福建省福州三中2025屆數(shù)學高一下期末統(tǒng)考試題含解析

福建省福州三中2025屆數(shù)學高一下期末統(tǒng)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知圓x2+y2+2x-6y+5a=0關于直線y=x+b成軸對稱圖形，則A．(0,8) B．(-∞,8) C．(-∞,16)2．已知點P(，)為角的終邊上一點，則（）A． B．- C． D．03．已知函數(shù)與的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（）．A． B． C． D．4．已知直線是函數(shù)的一條對稱軸，則的一個單調遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則使取得最大值時的值為()A．5 B．6 C．7 D．86．數(shù)列{an}的通項公式an＝，若{an}前n項和為24，則n為()．A．25 B．576 C．624 D．6257．已知α、β為銳角，cosα＝，tan(α?β)＝?，則tanβ＝()A． B．3 C． D．8．甲、乙、丙三人隨機排成一排，乙站在中間的概率是（）A． B． C． D．9．設，，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．10．設全集，集合，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則數(shù)列的公比為__________．12．設函數(shù)（是常數(shù)，）.若在區(qū)間上具有單調性，且，則的最小正周期為_________.13．若等差數(shù)列的前項和，且，則______________.14．在△ABC中，sin2A=sin15．若為冪函數(shù)，則滿足的的值為________.16．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)f（x）＝asin（x）（a＞0）在同一半周期內的圖象過點O，P，Q，其中O為坐標原點，P為函數(shù)f（x）的最高點，Q為函數(shù)f（x）的圖象與x軸的正半軸的交點，△OPQ為等腰直角三角形．（1）求a的值；（2）將△OPQ繞原點O按逆時針方向旋轉角α（0＜α），得到△OP′Q′，若點P′恰好落在曲線y（x＞0）上（如圖所示），試判斷點Q′是否也落在曲線y（x＞0），并說明理由．18．已知數(shù)列an的前n項和為S（1）求數(shù)列an（2）設bn=an·log219．已知：以點為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中0為原點。（1）求證：的面積為定值；（2）設直線與圓C交于點M，N，若，求圓C的方程.20．某中學從高三男生中隨機抽取100名學生，將他們的身高數(shù)據進行整理，得到下側的頻率分布表.組號分組頻率第1組[160，165）0.05第2組0.35第3組0.3第4組0.2第5組0.1合計1.00（Ⅰ）為了能對學生的體能做進一步了解，該校決定在第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名學生進行體能測試，問第3，4，5組每組各應抽取多少名學生進行測試；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，學校決定在6名學生中隨機抽取2名學生進行引體向上測試，求第3組中至少有一名學生被抽中的概率；（Ⅲ）試估計該中學高三年級男生身高的中位數(shù)位于第幾組中，并說明理由.21．寫出集合的所有子集．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

根據圓關于直線成軸對稱圖形得b=4，根據二元二次方程表示圓得a<2，再根據指數(shù)函數(shù)的單調性得4a【詳解】解：∵圓x2+y∴圓心(-1,3)在直線∴3=-1+b，解得b=4又圓的半徑r=4+36-20a2>0b故選：D．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，屬中檔題．2、A【解析】

根據余弦函數(shù)的定義，可直接得出結果.【詳解】因為點P(，)為角的終邊上一點，則.故選A【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，熟記概念即可，屬于基礎題型.3、A【解析】若函數(shù)f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）與g（x）=2x+1的圖象上存在關于x軸對稱的點，則方程a﹣x2=﹣（2x+1）?a=x2﹣2x﹣1在區(qū)間[1，2]上有解，令g（x）=x2﹣2x﹣1，1≤x≤2，由g（x）=x2﹣2x﹣1的圖象是開口朝上，且以直線x=1為對稱軸的拋物線，故當x=1時，g（x）取最小值﹣2，當x=2時，函數(shù)取最大值﹣1，故a∈[﹣2，﹣1]，故選：A．點睛：圖像上存在關于軸對稱的點，即方程a﹣x2=﹣（2x+1）?a=x2﹣2x﹣1在區(qū)間[1，2]上有解，轉化為方程有解求參的問題，變量分離，畫出函數(shù)圖像，使得函數(shù)圖像和常函數(shù)圖像有交點即可；這是解決方程有解，圖像有交點，函數(shù)有零點的常見方法。4、B【解析】

利用周期公式計算出周期，根據對稱軸對應的是最值，然后分析單調減區(qū)間.【詳解】因為，若取到最大值，則，即，此時處最接近的單調減區(qū)間是：即，故B符合；若取到最小值，則，即，此時處最接近的單調減區(qū)間是：即，此時無符合答案；故選：B.【點睛】對于正弦型函數(shù)，對稱軸對應的是函數(shù)的最值，這一點值得注意.5、D【解析】

由題意求得數(shù)列的通項公式為，令，解得，即可得到答案.【詳解】由題意，根據等差數(shù)列的性質，可得，即又由，即，所以等差數(shù)列的公差為，又由，解得，所以數(shù)列的通項公式為，令，解得，所以使得取得最大值時的值為8，故選D.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質，等差數(shù)列的通項公式，以及前n項和最值問題，其中解答中熟記等差數(shù)列的性質和通項公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.6、C【解析】an＝＝－()，前n項和Sn＝－[(1－)＋(－)]＋…＋()]＝－1＝24，故n＝624.故選C.7、B【解析】

利用角的關系，再利用兩角差的正切公式即可求出的值.【詳解】因為，且為銳角，則，所以，因為，所以故選B.【點睛】主要考查了兩角差的正切公式，同角三角函數(shù)的平方關系，屬于中檔題.對于給值求值問題，關鍵是尋找已知角（條件中的角）與未知角（問題中的角）的關系，用已知角表示未知角，從而將問題轉化為求已知角的三角函數(shù)值，再利用兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式以及誘導公式即可求出.8、B【解析】

先求出甲、乙、丙三人隨機排成一排的基本事件的個數(shù)，再求出乙站在中間的基本事件的個數(shù)，再求概率即可.【詳解】解：三個人排成一排的所有情況有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙乙甲,丙甲乙共6種，乙在中間有2種，所以乙在中間的概率為，故選B.【點睛】本題考查了古典概型，屬基礎題.9、D【解析】試題分析：本題是選擇題，可采用逐一檢驗，利用特殊值法進行檢驗，很快問題得以解決．解：∵a>b，c>d;∴設a=1，b=-1，c=-2，d=-5,選項A，1-（-2）>-1-（-5），不成立;選項B，1（-2）>（-1）（-5），不成立;取選項C，，不成立,故選D考點：不等式的性質點評：本題主要考查了基本不等式，基本不等式在考綱中是C級要求，本題屬于基礎題10、B【解析】

先求出，由此能求出．【詳解】∵全集，集合，∴，∴．故選B．【點睛】本題主要考查集合、并集、補集的運算等基本知識，體現(xiàn)運算能力、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

設等比數(shù)列的公比為，由可求出的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，，因此，數(shù)列的公比為，故答案為：.【點睛】本題考查等比數(shù)列公比的計算，在等比數(shù)列的問題中，通常將數(shù)列中的項用首項和公比表示，建立方程組來求解，考查運算求解能力，屬于基礎題.12、【解析】

由在區(qū)間上具有單調性，且知，函數(shù)的對稱中心為，由知函數(shù)的對稱軸為直線，設函數(shù)的最小正周期為，所以，，即，所以，解得，故答案為.考點：函數(shù)的對稱性、周期性，屬于中檔題.13、【解析】

設等差數(shù)列的公差為，根據題意建立和的方程組，解出這兩個量，即可求出的值.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查等差數(shù)列中項的計算，解題的關鍵就是要建立首項和公差的方程組，利用這兩個基本量來求解，考查運算求解能力，屬于基礎題.14、π【解析】

根據正弦定理化簡角的關系式，從而湊出cosA【詳解】由正弦定理得：a2=則cos∵A∈0,π本題正確結果：π【點睛】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形問題，屬于基礎題.15、【解析】

根據冪函數(shù)定義知，又，由二倍角公式即可求解.【詳解】因為為冪函數(shù)，所以，即,因為,所以，即，因為，所以，.故填.【點睛】本題主要考查了冪函數(shù)的定義，正弦的二倍角公式，屬于中檔題.16、8【解析】

根據題中數(shù)列，結合等比數(shù)列的性質，得到，即可得出結果.【詳解】因為數(shù)列為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，所以.故答案為【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質的應用，熟記等比數(shù)列的性質即可，屬于基礎題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2；（2）見解析.【解析】

（1）由已知利用周期公式可求最小正周期T＝8，由題意可求Q坐標為（1，0）．P坐標為（2，a），結合△OPQ為等腰直角三角形，即可得解a的值．（2）由（Ⅰ）知，|OP|＝2，|OQ|＝1，可求點P′，Q′的坐標，由點P′在曲線y（x＞0）上，利用倍角公式，誘導公式可求cos2，又結合0＜α，可求sin2α的值，由于1cosα?1sinα＝8sin2α＝23，即可證明點Q′不落在曲線y（x＞0）上．【詳解】（Ⅰ）因為函數(shù)f（x）＝asin（x）（a＞0）的最小正周期T8，所以函數(shù)f（x）的半周期為1，所以|OQ|＝1．即有Q坐標為（1，0）．又因為P為函數(shù)f（x）圖象的最高點，所以點P坐標為（2，a），又因為△OPQ為等腰直角三角形，所以a2．（Ⅱ）點Q′不落在曲線y（x＞0）上．理由如下：由（Ⅰ）知，|OP|＝2，|OQ|＝1，所以點P′，Q′的坐標分別為（2cos（），2sin（）），（1cosα，1sinα），因為點P′在曲線y（x＞0）上，所以3＝8cos（）sin（）＝1sin（2）＝1cos2α，即cos2，又0＜α，所以sin2α．又1cosα?1sinα＝8sin2α＝823．所以點Q′不落在曲線y（x＞0）上．18、（1）an=【解析】

（1）利用an=S（2）利用錯位相減法可求Tn【詳解】（1）因為Sn=2整理得到an=4,n=1（2）因為bn所以Tn2T所以-Tn【點睛】數(shù)列求和關鍵看通項的結構形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.19、（1）見解析（2）或【解析】

（1）先計算半徑，得到圓方程，再計算AB坐標，計算的面積得到答案.（2）根據計算得到答案.【詳解】（1），過原點取取為定值.（2）設直線與圓C交于點M，N，若設中點為，連接圓心在上圓C的方程為：或【點睛】本題考查了三角形面積，直線和圓的位置關系，意在考查學生的計算能力.20、（1）3人，2人，1人.（2）0.8.（3）第3組【解析】分析：（Ⅰ）由分層抽樣方法可得第組：＝人；第組：＝人；第組：＝人；（Ⅱ）利用列舉法可得個人抽取兩人共有中不同的結果，其中第組的兩位同學至少有一位同學被選中的情況有種，利用古典概型概率公式可得結果；（Ⅲ）由前兩組頻率和為，中位數(shù)可得在第組.詳解：（Ⅰ）因為第3，4，5組共有60名學生，所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，每組學生人數(shù)分別為：第3組：＝3人；第4組：＝2人；第5組：＝1人.所以第3，4，5組分別抽取3人，2人，1人.（Ⅱ）設第3組3位同學為A1，A2，A3，第4組2位同學為B1，B2，第5組1位同學為C1，則從6位同學中抽兩位同學的情況分別為：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）.共有15種.其中第4組的兩位同學至少有一位同學被選中的情況分別為：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12種可能.所以，第4組中至少有一名學生被抽中的概率為0.8.答：第4組中至少有