2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)2019試題9.1向量概念

課時跟蹤檢測（一）9.1向量概念基礎(chǔ)練1．下列說法中正確的個數(shù)是()①身高是一個向量；②∠AOB的兩條邊都是向量；③溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；④物理學(xué)中的加速度是向量．A．0 B．1C．2 D．3解析：選B身高只有大小，沒有方向，故①不是向量，同理③不是向量；對②，∠AOB的兩條邊只有方向，沒有大小，不是向量；④是向量．故選B.2．下列說法正確的是()A．若|a|＝|b|，則a＝±bB．零向量的長度是0C．長度相等的向量叫相等向量D．共線向量是在同一條直線上的向量解析：選B對A，當(dāng)|a|＝|b|時，由于a，b方向是任意的，a＝±b未必成立，所以A錯誤；對B，零向量的長度是0，正確；對C，長度相等的向量方向不一定相同，故C錯誤；對D，共線向量不一定在同一條直線上，故D錯誤．故選B.3．汽車以120km/h的速度向西走了2h，摩托車以45km/h的速度向東北方向走了2h，則下列命題中正確的是()A．汽車的速度大于摩托車的速度B．汽車的位移大于摩托車的位移C．汽車走的路程大于摩托車走的路程D．以上都不對解析：選C速度和位移是向量，由向量不能比較大小可知A、B錯；汽車走的路程為240km，摩托車走的路程為90km，故C正確．故選C.4.如圖，在矩形ABCD中，可以用同一條有向線段表示的向量是()A.eq\o(DA,\s\up7(―→))和eq\o(BC,\s\up7(―→)) B.eq\o(DC,\s\up7(―→))和eq\o(AB,\s\up7(―→))C.eq\o(DC,\s\up7(―→))和eq\o(BC,\s\up7(―→)) D.eq\o(DC,\s\up7(―→))和eq\o(DA,\s\up7(―→))解析：選Beq\o(DC,\s\up7(―→))和eq\o(AB,\s\up7(―→))方向相同且長度相等，是相等向量，故可以用同一條有向線段表示．故選B.5．若|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(―→))|且eq\o(BA,\s\up7(―→))＝eq\o(CD,\s\up7(―→))，則四邊形ABCD的形狀為()A．平行四邊形 B．矩形C．菱形 D．等腰梯形解析：選C∵eq\o(BA,\s\up7(―→))＝eq\o(CD,\s\up7(―→))，∴四邊形ABCD為平行四邊形．又∵|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(―→))|，∴平行四邊形ABCD相鄰兩邊相等，故四邊形ABCD為菱形．故選C.6．下列敘述：(1)單位向量都相等；(2)若一個向量的模為0，則該向量的方向不確定；(3)共線的向量，若起點不同，則終點一定不同；(4)方向不同的兩個向量一定不平行．其中正確的有________．(填所有正確的序號)解析：(1)錯誤．單位向量模都相等，但是方向不一定相同．(2)正確．若一個向量的模為0，則該向量是零向量，其方向不確定，是任意的．(3)錯誤．共線的向量，若起點不同，但終點有可能相同．(4)錯誤．方向相反的兩個向量一定平行．答案：(2)7．若a為任一非零向量，b為單位向量，下列各式：(1)|a|＞|b|；(2)a∥b；(3)|a|＞0；(4)|b|＝±1；(5)若a0是與a同向的單位向量，則a0＝b.其中正確的是________．(填序號)解析：對(1)，不一定有|a|＞|b|；對(2)，a與b方向不一定相同或相反；對(3)，非零向量的模必大于0，即|a|＞0；對(4)，向量的模非負(fù)；對(5)，a0與b方向不一定相同．綜上可知(3)正確．答案：(3)8．已知|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝1，|eq\o(AC,\s\up7(―→))|＝2，若∠ABC＝90°，則|eq\o(BC,\s\up7(―→))|＝________.解析：由勾股定理可知，BC＝eq\r(AC2－AB2)＝eq\r(3)，所以|eq\o(BC,\s\up7(―→))|＝eq\r(3).答案：eq\r(3)9.如圖是4×3的矩形(每個小方格的邊長都是1)，在起點和終點都在小方格的頂點處的向量中，與向量eq\o(AB,\s\up7(―→))平行且模為eq\r(2)的向量共有幾個？與向量eq\o(AB,\s\up7(―→))方向相同且模為3eq\r(2)的向量共有幾個？解：(1)依題意，每個小方格的兩條對角線中，有一條對角線對應(yīng)的向量及其相反向量都和eq\o(AB,\s\up7(―→))平行且模為eq\r(2).因為共有12個小方格，所以滿足條件的向量共有24個．(2)易知與向量eq\o(AB,\s\up7(―→))方向相同且模為3eq\r(2)的向量共有2個．10．已知四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(―→))＝eq\o(DC,\s\up7(―→))且|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(―→))|，tanD＝eq\r(3)，判斷四邊形ABCD的形狀．解：∵在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(―→))＝eq\o(DC,\s\up7(―→))，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵tanD＝eq\r(3)，∴B＝D＝60°.又|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(―→))|，∴△ABC是等邊三角形．∴AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形．拓展練1．已知在平面內(nèi)點O固定，且|eq\o(OA,\s\up7(―→))|＝2，則A點構(gòu)成的圖形是()A．一個點 B．一條直線C．一個圓 D．不能確定解析：選C由于|eq\o(OA,\s\up7(―→))|＝2，所以A點構(gòu)成一個以O(shè)為圓心，半徑為2的圓．故選C.2．已知D為平行四邊形ABPC兩條對角線的交點，則eq\f(|\o(PD,\s\up7(―→))|,|\o(AD,\s\up7(―→))|)的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C．1 D．2解析：選C因為四邊形ABPC是平行四邊形，D為對角線BC與AP的交點，所以D為PA的中點，所以eq\f(|\o(PD,\s\up7(―→))|,|\o(AD,\s\up7(―→))|)的值為1.故選C.3．[多選]如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，則以下說法正確的是()A．與eq\o(AB,\s\up7(―→))相等的向量只有一個(不含eq\o(AB,\s\up7(―→)))B．與eq\o(AB,\s\up7(―→))的模相等的向量有9個(不含eq\o(AB,\s\up7(―→)))C.eq\o(BD,\s\up7(―→))的模恰好為eq\o(DA,\s\up7(―→))的模的eq\r(3)倍D.eq\o(CB,\s\up7(―→))與eq\o(DA,\s\up7(―→))不共線解析：選ABC與eq\o(AB,\s\up7(―→))相等的向量只有eq\o(DC,\s\up7(―→))，A正確；由已知條件可得|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝|eq\o(BA,\s\up7(―→))|＝|eq\o(BC,\s\up7(―→))|＝|eq\o(CB,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(―→))|＝|eq\o(CA,\s\up7(―→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(―→))|＝|eq\o(CD,\s\up7(―→))|＝|eq\o(DA,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(―→))|，B正確；如圖，過點B作DA的垂線交DA的延長線于E，因為∠DAB＝120°，四邊形ABCD為菱形，所以∠BDE＝∠ABE＝30°，在Rt△BED中，|eq\o(DB,\s\up7(―→))|＝eq\f(|\o(DE,\s\up7(―→))|,cos30°)，在Rt△AEB中，|eq\o(AE,\s\up7(―→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up7(―→))|，所以|eq\o(DB,\s\up7(―→))|＝eq\f(\f(3,2)|\o(DA,\s\up7(―→))|,\f(\r(3),2))＝eq\r(3)|eq\o(DA,\s\up7(―→))|，C正確；eq\o(CB,\s\up7(―→))與eq\o(DA,\s\up7(―→))方向相同，大小相等，故eq\o(CB,\s\up7(―→))＝eq\o(DA,\s\up7(―→))，eq\o(CB,\s\up7(―→))與eq\o(DA,\s\up7(―→))共線，D錯誤．故選A、B、C.4．給出下列命題：①若|a|＝0，則a＝0；②若|a|＝|b|，則a＝b；③若a∥b，則|a|＝|b|.其中，正確的命題有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個解析：選A①忽略了0與0的區(qū)別，a＝0；②混淆了兩個向量的模相等和與兩個向量相等的概念，|a|＝|b|只能說明它們的長度相等，它們的方向并不確定；③兩個向量平行，可以得出它們的方向相同或相反，未必得到它們的模相等．故選A.5．四邊形ABCD滿足eq\o(AD,\s\up7(―→))＝eq\o(BC,\s\up7(―→))，且|eq\o(AC,\s\up7(―→))|＝|eq\o(BD,\s\up7(―→))|，則四邊形ABCD是________(填四邊形ABCD的形狀)．解析：∵eq\o(AD,\s\up7(―→))＝eq\o(BC,\s\up7(―→))，∴AD∥BC且|eq\o(AD,\s\up7(―→))|＝|eq\o(BC,\s\up7(―→))|，∴四邊形ABCD是平行四邊形．又|eq\o(AC,\s\up7(―→))|＝|eq\o(BD,\s\up7(―→))|知該平行四邊形對角線相等，故四邊形ABCD是矩形．答案：矩形6.如圖所示，每個小正方形的邊長都是1，在其中標(biāo)出了6個向量，在這6個向量中：(1)有兩個向量的模相等，這兩個向量是________，它們的模都等于________．(2)存在著共線向量，這些共線的向量是________，它們的模的和等于________．解析：結(jié)合圖形可知，(1)|eq\o(CH,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AE,\s\up7(―→))|＝eq\r(10).(2)eq\o(DG,\s\up7(―→))與eq\o(HF,\s\up7(―→))共線，|eq\o(DG,\s\up7(―→))|＝2eq\r(2)，|eq\o(HF,\s\up7(―→))|＝3eq\r(2)，故|eq\o(DG,\s\up7(―→))|＋|eq\o(HF,\s\up7(―→))|＝5eq\r(2).答案：(1)eq\o(CH,\s\up7(―→))，eq\o(AE,\s\up7(―→))eq\r(10)(2)eq\o(DG,\s\up7(―→))，eq\o(HF,\s\up7(―→))5eq\r(2)7.如圖，D，E，F(xiàn)分別是正三角形ABC各邊的中點．(1)寫出圖中所示與向量eq\o(DE,\s\up7(―→))長度相等的向量；(2)寫出圖中所示與向量eq\o(FD,\s\up7(―→))相等的向量；(3)分別寫出圖中所示向量與向量eq\o(DE,\s\up7(―→))，eq\o(FD,\s\up7(―→))共線的向量．解：(1)與eq\o(DE,\s\up7(―→))長度相等的向量是eq\o(EF,\s\up7(―→))，eq\o(FD,\s\up7(―→))，eq\o(AF,\s\up7(―→))，eq\o(FC,\s\up7(―→))，eq\o(BD,\s\up7(―→))，eq\o(DA,\s\up7(―→))，eq\o(CE,\s\up7(―→))，eq\o(EB,\s\up7(―→)).(2)與eq\o(FD,\s\up7(―→))相等的向量是eq\o(CE,\s\up7(―→))，eq\o(EB,\s\up7(―→)).(3)與eq\o(DE,\s\up7(―→))共線的向量是eq\o(AC,\s\up7(―→))，eq\o(AF,\s\up7(―→))，eq\o