湖南省寧鄉(xiāng)縣一中2025屆高一數學第二學期期末調研試題含解析

湖南省寧鄉(xiāng)縣一中2025屆高一數學第二學期期末調研試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知是等差數列，，其前10項和，則其公差A． B． C． D．2．在數列中,,則數列的前n項和的最大值是（）A．136 B．140 C．144 D．1483．已知，則()A．-3 B． C． D．34．若等差數列的前5項之和，且，則（）A．12 B．13 C．14 D．155．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（）A． B． C． D．6．已知數列，對于任意的正整數，，設表示數列的前項和.下列關于的結論，正確的是（）A． B．C． D．以上結論都不對7．如圖，為正方體，下面結論錯誤的是（）A．異面直線與所成的角為45° B．平面C．平面平面 D．異面直線與所成的角為45°8．已知集合，，則()A． B． C． D．9．下列函數中，在上存在最小值的是()A． B． C． D．10．在中，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，若的最大值為，則實數__________．12．已知角的終邊經過點，則______．13．已知數列的前n項和，則數列的通項公式是______.14．如圖,圓錐型容器內盛有水,水深,水面直徑放入一個鐵球后,水恰好把鐵球淹沒,則該鐵球的體積為________15．若銳角滿足則______.16．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知,,，則______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，三個內角所對的邊分別為，滿足.（1）求角的大?。唬?）若，求，的值.（其中）18．已知直線經過兩條直線:和:的交點，直線:；(1)若，求的直線方程；(2)若，求的直線方程．19．如圖所示，某住宅小區(qū)的平面圖是圓心角為120°的扇形，小區(qū)的兩個出入口設置在點及點處，且小區(qū)里有一條平行于的小路，已知某人從沿走到用了10分鐘，從沿走到用了6分鐘，若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑的長.20．在平面直角坐標系中，已知圓過坐標原點且圓心在曲線上.（1）若圓分別與軸、軸交于點、（不同于原點），求證：的面積為定值；（2）設直線與圓交于不同的兩點、，且，求圓的方程；（3）設直線與（2）中所求圓交于點、，為直線上的動點，直線、與圓的另一個交點分別為、，求證：直線過定點.21．如圖是函數的部分圖象.（1）求函數的表達式；（2）若函數滿足方程，求在內的所有實數根之和；（3）把函數的圖象的周期擴大為原來的兩倍，然后向右平移個單位，再把縱坐標伸長為原來的兩倍，最后向上平移一個單位得到函數的圖象．若對任意的，方程在區(qū)間上至多有一個解，求正數的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】，解得，則，故選D．2、C【解析】

可得數列為等差數列且前8項為正數，第9項為0，從第10項開始為負數，可得前8或9項和最大，由求和公式計算可得．【詳解】解：∵在數列中,，

，即數列為公差為?4的等差數列，

，

令可得，

∴遞減的等差數列中前8項為正數，第9項為0，從第10項開始為負數，

∴數列的前8或9項和最大，

由求和公式可得

故選：C．【點睛】本題考查等差數列的求和公式和等差數列的判定，屬基礎題．3、C【解析】

由同角三角函數關系得到余弦、正切，再由兩角差的正切公式得到結果.【詳解】已知，則,,則故答案為C.【點睛】這個題目考查了三角函數的化簡求值，1.利用sin2α＋cos2α＝1可以實現角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以實現角α的弦切互化；2.注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.4、B【解析】試題分析：由題意得，，又，則，又，所以等差數列的公差為，所以．考點：等差數列的通項公式．5、A【解析】

正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高上，記為O，PO=AO=R，，=4-R，在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面積，故選A.考點：球的體積和表面積6、B【解析】

根據題意，結合等比數列的求和公式，先得到當時，，再由極限的運算法則，即可得出結果.【詳解】因為數列，對于任意的正整數，，表示數列的前項和，所以，，，...…，所以當時，，因此.故選：B【點睛】本題主要考查數列的極限，熟記等比數列的求和公式，以及極限的運算法則即可，屬于?？碱}型.7、A【解析】

根據正方體性質，依次證明線面平行和面面平行，根據直線的平行關系求異面直線的夾角.【詳解】根據正方體性質，，所以異面直線與所成的角等于，，，所以不等于45°，所以A選項說法不正確；，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，所以平面，所以B選項說法正確；同理可證：平面，是平面內兩條相交直線，所以平面平面，所以C選項說法正確；，異面直線與所成的角等于，所以D選項說法正確.故選：A【點睛】此題考查線面平行和面面平行的判定，根據平行關系求異面直線的夾角，考查空間線線平行和線面平行關系的掌握8、D【解析】依題意，故.9、A【解析】

結合初等函數的單調性，逐項判定，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數，當時，取得最小值，滿足題意；函數在為單調遞增函數，所以函數在區(qū)間無最小值，所以B不正確；函數在為單調遞增函數，所以函數在區(qū)間無最小值，所以C不正確；函數在為單調遞增函數，所以函數在區(qū)間無最小值，所以D不正確.故選：A.【點睛】本題主要考查了函數的最值問題，其中解答中熟記基本初等函數的單調性，合理判定是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.10、A【解析】

由已知利用余弦定理即可解得的值．【詳解】解：，，，由余弦定理可得：，解得：，故選：A．【點睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1或；【解析】

要使最大，則最小．【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑為．∵若的最大值為，∴，解得或．故答案為1或．【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，解題思路是平面上對圓的張角問題，顯然在點固定時，圓外的點作圓的兩條切線，這兩條切線間的夾角是最大角，而當點離圓越近時，這個又越大．12、【解析】由題意，則.13、【解析】

時,,利用時,可得,最后驗證是否滿足上式,不滿足時候,要寫成分段函數的形式.【詳解】當時,,當時,=,又時,不適合,所以.【點睛】本題考查了由求,注意使用求時的條件是,所以求出后還要驗證適不適合,如果適合,要將兩種情況合成一種情況作答,如果不適合,要用分段函數的形式作答.屬于中檔題.14、【解析】

通過將圖形轉化為平面圖形，然后利用放球前后體積等量關系求得球的體積.【詳解】作出相關圖形，顯然,因此，因此放球前，球O與邊相切于點M，故，則，所以，,所以放球后，而，而，解得.【點睛】本題主要考查圓錐體積與球體積的相關計算，建立體積等量關系是解決本題的關鍵，意在考查學生的劃歸能力，計算能力和分析能力.15、【解析】

由已知利用同角三角函數基本關系式可求，的值，利用兩角差的余弦公式即可計算得解．【詳解】、為銳角，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了同角三角函數基本關系式，兩角差的余弦函數公式在三角函數化簡求值中的應用，屬于基礎題．16、30°【解析】

直接利用正弦定理得到或，再利用大角對大邊排除一個答案.【詳解】即或，故，故故答案為【點睛】本題考查了正弦定理，沒有利用大角對大邊排除一個答案是容易發(fā)生的錯誤.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）4，6【解析】

（1）已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式化簡，求出的值，即可確定出的度數；（2）根據平面向量數量積的運算法則計算得到一個等式，記作①，把的度數代入求出的值,記作②,然后利用余弦定理表示出，把及的值代入求出的值，利用完全平方公式表示出，把相應的值代入，開方求出的值,由②③可知與為一個一元二次方程的兩個解,求出方程的解,根據大于，可得出，的值.【詳解】（1）已知等式，利用正弦定理化簡得，整理得，即，，則.（2）由，得，①又由（1），②由余弦定理得，將及①代入得，，，③由②③可知與為一個一元二次方程的兩個根，解此方程，并由大于，可得.【點睛】以三角形和平面向量為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對三角函數及解三角形進行考查是近幾年高考考查的一類熱點問題，一般難度不大，但綜合性較強.解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導公式以及二倍角公式，一定要熟練掌握并靈活應用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.18、(1)；(2)【解析】

(1)先求出與的交點，再利用兩直線平行斜率相等求直線l(2)利用兩直線垂直斜率乘積等于-1求直線l【詳解】（1）由，得，∴與的交點為.設與直線平行的直線為，則，∴.∴所求直線方程為.（2）設與直線垂直的直線為，則，解得．∴所求直線方程為.【點睛】兩直線平行斜率相等，兩直線垂直斜率乘積等于-1．19、【解析】

連接，由題意，得米，米，，在△中，由余弦定理可得答案.【詳解】設該扇形的半徑為米，連接，如圖所示：由題意，得米，米，，在△中，由余弦定理得，即，解得米.答：該扇形的半徑的長為米.【點睛】本題考查了利用余弦定理解三角形，將問題轉化為在三角形中求解是解題關鍵，屬于基礎題.20、（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.【解析】

（1）由題意設圓心坐標為，可得半徑為，求出圓的方程，分別令、，可得出點、的坐標，利用三角形的面積公式即可證明出結論成立；（2）由，知，利用兩直線垂直的等價條件：斜率之積為，解方程可得，討論的取值，求得圓心到直線的距離，即可得到所求圓的方程；（3）設，、，求得、的坐標，以及直線、的方程，聯(lián)立圓的方程，利用韋達定理，結合，得出，設直線的方程為，代入圓的方程，利用韋達定理，可得、之間的關系，即可得出所求的定點.【詳解】（1）由題意可設圓心為，則圓的半徑為，則圓的方程為，即.令，得，得；令，得，得.（定值）；（2）由，知，所以，解得.當時，圓心到直線的距離小于半徑，符合題意；當時，圓心到直線的距離大于半徑，不符合題意.所以，所求圓的方程為；（3）設，，，又知，，所以，.因為，所以.將，代入上式，整理得.①設直線的方程為，代入，整理得.所以，.代入①式，并整理得，即，解得或.當時，直線的方程為，過定點；當時，直線的方程為，過定點檢驗定點和、共線，不合題意，舍去.故過定點.【點睛】本題考查圓的方程的求法和運用，注意運用聯(lián)立直線方程和圓的方程，消去一個未知數，運用韋達定理，考查直線恒過定點的求法，考查運算能力，屬于難題．21、（1）（2）答案不唯一，具體見解析（3）【解析】

（1）根據圖像先確定A,再確定，代入一個特殊點再確定．（2）根據（1）的結果結合圖像即可解決．（3）根據（1）的結果以及三角函數的變換求出即可解決．【詳解】解：（Ⅰ）由圖可知：，即，又由圖可知：是五點作圖法中的第三點，