高考數(shù)學二輪復習專題 集合與常用邏輯用語教學案(教師)_第1頁
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文檔簡介

2013高考數(shù)學二輪復習精品資料專題01集合與常用邏輯用語教學案(教師版)【2013考綱解讀】1.通過實例了解集合的含義,體會元素與集合的從屬關系了解集合中元素的確定性,互異性,無序性.會用集合語言表示有關數(shù)學對象.2.掌握集合的表示方法----列舉法和描述法,并能進行自然語言與集合語言的相互轉換,了解有限集與無限集的概念.3.了解集合間包含關系的意義,理解子集、真子集的概念和意義,會判斷簡單集合的相等關系.4.理解并集、交集的概念和意義,掌握有關集合并集、交集的術語和符號,并會用它們正確地表示一些簡單的集合,能用圖示法表示集合之間的關系.掌握并集、交集的求法.5.了解全集的意義,理解補集的概念.掌握全集與補集的術語和符號,并會用它們正確地表示一些簡單的集合,能用圖示法表示集合之間的關系.6.理解命題的概念;了解“若,則”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題,會分析種命題的相互關系;理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.7.了解邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”的含義.8.理解全稱量詞與存在量詞的意義;能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.【知識網(wǎng)絡構建】【重點知識整合】1.集合(1)元素的特征:確定性、互異性、無序性,元素與集合之間的關系是屬于和不屬于;(2)集合與集合之間的關系:集合與集合之間是包含關系和非包含關系,其中關于包含有包含和真包含,用符號?,表示.其中一個集合本身是其子集的子集,空集是任何非空集合的真子集;(3)集合的運算:A∩B={x|x∈A,且x∈B},A∪B={x|x∈A,或x∈B},?UA={x|x∈U,且x?A}.2.四種命題及其關系(1)四種命題;(2)四種命題之間的關系:四種命題是指對“若p,則q”形式的命題而言的,把這個命題作為原命題,則其逆命題是“若q,則p”,否命題是“若非p,則非q”,逆否命題是“若非q,則非p”,其中原命題和逆否命題、逆命題和否命題是等價的,而且命題之間的關系是相互的。4.邏輯聯(lián)結詞(1)邏輯聯(lián)結詞“或”“且”“非”的含義;(2)帶有邏輯聯(lián)結詞的命題真假:命題p∨q,只要p,q有一為真,即為真命題,換言之,只有p,q均為假命題時才為假;命題p∧q,只有p,q均為真命題時才為真,換言之,只要p,q有一為假,即為假命題;非p和p為一真一假兩個互為對立的命題;(3)“或”命題和“且”命題的否定:命題p∨q的否定是非p∧非q;命題p∧q的否定是非p∨非q.【高頻考點突破】考點一集合的關系和運算1.元素與集合的關系:元素x與集合A之間,要么x∈A,要么x?A,二者必居其一,這就是集合元素的確定性,集合的元素還具有互異性和無序性.解題時要特別注意集合元素互異性的應用.2.運算性質及重要結論(1)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A.(2)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A.(3)A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U.(4)A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A.例1、已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,則a的取值范圍是 ()A.(-∞,-1]B.[1,+∞)C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞)解析:因為P∪M=P,所以M?P,即a∈P,得a2≤1,解得-1≤a≤1,所以a的取值范圍是[-1,1].答案;C【解題方法】解答集合間的包含與運算關系問題的一般思路(1)正確理解各個集合的含義,認清集合元素的屬性,代表的意義.(2)根據(jù)集合中元素的性質化簡集合.(3)在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化.一般地,集合元素離散時用Venn圖表示;集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示,用數(shù)軸表示時注意端點值的取舍.考點二命題真假的判斷1.四種命題有兩組等價關系,即原命題與其逆否命題等價,否命題與逆命題等價.2.含有邏輯聯(lián)結詞的命題的真假判斷:命題p∨q,只要p,q至少有一為真,即為真命題,換言之,見真則真;命題p∧q,只要p,q至少有一為假,即為假命題,換言之,見假則假;非p和p為一真一假兩個互為對立的命題.3.“或”命題和“且”命題的否定:命題p∨q的否定是非p∧非q;命題p∧q的否定是非p∨非q.例2.原命題:若a=1,則函數(shù)f(x)=x3+ax2+ax+1沒有極值,以及它的逆命題、否命題、逆否命題中,真命題的個數(shù)為 ()A.0 B.1C.2 D.4解析:先考慮原命題,當a=1時,f(x)=eq\f(1,3)x3+eq\f(1,2)x2+eq\f(1,2)x+1,f′(x)=x2+x+eq\f(1,2)=(x+eq\f(1,2))2+eq\f(1,4)>0,所以f(x)沒有極值,故原命題為真,因而逆否命題也為真;其逆命題是“若函數(shù)f(x)=eq\f(1,3)x3+eq\f(1,2)ax2+eq\f(1,2)ax+1沒有極值,則a=1”.由f(x)沒有極值,故f′(x)≥0,即x2+ax+eq\f(1,2)a≥0恒成立,這等價于Δ=a2-4×1×eq\f(1,2)a≤0?0≤a≤2,所以其逆命題是假命題,因而否命題也為假命題.答案;C【變式】已知a,b,c都是實數(shù),則命題“若a>b,則ac2>bc2”與它的逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中,真命題的個數(shù)是 ()A.4 B.2C.1 D.0【解題方法】命題真假的判定方法(1)一般命題p的真假由涉及到的相關交匯知識辨別真假.(2)四種命題的真假的判斷根據(jù):一個命題和它的逆否命題同真假,而與它的其他兩個命題的真假無必然聯(lián)系.(3)形如p或q、p且q、非p命題的真假根據(jù)真值表判定.考點三充要條件的判斷對于p和q兩個命題,若p?q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件;若p?q,則p和q互為充要條件.推出符號“?”具有傳遞性,等價符號“?”具有雙向傳遞性.例3、設集合M={1,2},N={a2},則“a=1”是“N?M”的 () A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【變式】設x,y∈R,則“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的 ()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析:因為x≥2且y≥2?x2+y2≥4易證,所以充分性滿足,反之,不成立,如x=y(tǒng)=eq\f(7,4),滿足x2+y2≥4,但不滿足x≥2且y≥2,所以x≥2且y≥2是x2+y2≥4的充分而不必要條件.答案:A【解題方法】對充分、必要條件的判斷或探求要注意以下幾點(1)要弄清先后順序:“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B,且B不能推出A;(2)要善于舉出反例:如果從正面判斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進行時,可以通過舉出恰當?shù)姆蠢齺碚f明;(3)要注意轉化:如果p是q的充分不必要條件,那么非p是非q的必要不充分條件,同理,如果p是q的必要不充分條件,那么非p是非q的充分不必要條件,如果p是q的充要條件,那么非p是非q的充要條件.【難點探究】難點一集合的關系及其運算例1、設集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N=xeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,i)))))<eq\r(2),i為虛數(shù)單位,x∈R,則M∩N為()A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]【拓展】本題需要注意兩個問題,一是兩個集合的含義,二是要注意集合N中的不等式是一個復數(shù)模的實數(shù)不等式,不要根據(jù)實數(shù)的絕對值求解.高考考查集合一般是以集合的形式與表示等式的解、函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域等,在解題時要特別注意集合的含義.【變式1】若集合M={0,1,2},N={(x,y)|x-y≥0,x2+y2≤4,x,y∈M},則N中元素的個數(shù)為()A.9B.6C.4D.2難點二四種命題和充要條件的判斷例2、(1)已知a,b,c∈R,命題“若a+b+c=3,則a2+b2+c2≥3”的否命題是()A.若a+b+c≠3,則a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,則a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,則a2+b2+c2≥3D.若a2+b2+c2≥3,則a+b+c=3(2)對于函數(shù)y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的圖象關于y軸對稱”是“y=f(x)是奇函數(shù)”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【拓展】一個命題的否命題、逆命題、逆否命題是根據(jù)原命題適當變更條件和結論后得到的形式上的命題,解這類試題時要注意對于一些關鍵詞的否定,如本題中等于的否定是不等于,而不是單純的大于、也不是單純的小于;進行充要條件判斷實際上就是判斷兩個命題的真假,這里要注意斷定一個命題為真需要進行證明,斷定一個命題為假只要舉一個反例即可.難點三邏輯聯(lián)結詞、量詞和命題的否定例3.(1)若p是真命題,q是假命題,則()A.p∧q是真命題B.p∨q是假命題C.非p是真命題D.非q是真命題(2)命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是()A.所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)B.所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)C.存在一個不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)D.存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)【拓展】(1)“或”“且”聯(lián)結兩個命題,這兩個命題的真假確定了“或”命題和“且”命題的真假,其中“或”命題是一真即真,“且”命題是一假即假,“非”是對一個命題的否定,命題與其“非”命題一真一假;(2)否定一個命題就是否定這個命題的結論,即推翻這個命題,這與寫出一個命題的否命題是不同的.一個命題的否命題,是否定條件和結論后的形式上的命題,如本題中我們把命題改寫為“已知n為任意整數(shù),若n能被2整除,則n是偶數(shù)”,其否命題是“已知n為任意整數(shù),若n不能被2整除,則n不是偶數(shù)”,顯然這個命題是真命題,但這個命題的否定是假命題.【變式】有四個關于不等式的命題:p1:?x0∈R,xeq\o\al(2,0)+x0+1>0;p2:?x0,y0∈R,xeq\o\al(2,0)+y0-4x0-2y0+6<0;p3:?x,y∈R+,eq\f(2xy,x+y)≤eq\f(x+y,2);p4:?x,y∈R,x3+y3≥x2y+xy2.其中真命題是()A.p1,p4B.p2,p4C.p1,p3D.p2,p【解題技巧】1.解答集合有關問題,首先正確理解集合的意義,準確地化簡集合是關鍵.其次關注元素的互異性,空集是任何集合的子集等問題,關于不等式的解集、抽象集合問題,要借助數(shù)軸和韋恩圖加以解決.2.一個命題的真假與它的否命題的真假沒有必然的聯(lián)系,但一個命題與這個命題的否定是互相對立、一真一假的.3.判斷充要條件的方法,一是結合充要條件的定義;二是根據(jù)充要條件與集合之間的對應關系,把命題對應的元素用集合表示出來,根據(jù)集合之間的包含關系進行判斷,在以否定形式給出的充要條件判斷中可以使用命題的等價轉化方法.4.含有邏輯聯(lián)結詞的命題的真假是由其中的基本命題決定的,這類試題首先把其中的基本命題的真假判斷準確,再根據(jù)邏輯聯(lián)結詞的含義進行判斷.5.特稱命題的否定是全稱命題、全稱命題的否定是特稱命題.【歷屆高考真題】【2012年高考試題】1.【2012高考真題浙江理1】設集合A={x|1<x<4},集合B={x|-2x-3≤0},則A∩(CRB)=A.(1,4)B.(3,4)C.(1,3)D.(1,2)∪(3,4)2.【2012高考真題新課標理1】已知集合;則中所含元素的個數(shù)為()【答案】D【解析】要使,當時,可是1,2,3,4.當時,可是1,2,3.當時,可是1,2.當時,可是1,綜上共有10個,選D.3.【2012高考真題陜西理1】集合,,則()A.B.C.D.4.【2012高考真題山東理2】已知全集,集合,則為(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】,所以,選C.5.【2012高考真題遼寧理1】已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},則為(A){5,8}(B){7,9}(C){0,1,3}(D){2,4,6}6.【2012高考真題江西理1】若集合A={-1,1},B={0,2},則集合{z︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的個數(shù)為()A.5B.4C.3D.2【答案】C【解析】因為,所以當時,,此時。當時,,此時,所以集合共三個元素,選C.7.【2012高考真題湖南理1】設集合M={-1,0,1},N={x|x2≤x},則M∩N=A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,0}8【2012高考真題廣東理2】設集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},則CuM=A.UB.{1,3,5}C.{3,5,6}D.{2,4,6}【答案】C【解析】,故選C.9.【2012高考真題北京理1】已知集合A={x∈R|3x+2>0}B={x∈R|(x+1)(x-3)>0}則A∩B=A(-,-1)B(-1,-)C(-,3)D(3,+)【答案】D【解析】因為,利用二次不等式可得或畫出數(shù)軸易得:.故選D.10.【2012高考真題全國卷理2】已知集合A={1.3.},B={1,m},AB=A,則m=A0或B0或3C1或D1或311.【2012高考真題四川理13】設全集,集合,,則___________?!敬鸢浮俊窘馕觥?,,12.【2012高考真題上海理2】若集合,,則。13.【2012高考真題天津理11】已知集合集合且則m=__________,n=__________.【答案】【解析】由,得,即,所以集合,因為,所以是方程的根,所以代入得,所以,此時不等式的解為,所以,即。14.【2012高考江蘇1】(5分)已知集合,,則▲.【答案】?!窘馕觥坑杉系牟⒓饬x得。15.【2012高考江蘇26】(10分)設集合,.記為同時滿足下列條件的集合的個數(shù):①;②若,則;③若,則。(1)求;(2)求的解析式(用表示).【2011年高考試題】1.(2011年高考北京卷理科1)已知集合P={x︱x2≤1},M={a}.若P∪M=P,則a的取值范圍是A.(-∞,-1] B.[1,+∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞)【答案】C【解析】因為P∪M=P,所以,故選C.2.(2011年高考福建卷理科1)i是虛數(shù)單位,若集合S=,則A.B.C.D.3.(2011年高考遼寧卷理科2)已知M,N為集合I的非空真子集,且M,N不相等,若()(A)M(B)N(C)I(D)【答案】A【解析】因為且M,N不相等,得N是M的真子集,故答案為M.4.(2011年高考廣東卷理科2)已知集合A={(x,y)|x,y為實數(shù),且x2+y2=l},B={(x,y)|x,y為實數(shù)

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