河南省九師聯(lián)盟2024屆高三年級下冊4月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題(含答案與解析)-2393

河南省九師聯(lián)盟2024屆下學(xué)期4月質(zhì)量檢測試題

高三數(shù)學(xué)

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對

應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)

域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：高考范圍.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)1+1為純虛數(shù)，則。的值為（）

A.2B,1C.-1D.-2

,、2兀

2.已知拋物線C:y=22式P〉0）的焦點為EP為。上一點，。為坐標原點，當/尸尸。=/時，

附=6,則P=（）

A.4B.3C.2D.1

3,已知向量。=(sina,l),b=(l,sin(3),a>0,P>0a+0=2

則a力的最大值為（）

，3，

3

A.2B.73C2D.1

4.有除顏色外大小相同的9個小球，其中有2個紅球，3個白球，4個黑球，同色球不加區(qū)分，將這9個球

排成一列，要求2個紅球相鄰，3個白球兩兩互不相鄰，不同的排列種數(shù)為（)

A.100B.120C.10800D.21600

b1sinC

5.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為。，“c,若____—i____________a=3,b=2y/2,則sinS

a+csirvl+sin5'

的值為（）

3C吏D.昌

A.LB,5

2■23

6.在平面a內(nèi)，已知線段Z8的長為4,點尸為平面a內(nèi)一點，且歸臼2+/卻2=1（）,則/尸4g的最大

值為（）

7.在四面體48C。中，是邊長為2的等邊三角形，。是△5CD內(nèi)一點，四面體/BCD的體積為

2JJ，則對Vx/eR,—xOB—y°q的最小值是（）

A.2aB.2fc.y/6D.6

8,已知函數(shù)/G)滿足：/(D三3,且Vx,>eR,/(x+))=/(x)+/(y)+6xy,則X/。)的最小

1=1

值是（

A.135B.395C.855D.990

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.對于R的兩個非空子集48,定義運算/x8={（x,y）|xe4ye8},貝U（）

A.AxB=BxA

B.Ax（BC\C）=（AxB）C\CAxC）

C.若ZqC,則（4x8）口（Cx3）

D.NxN表示一個正方形區(qū)域

10.如圖，在棱長為2的正方體“BCD—4vqp中，點9在線段上運動，則（）

A.平面尸夕。，平面NCR

B.三棱錐R—4PC的體積為定值

C.異面直線4尸與NR所成角的取值范圍是［o,f

D.當P為gq的中點時，三棱錐尸一ZCD]的外接球的表面積為22兀

H.如圖，已知橢圓?+產(chǎn)=i的左、右頂點分別是q,汽，上頂點為勺，在橢圓上任取一點。(非長軸

端點)，連接4c交直線x=e于點尸，連接向C交。？于點”(。是坐標原點)，則()

B.k=YE左

AP2OP

cOPLACD慳用的最大值為

?2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

41

12.在中，角4民。的對邊分別為，若。+6+。=2,則^+―的最小值為.

a+bc

13.已知函數(shù)/Q)=sin(3x+(p)13〉0,0<(p43，女和|■為/G)的兩個相鄰零點，將/G)的圖象

向右平移L個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)歹=/6)86)+/6)+86)的值域為.

2------------

14.已知函數(shù)/G)的定義域為G"),/'(X)為其導(dǎo)函數(shù)，若Vxe(0,+oo),

f(x)>[/(x)-xf(x)]Inx,則不等式/G)QT-1)>0的解集是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知數(shù)列L｝的各項均不為0,其前〃項和為S,q為不等于0的常數(shù)，且S=qS+aG>2).

nnnn—11

(1)證明：｛4｝是等比數(shù)列；

n

(2)若SSS成等差數(shù)列，則對于任意的正整數(shù)匕aaa是否成等差數(shù)列？若成等差數(shù)

5118t+5￡+11Z+8

列，請予以證明；若不成等差數(shù)列，請說明理由.

16.PM2.5是指環(huán)境空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物.它能較長時間懸浮于空氣中，其在空氣中含

量越高，說明空氣污染越嚴重.城市中的PM2.5成分除揚塵等自然因素外，燃料的燃燒也是一個重要來

源.某市環(huán)境檢測部門為檢測燃油車流量對空氣質(zhì)量的影響，在一個檢測點統(tǒng)計每日過往的燃油車流量工

（單位：輛）和空氣中的PM2.5的平均濃度了（單位：Rg/m3）.檢測人員采集了50天的數(shù)據(jù)，制成2x2

列聯(lián)表（部分數(shù)據(jù)缺失）:

燃油車日流量x<1500燃油車日流量X21500合計

PM2.5的平均濃度><1001624

PM2.5的平均濃度>2I。。20

合計22

（1）完成上面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，能否認為PM2.5的平均濃度小于

100|ig/m3與燃油車日流量小于1500輛有關(guān)聯(lián)？

（2）經(jīng)計算得了與x之間的回歸直線方程為夕=012x-73.86,且這50天的燃油車的日流量x的標準差

s*=249,PM2.5的平均濃度V的標準差）=36.若相關(guān)系數(shù)r滿足網(wǎng)20.75,則判定所求回歸直線方

程有價值；否則判定其無價值.

①判斷該回歸直線方程是否有價值；

②若這50天的燃油車的日流量x滿足光心=1.23x108,試求這50天的pM2.5的平均濃度了的平均數(shù)V

i

z=l

（利用四舍五入法精確到o.l）.

n（ad-b/

參考公式：—兒+0用+分其中…

a0.010.0050.001

X6.6367.87910.828

a

X(x-x)(y-y)Xxy-nxy

回歸方程9=&+BX,其中:=閆s---------=q''------d=y-bx；

2L(x-x)2乙X2―nX2

ii

Z=1Z=1

Z（x-x）（y-y）

相關(guān)系數(shù).=

X（x一：-y）2

參考數(shù)據(jù)：文xl.23=0.024g249=62001,J239799臭1548.55

17.如圖，在多面體48CD底￡中，四邊形48CD是平行四邊形，平面48C。，DFHBE,平面

ABF1平面ADF.

A

（1）證明：ABLAF-

⑵若4B=BE=1,AD=DF=2,求平面ZEF與平面8DF的夾角的正弦值.

18.已知雙曲線—”=1,點「（見〃）。?〃。。）和直線I：必一2町=2.

Qx

（1）判定（與C交點的個數(shù)；

（2）當加2<2〃2時，如圖，過點尸作直線4與。的右支交于M，N兩點，與直線（交于。點，證明:

19.設(shè)離散型隨機變量X和y的分布列分別為尸（X=a）=x,0（y=a）=y,x〉0,y>0,

k—0,1,2,???,nXx=Xy=1定義。（XUV）=ZxIn

;一用來刻畫x和y的相似程度，設(shè)

左=0k=0

X?B（n,p）,0<p<l.

(1)若〃=3,P=Yy?d3,力，求。(xiM；

(2)若〃=2,且y的分布列為

Y012

121

P

636

求。(xily)的最小值；

(3)對任意與x有相同可能取值的隨機變量y,證明：o(xi|y)的值不可能為負數(shù).

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

It￡GeR)

1.已知復(fù)數(shù)1+1為純虛數(shù)，則。的值為()

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算求出z,根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，列出相應(yīng)等式和不等式，即可求得答案.

1+ai(l+tzi)(l-i)l+o+(a-l)i

【詳解】(l+i)G—i)=--------2----------,

1+Q=0

由題意得^1八，所以a=T,

。一1w0

故選：C.

2.已知拋物線C：產(chǎn)=2P式P〉0)的焦點為￡尸為。上一點，。為坐標原點，當NPFO=當時，

產(chǎn)|=6,則P=()

A.4B.3C.2D.I

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合拋物線的定義求解即可.

【詳解】如圖，過P作。的準線的垂線，垂足為《，作也垂足為E,

由/年。=勺，得NPFE=2,

36

所以|「用=:尸勺=3,

所以|《￡|=6—3=3,即2=3.

故選：B.

3.已知向量<z=(sina,l),b=(l,sin[3),a>0,P>0,a+P=g,則的最大值為()

3

A.2B.73C.-D.1

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量數(shù)量積的坐標表示，結(jié)合正弦的兩角差公式和輔助角公式求解即可.

【詳解】由題意得0<a<H，

a-b=sina+sinB=sina+sin__-a=since+vcoset+_since

I3)22

=2.sina+cosa=J3sinfa+—1,

227I

兀兀5兀7171兀一一

因為下<a■〈二~,所以當。+下=不，即a=不時。取得最大值，且最大值為

oooo23

故選：B

4.有除顏色外大小相同的9個小球，其中有2個紅球，3個白球，4個黑球，同色球不加區(qū)分，將這9個球

排成一列，要求2個紅球相鄰，3個白球兩兩互不相鄰，不同的排列種數(shù)為（）

A.100B.120C.10800D.21600

【答案】A

【解析】

【分析】將4個黑球放好，把兩個紅球捆綁插空，然后將3個白球插空即可求解.

【詳解】將4個黑球放好有一種，形成5個空，從中選一個空將2個紅球作為一個整體排上，有C；種排法,

如此就形成6個空，將3個白球插空到6個空中，有C3種排法，

6

由分步計數(shù)原理得，共有C1C3=100種不同排法.

56

故選：A.

f一，n巾,bsinC_.八

5.在A48c中，角45,C的對邊分別為a,"c,若----=1——：——,a=3,b=2,j2,則smS

a+c

的值為（）

3C9

A.1B

2,5,2

【答案】D

【解析】

【分析】由正弦定理化簡已知式可得62+02-42=6。，由余弦定理即可求出A,由正弦定理可求出

sin5的值.

b,sinCb,c

【詳解】由—=1—「_F及正弦定理，得——=1一一T，可得62+C2-42=左，

a+cSIIL4+suma+ca+b

b?—|-02|

由余弦定理得cos/=——------=-,又0<2<兀，

2bc2

兀「ab

所以”=行.又。=3,b=242,由—~-=~~~—,

3vSIIL4sino

/0-口bsinAJ6

得sinB=-------=-2_.

a3

故選：D.

6.在平面a內(nèi)，已知線段48的長為4,點尸為平面a內(nèi)一點，且1PH2+|「即2=10,則/尸4g的最大

值為（）

兀兀兀兀

A-6B-4C-TD-2

【答案】A

【解析】

【分析】建立直角坐標系，求出點尸的軌跡時一個圓，再根據(jù)R4與圓。相切時角最大求得結(jié)果.

【詳解】如圖，以線段48所在的直線為x軸，線段48的中垂線為了軸，建立平面直角坐標系xQy,

設(shè)P（x,y）,因為|AB|=4,不妨設(shè)N（—2,0）,8（2,0）,

由+|p5|2=10,得（x+2）+72+（x—2）+J2=10,

化簡得》2+產(chǎn)=1,即點尸的軌跡為以O(shè)為圓心，1為半徑的圓,

當尸/與圓。相切時，/尸N8取得最大值，此時。尸，尸N.

因為=。|=2,所以sin"45=；,且/尸幺8為銳角,

,兀

故/尸48的最大值為

o

故選：A.

7.在四面體4SCZ）中，△5CO是邊長為2的等邊三角形，。是△5CO內(nèi)一點，四面體48CD的體積為

20,則對VxjeR,—x08—y°q的最小值是（）

A.25/6B.2弋C.y/6D.6

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)共面向量定理將所求最小值轉(zhuǎn)化為點A到平面BCD的距離，再利用體積求解即可.

【詳解】設(shè)。E=xO5+yOC,由共面向量定理得點￡為平面8C。內(nèi)任意一點，

且CM—x08—yOC=CM—O￡=EZ,

所以104_》08_了0。|=「d,

求pZ——yOC］的最小值，即求點A到平面BCD的距離,

設(shè)點A到平面8C。的距離為右,

]7C

由題意知S入=x2x2sin=7^,

△BCD23

四面體ZBCD的體積V=-h=25/3,

3△zee

解得力=6,故所求最小值為6.

故選：D.

8.已知函數(shù)/G)滿足：/(1)巳3,且VxjwR,/(x+y)=/(x)+/G)+6砂，則2/6)的最小

Z=1

值是()

A.135B.395C.855D.990

【答案】C

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)gG)=/G)—3x2,可得g(x+y)=g(x)+g(y),令x=〃，了=1,由

gQ+1)-g(〃)=g(l)得g(〃)="g(l),從而得到/(〃)=3"2+[/(1)一3]〃，即可求出2/(。的最小

Z=1

值.

【詳解】由/G+_y)=/(x)+/G)+6孫，得/(x+y)-3(x+y?=/(x)-3x2+/(y)_3y2,令

gG)=/(x)-3x2,得g(x+歹)=gQ)+g(y),

令x=〃,y=l,得g(〃+l)-gQ)=g(l),

故gQ)=[g(")-g(〃T)]+[gG/T)-g("-2)]+…+[g(2)一g(l)]+g(l)=〃g(l),又

g(〃)=/(n)-3?2,

所以/(〃)=g(")+3〃2=3〃2+[/(l)-3]〃，

所以二/G)=3、2+|y(l)一3]Xi=855+45[y(l)—3],因為/(1)N3,當/(1)=3時，X/(z)

i=lZ=1z=li=\

的最小值為855.

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.對于R的兩個非空子集48,定義運算貝［（）

A.AxB=BxA

B./xSncXxMnQxc)

c.若ZqC,貝Ij(4x8)0(Cx8)

D.ZxZ表示一個正方形區(qū)域

【答案】BC

【解析】

【分析】由集合的普通運算結(jié)合集合新定義逐一判斷每個選項即可求解.

【詳解】由題意知，Zx8=｛（x,y）|xeaye8｝表示以數(shù)集A中的數(shù)為橫坐標，數(shù)集g中的數(shù)為縱坐標

的點的集合，故幺xB力BxA,故A錯誤；

因為Zx（8cC）=｛（x,y）|xe//e（8cC）｝,

又（/xB）c（ZxC）=｛（x,j）|xeA,ye5｝n｛（x,v）|xEA,yE

所以/*（8口。）=（/、8）口（/乂。），則B正確；

若Z=則QX8）0（Cx8）,故c正確；

若/=｛1｝,集合NxZ只包含一個點，故D錯誤.

故選：BC.

10.如圖，在棱長為2”的正方體/5C。一4夕9?中，點尸在線段51上運動，則（）

A,平面PqO_L平面NCR

B,三棱錐4—4PC的體積為定值

C.異面直線4尸與zq所成角的取值范圍是［o,；

D.當尸為的中點時，三棱錐尸一ZCD］的外接球的表面積為22兀

【答案】ABD

【解析】

【分析】對于A,在正方體中由面面垂直的判定定理即可證明；對于B,由匕梆雒""「=匕朽雒p/m，

二棱錐q-ZFC二校錐尸-zcq

根據(jù)三棱錐尸-NCD］的底面積和高確定判定體積為定值；對于C,異面直線4。與zq所成的角就是直

線4尸與8Q所成的角，根據(jù)點P在線段Bq上的位置即可求解；對于D,根據(jù)已知確定三棱錐尸-NCJ

的外接球的球心，再求解半徑即可.

【詳解】對于A,因為V。，平面NCq,q￡>u平面PR。，

所以平面尸平面NCq,故A正確；

對干因為憶平面

漢丁B，口刀三棱錐尸0=V三棱錐尸-4巴，B1C/T/回4CZ］),

所以點尸到平面/CD的距離為定值，又△4C。的面積不變，

11

所以三棱錐q—4PC的體積為定值，故B正確；

對于C,因為BCJ/ZR,

所以異面直線4尸與幺己所成的角就是直線4尸與gq所成的角，

因為vz/q是等邊三角形，

當尸與線段gq的兩個端點重合時，直線4尸與所成的角最小為

當尸與線段gq的中點重合時，直線”與gq所成的角最大為g,

兀71

所以所求角的范圍是w,故C錯誤；

對于D,連接AD,嗎,BD『

易證8。，平面ZC。，且8。過正△/a5的外接圓的圓心，

1111

在正方體中易知2CL平面Z8CQ,尸為8c的中點，

1111

所以尸C_L平面

因為4Pu平面,所以4P_LPC,

設(shè)NCn3￡>=E,則E為直角△4PC外接圓的圓心,

作E0//5q交個￡）于點0,

則0為三棱錐P-NCR外接球的球心，

易求EC=[zC=2,0E，BD=W,

24i2

在直角△0￡C中，0C=

故所求球的表面積為22兀，故D正確.

故選：ABD.

X2

11.如圖,已知橢圓——+J2=1的左、右頂點分別是4，力2,上頂點為31,在橢圓上任取一點C（非長軸

2

端點），連接4c交直線》=應(yīng)于點尸，連接4c交。？于點M（。是坐標原點），則（)

=丑左

k"%為定值B.k

%4P2OP

COPLACD.|嶗|的最大值為小

2

【答案】AC

【解析】

【分析】設(shè)點c的坐標為〈Gcos9,sin9，0e[o,27i),而41嫄刀，々對于A,求出直線

CZjCq的斜率進行判斷；對于B,C,求出直線4尸的方程，令x=J7,求出了的值，可得點P的坐

標，然后可求出的斜率進行判斷；對于D,求出直線。?，百°的方程，兩方程聯(lián)立可求出點M的

坐標，從而可表示出1MBi|的長，進而可判斷其最值

【詳解】由題意知4(渡,0),汽(/1,0

,因為點C在橢圓上,

所以設(shè)點。的坐標為(/^coe,sin9),0e[0,271),

0w0,兀.

77sin0sin0sin20sin201

對干A.k,k=------------------------=---------=----,--,-故A正確；

CAca

x2yf2cosB+y]272cos0-yj22COS20-2-2sin20

sin0sin0

對于B,因為、=%直線4P的方程為了=

y/2cosB+yj2-72cos0+y/2令X=y/2,

2sin0/內(nèi)2sin0A

得尸MT故尸口｝

荒答所以，=;卻

所以左故B錯誤;

OP

sin0,,sin0/sin。0sin2。

對于C’因為%=々cos?！?，所以C\'OP~V2COS0-V2'cosO+1_72C0S2O-I)-'所

以。P_L/￡,故c正確;

對于D,8的方程為看點卜sin0

”的方程為廣

77cos。~y/2

八nJ2(cos0+1)2sin0

聯(lián)立直線”,好的方程可求得x=3-cose'"=3^0,故點

(yf2(cos0+1)2sin0

M___________,又4(0,1),

3-cos03-cos0

7

2(cos0+l>/2sin0產(chǎn)

所以慳BJ2=(3-cos0J213-cos0J

當cos°=；,sin9=—乎時，㈣［2=11+；出〉3,故故D錯誤.

故選：AC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

41

12.在448c中，角4民。的對邊分別為a,"c,若a+b+c=2,則；■+—的最小值為

a+bc

9

【答案】

【解析】

【分析】。，“。是的邊長，所以它們是正數(shù)，利用乘“1”法結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】因為a+6+c=2,

1(-4c」5+2匕2=2,

=_?5+----+----

2(a+bc)2Va+bc2'

\*7

4ca+b7c419

當且僅當一=——，即a+Z?=2c時等號成立，故——r+一的最小值為

a+brca+bcz

9

故答案為：5

13.已知函數(shù)/G)=sin(cox+(p)^co>0,0<(p<|.^；和,為/(x)的兩個相鄰零點，將/(x)的圖象

得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)歹=/Q)g(x)+/G)+g(x)的值域為.

向右平移1個單位長度，

2

,1/

【答案】-1,寸3

【解析】

即求出了(X),根據(jù)平移變換求出g(x),令

【分析】根據(jù)兩個相鄰零點求函數(shù)的周期得出①，

C0S71X+sin7ix=t,結(jié)合二次函數(shù)求值域得出結(jié)果.

【詳解】由題意知/(X)的最小正周期T=2@—j所以a)=F=兀，又/［；］=0，

71兀

Z),即cpGZ),

所以sin2+(P=0所以2+q=k7i(ke=-—+hc(k

2

=COS7EX

故y=cos7Lrsin7Lr+COSTLX+simtx

[一泥,],且COS7LXSin7LX=，

令，=COSTLT+sirmx=J5sin貝UtGy/222

4

所以y=￡>4+1>.i,

當，=—i時，y.=-i；當/=1時，j=：+/,

min、max2

,1K

所以所求函數(shù)的值域為—L^+J2.

,1屋

故答案為：—1，,+>/2.

14.已知函數(shù)/G）的定義域為（0,仔°）,/'（X）為其導(dǎo)函數(shù)，若Vxe（0,+oo）,

/（x）〉［y（x）_M'（x）］lnx,則不等式/G）（ex-1_1）>0的解集是.

【答案】（1，+°°）

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=/（x）?巴，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，由于在（0，+為）上時，ei—1>0與上〉0

XX

同解，即可根據(jù)/（X）?上>0求解.

X

【詳解】令g（x）=/（x）——，則

X

/G）=/，G）.四+/G）.4=4）—［4）一礦211K>o,

XX2%2

所以g（x）在（0,fs）上單調(diào)遞增.

由于當ex-i-1>0^>X>1,當ex-i-1<0nx<1,

Inx11nxec1

而——〉O=x>l,——<0=0<x<l

xx

故在(0,+8)上，不等式/G)(ei-1)>0與/(x).H〉0同解,

X

即g(x)>0,又g(l)=O,得g(x)〉g(l),即x>l,

所以原不等式的解集為（1,+s）.

故答案為：（1，+0°）

【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)求解不等式問題的常用方法：

1.通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；

2.利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；

3.適當放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；

4.構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知數(shù)列L｝的各項均不為0,其前〃項和為S,為不等于0的常數(shù)，且S=qS+aG>2）.

nnnn-11

a）證明：｛a｝是等比數(shù)列；

n

（2）若S,SS成等差數(shù)列，則對于任意的正整數(shù)心aaa「是否成等差數(shù)列？若成等差數(shù)

5118t+5Z+llZ+8

列，請予以證明；若不成等差數(shù)列，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析

（2）對于任意的正整數(shù)人。<，at，a成等差數(shù)列，證明見解析.

t+5Z+llZ+8

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知構(gòu)造S、=qS+aG>1）,再相減證得結(jié)果；

n+in1

（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義以及等比數(shù)列的前"項和公式進行證明即可.

【小問1詳解】

證明：因為S=qS+aG>2）,①

nn-l1

所以s=qS+aG>1）,②

n+1n1

②一①,得a=qa（〃之2）,即L=q（〃22）,

n+1nQ

當〃=2時，S=qS+a,即a+a=qa+a,所以—=q,

21121i\a

i

所以對V〃eN*,—=q,即G｝是公比為鄉(xiāng)的等比數(shù)列.

an

n

【小問2詳解】

解：對任意正整數(shù)，,。<，a,a成等差數(shù)列.證明如下：

t+5t+11t+S

由與SS成等差數(shù)列，得q/l,且2S=S+S

511o115o

a（l-qii）a（1一夕5）a6一夕8）

即2x_J________=」________+_J________,

1-q1-q1-q

化簡得2/一夕3—1=0,即2次二13+1.

因為Q+Q=Q農(nóng)+Q0=Q農(nóng)G+0）,2a=2a01=Q農(nóng)x246=Q農(nóng)G+/），

t+5￡+8tit9Z+llttt

所以Q+Q=2。

t+5t+St+U'

故對于任意的正整數(shù)，，a。成等差數(shù)列.

t+5/+11t+S

16.PM2.5是指環(huán)境空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物.它能較長時間懸浮于空氣中，其在空氣中含

量越高，說明空氣污染越嚴重.城市中的PM2.5成分除揚塵等自然因素外，燃料的燃燒也是一個重要來

源.某市環(huán)境檢測部門為檢測燃油車流量對空氣質(zhì)量的影響，在一個檢測點統(tǒng)計每日過往的燃油車流量x

（單位：輛）和空氣中的PM2.5的平均濃度了（單位：Rg/m3）.檢測人員采集了50天的數(shù)據(jù)，制成2/2

列聯(lián)表（部分數(shù)據(jù)缺失）：

燃油車日流量x<1500燃油車日流量X21500合計

PM2.5的平均濃度><1001624

PM2.5的平均濃度V210。20

合計22

（1）完成上面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，能否認為PM2.5的平均濃度小于

100ptg/m3與燃油車日流量小于1500輛有關(guān)聯(lián)？

（2）經(jīng)計算得了與龍之間的回歸直線方程為夕=012x-73.86,且這50天的燃油車的日流量x的標準差

s、=249,PM2.5的平均濃度V的標準差\=36.若相關(guān)系數(shù)r滿足網(wǎng)之0.75,則判定所求回歸直線方

程有價值；否則判定其無價值.

①判斷該回歸直線方程是否有價值；

②若這50天的燃油車的日流量x滿足光m=1.23x108,試求這50天的PM2.5的平均濃度了的平均數(shù)V

i

i=l

（利用四舍五入法精確到0.1）.

n{ad-bc)1

參考公式：殍=Q+b)(c+d)Q+c=+ZT其中…+"c+人

a0.010.0050.001

X6.6367.87910.828

a

X(x-x)(v-y)Zxy-nxy

ii

回歸方程/=&+Bx,其中］=-。--4=1-----------------------d=y-bx；

X(x-r>-nx2

i

Z=1z=l

X(x-x)(v-y)

相關(guān)系數(shù)r21

2(x-DZG-y)2

ii

i=li=l

參考數(shù)據(jù)：T^xl.23=0.024。249i=62001,J239799%1548.55

【答案】（1）表格見解析，能;

（2）①該回歸直線方程有價值；1卷”.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，完成X2列聯(lián)表，再計粼2,結(jié)合表格即可求得結(jié)果

（2）代入「公式計算可判岬與X的相關(guān)性強弱，由=249可得工，結(jié)合回歸直線必過樣本中心可求得

X

y的值.

【小問1詳解】

2x2列聯(lián)表如下:

燃油車日流量x<1500燃油車日流量X21500合計

PM2.5的平均濃度><10016824

PM2.5的平均濃度V210。62026

合計222850

零假設(shè)"o：PM2.5的平均濃度小于100pg/m3與燃油車日流量小于1500輛無關(guān)聯(lián).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算得

50x(16x20-6x81

72=___?_9_._6_2_4_>_7__.8_7_9=%

24x26x22x280.005

所以根據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，推斷五°不成立，所以可以認為PM2.5的平均濃度小于

100pg/m3與燃油車日流量小于1500輛有關(guān)聯(lián).

【小問2詳解】

2(x-r)(v-y)

①由題意，得8=I'__________=0.12

勿(x-x)2

Z=1

X(x-r)(y-y)=0.12^(x-r)2

得

iii

i=lz=l

藝(x-x)(y-y)0,1(x-r)2

iii

‘必(x—x》區(qū)(y—/(x—x)22(y—

V1=11=1?!=1