河北省鹿泉縣第一中學(xué)新高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷及答案解析

河北省鹿泉縣第一中學(xué)新高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)正項等差數(shù)列的前項和為，且滿足，則的最小值為A．8 B．16 C．24 D．362．《九章算術(shù)》“少廣”算法中有這樣一個數(shù)的序列：列出“全步”（整數(shù)部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分約簡，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）分子和以通之?dāng)?shù)，逐個照此同樣方法，直至全部為整數(shù)，例如：及時，如圖：記為每個序列中最后一列數(shù)之和，則為（）A．147 B．294 C．882 D．17643．下列函數(shù)中既關(guān)于直線對稱，又在區(qū)間上為增函數(shù)的是()A．. B．C． D．4．給出下列四個命題：①若“且”為假命題，則﹑均為假命題；②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；③若命題，，則命題，；④設(shè)集合，，則“”是“”的必要條件；其中正確命題的個數(shù)是（）A． B． C． D．5．若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則公比（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知數(shù)列的前項和為，且，，，則的通項公式（）A． B． C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知是圓上兩個動點，且滿足，設(shè)到直線的距離之和的最大值為，若數(shù)列的前項和恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則的值為（）A．1 B．2 C． D．49．已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，若中點的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是A． B．C． D．10．設(shè)函數(shù)，若在上有且僅有5個零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)（，且）在區(qū)間上的值域為，則（）A． B． C．或 D．或412．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在△ABC中，E為邊AC上一點，且，P為BE上一點，且滿足，則的最小值為______．14．已知的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等，則__________.15．已知數(shù)列的前項和且，設(shè)，則的值等于_______________.16．如圖所示梯子結(jié)構(gòu)的點數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點為，點，點為拋物線上的動點．（1）若的最小值為，求實數(shù)的值；（2）設(shè)線段的中點為，其中為坐標(biāo)原點，若，求的面積．18．（12分）已知橢圓：（），點是的左頂點，點為上一點，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點的直線與的另一個交點為（異于點），是否存在直線，使得以為直徑的圓經(jīng)過點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.19．（12分）定義：若數(shù)列滿足所有的項均由構(gòu)成且其中有個，有個，則稱為“﹣數(shù)列”．（1）為“﹣數(shù)列”中的任意三項，則使得的取法有多少種？（2）為“﹣數(shù)列”中的任意三項，則存在多少正整數(shù)對使得且的概率為.20．（12分）移動支付（支付寶及微信支付）已經(jīng)漸漸成為人們購物消費的一種支付方式，為調(diào)查市民使用移動支付的年齡結(jié)構(gòu)，隨機(jī)對100位市民做問卷調(diào)查得到列聯(lián)表如下：（1）將上列聯(lián)表補充完整，并請說明在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為支付方式與年齡是否有關(guān)？（2）在使用移動支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進(jìn)一步的問卷調(diào)查，從這10人隨機(jī)中選出3人頒發(fā)參與獎勵，設(shè)年齡都低于35歲（含35歲）的人數(shù)為，求的分布列及期望.（參考公式：（其中）21．（12分）在數(shù)列和等比數(shù)列中，，，.（1）求數(shù)列及的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.22．（10分）如圖，在四棱錐中底面是菱形，，是邊長為的正三角形，，為線段的中點．求證：平面平面；是否存在滿足的點，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

方法一：由題意得，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得成等差數(shù)列，設(shè)，則，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，從而的最小值為16，故選B．方法二：設(shè)正項等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列的前項和公式及，化簡可得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，從而的最小值為16，故選B．2、A【解析】

根據(jù)題目所給的步驟進(jìn)行計算，由此求得的值.【詳解】依題意列表如下：上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選：A【點睛】本小題主要考查合情推理，考查中國古代數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的對稱性和單調(diào)性的特點，利用排除法，即可得出答案.【詳解】A中，當(dāng)時，，所以不關(guān)于直線對稱，則錯誤；B中，，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，則錯誤；D中，，而，則，所以不關(guān)于直線對稱，則錯誤；故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)基本性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

①利用真假表來判斷，②考慮內(nèi)角為，③利用特稱命題的否定是全稱命題判斷，④利用集合間的包含關(guān)系判斷.【詳解】若“且”為假命題，則﹑中至少有一個是假命題，故①錯誤；當(dāng)內(nèi)角為時，不是象限角，故②錯誤；由特稱命題的否定是全稱命題知③正確；因為，所以，所以“”是“”的必要條件，故④正確.故選：B.【點睛】本題考查命題真假的問題，涉及到“且”命題、特稱命題的否定、象限角、必要條件等知識，是一道基礎(chǔ)題.5、C【解析】

由正項等比數(shù)列滿足，即，又，即，運算即可得解.【詳解】解：因為，所以，又，所以，又，解得.故選：C.【點睛】本題考查了等比數(shù)列基本量的求法，屬基礎(chǔ)題.6、C【解析】

利用證得數(shù)列為常數(shù)列，并由此求得的通項公式.【詳解】由，得，可得（）.相減得，則（），又由，，得，所以，所以為常數(shù)列，所以，故.故選：C【點睛】本小題考查數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力，應(yīng)用意識.7、B【解析】

由于到直線的距離和等于中點到此直線距離的二倍，所以只需求中點到此直線距離的最大值即可。再得到中點的軌跡是圓，再通過此圓的圓心到直線距離，半徑和中點到此直線距離的最大值的關(guān)系可以求出。再通過裂項的方法求的前項和，即可通過不等式來求解的取值范圍.【詳解】由，得，.設(shè)線段的中點，則，在圓上，到直線的距離之和等于點到該直線的距離的兩倍，點到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和，而圓的圓心到直線的距離為，，，..故選：【點睛】本題考查了向量數(shù)量積，點到直線的距離，數(shù)列求和等知識，是一道不錯的綜合題.8、B【解析】

因為圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則圓心為（3,0），半徑為4，根據(jù)相切可知，圓心到直線的距離等于半徑，可知的值為2，選B.【詳解】請在此輸入詳解！9、D【解析】

根據(jù)點差法得，再根據(jù)焦點坐標(biāo)得，解方程組得，，即得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由題意可得，設(shè)，，則的中點為，由且，得，，即，聯(lián)立，解得，，故所求雙曲線的方程為．故選D．【點睛】本題主要考查利用點差法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，考查基本求解能力，屬于中檔題.10、A【解析】

由求出范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象零點特征，建立不等量關(guān)系，即可求解.【詳解】當(dāng)時，，∵在上有且僅有5個零點，∴，∴.故選:A.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，整體代換是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

對a進(jìn)行分類討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及值域求解.【詳解】分析知，.討論：當(dāng)時，，所以，，所以；當(dāng)時，，所以，，所以.綜上，或，故選C.【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域問題，指數(shù)函數(shù)的值域一般是利用單調(diào)性求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).12、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式，判斷出正確選項.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，所以，由于，所以，故“”是“”的充分必要條件.故選：C【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查等比數(shù)列前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：根據(jù)題意有，因為三點共線，所以有，從而有，所以的最小值是．考點：向量的運算，基本不等式．【方法點睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用基本不等式求最值的問題，屬于中檔題目，在解題的過程中，關(guān)鍵步驟在于對題中條件的轉(zhuǎn)化，根據(jù)三點共線，結(jié)合向量的性質(zhì)可知，從而等價于已知兩個正數(shù)的整式形式和為定值，求分式形式和的最值的問題，兩式乘積，最后應(yīng)用基本不等式求得結(jié)果，最后再加，得出最后的答案．14、【解析】

根據(jù)的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等，得到，再利用組合數(shù)公式求解.【詳解】因為的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等，所以，即，所以，即，解得.故答案為：10【點睛】本題主要考查二項式的系數(shù)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、7【解析】

根據(jù)題意，當(dāng)時，，可得，進(jìn)而得數(shù)列為等比數(shù)列，再計算可得，進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】由題意，當(dāng)時，，又，解得，當(dāng)時，由，所以，，即，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，又，，所以，.故答案為：.【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，計算得是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.16、【解析】

根據(jù)圖像歸納，根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】根據(jù)圖像：，，故，故.故答案為：.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的值為或.（2）【解析】

（1）分類討論，當(dāng)時，線段與拋物線沒有公共點，設(shè)點在拋物線準(zhǔn)線上的射影為，當(dāng)三點共線時，能取得最小值，利用拋物線的焦半徑公式即可求解；當(dāng)時，線段與拋物線有公共點，利用兩點間的距離公式即可求解.（2）由題意可得軸且設(shè)，則，代入拋物線方程求出，再利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】由題，，若線段與拋物線沒有公共點，即時，設(shè)點在拋物線準(zhǔn)線上的射影為，則三點共線時，的最小值為，此時若線段與拋物線有公共點，即時，則三點共線時，的最小值為：，此時綜上，實數(shù)的值為或.因為，所以軸且設(shè)，則，代入拋物線的方程解得于是，所以【點睛】本題考查了拋物線的焦半徑公式、直線與拋物線的位置關(guān)系中的面積問題，屬于中檔題.18、（1）；（2）存在，【解析】

（1）把點代入橢圓C的方程，再結(jié)合離心率，可得a,b,c的關(guān)系，可得橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的方程，代入橢圓，運用韋達(dá)定理可求得點的坐標(biāo)，再由，可求得直線的方程,要注意檢驗直線是否和橢圓有兩個交點．【詳解】（1）由題可得∴，所以橢圓的方程（2）由題知，設(shè)，直線的斜率存在設(shè)為，則與橢圓聯(lián)立得，，∴，，∴若以為直徑的圓經(jīng)過點，則，∴，化簡得，∴，解得或因為與不重合，所以舍.所以直線的方程為.【點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了向量的數(shù)量積的運用，屬于中檔題.19、（1）16；（2）115.【解析】

(1)易得使得的情況只有“”,“”兩種,再根據(jù)組合的方法求解兩種情況分別的情況數(shù)再求和即可.(2)易得“”共有種,“”共有種.再根據(jù)古典概型的方法可知,利用組合數(shù)的計算公式可得,當(dāng)時根據(jù)題意有,共個；當(dāng)時求得,再根據(jù)換元根據(jù)整除的方法求解滿足的正整數(shù)對即可.【詳解】解：（1）三個數(shù)乘積為有兩種情況：“”,“”,其中“”共有：種,“”共有：種,利用分類計數(shù)原理得：為“﹣數(shù)列”中的任意三項,則使得的取法有：種．（2）與(1)同理,“”共有種,“”共有種,而在“﹣數(shù)列”中任取三項共有種,根據(jù)古典概型有：,再根據(jù)組合數(shù)的計算公式能得到：,時,應(yīng)滿足,,共個,時,應(yīng)滿足,視為常數(shù),可解得,,根據(jù)可知,,,,根據(jù)可知,,（否則）,下設(shè),則由于為正整數(shù)知必為正整數(shù),,,化簡上式關(guān)系式可以知道：,均為偶數(shù),設(shè),則,由于中必存在偶數(shù),只需中存在數(shù)為的倍數(shù)即可,,．檢驗：符合題意,共有個,綜上所述：共有個數(shù)對符合題意．【點睛】本題主要考查了排列組合的基本方法,同時也考查了組合數(shù)的運算以及整數(shù)的分析方法等,需要根據(jù)題意20、（1）列聯(lián)表見解析，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān)；（2）分布列見解析，期望為.【解析】

（1）根據(jù)題中所給的條件補全列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表求出觀測值，把觀測值同臨界值進(jìn)行比較，得到能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān).（2）首先確定的取值，求出相應(yīng)的概率，可得分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）根據(jù)題意及列聯(lián)表可得完整的列聯(lián)表如下：35歲以下（含35歲）35歲以上合計使用移動支付401050不使用移動支付104050合計5050100根據(jù)公式可得，所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為支付方式