做答［例5］已知a>0,b>0,且+=1,求a+b的最小值.［誤解］∵a>0,b>0∴+≥2=6,∴6≤1，∴≤，∴ab≥36.∴a+b≥2≥x.∴a+b的最小值為x.［辨析］上述解法錯(cuò)誤的原因是兩次使用均值不等式時(shí)，兩個(gè)等號成立的條件不同，即第一次等號成立的條件為+,即b=9a,x次等號成立的條件為a=b，故a+b取不到最小值x.［正解］∵a>0,b>0，+＝1，∴a+b=(+)(a+b)=1+9+≥10+2=10+2×3＝16.當(dāng)且僅當(dāng)，即b2=9a2時(shí)等號成立.解得a=4,b=x.故當(dāng)a=4,b=x時(shí)，a+b取最小值16.課堂鞏固訓(xùn)練一、選擇題1.已知ab>0，則的取值范圍是（）A.（2，+∞）B.［2，+∞)C.(4，+∞)D.［4，+∞)［答案］B［解析］∵ab>0,∴>0,>0,∴≥2=2.當(dāng)且僅當(dāng)，即a=b時(shí)，等號成立.2.不等式a2+4≥4aA.a=±2B.a=2C.a=-2D.a=4［答案］B［解析］因?yàn)閍2-4a+4=(a-2)2≥0,當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)取“＝”，所以a=2.3.如果a,b滿足0<a<b,a+b=1,則,b,2ab,a2+b2中值最大的是（）A.B.aC.2abD.a2+b2［答案］D［解析］解法一：∵0<a<b,∴1=a+b>2a,∴a<,又a2+b2≥2ab,∴最大數(shù)一定不是a和2ab,又a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab,∵1=a+b>2,∴ab<,∴1-2ab>1-=,即a2+b2>.解法二：特值檢驗(yàn)法：取a=,b=,則2ab=,a2+b2=,∵>>>,∴a2+b2最大.二、填空題4.若x>0,則x+的最小值為.［答案］2［解析］∵x>0,∴x+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=時(shí)，等號成立.5.x,y∈R,x+y=5,則3x+3y的最小值是.［答案］18［解析］3x>0,3y>0.∴3x+3y≥2=2=2·（）5＝18,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)等號成立.課后強(qiáng)化作業(yè)一、選擇題1.下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A.y=x+B.y=sinx+,x∈(0,)C.y=D.y=+［答案］D［解析］A中，不滿足正數(shù)這一條件；B中，∵x∈(0,),∴sinx∈(0,1),∴等號不成立；C中，y===+,當(dāng)=時(shí)，x2+2=1,x2=-1(不成立)；D中>0,y=+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=1時(shí)，取最小值2.2.a,b∈R+，則,，三個(gè)數(shù)的大小順序是（）A.≤≤B.≤≤C.≤≤D.≤≤［答案］C［解析］解法一：取a=2,b=8,則=5，=4，=3.2,∴選C.解法二：已知≥，又-==≥0∴≥.也可作商比較≥1.3.(x·上海理，15)若a,b∈R，且ab>0,則下列不等式中，恒成立的是（）A.a2+b2>2abB.a+b≥2C.>D.≥2［答案］D［解析］本題考查不等式的性質(zhì)、基本不等式，可用排除法逐項(xiàng)判斷.用排除法：A:a=b時(shí)不滿足；B:a<0,b<0時(shí)不滿足；C:a<0,b<0時(shí)不滿足；D:>0,>0,+≥2=2.4.設(shè)x+3y=2,則函數(shù)z=3x+27y的最小值是（）A.B.2C.3D.6［答案］D［解析］∵x+3y=2,∴x=2-3y.∴z=3x+27y=32-3y+27y＝+27y≥2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)=27y,即27y=3,∴33y=3,∴3y=1,∴y=.即x=1,y=時(shí)，z=3x+27y取最小值6.5.某工廠第一年產(chǎn)量為A,x年的增長率為a,x年的增長率為b,這兩年的平均增長率為x,則（）A.x=B.x≤C.x＞D.x≥［答案］B［解析］∵這兩年的平均增長率為x，∴A(1+x)2=A(1+a)(1+b)，∴(1+x)2=(1+a)(1+b),由題設(shè)a＞0,b＞0.∴1+x=≤=1+，∴x≤.等號在1+a=1+b即a=b時(shí)成立.6.若x>4，則函數(shù)y=x+（）A.有最大值-6B.有最小值6C.有最大值-2D.有最小值2［答案］B［解析］∵x>4,∴x-4>0,∴y=x-4++4≥2+4＝6.當(dāng)且僅當(dāng)x-4=，即x-4=1，x=5時(shí)，取等號.7.若a>b>1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),則（）A.R<P<QB.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q［答案］B［解析］由a＞b＞1,得lga＞lgb＞0，Q=(lga+lgb)＞=P，R=lg()＞lg=(lga+lgb)=Q，∴R＞Q＞P.8.設(shè)正數(shù)x,y滿足x+4y=40,則lgx+lgy的最大值是（）A.40B.10C.4D.2［答案］B［解析］∵x+4y≥2＝4,∴≤==10,當(dāng)且僅當(dāng)x=4y即x=20,y=5時(shí)取“＝”，∴xy≤100,即（xy）max=100,∴l(xiāng)gx+lgy=lg(xy)的最大值為lg100=2.二、填空題9.周長為l的矩形對角線長的最小值為.［答案］l［解析］設(shè)矩形長為a,寬為b,則a+b=,∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤2a2+2b2，∴a2+b2≥，∴對角線長≥=l.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取"＝".10.若a>0,b>0,a+b=2，則下列不等式對一切滿足條件的a,b恒成立的是（寫出所有正確命題的編號）.①ab≤1；②≤;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤≥2.［答案］①③⑤［解析］①ab≤()2=()2=1,成立.②欲證≤,即證a+b+2≤2，即2≤0,顯然不成立.③欲證a2+b2=（a+b）2-2ab≥2,即證4-2ab≥2,即ab≤1,由①知成立.④a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥3a2-ab+b2≥(a+b)2-3ab≥4-≥3abab≤,由①知，ab≤不恒成立.⑤欲證+≥2,即證≥2,即證ab≤1,由①知成立.x.(x·山東·文)已知x，y∈R+，且滿足=1，則xy的最大值為.［答案］3［解析］∵x>0,y>0,且1=≥2,∴xy≤3,當(dāng)且僅當(dāng),即x=,y=2時(shí)，等號成立.x.(x·x文，16)若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1,則x+y的最大值是［答案］［解析］題考查了均值不等式及學(xué)生靈活運(yùn)用該知識的能力.由x2+y2+xy=1可得，（x+y）2=xy+1而由均值不等式得xy≤（）2∴（x+y）2≤（）2+1整理得，（x+y）2≤1∴x+y∈［-，］∴x+y的最大值為.三、解答題13.設(shè)實(shí)數(shù)a使a2+a-2>0成立，t>0，比較logat與loga的大小.［解析］∵a2+a-2＞0,∴a＜-2或a＞1，又a＞0且a≠1,∴a＞1，∵t＞0,∴≥,∴l(xiāng)oga≥loga=logat,∴l(xiāng)ogat≤loga.14.已知a>0,b>0,a,b的等差中項(xiàng)是,且α=a+，β=b+,求α+β的最小值.［解析］因?yàn)閍,b的等差中項(xiàng)是,所以a+b=1,α+β=(a+)+(b+)=(a+b)+(+)=1+=1+,∵ab≤()2=,∴≥4,α+β≥5(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號)，故α+β的最小值為5.15.已知x>0,y>0,lgx+lgy=1,求+的最小值.［解析］方法一：由已知條件lgx+lgy=1可得：x>0,y>0,且xy=10.則+=≥=2，所以(+)min=2,方法二：由已知條件lgx+lgy=1可得：x>0,y>0,且xy=10,+≥2=2=216.(x·濟(jì)南高二檢測)要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，怎樣確定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm），能使矩形廣告面積最小？［分析］本題是一道較為典型的求最值的實(shí)際應(yīng)用題，考查了均值不等式的應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力.［解析］設(shè)矩形欄目的高為acm,寬為bcm,則ab=9000.①廣告的高為a+20,寬為2b+25,其中a>0,b>0.廣告的面積S＝(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b≥18500+2=18500+2=24500.當(dāng)且僅當(dāng)25a=40b時(shí)等號成立，此時(shí)b=a,代入①式得a=x0,從而b=75,即當(dāng)a=x0,b=75時(shí)，S取得最小值24500，故廣告的高為140cm,寬為175cm時(shí)，可使廣告的面積最小.第2課時(shí)基本不等式與最大（小）值知能目標(biāo)解讀1.進(jìn)一步鞏固基本不等式求最值時(shí)成立的條件.2.能夠運(yùn)用基本不等式解決實(shí)際應(yīng)用性問題，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)手段解決實(shí)際問題的意識與能力.重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：應(yīng)用基本不等式進(jìn)行不等式的證明與求最值.難點(diǎn)：1.不等式的綜合應(yīng)用.2.逆向不等式的運(yùn)用.學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)1.注意基本不等式的基本形式是“和的形式≥積的形式”,還要注意“反向”不等式≤.在解題中的靈活運(yùn)用.2.注意對字母輪換式的識別，從而通過某種形式的迭加或迭乘使問題獲解.3.重視化歸思想的運(yùn)用，等式與不等式之間的轉(zhuǎn)化、不等式與不等式之間的轉(zhuǎn)化、函數(shù)與不等式之間的轉(zhuǎn)化等等.要把握準(zhǔn)轉(zhuǎn)化的條件，達(dá)到化歸目的.知能自主梳理常見的不等式：1.a2+b2≥(a、b∈R).2.ab≤（）2≤(a、b∈R).3.若0<a<b,m>0,則.［答案］1.2ab2.3.>思路方法技巧命題方向不等式的證明技巧—字母輪換不等式的證法［例1］已知a、b、c是正實(shí)數(shù)求證：++≥a+b+c.［分析］由可要證的不等式兩邊是三項(xiàng)，而均值不等式只有兩項(xiàng)，故可嘗試多次使用均值不等式.［證明］∵a、b、c是正實(shí)數(shù)，∴≥2=2c(當(dāng)且僅當(dāng)＝,即a=b時(shí)，取等號);+≥2=2a(當(dāng)且僅當(dāng)=,即b=c時(shí)，取等號)；+≥2=2b(當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=c時(shí)，取等號).上面3個(gè)不等式相加得2·+2·+2·≥2a+2b+2c(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，取等號).∴++≥a+b+c.［說明］1.使用均值不等式時(shí)，一定要注意是否滿足條件，等號能否成立.2.對于證明多項(xiàng)和的不等式時(shí)，可以考慮分段應(yīng)用均值不等式或其變形，然后整體相加（乘）得結(jié)論.變式應(yīng)用1已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2+b2+c2>ab+bc+ca.［解析］∵a2+b2>2ab，b2+c2>2bc，c2+a2>2ca，以上三式相加得：2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ca，∴a2+b2+c2>ab+bc+ca.命題方向利用均值不等式證明不等式［例2］已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.求證：≥9.［解析］解法一：∵a>0,b>0,c>0,∴==3+=3+()+()+()≥3+2+2+2＝9.即≥9（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號）.解法二：∵a>0,b>0,c>0,∴＝（a+b+c）()=1+=3+()+()+()≥3+2+2+2＝9.∴≥9（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號）.［說明］含條件的不等式證明問題，要將條件與結(jié)論結(jié)合起來，尋找出變形的思路，構(gòu)造出均值不等式，在條件“a+b+c=1”下，1的代換一般有上面兩種情況，切忌兩次使用均值不等式，用傳遞性證明，有時(shí)等號不能同時(shí)取到.變式應(yīng)用2已知a、b、c為正數(shù)，求證:++≥3.［解析］左邊＝=－３.∵a,b,c為正數(shù)，∴≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“＝”）；≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取“＝”）；≥2（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取“＝”）.從而()+()+()≥6（當(dāng)且僅當(dāng)a=b＝c時(shí)取等號）.∴-3≥3.即++≥3.探索延拓創(chuàng)新命題方向利用基本不等式求范圍［例3］當(dāng)x>0時(shí)，求f(x)=的值域.［分析］此題從形式上看，不能使用算術(shù)平均值與幾何平均值定理，但通過變形之后，f(x)=在分母上可以使用基本不等式.［解析］∵x>0,∴f(x)==.∵x+≥2,∴0<≤.∴0<f(x)≤1.當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”號.所以函數(shù)f(x)＝的值域?yàn)?0,1］.［說明］本題中若沒有x>0的限制，僅有x∈R，那么應(yīng)如下求解.當(dāng)x>0時(shí)，同上.當(dāng)x<0時(shí)，x+≤-2，∴-≤<0.∴-1≤f(x)<0.當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=0.∴-1≤f(x)≤1.∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?1，1］.變式應(yīng)用3設(shè)a＞b＞c,且≥恒成立，求m的取值范圍.［解析］由a＞b＞c知：a-b＞0,b-c＞0,a-c＞0.因此，不等式等價(jià)于≥m,要使原不等式恒成立，只需的最小值不小于m即可.∵==2+≥2+2=4.當(dāng)且僅當(dāng)，即2b=a+c時(shí)，等號成立.∴m≤4,即m∈(-∞,4］.名師辨誤做答［例4］已知0<x<1,求函數(shù)f(x)=3+lgx+的最值.［誤解］f(x)=3+lgx+≥3+2＝3+2×2＝7，∴f(x)min=7.［辨析］∵0<x<1,∴l(xiāng)gx<0,<0,不滿足“各項(xiàng)必須全為正數(shù)”這一前提條件，不能直接應(yīng)用基本不等式.［正解］∵0<x<1,∴l(xiāng)gx<0,<0,∴-lgx>0,->0,∴(-lgx)+(-)≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)-lgx=-,即lgx=-2,x=時(shí)，取等號.∴l(xiāng)gx+≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3+（-4）＝－1.∴f(x)有最大值-1.課堂鞏固訓(xùn)練一、選擇題1.若b>a>0,則下列不等式中一定成立的是（）A.a>>>bB.b>>>aC.b>>>aD.b>a>>［答案］C［解析］∵b>a>0,顯然有b>,>a,由均值不等式有>,故選C.2.已知a≥0，b≥0，且a+b=2,則（）A.ab≤B.ab≥C.a2+b2≥2D.a2+b2≤2［答案］C［解析］由a+b=2,得ab≤（）2=1,排除A、B；又≥（）2,∴a2+b2≥2.故選C.3.用長度為24米的材料圍成一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為（）A.3米B.4米C.6米D.x米［答案］A［解析］解法一：設(shè)隔墻的長度為xm,則矩形的寬為xm,長為=（x-2x）m,矩形的面積為S=（x-2x）x=-2x2+xx=-2(x-3)2+18,∴當(dāng)x=3時(shí)，S取最大值,故選A.解法二：(接解法一)S＝（x-2x）·x=2(6-x)·x≤2·=18當(dāng)且僅當(dāng)6-x=x即x=3時(shí)取“＝”.故選A.二、填空題4.若x>0，則3＋3x+的最小值為.［答案］9［解析］∵x>0,∴3+3x+≥3+2=3+2×3＝9.當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，取等號.5.設(shè)x,y∈R，且x+y=3，則2x+2y的最小值為.［答案］4［解析］∵x+y=3,∴y=3-x,∴2x+2y=2x+23-x=2x+≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)2x=,即2x=2,∴x=,y=時(shí)，等號成立.三、解答題6.設(shè)a≥0，b≥0，a2+=1,求a的最大值.［解析］∵a2+=1,∴a2+=,a=·a·≤·.∴當(dāng)a2+=1且a=,即a=,b=時(shí)，a的最大值為.課后強(qiáng)化作業(yè)一、選擇題1.設(shè)a＞0,b＞0，若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則的最小值為（）A.8B.4C.1D.［答案］B［解析］由已知，得3a·3b=3,∴3a+b=3,∴a+b＝1.∵a>0,b>0,∴=()(a+b)=2+≥2+＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號成立.2.若x＞0,y＞0,且x+y≤4,則下列不等式中恒成立的是（）A.≤B.+≥1C.≥2D.≥1［答案］B［解析］取x=1,y=2滿足x+y≤4排除A、C、D選B.具體比較如下：∵0<x+y≤4,∴≥故A不對；∵4≥x+y≥2，∴≤2,∴C不對;又0＜xy≤4,∴≥∴D不對;+=≥，∵≥，∴+≥1.3.設(shè)函數(shù)f（x）=2x+-1（x<0），則f（x）（）A.有最大值B.有最小值C.是增函數(shù)D.是減函數(shù)［答案］A［解析］令2x=，由x<0得x=-，∴在x=-兩側(cè)，函數(shù)f（x）的單調(diào)性不同，排除C、D.f（x）=2x+-1=-（-2x-）-1≤-2-1=-2-1，等號在x=-時(shí)成立，排除B.4.(x·x文，7)若函數(shù)f(x)=x+(x>2)在x=a處取最小值,則a=（）A.1+B.1+C.3D.4［答案］C［解析］該題考查均值不等式求最值，注意“一正二定三相等”屬基礎(chǔ)題.f(x)=x+(x>2)=x-2++2≥2+2=4.當(dāng)且僅當(dāng)x-2=即(x-2)2=1,∵x>2,∴x-2>0,∴x-2=1,即a=3.5.設(shè)x>0,y>0,且xy-(x+y)=1,則（）A.x+y≥2(+1）B.xy≤+1C.x+y≤(+1）2D.xy≥2(+1）［答案］A［解析］∵x>0,y>0,∴xy=x+y+1≤（）2,∴(x+y)2-4(x+y)-4≥0，∴x+y≥2+2.故選A.6.若x∈R，則下列不等式成立的是（）A.lg(x2+1)≥lg2xB.x2+1>2xC.<1D.2x≤［答案］D［解析］A中，x≤0時(shí)，不等式不成立；B中x=1時(shí)，不等式不成立；C中x=0時(shí)，不等式不成立，故選D.7.某汽車運(yùn)輸公司購買一批豪華大客車投入營運(yùn)，據(jù)市場分析每輛車營運(yùn)的總利潤y(單位：10萬元)與營運(yùn)年數(shù)x(x∈N+)為二次函數(shù)關(guān)系（如圖所示），則每輛客車營運(yùn)年，其營運(yùn)的年利潤最大.A.3B.4C.5D.6［答案］C［解析］由圖像知，y=-(x-6)2+x,∴年平均利潤為＝=x-(x+)≤x-10＝2.當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=5時(shí)取等號.∴每輛客車營運(yùn)5年，其營運(yùn)的年利潤最大.8.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則的最小值是（）A.0B.1C.2D.4［答案］D［解析］因?yàn)閤,a,b，y成等差數(shù)列，所以a+b=x+y.因?yàn)閤,c,d,y成等比數(shù)列，所以cd=xy,所以===+2.因?yàn)閤>0,y>0,所以+2≥+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號成立.二、填空題9.(x·天津文，x)已知log2a+log2b≥1,則3a+9b的最小值為［答案］18［解析］本題考查利用均值不等式求最值的問題，解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)條件靈活變形，構(gòu)造定值.∵log2a+log2b≥1∴l(xiāng)og2ab≥1,ab≥2.∴a·2b≥4,∴a+2b≥2≥4（當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=2時(shí)取“=”）3a+9b=3a+32b≥2=2≥2=18.（當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=2時(shí)取“=”）10.函數(shù)y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的圖像恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中mn>0,則+的最小值為.［答案］8［解析］函數(shù)y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的圖像恒過點(diǎn)A(-2,-1),則有2m+n-1=0,即2m+n=1.又∵mn>0,∴+=(+)·（2m+n）=4+()≥4+4=8,當(dāng)且僅當(dāng)2m=n時(shí)等號成立.x.已知a、b為實(shí)常數(shù)，函數(shù)y=(x-a)2+(x-b)2的最小值為.［答案］(a-b)2［解析］從函數(shù)解析式的特點(diǎn)看，本題可化為關(guān)于x的二次函數(shù)，再通過配方求其最小值（留給讀者完成）.但若注意到（x-a）+(b-x)為定值，則用變形不等式≥()2更簡捷.∴y=(x-a)2+(x-b)2≥2［］2=.當(dāng)且僅當(dāng)x-a=b-x,即x=時(shí)，上式等號成立.∴當(dāng)x=,ymin=.x.將一根鐵絲切割成三段做一個(gè)面積為2m2、形狀為直角三角形的框架，在下列四種長度的鐵絲中，選用最合理（夠用且浪費(fèi)最少）的是.①6.5m②6.8m③7m④7.2m［答案］③［解析］設(shè)兩直角邊分別為a,b，直角三角形的框架的周長為l,則ab=2,∴ab=4,l=a+b+≥2+=4+2≈6.828(m).∵夠用且浪費(fèi)最少，∴應(yīng)選擇③.三、解答題13.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求證：≥4.［解析］=＝≥2+2＝4（當(dāng)且僅當(dāng)a=b且c=d時(shí)，取“＝”）.14.已知正常數(shù)a、b和正實(shí)數(shù)x、y，滿足a+b=10，=1,x+y的最小值為18，求a,b的值.［解析］x+y=(x+y)·1=(x+y)·()=a+b+≥a+b+2=()2，等號在即時(shí)成立，∴x+y的最小值為（）2=18，又a+b=10,∴ab=16.∴a,b是方程x2-10x+16=0的兩根，∴a=2,b=8或a=8,b=2.15.已知a>b>0,求a2+的最小值.［解析］∵a>b>0,∴a-b>0.∴b(a-b)≤()2=,當(dāng)且僅當(dāng)a-b=b,即a=2b時(shí)，等號成立.∴y=a2+≥a2+≥2=16,當(dāng)且僅當(dāng)a2=,即a=2時(shí)，等號成立.故當(dāng)a=2,b=時(shí)，a2+有最小值16.16.(x·鄭州模擬)某漁業(yè)公司今年初用98萬元購進(jìn)一艘魚船用于捕撈，第一年需要各種費(fèi)用x萬元.從x年起包括維修費(fèi)在內(nèi)每年所需費(fèi)用比上一年增加4萬元.該船每年捕撈總收入50萬元.(1)問捕撈幾年后總盈利最大，最大是多少？（2）問捕撈幾年后的平均利潤最大，最大是多少？［分析］設(shè)出變量→列函數(shù)關(guān)系式→利用函數(shù)求最大值→求平均利潤→利用均值不等式求值→結(jié)論［解析］（1）設(shè)船捕撈n年后的總盈利y萬元.則y=50n-98-［x×n+×4］＝－2n2+40n-98=-2(n-10)2+102∴捕撈10年后總盈利最大，最大是102萬元.(2)年平均利潤為=-2(n+-20)≤-2(2)=x當(dāng)且僅當(dāng)n=,即n=7時(shí)上式取等號.所以，捕撈7年后的平均利潤最大，最大是x萬元.§4簡單線性規(guī)劃第1課時(shí)二元一次不等式（組）與平面區(qū)域知能目標(biāo)解讀1.明確二元一次不等式及二元一次不等式組的概念.2.理解二元一次不等式的解集的幾何意義是平面內(nèi)一個(gè)區(qū)域.3.掌握二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域的畫法，特別是邊界為實(shí)線還是虛線的確定.4.能解決與平面區(qū)域有關(guān)的一些問題，如平面區(qū)域的面積、整點(diǎn)個(gè)數(shù)等問題.5.能從實(shí)際情境中抽象出二元不等式（組），并會用平面區(qū)域表示此不等式組.重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：從實(shí)際問題中抽象出二元一次不等式.探索二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域及其畫圖.難點(diǎn)：怎樣確定不等式Ax+By+C＞0（或＜0）表示直線Ax+By+C=0的哪一側(cè)區(qū)域.學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)1.二元一次不等式（組）的解集二元一次不等式（組）的解集是指滿足此二元一次不等式（組）的變量x和y的取值所構(gòu)成的有序數(shù)對（x，y）的集合.有序數(shù)對可以看成直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo).于是，二元一次不等式（組）的解集就可以看成直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的集合.這種對應(yīng)思想，為我們下面用平面區(qū)域表示二元一次不等式做好理論上的鋪墊.2.二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域通過上面的分析，用有序數(shù)對表示二元一次不等式（組）的解集，就構(gòu)成二元一次不等式（組）與直角坐標(biāo)平面內(nèi)某個(gè)平面區(qū)域的一一對應(yīng)關(guān)系.我們知道，坐標(biāo)平面內(nèi)的一條直線Ax+By+C=0把整個(gè)平面分成三部分，即直線兩側(cè)的點(diǎn)集及直線上的點(diǎn)集，它們構(gòu)成不同的平面區(qū)域.把平面內(nèi)的任一點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）代入三項(xiàng)式Ax+By+C，得到一個(gè)實(shí)數(shù)，或大于0，或等于0，或小于0.在直線Ax+By+C=0上的點(diǎn)，使Ax+By+C的值都為0；在直線同側(cè)的點(diǎn)使Ax+By+C的符號都相同.根據(jù)這一點(diǎn)，我們可以用Ax+By+C＞0或Ax+By+C＜0判斷代表直線的哪一側(cè).其方法是：在直線的一側(cè)任取一點(diǎn)（x0,y0），若Ax0+By0+C＜0,則Ax+By+C＜0表示這點(diǎn)所在的一側(cè)；若Ax0+By0+C＞0，則Ax+By+C＜0表示這點(diǎn)所在直線的一側(cè)的相反一側(cè).如果C≠0，我們一般取原點(diǎn)（0，0）作為測試點(diǎn).簡稱為直線定界，特殊點(diǎn)定域.一般地，（1）y=kx+b表示的直線將平面分成兩部分，即y＞kx+b表示直線上方的半平面區(qū)域，y＜kx+b表示直線下方的半平面區(qū)域，而直線y=kx+b是這兩個(gè)區(qū)域的分界線.（2）對于Ax+By+C＞0（或＜0）表示的平面區(qū)域可以這樣來確定：不等式（A＞0）區(qū)域：在直線Ax+By+C=0B>0B<0Ax+By+C＞0右上方右下方Ax+By+C＜0左下方左上方當(dāng)x的系數(shù)小于0時(shí)，可通過不等式兩邊乘以-1的方法轉(zhuǎn)化成上述情況.當(dāng)A或B為0時(shí)，可通過不等式直接確定，對于區(qū)域的確定要靈活，如果給定點(diǎn)P（x0，y0），和直線Ax+By+C=0（B≠0）判斷點(diǎn)P在直線哪一側(cè)時(shí)，設(shè)d=B·（Ax0+By0+C），則d＞0P在直線上方，d=0P在直線上，d＜0P在直線下方.3.本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵就是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.抓住直線定界、特殊點(diǎn)定域，突破點(diǎn)在直線哪一側(cè)的問題.并熟練地用集合語言對有關(guān)問題加以描述.知能自主梳理1.二元一次不等式（組）的概念二元一次不等式是指含有 未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為 的不等式.二元一次不等式組是指由幾個(gè)總共含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為1的不等式構(gòu)成的不等式組.2.二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域一般地，直線l:ax+by+c=0把直角坐標(biāo)平面分為三部分：（1）直線l上的點(diǎn)（x,y）的坐標(biāo)滿足ax+by+c=0;（2）直線l一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)的坐標(biāo)滿足ax+by+c>0.（3）直線l另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）的坐標(biāo)滿足ax+by+c<0.所以，只需在直線l的某一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)，任取一特殊點(diǎn) ,從 值的正負(fù)，即可判斷不等式表示的平面區(qū)域.在這里，直線l:ax+by+c=0叫做這兩個(gè)平面區(qū)域的邊界.一般地，把直線l:ax+by+c=0畫成 ，表示平面區(qū)域包括這一條邊界直線；若把直線l:ax+by+c=0畫成 ，則表示平面區(qū)域不包括這一條邊界直線.3.直線兩側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件直線l:ax+by+c=0把坐標(biāo)平面內(nèi)不在直線l上的點(diǎn)分為兩部分，直線l的同一側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)使式子ax+by+c的值具有 的符號，并且兩側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)使ax+by+c的值的符號 ，一側(cè)都 ，另一側(cè)都 .4.二元一次不等式表示區(qū)域的確定在直線l的某一側(cè)任取一點(diǎn)，檢測其坐標(biāo)是否滿足二元一次不等式，如果滿足，則該點(diǎn) 區(qū)域就是所求的區(qū)域；否則l的另一側(cè)就是所求的區(qū)域.如果直線不過 ，則用 的坐標(biāo)來進(jìn)行判斷，比較方便.［答案］1.兩個(gè)12.（x0,y0）ax0+by0+c實(shí)線虛線3.相同相反大于0小于04.任取滿足所在的這一側(cè)另一側(cè)原點(diǎn)原點(diǎn)思路方法技巧命題方向二元一次不等式表示的平面區(qū)域［例1］畫出下列不等式表示的平面區(qū)域.（1）2x+y-10<0;（2）y≤-2x+3.［分析］對于（1），先畫出直線2x+y-10=0(用虛線表示)，再取坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）代入檢驗(yàn)，從而判斷出2x+y-10<0表示的平面區(qū)域.對于（2），先把y≤-2x+3變形為2x+y-3≤0的形式，再畫出直線2x+y-3=0（用實(shí)線表示），取原點(diǎn)（0,0）代入檢驗(yàn)，從而判斷出2x+y-3≤0表示的平面區(qū)域.［解析］（1）先畫出直線2x+y-10=0（畫成虛線）,取點(diǎn)（0,0），代入2x+y-10，得2×0+0-10=-10<0,∴2x+y-10<0表示的平面區(qū)域是直線2x+y-10=0的左下方的平面區(qū)域，如圖（1）所示.(2)將y≤-2x+3變形為2x+y-3≤0.先畫出直線2x+y-3=0（畫成實(shí)線）.取點(diǎn)（0,0），代入2x+y-3，得2×0+0-3=-3<0，∴2x+y-3≤0表示的平面區(qū)域是直線2x+y-3=0以及其左下方的平面區(qū)域,如圖（2）所示.［說明］畫二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的一般步驟為：①“直線定界”，即畫出邊界Ax+By+C=0，要注意是虛線還是實(shí)線；②“特殊點(diǎn)定域”，取某個(gè)特殊點(diǎn)（x0,y0）作為測試點(diǎn)，由Ax0+By0+C的符號確定出所求不等式表示的平面區(qū)域.當(dāng)C≠0時(shí)，通常取原點(diǎn)(0,0)作為測試點(diǎn).變式應(yīng)用1畫出不等式x+2y-4＜0表示的平面區(qū)域.［解析］先畫直線x+2y-4=0(畫成虛線）.把原點(diǎn)（0,0)的坐標(biāo)代入x+2y-4，則0+2×0-4=-4＜0，所以原點(diǎn)在x+2y-4＜0表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以不等式x+2y-4＜0表示的區(qū)域如圖所示中的陰影部分.命題方向二元一次不等式組表示的平面區(qū)域x-y+5≥0［例2］畫出不等式組x+y≥0,表示的平面區(qū)域.x≤3［分析］不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.［解析］不等式x-y+5≥0表示直線x-y+5=0及其右下方的平面區(qū)域，x+y≥0表示直線x+y=0及其右上方的平面區(qū)域，x≤3表示直線x=3及其左側(cè)的平面區(qū)域，所以不等式組x-y+5≥0x+y≥0，表示的平面區(qū)域如圖所示.x≤3［說明］畫不等式組表示的平面區(qū)域時(shí)，只需作出每一個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域，再求出它們的公共部分即可.x<3變式應(yīng)用2畫出不等式組2y≥x,表示的平面區(qū)域.3x+2y≥63y<x+9［解析］不等式x<3表示直線x=3左側(cè)的平面區(qū)域.不等式2y≥x,即x-2y≤0表示直線x-2y=0及其左上方的平面區(qū)域.不等式3x+2y≥6，即3x+2y-6≥0表示直線3x+2y-6=0及其右上方的平面區(qū)域.不等式3y<x+9表示直線x-3y+9=0右下方的平面區(qū)域.所以原不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.命題方向求平面區(qū)域的面積x-y+6≥0［例3］x+y≥0，所表示的平面區(qū)域，并求出平面區(qū)域的面積.x≤3［分析］先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，再求其面積.［解析］先畫出直線x-y+6=0（畫成實(shí)線），不等式x-y+6≥0表示直線x-y+6=0及其右下方的平面區(qū)域.畫出直線x+y=0(畫成實(shí)線)，不等式x+y≥0表示直線x+y=0及其右上方的平面區(qū)域.畫出直線x=3（畫成實(shí)線），不等式x≤3表示直線x=3及其左側(cè)的平面區(qū)域.所以原不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示.因此其區(qū)域面積即為△ABC的面積.由于直線x-y+6=0與直線x+y=0垂直，所以△ABC為直角三角形.x=3由,得B(3,-3).x+y=0x=3由得C(3,9).x-y+6=0x+y=0由得A(-3,3).x-y+6=0所以|AB|=6,|AC|=6,所以S△ABC=|AB|·|AC|=×6×6=36,所以原不等式組表示的平面區(qū)域的面積為36.［說明］解本題時(shí)注意到：AB⊥AC，聯(lián)立方程組解得A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)，經(jīng)計(jì)算求得△ABC為等腰直角三角形，從而其面積可求.變式應(yīng)用3求由不等式y(tǒng)≤2及|x|≤y≤|x|+1所表示的平面區(qū)域的面積.［解析］可將兩個(gè)原不等式轉(zhuǎn)化成如下兩個(gè)不等式組:x≥0,x<0,①y≥x,或②y≥-x,y≤x＋1,y≤-x+1,y≤2,y≤2.上述兩個(gè)不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示,它所圍成的面積為S=×4×2-×2×1=3.命題方向求范圍問題［例4］已知D是以點(diǎn)A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域（包括邊界與內(nèi)部），如圖所示.（1）寫出表示區(qū)域D的不等式組；（2）若點(diǎn)B(-1,-6),C（-3,2）在直線4x-3y-a=0的異側(cè)，求a的取值范圍.［分析］由二元一次不等式組所表示的區(qū)域?qū)懗鱿鄳?yīng)的不等式組，這本身就是一種創(chuàng)新，其求解過程與畫出二元一次不等式組的過程正好互逆.另外，在第（2）問中由B,C兩點(diǎn)位于直線4x-3y-a=0的異側(cè)，可知將B,C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入代數(shù)式4x-3y-a所得的值的符號正好相反.［解析］（1）由A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)，得直線AB,AC,BC的方程分別為7x-5y-23=0,x+7y-x=0,4x+y+10=0.原點(diǎn)（0,0）在區(qū)域D內(nèi)，所以表示區(qū)域D的不等式組為7x-5y-23≤0x+7y-x≤0.4x+y+10≥0（2）將B,C的坐標(biāo)分別代入4x-3y-a,得4×(-1)-3×(-6)-a=14-a,4×(-3)-3×2-a=-18-a.由題意，知(14-a)(-18-a)<0,解得a的取值范圍是-18<a<14.［說明］點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直線Ax+By+C=0同側(cè)的充要條件是Ax1+By1+C與Ax2+By2+C同號；在異側(cè)的充要條件是Ax1+By1+C與Ax2+By2+C異號.變式應(yīng)用4若點(diǎn)（3,1）和（4,-6）在直線3x-2y+a=0的兩側(cè)，則a的取值范圍是（）A.(－24,7) B.(7,24) C.(-7,24) D.(-24,-7)［答案］D［解析］把點(diǎn)(3,1)和（4,-6）分別代入3x-2y+a得7+a，24+a,由題意得(7+a)(24+a)<0.∴-24<a<-7.探索延拓創(chuàng)新命題方向二元一次不等式組表示實(shí)際問題［例5］某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，需經(jīng)過制造和裝配兩個(gè)車間.已知制造車間生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品需4小時(shí),生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品需3小時(shí),總有效工時(shí)為480小時(shí);裝配車間生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品需2小時(shí),生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品需5小時(shí),總有效工時(shí)為500小時(shí).若工廠安排生產(chǎn)x件甲產(chǎn)品，y件乙產(chǎn)品，試列出x,y滿足的關(guān)系，并畫出圖形.［分析］將已知數(shù)據(jù)列成下表：加工時(shí)間(小時(shí)/件)總有效工時(shí)(小時(shí))甲乙車間制造43480裝配25500［解析］依題意，可列出下面的條件：4x+3y≤4802x+5y≤500，x,y∈N+可行域?yàn)槿鐖D所示陰影部分（不含坐標(biāo)軸）內(nèi)的整點(diǎn).［說明］用二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域來表示實(shí)際問題時(shí)，可先根據(jù)問題的需要選取起關(guān)鍵作用的關(guān)聯(lián)較多的兩個(gè)量用字母表示，進(jìn)而問題中所有的量都用這兩個(gè)字母表示出來，再由實(shí)際問題中有關(guān)的限制條件或由問題中所有量的實(shí)際意義寫出所有的不等式，再把由這些不等式所組成的不等式組用平面區(qū)域表示出來即可.變式應(yīng)用5某家具廠計(jì)劃每天生產(chǎn)桌椅的數(shù)量各不少于x，已知生產(chǎn)一張桌子需用木材0.3方，生產(chǎn)一把椅子需要用木材0.2方，每個(gè)工人每天能生產(chǎn)一張桌子或2把椅子，木材每天供應(yīng)量為x方，工人人數(shù)最多時(shí)為30人，請你用圖形表示每天生產(chǎn)的桌椅數(shù)量的取值范圍.［分析］設(shè)出桌椅數(shù)量x、y,把x、y的限制條件列成不等式組，把不等式組表示的區(qū)域畫出就是所要求的每天生產(chǎn)桌椅數(shù)量的取值范圍.［解析］設(shè)每天生產(chǎn)桌子x張，椅子y把，由題意得x≥x，y≥x，0.3x+0.2y≤x，x+≤30，x,y∈N,由不等式組畫出區(qū)域如圖陰影部分.(x,y)的取值范圍即圖中陰影部分的整點(diǎn).名師辨誤做答［例6］畫出二元一次不等式2y-5x-10>0表示的區(qū)域.［誤解］作出直線2y-5x-10＝0,即5x-2y+10=0.將（0，0）代入5x-2y+10可得5×0-2×0+10>0,∴所示區(qū)域?yàn)楹校?，0）的一側(cè)，如圖所示.［辨析］取特殊點(diǎn)檢驗(yàn)時(shí)，應(yīng)代入原式（2y-5x-10），而不能代入變形后的（5x-2y+10）進(jìn)行檢驗(yàn).［正解］設(shè)F(x,y)=2y-5x-10,作出直線2y-5x-10=0.∵F(0,0)=2×0-5×0-10＝-10<0，∴所求區(qū)域?yàn)椴缓?，0）的一側(cè)，如圖所示.課堂鞏固訓(xùn)練一、選擇題1.不在3x+2y＜6表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是（）A.（0,0） B.（1,1） C.（0,2） D.（2,0）［答案］D［解析］只有（2，0）點(diǎn)不滿足3x+2y＜6.y＜x2.不等式組x+y≤1表示的區(qū)域?yàn)镈，點(diǎn)P1（0，-2）,點(diǎn)P2（0，0），則（）y≥3A.P1D，P2DB.P1D，P2∈DC.P1∈D,P2DD.P1∈D,P2∈D［答案］A［解析］P1點(diǎn)不滿足y≥3，P2點(diǎn)不滿足y＜x,∴選A.3.表示圖中陰影部分的區(qū)域的二元一次不等式組為（）x+y-1≥0x+y-1≤0A.B.x-2y+2≥0x-2y+2≤0x+y-1≥0x+y-1≤0C.D.x-2y+2≤0x-2y+2≥0［答案］A［解析］取原點(diǎn)0（0，0）檢驗(yàn)滿足x+y-1≤0，故異側(cè)點(diǎn)應(yīng)為x+y-1≥0排除B、D,O點(diǎn)滿足x-2y+2≥0，排除C.二、填空題4.已知集合A={（x,y）||x|+|y|≤1},B={（x,y）|y2-x2≤0}，M=A∩B，則集合M所表示的平面區(qū)域的面積等于 .［答案］1［解析］如圖，A表示的區(qū)域?yàn)闄M條陰影部分，B表示的區(qū)域?yàn)樨Q條陰影部分，M=A∩B為陰影重疊部分，其面積為2×()2=1.5.點(diǎn)（1，2）和點(diǎn)（-1，3）在直線2x+ay-1=0的同一側(cè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .［答案］（-∞,-)∪(1,+∞)［解析］∵(2a+1)(3a-3)＞0,∴a＜-或a＞1.三、解答題6.如圖所示,在△ABC中,A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),寫出△ABC區(qū)域所表示的二元一次不等式組.［解析］解法一:由兩點(diǎn)式得AB、BC、CA的直線方程并化簡.AB:x＋2y-1=0,BC:x-y+2=0;CA:2x+y-5=0.∵原點(diǎn)（0,0）不在每條線上，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入到各直線方程左端，結(jié)合式子的符號可得不等式組x+2y-1≥0x-y+2≥02x+y-5≤0解法二：由AB的方程及三角形區(qū)域在AB右方，得不等式x+2y-1≥0.同理得x-y+2≥0.由CA的方程及三角形區(qū)域在CA左方，得不等式2x+y-5≤0.x＋2y-1≥0從而可得不等式組x-y+2≥0.2x+y-5≤0課后強(qiáng)化作業(yè)一、選擇題1.不等式x+3y-1<0表示的平面區(qū)域在直線x+3y-1=0的（）A.右上方 B.右下方C.左下方 D.左上方［答案］C［解析］畫出不等式x+3y-1<0表示的平面區(qū)域如圖所示.2.不等式x-y+1≥0表示的平面區(qū)域是（）［答案］B［解析］將點(diǎn)（0，0）代入不等式，得1≥0成立，排除C、D，將點(diǎn)（-2,0）代入不等式，得-1≥0,不成立，排除A，故選B.x≥0,3.(x·x文，8)直線2x+y-10=0與不等式組y≥0,表示的平面區(qū)域的公共點(diǎn)有()x-y≥-2,4x+3y≤20A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.無數(shù)個(gè)［答案］B［解析］本題考查不等式（組）表示平面區(qū)域，考查學(xué)生分析問題的能力.不等式（組）表示可行域的畫法，“直線定界，特殊點(diǎn)定域”.可行域如圖所示.由于-2<-,且直線2x+y-10=0過（5,0）點(diǎn)，所以交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)，是（5,0）.4.完成一項(xiàng)裝修工程，木工和瓦工的比例為2:3，請木工需付工資每人50元，請瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工資預(yù)算2000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，請工人數(shù)的約束條件是（）2x+3y≤550x+40y≤2000A. B.x、y∈N＋=5x+4y≤2005x+6y＜100C.= D.=x、y∈N＋［答案］C［解析］因?yàn)檎埬竟っ咳斯べY50元，瓦工每人工資40元，工資預(yù)算為2000元，∴50x+40y≤2000即5x+4y≤200.x、y表示人數(shù)∴x、y∈N＋，∴答案為C.5.原點(diǎn)和點(diǎn)（1，1）在直線x+y-a=0兩側(cè)，則a的取值范圍是（）A.a<0或a>2 B.a=2或a=0C.0<a<2 D.0≤a≤2［答案］C［解析］根據(jù)點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（1，1）位于直線x+y-a=0的兩側(cè)可得(-a)(2-a)<0，解得0<a<2.2x+y-6≤06.不等式組x+y-3≥0，表示的平面區(qū)域的面積為（）y≤2A.4 B.1 C.5 D.無窮大［答案］B［解析］如圖，作出可行域，△ABC的面積，即為所求，易得A(1,2),B(2,2),C(3,0),則S△ABC=×1×2＝1.（x-y+1）(x+y+1)≥07.不等式組表示的平面區(qū)域是（）-1≤x≤4A.兩個(gè)三角形 B.一個(gè)三角形C.梯形 D.等腰梯形［答案］B［解析］如圖,∵（x-y+1）(x+y+1)≥0表示如圖A所示的對角形區(qū)域.且兩直線交于點(diǎn)A（-1，0）.故添加條件-1≤x≤4后表示的區(qū)域如圖B.x+y-1≥08.在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組x-1≤0,（a為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域的面積ax-y+1≥0等于2，則a的值為（）A.-5 B.1 C.2 D.3［答案］Dy=ax+1［解析］由,得A(1，a+1),x=1x=1由,得B(1,0)，x+y-1=0y=ax+1由,得C(0,1).x+y-1=0∵S△ABC=2,且a>-1,∴S△ABC=|a+1|=2,∴a=3.二、填空題9.已知點(diǎn)P（1,-2）及其關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)均在不等式2x-by+1>0表示的平面區(qū)域內(nèi)，則b的取值范圍是 .［答案］(-，-）［解析］由點(diǎn)P（1，-2）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為（-1，2），它們均在2x-by+1>0表示的平2+2b+1>0,面區(qū)域內(nèi)，則故-<b<-.-2-2b+1>0,10.點(diǎn)P（1，a）到直線x-2y+2=0的距離為，且P在3x+y-3＞0表示的區(qū)域內(nèi)，則a= .［答案］3［解析］由題意，得=，∴a=0或3，又點(diǎn)P在3x+y-3＞0表示的區(qū)域內(nèi)，∴3+a-3＞0，∴a＞0，∴a=3.x.不等式|x|+|y|≤2所表示的平面區(qū)域的面積為 .［答案］8［解析］不等式|x|+|y|≤2等價(jià)于不等式組x+y-2≤0(x≥0,y≥0)x-y-2≤0(x≥0,y<0)x-y+2≥0(x<0,y≥0)x+y+2≥0(x<0,y<0)畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.由圖可知，四邊形ABCD為正方形，|AB|=2，∴S=（2）2=8.（x-y+5）(x+y)≥0x.不等式組，表示的平面區(qū)域的形狀是 .0≤x≤3［答案］等腰梯形［解析］畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.由圖可知，平面區(qū)域?yàn)榈妊菪?三、解答題13.畫出下列不等式表示的平面區(qū)域.(1)x-y+1<0;(2)2x+3y-6≥0.［解析］(1)畫出直線x-y+1=0(畫成虛線)，取原點(diǎn)（0，0），代入x-y+1,得0-0+1=1>0,∴原點(diǎn)不在x-y+1<0表示的平面區(qū)域內(nèi)，∴不等式x-y+1>0表示的平面區(qū)域如圖（1）所示.(2)畫出直線2x+3y-6=0(畫成實(shí)線)，取原點(diǎn)（0，0），代入2x+3y-6,得2×0+3×0-6=-6<0,∴原點(diǎn)不在2x+3y-6≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)，∴不等式2x+3y-6≥0表示的平面區(qū)域如圖（2）所示.x+y≤514.畫出不等式組x-2y>3，表示的平面區(qū)域.x+2y≥0［解析］不等式x+y≤5表示直線x+y=5及其左下方的區(qū)域，不等式x-2y>3表示直線x-2y=3右下方區(qū)域，不等式x+2y≥0表示直線x+2y=0及其右上方區(qū)域，故不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.15.畫出≤0表示的平面區(qū)域.［解析］≤0x+2y+1≥0（Ⅰ）x-y+4＜0x+2y+1≤0或(Ⅱ)x-y+4＞0則所求區(qū)域是（Ⅰ）和（Ⅱ）表示區(qū)域的并.不等式x+2y+1≥0表示直線x+2y+1=0上及其上方的點(diǎn)的集合，不等式x-y+4＜0表示直線x-y+4=0上方的點(diǎn)的集合.所以所求不等式表示的區(qū)域如圖所示.16.某運(yùn)輸公司接受了向抗震救災(zāi)地區(qū)每天至少送180噸支援物資的任務(wù).已知該公司有8輛載重6噸的A型卡車和4輛載重為10噸的B型卡車，有10名駕駛員，每輛卡車每天往返的次數(shù)為：A型卡車4次，B型卡車3次.列出調(diào)配車輛的數(shù)學(xué)關(guān)系式，畫出平面區(qū)域.［解析］設(shè)每天派出A型車x輛、B型車y輛，x+y≤10x+y≤1024x+30y≥1804x+5y≥30則x≤8，即x≤8.y≤4y≤4x，y∈N+x，y∈N+畫出平面區(qū)域如圖中陰影部分.第2課時(shí)簡單線性規(guī)劃知能目標(biāo)解讀1.了解線性規(guī)劃的意義，掌握目標(biāo)函數(shù)的約束條件，二元線性規(guī)劃、可行域、最優(yōu)解等基本概念.2.掌握用圖解法求方程及解線性規(guī)劃問題的一般方法及步驟.重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：線性規(guī)劃的有關(guān)概念理解及線性目標(biāo)函數(shù)最值的求解方法.難點(diǎn)：線性目標(biāo)函數(shù)最值（即最優(yōu)解）求法.學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)一、簡單線性規(guī)劃的幾個(gè)概念1.目標(biāo)函數(shù)：我們把要求最大值或最小值的函數(shù)z=ax+by+c叫做目標(biāo)函數(shù).如果目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù)，則又稱該目標(biāo)函數(shù)為線性目標(biāo)函數(shù).2.約束條件：目標(biāo)函數(shù)中的變量所滿足的不等式組稱為約束條件.如果約束條件是關(guān)于變量的一次不等式（組），又稱線性約束條件.3.線性規(guī)劃問題：在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題，稱為線性規(guī)劃問題，也稱為二元線性規(guī)劃問題.4.可行解：線性規(guī)劃問題中，滿足線性約束條件的解（x,y）稱為可行解.5.可行域:由所有可行解組成的集合稱為可行域.6.最優(yōu)解:可行域內(nèi)使目標(biāo)函數(shù)取最大值或最小值的解稱為最優(yōu)解,最優(yōu)解一定在可行域里面,一般在邊界處取得,最優(yōu)解不一定只有一個(gè),它可以有無數(shù)個(gè).二、目標(biāo)函數(shù)的最值問題在求目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c的最值時(shí),根據(jù)y的系數(shù)的正負(fù),可分為以下兩種情形求最值.1.求目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c,b>0的最值.在線性約束條件下,當(dāng)b>0時(shí),求目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序?yàn)?(1)作出可行域；(2)作出直線l0：ax+by=0；(3)確定l0的平移方向,若把l0向上平移,則對應(yīng)的z值隨之增大；若把l0向下平移,所對應(yīng)的z值隨之減小,依可行域判定取得最優(yōu)解的點(diǎn).(4)解相關(guān)方程組,求出最優(yōu)解,從而得出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值.2.求目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c,b<0的最值.在線性約束條件下,當(dāng)b<0時(shí),求目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序?yàn)?(1)作出可行域；(2)作出直線l0:ax+by=0;(3)確定l0的平移方向:若把l0向上平移,所得相應(yīng)z值隨之減?。蝗舭裭0向下平移,所對應(yīng)的z值隨之增大,依可行域判定取得最優(yōu)解的點(diǎn).(4)解相關(guān)方程組,求出最優(yōu)解,從而得出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值.注意：確定最優(yōu)解的方法:①將目標(biāo)函數(shù)的直線平移,最先通過或最后通過的頂點(diǎn)便是最優(yōu)解；②利用圍成可行域的直線的斜率來判斷,若圍成可行域的直線l1,l2,…,ln的斜率分別為k1<k2<…<kn,且目標(biāo)函數(shù)的斜率為k,則當(dāng)ki<k<ki+1時(shí),直線li與li+1相交的點(diǎn)一般是最優(yōu)解.知能自主梳理對于變量x、y的約束條件，都是關(guān)于x、y的一次不等式，稱為 .z=f(x,y)是欲達(dá)到的最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫做 ，當(dāng)f(x、y)是x,y的一次解析式時(shí)，z=f(x、y)叫做 .求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題，稱為 ；滿足線性約束條件的解（x，y）叫做 ；由所有可行解組成的集合叫做 ；使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做 .［答案］線性約束條件目標(biāo)函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃問題可行解可行域最優(yōu)解思路方法技巧命題方向求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題x-4y≤-3［例1］設(shè)Z=2x+y，式中變量x，y滿足條件3x+5y≤25，x≥1［分析］由于所給約束條件及目標(biāo)函數(shù)均為關(guān)于x，y的一次式，所以此問題是簡單線性規(guī)劃問題，使用圖解法求解.［解析］作出不等式組表示的平面區(qū)域（即可行域），如圖所示.把Z=2x+y變形為y=-2x+Z，得到斜率為-2，在y軸上的截距為Z，隨Z變化的一族平行直線.由圖可看出，當(dāng)直線Z=2x+y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A時(shí)，截距Z最大，經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，截距Z最小.x-4y+3=0解方程組，得A點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2），3x+5y-25=0x=1解方程組，得B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），x-4y+3=0所以Zmax=2×5+2=x，Zmin=2×1+1=3.［說明］由本題的求解可以發(fā)現(xiàn)，解線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地作出可行域，準(zhǔn)確地理解Z的幾何意義，線性規(guī)劃最優(yōu)解一般是在可行域的邊界處取得.x+y≤6,變式應(yīng)用1（x·大綱文，4）若變量x、y滿足約束條件x-3y≤-2,則z=2x+3yx≥1,最小值為（）A.17 B.14 C.5 D.3 ［答案］C［解析］本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃問題，線性規(guī)劃問題首先作出可行域，若為封閉區(qū)域（即幾條直線圍成的區(qū)域）則區(qū)域端點(diǎn)的值是目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值，求出直線交點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最小值，注意各直線的斜率之間的關(guān)系.x+y≤6，由x-3y≤-2，作出可行域如圖x≥1.作出l0:2x+3y=0，在可行域內(nèi)平移l0，顯然當(dāng)l0過A點(diǎn)時(shí)z=2x+3y取最小值.x-3y=-2聯(lián)立得A(1,1)x=1∴z=2x+3y的最小值為2×1+3×1=5.命題方向利用線性規(guī)劃問題求取值范圍［例2］已知二次函數(shù)f(x)=ax2-c(a≠0)滿足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5，試求f(3)的取值范圍.［分析］本題看似不是線性規(guī)劃問題，但經(jīng)過思考、提取信息可以看成一個(gè)簡單的線-4≤a-c≤-1性規(guī)劃問題求解.否則直接用不等式知識求解，容易出現(xiàn)由求出a,c的范圍，-1≤4a-c≤5進(jìn)而確定f(3)的范圍而發(fā)生錯(cuò)誤.［解析］∵f(x)=ax2-c(a≠0),f(1)=a-c∴，又∵-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,f(2)=4a-4≤a-c≤-1∴