2024年高考數(shù)學專項練習：導數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題的研究（解析版）

2024年高考數(shù)學專項練習導數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題的研究（解

析版）

導教身三角褊毅輅合同殿的研究

■考■

有關(guān)導數(shù)與三角函數(shù)交匯的試題在高考與模擬試題中頻頻出現(xiàn).在函數(shù)與導數(shù)試題中加入三角函數(shù)，由于三角

函數(shù)具有周期性,無法通過多次求導使三角函數(shù)消失，使得后續(xù)問題的處理比較困難,從而造成學生思維上的

難度.我們可從以下幾個角度來突破此類問題的難點.

1.分段討論

①以一卷，0,彳■，兀，…為端點分區(qū)間討論；②以三角函數(shù)的最值點為端點分段討論?

2.巧用放縮，消去三角函數(shù)

①正弦函數(shù)：當2>0時,2>sina;>x—-^-a;2.②余弦函數(shù):cosrc>1—-^-rc2.

③正切函數(shù)：當/e（0,g）時,sin/VrcVtanc.④數(shù)值域:sineG[—l,l],cosa?E[—1,1].

3.分離函數(shù):將含有三角函數(shù)的式子放到一起.

4.分離參數(shù):轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題.

5.半分離參數(shù):將不等式等價轉(zhuǎn)化，化為左右兩邊函數(shù)是一直線與一曲線,考慮端點處的切線斜率.

_L題■—

【精選例題】

題目工|已知函數(shù)/（C）=e"—aa?,aER,/（z）是/（2）的導數(shù).

（1）討論/（，）的單調(diào)性,并證明：e">2,；

（2）若函數(shù)g（c）=/'（2）—rreose在區(qū)間[0,+8）內(nèi)有唯一的零點，求a的取值范圍.

題目可已知函數(shù)/⑺=sin力一比一ae。其中Q為實數(shù),e是自然對數(shù)的底數(shù).

⑴若a=—l,證明:/（力）＞0;

（2）若f（x）在（0,兀）上有唯一的極值點,求實數(shù)a的取值范圍.

目已知函數(shù)/（力）=e力gQ）=sin/+cosx.

（1）求證：/（力）＞力+1；

（2）若力＞0,問/（力）+g{x）—2—ax^0（a6R）是否恒成立？若恒成立，求。的取值范圍;若不恒成立，請說

明理由

???

題目二|已知函數(shù)/(力)=e/+cos/—Q(QeR).

(1)討論，(力)在[—兀,+8)上的單調(diào)性；

(2)當力e[0,+oo)時,e^+sina;>ax+1恒成立，求Q的取值范圍.

題目支|已知函數(shù)/(劣)=asin力，其中Q>0.

(1)若/(力)《力在[0,+oo)上恒成立，求。的取值范圍；

(2)證明:V宏G(0,+oo)，有2e*>(6+—)[ln(rc+1)+sinx].

???

題目五|已知函數(shù)/⑺=ae°+4sin力—5力.

(1)若Q=4,判斷/(力)在［0,+8)上的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)p(力)=3sinc—2力+2,若關(guān)于力的方程/(力)=0(/)有唯一的實根，求Q的取值范圍.

題目可已知函數(shù)/(比)=6,，g(力)=2—sinx—cosx.

(1)求證：當力6(0,+oo),x>sinrr；

(2)若力G(0,+oo),f(jj)>gQ)恒成立，求實數(shù)Q的取值范圍.

???

題目瓦|已知函數(shù)/(力)=asina;—ln(l+a;)(aGR).

(1)若a=—1,求證：V力>0,/(a;)+2力>0；

(2)當a>1時,對任意①C［。,寺］,都有/(⑼>0,求整數(shù)k的最大值.

題目可已知函數(shù)/(c)=(力一l)e"+ac+1.

(1)若/(，)有兩個極值點,求a的取值范圍；

(2)若力>0,/(力)>2sin/，求a的取值范圍.

???

^^■工口已知函數(shù)/(力)=%—sin(~^c)—aln/,N=1為其極小值點.

(1)求實數(shù)Q的值；

(2)若存在力1W+2,使得/(0)=/(◎)，求證：力1+力2>2.

題目叵(2023全國新高考2卷)⑴證明：當0VcV1時，/一/VsincV/；

(2)已知函數(shù)/(力)=cosax—ln(l—力9,若/=0是/(力)的極大值點，求Q的取值范圍.

???

【限蹤訓練】

［題目|1］已知函數(shù)/㈤^xeTx+asmx,e是自然對數(shù)的底數(shù)，若土=0恰為了㈤的極值點.

(1)求實數(shù)a的值；

(2)求/(,)在區(qū)間(-oo,^)上零點的個數(shù).

題目可已知函數(shù)/(2)=2cosc+ln(l+/)一1.

(1)判斷函數(shù)/(⑼在區(qū)間(01)上零點和極值點的個數(shù),并給出證明;

(2)若，＞0時,不等式/(切Vac+1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

???

題目可已知函數(shù)/（力）=xex—l,g⑸=a（x+lnx）且/（劣）一gQ）>0恒成立.

⑴求Q的值；

⑵證明:x3ex>（a?2+3）lna;+2sinrc.

（注:其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)）

題目⑷已知函數(shù)/（力）=力+sine，力eR.

（1）設(shè)gQ）=/（/）--^-x，求函數(shù)gQ）的極大值點；

（2）若對V力G［?？迹荩坏仁?（力）'館/cos6（m>0）恒成立，求加的取值范圍.

???

面目回已知函數(shù)/（力）=或？一Q（力sin力+cos力）+cosT+a（a;＞0）.

（1）當Q=1時，

（1）求（兀,/（兀））處的切線方程；（〃）判斷/（力）的單調(diào)性,并給出證明;

（2）若/（力）＞1恒成立，求a的取值范圍.

題目五|已知/（/）=arc2—COST—xsinx+a（aER）.

⑴當a=］時，求g=/Q）在［一兀，兀］內(nèi)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對任意的力GR時,/（力）＞2恒成立,求實數(shù)Q的取值范圍.

???

題目可已知函數(shù)/（力）=ex~a—x—cosx,x6（―兀,兀）其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當Q=0時，證明：/（力）＞0;

（2）當。=1時，求函數(shù)"=/（力）零點個數(shù).

~8^|已知函數(shù)/（力）=（a一l）ex+ax+1.

⑴若a=-e,求/⑺的極值；

（2）若力＞0,/（力）＞2sin/,求a的取值范圍.

???

題目目|已知函數(shù)/(,)=2sinrc—ln(l+s)(0<a:<7t).

(1)證明：函數(shù)/(2)有唯一的極值點a,及唯一的零點6；

(2)對于⑴問中a,萬，比較2a與6的大小，并證明你的結(jié)論.

題目:乙已知函數(shù)/(2)=aa?+a；—ln2c.

(1)若/(，)在［1,+oo)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(2)若函數(shù)g(0)=但士1叫—sine在(0㈤上存在零點，求a的取值范圍.

???

題目11）已知函數(shù)/（力）=ln/+sin/.

（1）求函數(shù)/（力）在區(qū)間［l,e］上的最小值;

（2）判斷函數(shù)/（力）的零點個數(shù)，并證明.

題目已知函數(shù)/（6）=］Q62_（Q—2）/—21n力.

⑴當Q=2時，證明：—>sinx.

（2）討論了（為的單調(diào)性.

???

題目叵)⑴證明:當C<1時，工+l4e，W匚3；

(2)是否存在正數(shù)a，使得/(①)=2e"+asin工-a/_g+2)/在R上單調(diào)遞增,若存在，求出a的取值范圍;

若不存在,請說明理由.

導裁E三龜占裁傳會閩發(fā)妁祈窕

■考點J

有關(guān)導數(shù)與三角函數(shù)交匯的試題在高考與模擬試題中頻頻出現(xiàn).在函數(shù)與導數(shù)試題中加入三角函數(shù)，由于三角

函數(shù)具有周期性,無法通過多次求導使三角函數(shù)消失，使得后續(xù)問題的處理比較困難,從而造成學生思維上的

難度.我們可從以下幾個角度來突破此類問題的難點.

1.分段討論

①以一個，0,彳■，兀，…為端點分區(qū)間討論；②以三角函數(shù)的最值點為端點分段討論?

2.巧用放縮，消去三角函數(shù)

①正弦函數(shù)：當力>0時，力>sin/>?—②余弦函數(shù):cos/>1—4"/.

③正切函數(shù)：當力E（°，"!"）時,sin/V力Vtan力.④數(shù)值域:sine6［—1,1］,cos力G［—1,1］.

3.分離函數(shù):將含有三角函數(shù)的式子放到一起.

4.分離參數(shù):轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題.

5.半分離參數(shù):將不等式等價轉(zhuǎn)化，化為左右兩邊函數(shù)是一直線與一曲線,考慮端點處的切線斜率.

■題型J

【精選例題］

題目工|已知函數(shù)/（/）=eJQN,aER,f（x）是/（力）的導數(shù).

（1）討論/（力）的單調(diào)性,并證明：2力；

（2）若函數(shù)gQ）=/'（力）一/cos%在區(qū)間［0,+8）內(nèi)有唯一的零點，求a的取值范圍.

【答案】（1）答案見解析；（2）Q>1

【詳解】⑴因為/（力）=e*—a力，所以/'（力）=ex—a,當a<0時，/'（力）=e"—Q>0,則/（2）=e"一ar在R上單

調(diào)遞增，當Q>0時，令/'（力）=ex-a>0得6>Ina,令/'⑺=ex—a<0得reVIna,所以函數(shù)/（力）的增區(qū)間

為（Ina,+8）,減區(qū)間為（―oojna）,令FQ）=e°—2力，則F\x）=e*—2,令F'（力）=e°-2>0得比>ln2,

令尸Q）=e'—2Vo得力Vln2,所以函數(shù)FQ）的增區(qū)間為（ln2,+oo）,減區(qū)間為（-8,ln2）,所以當力=ln2

ln2

時，尸（力）取得最小值為F（ln2）=e-21n2=2-21n2>0,所以e*>2/,得證；y..

⑵由⑴知，g（力）=e"—a—rccos/，因為函數(shù)gQ）在區(qū)間［0,+8）內(nèi)有唯一勺零點，所以方/

程a=6°—力cos/在區(qū)間［0,+8）內(nèi)有唯一解，令九（%）=e‘一/cos力逆>0,則函數(shù)“力）=e*/

一力cos）與g=a在［0,+co）上只有一個交點，記nz（6）=e,—6一1,（力>0）,則*（6）=e°—1/

>0,所以a（名）在［0,+8）上單調(diào)遞增，所以m{x}—ex—x—1>e°—1=0,即ex>rc+1,故］匕?

,0|x

K［x}=e*—cos/+力sin力>1—cosx+x（l+sin/）>0,

所以ZzQ）=e。一/cos力在［0,+oo）上單調(diào)遞增，又無（0）=1,如圖：要使方程a=e“一/cos）在區(qū)間［0,+oo）內(nèi)

有唯一解，則.所以a的取值范圍是a>l.A

題目可已知函數(shù)/（力）=sin力一比一ae。其中Q為實數(shù),e是自然對數(shù)的底數(shù).

⑴若a=—l,證明:/（力）>0;

（2）若f（x）在（0,兀）上有唯一的極值點,求實數(shù)a的取值范圍.

xx

【解析】⑴證明:Q=—1時,/（力）=sin①一力+e1令。（6）=e—xf則g（x）=e—1,當力V0時,g'（力）VO,g（力）

在（一oo,0）上為減函數(shù)，當％>0時,g'⑺>O,gQ）在（0,+8）上為增函數(shù)，函數(shù)g{x}的極小值也是最小值

為g（。）=L所以g（x）>g（0）=1,而—sine41,所以ex—x>—sinrr,即/（x）>0.

（2）/（力）在（0,兀）上有唯一^勺極值點等價于/'（劣）=COST—1—aex—0在（0,兀）上有唯一^勺變號零點,/'（/）=

0等價于a=cos/—1,設(shè)％（①）=cos/—1丁6（0,兀），

exex

if/\—sin/—cos力+11―"2sin（"+?）兀兀5兀\業(yè)一?？跒?/p>

h（力）=----------------=-----------------，因為力e（0,兀），所以6十二-e工，丁，當ov力〈宮時，力

ee4'44，2

+￡e（爭爭'sin（力+十）>彳^，八'（力）v0,無（方）在（°，5）上為減函數(shù)，當5V6V兀時，/+me

（e+］）（^^,"（力））0,九（名）在（寺兀）上為增函數(shù)，所以函數(shù)h{x}的極小值也是最小值為

Mg）=——,又%（0）=0,九⑺=--—,所以當一-—<a<0時，方程a=cos/—^在（0,兀）上有唯一的變號

\2'食e兀6兀ex

e

零點，所以Q的取值范圍是［一々,0）.

題目瓦|已知函數(shù)/（力）=e3g（劣）=sin/+cos/.

（1）求證：/（力）>6+1；

（2）若力>0,問/（力）+g（a?）—2—>0（QGR）是否恒成立？若恒成立，求a的取值范圍；若不恒成立,請說

明理由

【答案】（1）證明見解析；（2）Q42

【詳解】⑴令FQ）=e—力一l,F'Q）=eZ-L,當今6（一8,0）,F'Q）V0,所以此時FQ）單調(diào)遞減；

當力￡（0,+8）,F'O）>0,所以此時FQ）單調(diào)遞增；即當力=0時，F(xiàn)Q）取得極小值也是最小值F（0）=0,

所以尸（力）>0,得證；

（2）設(shè)九（n）=f（8）+g（x）—2—a力，即證h（x）=e"+sini+cosx—2—a/>0在［0,+oo）上恒成立，易得M

（力）=ex+cosx—sin/—Q,當/=0時，若九'（0）=2—a>0=>a&2,下面證明：當a42時，h（x）—e*+sinN

+COST—2—Q力>0,在［0,+oo）上恒成立，因為K（x）—e^+cosrc-sin/一a,設(shè)u{x）—//（力）,

令o（i）=x—sinx,v（x）=1—cos1>0,所以oQ）在［0,4-oo）上是單調(diào)遞增函，所以"（力）>o（0）=0,

又因為1—cos1>0,則u\x）—ex—sinx-cosx>C+1—sin/—cosx—x—sinrr+1—cosx>0所以//（6）

在［0,+8）上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以九'（/）>〃（0）=2-a>0,所以九（力）在［0,+8）上是嚴格增函數(shù)，若a

>2時，―（0）V0,即h（x）在6=0右側(cè)附近單調(diào)遞減,此時必存在h（xo）<h（0）=0,不滿足/（%）+g（x）—

2—Q/>0（QE/?）恒成立，故當a42時，不等式恒成立.

題目工|已知函數(shù)/（力）—a（aGR）.

⑴討論/（/）在［—兀,+8）上的單調(diào)性;???

(2)當力e[0,+co)時,ex-^-smx>ax+1恒成立，求Q的取值范圍.

【答案】⑴/(力)在[—兀,+8)上的單調(diào)遞增；(2)(—8,2]

【詳解】(l)f(力)=ex—sinx,當一兀<力<0時，1>0,sin/V0,.?./(/)=ex—sinx>0,當x>0時，ex>l,

sin力&1,.,./(/)=e*—sin力>0,即：/'(力)>0在[—兀,+8)上恒成立，所以/(力)在[—兀,+8)上的單調(diào)遞增.

(2)方法一:由ex+sinT>。力+1得：e^+sina;—ax—1^0當力=0時，e^+sin)一一1二0恒成立，符合題

意

令9(6)—e筮+sin力—ax—1,x>Og'Q)=e"+cos力—a—f(x),由⑴得:g(x)在(0,+co)上的單調(diào)遞增，,g

3)>2—a,①當a<2時，g'3)>2—a>0,所以g㈤在(0,+8)上的單調(diào)遞增，所以g㈤〉g(0)=0,符合

題意②當a>2時，g'(0)=2—a<0,g'(ln(2+a))=2+cos(ln(2+a))>0,/.存/〃(x)

在(0,ln(2+a)),使得g'(g)=0,當0c力Vg時，g'(力)Vg'(g)=0;所以/、、

//y=2x+\

g{x}在(0,g)上的單調(diào)遞減，當0〈力Vg時，g(/)<g(0)=0,這不符合題意綜//

上，a的取值范圍是(—8,2]./

方法二：令h{x}—e^+sinx,s(力)—ax力)0貝U九(0)=s(0)=1,符合題意h'

(力)=e*+cosc=/(力)+a,/'(力)=ex—sinx由⑴得：/'(力)>0在(0,+8)上恒成&

立，h!(x)在(0,4-oo)上單調(diào)遞增所以，片(力)>磯0)>0,所以八(比)在(0,4-oo)上單

調(diào)遞增，其圖象是下凸的，如圖：???〃(())=2,所以，曲線九㈤在點(0,1)處的切線方程為：g=2/+1,要使

得九(力)>s(6)在[0,+oo)上恒成立，只需a02

所以，a的取值范圍是(一8,2].

題目回已知函數(shù)/(力)=asin力，其中a>0.

(1)若/(力)《]在[0,+oo)上恒成立，求a的取值范圍；

(2)證明：V/e(0,+GO)，有2ex>(%+—^[ln(rc+1)+sinx].

【答案】(1)(0」];(2)證明見解析

【詳解】(1)令h(x)—x—asinx,xE[0,+oo)，則K{x}=1—acosrc,當aW(0,1]時，h\x)>0,h(x)單調(diào)遞

增，所以h{x}>無(0)=0,當aC(l,4-oo)時，令m,(力)=//(力)=1—QCOSC,貝Um(x)=asin力,所以對VrcE

(0號),m{x}>0,則片(x)在(。4)上單調(diào)遞增，又因為九'(0)=1—aV0,=1>。,所以由零點存

在定理可知,3XQE(0號)使得"(g)=0,所以當xE(0,g)時，h!(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，h(x)</i(0)=

0,與題意矛盾，綜上所述，aG(0,1].

(2)由(1)知，當a=1時，sin/W力，VreE[0,+co).先證ln(/+1)&力，/G[0,+co)，令(p(x)—x—

In(a;+1)，則(p\x)=1—力；]40,所以(p(x)單調(diào)遞增,0(6)>0(0)=0,即In(re+1)所以當力G

(0,+oo)時，ln(x+1)+sinc&2力，(力+!)[InQ+1)+sinrr]42(x2+l).要證xE(0,+oo)，有2式>

(6+—^[ln(x+1)+sin6]，只需證ex>x2+l.令g(x)=(re2+l)e-:E—1,xE(0,+oo),則g'(c)=

(2x—a?—1L)e~x=—(x—1)%一。&0.所以g(%)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，所以g(x)Vg(0)=0,即ex>x2+l.綜

???

上可得可力W(0,+oo),有2ex>[x+2+1)+sin4].

題目百］已知函數(shù)/(劣)=ae"+4sin力—5x.

(1)若。=4,判斷/(力)在［0,+8)上的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)p(力)=3sin6—2劣+2,若關(guān)于力的方程/(劣)=「(力)有唯一的實根，求Q的取值范圍.

【答案】⑴函數(shù)fQ)在［0,+oo)上單調(diào)遞增.(2)Q40或Q=2

【詳解】(1)當a=4時JQ)=4e*+4sin%—5x,fr(x)=4e*+4cos力一5,令g(力)=f(re)=4e*+4cos比一5,則

g'(x)=4e"一4sin力.當力G［0,+oo)時，4e°>4(力=0時等號成立)；一4sinN>—4(力=￡■+2kn,keZ時等號

成立),所以g(x)=4e°—4sin6>0,即函數(shù)/'⑺=4e"+4cos/一5在［0,+oo)上遞增，所以/'(力)>/'(0)=3

>0,即函數(shù)/(6)在［0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)方程/(力)=p(x)即aei+dsin力-5力=3sin力一24+2有唯一的實根，則a=阮+2—sin*只有一個解,

等價于直線g=a與函數(shù)y=3,+2—sine的圖象只有一個交點,令h(x\=3-+2—sin*,則〃⑶=

exex

sine—c°s<+1—3°，因為屋>0,所以h，@)=simr—cosA+l—3/的符號由分子決定，令利氏)=

e。e±

—COST+1—3/，則m'⑸=cosx+sinre—3=2〃^sin(力+于)-3V0.所以m{x}—sinre-cos力+1—3力

在7?上遞減，因為m(0)=0,所以當xE(—oo,0)時，m(T)>m(0)=0;當力e(0,+GO)時，m(x)<m(0)=

0.即當力E(—oo,0)時，K(x)>0;當xE(0,+oo)時，K(x)<0.所以函數(shù)h(x)—呢+2—sinx在/QQ^QA

ex

上遞增，在(0,+oo)上遞減，當力趨于一00時，1趨于0且大于0,分子3%+2

—sin/趨于一8,則3“.2°si"，趨于—co；當力=0時，拉max(力)=以。)=

3x+2-sinx

2;當rc趨于+8時，e”趨于+8,分子3力+2—sin/也趨于+8,令0(力)=e*/ex

—(3/+2—sina?),則cp(x)=ex—3+cosx,——/-J----------\

當力>2時，/(/)=ex—3+cos力>0,則⑦趨于+8時，e*增長速率大于3x/

+2—simr的增長速率，故:趨于+8時，3「+2；simr趨于0.畫出函數(shù)

h［x)=.+2—‘in%的草圖，并畫出直線g=Q,要使直線g=Q與函數(shù)y=.)2—魚生的圖象只有一個

exex

交點.則a&O或Q=2.所以當Q&0或Q=2時，方程/(2)=p(a?)有唯一■的實根.

題目1I已知函數(shù)/(劣)=e*，g{x}=2—sine—cosc.

(1)求證:當宏W(0,+oo),x>sinx；

(2)若NG(0,+oo),y(j；)>gQ)+a力恒成立,求實數(shù)Q的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析；(2)(—8,2］

【詳解】(1)證明：設(shè)F(rc)—x—sin力，力>0,則尸(力)=1—cos力>0,所以尸(劣)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞

增，所以FQ)>尸(0)=0,即力〉sin/.

(2)由/(力)>g(x)+a宏在區(qū)間(0,+oo)上恒成立，即e*+sin/+cos/一a力一2>0在區(qū)間(0,+oo)上恒成

???

設(shè)3（力）=e"+sinc+cos6—a/一2,則（p{x}>0在區(qū)間（0,+8）上恒成立，而（p{x）—e^+cosrr—sinx—a,

令？nQ）=d（力）,則m{x）—e①一sin力—cos力，設(shè)無（力）=ex—x—1,則K{x}—ex—l，當力>0時，hf（x）>0,

所以函數(shù)h（x）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，故在區(qū)間（0,+oo）上,h（x）>h（0）=0,即在區(qū)間（0,+oo）上,e"

>力+1,由⑴知：在區(qū)間（0,+oo）上,ex>x+l>sin/+cosx,即m（x）=ex—sinx-cosx>0,所以在區(qū)

間（0,+8）上函數(shù)”（c）單調(diào)遞增，當a&2時，"（0）=2-a>0,故在區(qū)間（0,+8）上函數(shù)夕'（力）>0,所以

函數(shù)0（力）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，又夕（0）=0,故0（力）>0,即函數(shù)/（力）>g{x}+QN在區(qū)間（0,+oo）上

恒成立.當a>2時，d（0）=2—a,^[ln（a+2）]=a+2+cos[In（a+2）]—sin[ln（a+2）]—a=2—

V2sin（[ln（a+2）]—>0,故在區(qū)間（0,ln（Q+2））上函數(shù)”（力）存在零點/0,即d（/o）=。，又在區(qū)間

（0,+co）上函數(shù)”（力）單調(diào)遞增，故在區(qū)間（0,%）上函數(shù)d（①）<0'（力0）=0,所以在區(qū)間（0,60）上函數(shù)0（宓）

單調(diào)遞減，由0（0）=0,所以在區(qū)間（0,60）上0（/）<9（0）=0,與題設(shè)矛盾.綜上，Q的取值范圍為（一8,2].

題目瓦|已知函數(shù)/㈤=asinx—ln（l+力）（aER）.

（1）若a=—1,求證：V力>0,/（力）+2力>0；

⑵當a>1時,對任意①e[o,卻都有了㈤>0,求整數(shù)k的最大值.

【答案】（1）證明見解析;（2）3

【詳解】（l）a=-1時，設(shè)g（rc）=/（c）+2x=—sine—ln（l+c）+2rr,則g'（c）=—cosa:——----F2,a;>0

1+6

x+1>1-----^―-€（—1,0）VCOSTE[—1,1]cosrc------^―-+2>0,即g'（力）>0在（0,+8）上恒成立，

x-\-lx+1

g（x）在（0,+co）上單調(diào)增，又g（0）=0g（%）>g（0）=0,即V>>0,/（x）+2rc>0;

（2）a=1時，當k=4時，/（2）=sin2—ln3V0,所以kV4.下證k=3符合.

k=3時，當力G曰]時，sin力>0,所以當時，/（劣）=asinrr—ln（l+力）>sin/—ln（l+力）.記h{x）

-sina;—ln（l+力），則只需證人（力）=sin?—ln（l+力）>0對力G[o,年]恒成立.

//（力）=COST---匚，令。（力）=COST------=T，貝”。'（力）=—sinx+-^-―在（0,9）遞減，

又。'（0）=1>0,。'管）=-1+（冗1]）2〈0，所以存在的€（0,））,使得°'（力0=0,則化。（0,g）,。'（g）>0,

。（⑼在（0,刈）遞增，xG（%]）,“（劣1）<O,0（rc）在（g，]）遞減；又。（0）=0,。管）=一"7r1]V0,所以存

__

在電6使得0（力2）=0,且力6（O,T2）,0（T）>O,TG（劣2,|）,。（力）V0,所以九（力）在（。,力2）遞增，在

（力2,￡■）遞減，又無（°）==1—+所以h{x）>0對力G恒成立，因為[。，1]Q

[o,5],所以k=3符合.

綜上，整數(shù)k的最大值為3?

題目可已知函數(shù)/（力）=（力一l）e1+aN+1.???

⑴若/（力）有兩個極值點,求a的取值范圍；

（2）若力>0,/（力）>2sin力,求a的取值范圍.

【答案】⑴（0,（）;（2）[2,+oo）.

【詳解】（1）由/（rc）=（6一l）ex-\-ax+1,得/'（2）=xex-\-a,因為/（力）有兩個極值點，則/'（力）=0,即方程一a=

力e,有兩個不等實數(shù)根，令gQ）=a;e*,則g（x）=（力+l）e",知比V—1時，g（x）<0,g（x）單調(diào)遞減，

x>—l時，g[x）>0,g（x）單調(diào)遞增，則x=—1時，g（力）取得極小值g（—1）=―'也即為最小值，且力

e

時，g（力）<0,x——00時，g（力）一0,力>0時，gQ）>0,力->8時，g（力）->+oo,故——<—aV0,即OVaV^

ee

時，方程一a=力/有兩個實數(shù)根，不妨設(shè)為x1962（力1<%2）.可知力V為時，/（力）>0,力1V力Vg時，/'（力）<

0,x>x2時，/'（力）>0,即如力2分別為『3）的極大值和極小值點.所以/（力）有兩個極值點時，a的取值范

圍是（。，十），

⑵令h（x）=（%—l）ex+ax—2sinx+1,原不等式即為h[x}>0,可得九（0）=0,h!（x）=xex+a-2cos力,h'

（0）=a—2,令"Q）="（%）=ce*+a—2cos力，則u{x）=（%+l）ex+2sinrc,又設(shè)力（力）=（力+l）ex,則t\x）=

（力+2）ex,力>0時，右'（力）>0,可知t{x）在[0,+8）單調(diào)遞增，若力G[0,兀），有（/+l）ex>0,sinx>0,則u

Q）>0;若力e[兀,+oo），有（a+l）ex>（7T+l）e，>2,則u（x）>0,所以,力>0,u{x}>0,則”（力）即h'（x）單

調(diào)遞增，

①當@一2>0即0>2時，"（力）>九'（0）>0,則九3）單調(diào)遞增,所以，九3）>九（0）=0恒成立，則Q>2符合

題意.

②當a—2Vo即aV2時,"（0）<0,h!（3—Q）=（3—a）e°°）+。—2cos（3—a）>3—Q+Q—2COS（2—a）>

0,

存在XQE（0,3—Q）,使得"（g）=0,當OV力Vg時，K（x）V0,則h[x）單調(diào)遞減，所以h（x）Vh（O）=0,與題

意不符，綜上所述，a的取值范圍是[2,+oo）.

題目10）已知函數(shù)/⑺=a;—sin（"|■力）一aln/，C=1為其極小值點.

（1）求實數(shù)a的值；

（2）若存在gW力2,使得/（為）=/（力2），求證：/1+力2>2.

【答案】（l）a=l;（2）證明見解析

【詳解】⑴/㈤的定義域為（0,+oo）,/（^）=1—4cos（弓~力）一旦，依題意得/'⑴=1—a=0,得a=l,

2'2，x

此時/（2）=1—卷cos（多r）一工當。<必<1時,0<看土<看,0<--cos（^-x）<,工>1,故/3）<

2v27x222v272x

0,/（力）在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞減，當IV/V2時，ReV兀，gcosd力）<0,工V1,故/'（力）>0,/（力）在（1,

2）內(nèi)單調(diào)遞增，故/（/）在力=1處取得極小值，符合題意.綜上所述：a=1.

（2）由⑴知，/（6）—X—sin（拳r）—In/，不妨設(shè)0Vx2,當1<電〈x2時，不等式力1+g>2顯然成立；

當0<的<1,g>2時，不等式為+/2>2顯然成立；當0<的<1,0Vg<2時，由⑴知/（/）在（0,1）內(nèi)單調(diào)

???

遞減，因為存在力1Wg,使得/(◎)=/(62)，所以1V力2V2,要證力1+力2>2,只要證Xr>2—x2,

因為1<◎<2,所以0V2—x2<1,又/(劣)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，所以只要證/(/J</(2—/2),又/(g)=

/(力2)，所以只要證/(g)</(2-力2),設(shè)尸3)=/3)一/(2—1)(1V力V2),則F\x)=f\x)+f(2-x)=l-

■fcos居0)心+1—5cos借(2_⑼)_=2-

1(cos(^)-cos傳明=2—(《+

令。(工)=2—C+占則也)=十一/=因為1<zV2,所以g'(x)<

0,g[x｝在(1,2)上為減函數(shù)，所以gQ)<g⑴=0,即F\x)V0,所以F(rc)在(1,2)上為減函數(shù)，所以O(shè)Q)<

尸⑴=o,即/(啊)</(2-電).綜上所述:Xl+x2>2.

穎目叵(2023全國新高考2卷)⑴證明：當OVwVl時，c—/VsincVg

(2)已知函數(shù)/(劣)=COSQN—ln(l—/),若力=0是/(力)的極大值點，求Q的取值范圍.

【答案】⑴證明見詳解(2)(-oo,-V2)U(V2,+OO)

【詳解】(1)構(gòu)建F(N)—X—sinx,xE(0,1),則F\x)=1—cos/>0對V/e(0,1)恒成立，則F(x)在(0,1)

上單調(diào)遞增，可得F(x)>F(0)=0,所以力>sin力，力E(0,1);構(gòu)建G(x)=sin力—(x—x2)=x2—x+sin/,力

e(0,1),

則G'Q)=2力-1+cosx,xG(0,1)，構(gòu)建g(rc)=G'Q),力E(0,1),則g'(優(yōu))=2—sin力>0對V%G(0,1)恒成

立，則g(宏)在(0,1)上單調(diào)遞增，可得g(x)>g(0)=0,即G\x)>0對V/G(0,1)恒成立，則G[x}在(0,1)

上單調(diào)遞增，可得G(力)>G(0)=0,所以sinx>x—x2,xE(0,1);綜上所述：x—x2<Zsin6<x.

22

⑵令1—x>0,解得—1V力V1,即函數(shù)J(T)的定義域為(一1,1),若Q=0,則/(/)=1—ln(l—x),xG

(-14),

因為g=—In”在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，g=1—力之在(—1,0)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，則于(岔)=1—

ln(l—力之)在(—1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，故力=0是/(力)的極小值點，不合題意，所以aW0.

22

當QWO時，令b=|a|>0因為J(x)=cosax—ln(l—x)=cos(|a|rr)—ln(l—x)=cosbx—ln(l—T2)，且

/(—力)=cos(—ba;)—ln[l—(—a?)2]=cosb力一ln(l—x2)=/(力)，所以函數(shù)/(劣)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題

意可得:/'(6)=-bsinbx--獎不/?(—1,1),⑴當0<2時，取m=min{?,xE(0,m)，則bxE

(0，l)，

由⑴可得/'(rc)=—bsin(bc)—^^>-62力一^^="十？「⑺，且。卷一一,2>

X—1X—11—X

所以/(劣)〉力、7+2匕)>0,即當xe(0,m)Q(0,1)時，/'(力)>0,則/(劣)在(0,771)上單調(diào)遞增，結(jié)合

1-x

偶函數(shù)的對稱性可知：/(力)在(一772,0)上單調(diào)遞減，所以/=0是/(力)的極小值點，不合題意；

(ii)當心>2時，取/C(o,1)u(0,1),則bxE(0,1),由(1)可得f(rc)=-bsinbx-<-b(bx-b2x2)-

'b，x—1

=37^-b^+b^+b^x+2-62),構(gòu)建九(c)^-b3x3+b2x2+b3x+2-b2,xe(0,-^),則h'(x)=—3〃

力-11—x'b"

???

x^+2b2x+b3,x€（0,1）,

且片（0）=b3>0,片什）=b3-b>0,則"㈤>0對V工C（0,恒成立,可知h{x}在（0,y）上單調(diào)遞增，

且無（0）—2—b2<0,從；）=2>0,所以h{x}在（o1）內(nèi)存在唯一的零點nC（0,卷），當/C（0,n）時，則

h（￡）V0,且c>0,1—/>0,則f\x）<—^-^-^—b3x3+b2x2+b3x+2-/）V0,即當reC（0,n）Q（0,1）時，/'

\—x"

（為<0,則/（為在（0,九）上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：/（為在（一n,o）上單調(diào)遞增，所以立=0是

/（a;）的極大值點，符合題意；綜上所述：b2>2,即a2>2,解得a>四或a<-V2,故a的取值范圍為

（一℃）,-A/2）U（V2,+CO）.

［展蹤訓練］

題目Q已知函數(shù)/（c）=，e-"+asin;r,e是自然對數(shù)的底數(shù)，若c=0恰為/（①）的極值點.

（1）求實數(shù)a的值；

（2）求/（力在區(qū)間（一上零點的個數(shù).

【答案】⑴-1;⑵1

【詳解】（1）由題意得了'（*）=———+acosrc,因為c=0為/（re）的極值點，故/'（0）=1+a=0,a=—1,

ex

此時f（x）=-———cos/,則/V0時，-——>1,故/（/）>0,則/（T）在（―GO,0）上單調(diào)遞增；由/'（①）=

exex

e

—~~&-COST=———-——c°s*,令g（6）—\—x—e，cosc,g'（6）=-1—e，（cos4—sinx），當0VcV弓時，

exex4

cosx—sinN>0,則g'Q）V0,則g{x）在（。，1）上單調(diào)遞減，故gQ）Vg（0）=0,即/（力）V0,故/（力）在

（0,1）上單調(diào)遞減，則n=0為/（力）的極大值點，符合題意，故Q=—1.

（2）由⑴知/（6）=xeTx—smx,f\x）—————cosx,力V0時，/（力）>0,J（x）在（一8,0）上單調(diào)遞增，則

ex

/㈤V/（0）=0,故/（力）在（—00,0）上不存在零點；當0V/v￡時，/㈤V0,故/（力）在（06）上單調(diào)遞減,

則于（x）<y（o）=o,故/（力）在（。，1）上不存在零點；當⑦=o時，/（o）=o,即N=o為y（x）的零點，綜合上

述，/3）在區(qū)間（一00,￡）上零點的個數(shù)為1.

［題目2）已知函數(shù)/（力）=2cosre+ln（l+/）一1.

⑴判斷函數(shù)/（⑼在區(qū)間（0,5）上零點和極值點的個數(shù),并給出證明；

（2）若力>0時，不等式/（力）VaC+1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】（1）函數(shù)/（，）在區(qū)間（0,5）上只有一個極值點和一個零點，證明見解析；（2）實數(shù)a的取值范圍是

［1,+00）

【詳解】（1）函數(shù)/（c）在區(qū)間（。，專）上只有一個極值點和一個零點，證明如下,f'{x）=—2sina;H---/］，設(shè)

t(x)=/(rc)=—2sin/+力；1,力'(力)=-2cos?---；產(chǎn)，當力E(0,

減，又/(0)=1>0,"等)=-2+^^=-2+47Vo，所以存在唯一的(0,與)，使得/'(0=0,所

'Z)A_i_1兀十2v27

2土,

以當力e(o,df)時，/'(力)>0,當力e時，/⑸<0,所以/(力)在(0,。)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以a是/(力)的一個極大值點，因為/(0)=2—1=1>0,/((2)>y(o)>0,/(］?)=ln(l+—1V0,所

以/(c)在(0,a)無零點，在(a,5)上有唯一零點，所以函數(shù)/(①)在區(qū)間(0,5)上只有一個極值點和一個零

點；

(2)由/(x)&a力+1,得2cos力+ln(l+力)一a力一2W0,令g(x)=2cos力+ln(l+力)一a力一2,(力>0),貝1

g(o)=。，

g{x}=—2sinj;+