湖北省武漢市2024屆高三年級下冊5月模擬訓練試題數(shù)學試卷（附答案解析）

湖北省武漢市2024屆高三下學期5月模擬訓練試題數(shù)學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設集合4=[0,。],2=(2,3),若Ac3=0,貝。()

A.0<6Z<2B.0<〃<2C.0<ti<3D.0<?<3

2.已知向量a=(l,g),b=(-0),則a在b上的投影向量的模為()

A.73B.1C.0D.B

2

3.設拋物線C:y=4x2的焦點為尸，過焦點廠的直線與拋物線c相交于A,B兩點，貝

的最小值為()

A.1B.?-C.—D.—

248

4.已知一組數(shù)據(jù)1,2,3,4,x的上四分位數(shù)是x,則x的取值范圍為()

A.{3}B.[2,3]C.[3,4]D.{4}

5,若(1+2%)1°=CLQ+%(1+X)+2(1+%)?++%o(1+%)1°,則%=()

A.180B.-180C.-90D.90

TT

6.已知菱形ABC。，ZDAB=-f將△ZMC沿對角線AC折起，使以四點為頂點

的三棱錐體積最大，則異面直線A3與8所成角的余弦值為()

A.-B.且C.-D.立

5244

7.拋擲一枚質地均勻的硬幣〃次，記事件A=""次中既有正面朝上又有反面朝上"，B="n

次中至多有一次正面朝上”，下列說法不正確的是()

A.當〃=2時，P(AB)=；B.當〃=2時，事件A與事件B不獨立

7

C.當〃=3時，P(A+B)=-D.當〃=3時，事件A與事件5不獨立

8

8.在三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,。且滿足c2-。=2,則

A5c面積取最大值時，cosC=()

A6-1R6+1「2—A/2八2+V2

2424

二、多選題

9.已知f(x)=Asin(<yx+0)(A>0,co>0,0<<p<^)的部分圖象如圖所示，貝!]()

A.A=2B./(X)的最小正周期為冗

(Sir57r?1Ijr

C.廣⑺在一百二內有3個極值點D./5)在區(qū)間—,2兀上的最大值為石

I126JL6」

10.在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:上+>2=1,圓0：/+/=5,尸為圓。上任意一點,

Q為橢圓C上任意一點.過尸作橢圓C的兩條切線4，4，當4，4與坐標軸不垂直時，記兩

切線斜率分別為K，后，貝U()

A.橢圓。的離心率為由B.|尸。|的最小值為1

2

仁|「。|的最大值為6+2D.+kf>3

x

11.對于函數(shù)/(X)=L，下列說法正確的是()

1nx

A.函數(shù)〃力的單調遞減區(qū)間為(0,1)1(1.6)

B./(7r)<f(2)

C.若方程l/(|x|)l=左有6個不等實數(shù)根，貝!U>e

D.對任意正實數(shù)X，x2,且工產馬，若〃孑)=〃馬)，則再無2>e?

三、填空題

12.已知復數(shù)z滿足|z-i|=&,則-I的最小值為__.

13.已知:+3*=6,貝[|si/a+cos,a=___.

1-tana

14.已知正四棱臺的上底面與下底面的邊長之比為1:2,其內切球的半徑為1,則該正四棱

臺的體積為.

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

15.已知=-『'⑴x2+x+21nx.

⑴求廣⑴并寫出的表達式；

(2)證明：f(x)<x-l.

16.如圖，己知四棱錐P—ABC。中，PA_L平面ABC。，四邊形A3CD中，ZABC=90°,

AB//CD,AB=l,BC=1,CD=2,點A在平面PCD內的投影恰好是4PCD的重心G.

(1)求證：平面尸A3_L平面PBC；

(2)求直線DG與平面P3C所成角的正弦值.

17.已知雙曲線石:爐一y2=i,直線PQ與雙曲線石交于p,。兩點，直線MN與雙曲線E交

于M,N兩點.

(1)若直線MN經過坐標原點，且直線R0,PN的斜率2”，左川均存在，求kp小pN；

(2)設直線PQ與直線初V的交點為7(1,2),且TPTQ=TMTN,證明：直線PQ與直線腦V的

斜率之和為0.

18.某企業(yè)生產一種零部件，其質量指標介于(49.6,50.4)的為優(yōu)品.技術改造前，該企業(yè)生

產的該種零部件質量指標服從正態(tài)分布N(50,0.16)；技術改造后，該企業(yè)生產的同種零部

件質量指標服從正態(tài)分布^(50,0.04).

附：若X~N(〃,cr2),取尸(|X-4<b)=0.6827,P(|X-“<2cr)=0.9545.

(1)求該企業(yè)生產的這種零部件技術改造后的優(yōu)品率與技術改造前的優(yōu)品率之差；

(2)若該零件生產的控制系統(tǒng)中每個元件正常工作的概率都是p(O<p<1),各個元件能否正

常工作相互獨立，如果系統(tǒng)中有超過一半的元件正常工作，系統(tǒng)就能正常工作.系統(tǒng)正常工

作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性.

①若控制系統(tǒng)原有4個元件，計算該系統(tǒng)的可靠性，并判斷若給該系統(tǒng)增加一個元件，可靠

性是否提高？

②假設該系統(tǒng)配置有23,〃eN)個元件，若再增加一個元件，是否一定會提高系統(tǒng)的可

靠性？請給出你的結論并證明.

19.混沌現(xiàn)象普遍存在于自然界和數(shù)學模型中，比如天氣預測、種群數(shù)量變化和天體運動等

等，其中一維線段上的拋物線映射是混沌動力學中最基礎應用最廣泛的模型之一，假設在一

個混沌系統(tǒng)中，用x“來表示系統(tǒng)在第〃(”eN*)個時刻的狀態(tài)值，且該系統(tǒng)下一時刻的狀態(tài)

X”+l￥兩足=/(X”)，。<玉<1,其中f(X)=-+dX.

(1)當a=3時，若滿足對V〃wN*,有x,=/(x“+J，求｛%｝的通項公式；

(2)證明：當。=1時，｛七｝中不存在連續(xù)的三項構成等比數(shù)列；

(3)若占=(，a=l,記S“=x53,證明：S1+S2++S?<1.

Zo

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)交集為空集，即可求解.

【詳解】由于Ac5=0,所以0va42,

故選：A

2.C

【分析】求出根據(jù)投影向量的概念求出向量。在向量人方向上的投影向量，根據(jù)模的

計算公式，即可求得答案.

【詳解】由題意知向量。=（1,百），b-（-5/3,1）,則。必=1'卜"）+6'1=。，

故向量a在b上的投影向量為WM=°,一廠=（°，°），

故向量d在向量6方向上的投影向量的模為J（）2+02=0.

故選：C

3.C

【分析】聯(lián)立方程得韋達定理，即可根據(jù)焦點弦公式求解.

【詳解】由c：y=4/得/

由題意可知直線AB的斜率存在，故設其方程為y=Ax+」，

16

聯(lián)立>=區(qū)+」與冗2=9>可得％2一9丘一4=0,

164464

設A（玉,，則%左，故%+%=左（玉+%2）+三=:左之十三，

484o

因止匕|AB|=M+%+：=J%2+9NJ,當且僅當％=0時取等號，

8444

故選：C

4.C

【分析】根據(jù)上四分位數(shù)的定義將條件轉化為1,2,3,4,x中第二大的數(shù)是無，再求解.

答案第1頁，共17頁

【詳解】在五個數(shù)中，上四分位數(shù)為第二大的數(shù)，故1,2,3,4,x中第二大的數(shù)是x,所以

3<x<4.

故選：C.

5.A

【分析】由（1+2尤）10=[2（1+》）-1尸寫出其通項公式,依題意對「賦值即可求得出.

【詳解】因（1+2姆。=[2（1+尤）一1產,其二項展開式的通項為：

&i=G0[2（l+x）fj（-l>=（-1），2-弓（1+無尸，r=O,l,,10,

而出是。2（l+x>的系數(shù)，故只需取廠=8,得￡=22C：O（1+X）2=18O（1+X）2,

即a2=180.

故選：A.

6.C

【分析】當三棱錐的體積最大時，平面ACD，平面A3C,以E為原點，EB,EC,ED

分別為x,y,2軸的正方向建立空間直角坐標系，求出向量AB,C￡>的坐標，根據(jù)向量夾角的坐

標表示可解.

【詳解】記AC的中點分別為E,因為AD=CD,所以DE1AC,

同理，BELAC,記AB=2a,

jrTT

因為=所以行DAC=BAC=~,

36

所以BE—DE=a,AE=CE=-J3a,

TT

易知，當平面ACD,平面ABC時，三棱錐￡>-ABC的體積最大，此時=

以E為原點，力分別為％y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，

則A（0,-耳,0）,80,0）,C（。,耳,0）,￡）（0,0,a）

所以AB=（a,島,0）,C￡）=（0,-島,a）,

所以cosAB,CD=—a=_j_,

2〃x2〃4

3

所以異面直線A8與8所成角的余弦值為1.

4

故選：C

答案第2頁，共17頁

【分析】分〃=2和"=3的情況分別考慮四個選項.

【詳解】當〃=2時，表示一正一反，故尸故A正確；

此時尸（A）=2；；=,P（B）=l-P（B）=l-11=j,

乙乙乙乙乙I-

13

P（AB）=-^-=P（A）P（B）,故B正確；

28

當”=3時，A+3表示并非每次都是正面朝上，

故P（A+B）=1-P（X”）=l-gd，故C正確；

此時P（AB）=3.LLL=3,P（A）=1-P（A）=,

2228v'v72222224

^）=y14+3444=P所以P（AB）=[=%；=P（A）P（B），故D錯誤.

ZZZZZZZo■A-Z

故選：D.

8.A

【分析】先根據(jù)條件,結合正、余弦定理,得到角AC的關系，再用角A的三角函數(shù)表示.ABC

的面積，換元，利用導數(shù)的分析面積最大值，對應的角A的三角函數(shù)值，再利用角AC的關

系，求cosC.

I詳解1因為。2—〃之=〃》=>/=,

又由余弦定理：c?=/+/-2"cosC,所以a?+〃匕=/+/一2abcosC,

所以a=Z?-2acosC.

由正弦定理得：sinA=sinB-2sinAcosC=>sinA=sin（A+C）-2sinAcosC=>

sinA=sinCcosA—cosCsinA=sin（C—A）,

所以A=C—A或A+C—4=兀（舍去），故C=2A.

因為。=2A,所以3=兀一34

士…cb、、2_b______2sin（7i-3A）3-4sin2A

由正弦TE理：----=———n?個人-丁77TTnb=-----------=----------

sinCsmBsm2Asin（兀-3A）sin2AcosA

答案第3頁，共17頁

c1j.3sinA-4sin3A3tanA-tan3A

所以S力csinAA=---------------------=--------------------.

2cosA1+tan2A

因為兀一3A>0=所以0<tanA<百.

設〃尤）=蕓；，x?0,回

（3-3尤2）（1+爐）-（3尤-》”2尤_-6f+3

貝1f'[x）=；m=/.,\2一，

（1+巧（1+x2）

6+6+12

由/々x）>0n尤4+6/一3<0=0</<-^3=2^-3<3,

由尸（x）<0=>Y>2舁3,

所以〃x）在（。,也/-3）上單調遞增,在（也心-3,心）上遞減,

所以當Y=2g-3時，/（尤）有最大值.

即當tai?A=2百-3時，ABC的面積最大.

止匕時cosC=cos2A=COS2A-sin2A="‘足"

cosA+sinA

_l-tan2A1~（2^-3）存]

-l+tan2A1+（2A/3-3）2

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：本題用到了三倍角公式$11130=3$1口2-45111%,因為有些教材不講

這個公式，所以該公式的記憶或推導在該題中就格外重要.

9.ABD

TT

【分析】根據(jù)函數(shù)的部分圖象求得A=2，°=:，。=2值，可得函數(shù)解析式，進而根據(jù)正

弦函數(shù)的圖象和性質即可逐一判斷得解.

【詳解】對于AB,根據(jù)函數(shù)/（x）=Asin（@x+°）的部分圖象知，A=2,

7=4*《一自=兀，；.a）=干=2,故AB正確，

?JTjrTT

對于C,由五點法畫圖知，-x2+（/）=-+2kji,keZf解得。=§+2fai,左EZ,

由于0<0<5，所以夕=々，

7T

/./（%）=2sin（2x+—）.

答案第4頁，共17頁

兀兀711

令'21H———Fku,keZ,貝jjx-1—ku,keZ,

32122

上二-2時，x=—,左=—1時，x=——,

1212

TT兀

當％=0時，尤=2,當％=1時，尤=7"，當％=2時，x=—13TT,

121212

故"X)在(-言為內有2個極值點，分別為尤=口X*，故C錯誤,

\12o71212

t_1171___./0_71.13K

對于D,,Are-,2TT,可得：2%+-e4兀，丁,

6J33_

故當2x+g=等,此時/(%)取最大值2sin^=2sin|=73,故D正確.

故選：ABD.

10.AC

【分析】根據(jù)橢圓的標準方程判斷選項A,再由兩點間距離，判斷BC,利用切線方程的斜

率和韋達定理求解判斷選項D.

【詳解】對于A,根據(jù)題意，。=2,6=1,則。=若，故e=￡=1,故A正確；

a2

對于BC,設。(x,y),UW2,則:+y2=i,

而圓O：/+y2=5的圓心。(0,0),半徑為廠二百,

則|00|=乒7=小2+，=*+1，

3

因為一24%?2,所以04％244,貝1」14二/+144,

4

所以IV己/+142,BP1<|(?2|<2,

所以IPQI的最小值為―2=若-2,最大值為廠+2=石+2,故B錯誤，C正確;

對于D,設尸(%,%),*+$=5,過點尸的直線方程為：y-y0=k(x-x0),

答案第5頁，共17頁

y-yQ=k[x-x^

聯(lián)立<%2,(1+4左)爐+8左(%—質0)%+4(%——4=0,

——+V=1

14,

根據(jù)直線與橢圓的相切，貝1]A=[於(%-線)[一4(1+4公)[4(%-依。)2-4]=0,

化簡可得，雷一4)/一(2%%伏+乂一1=0,

可知尢水2是方程的兩個根，所以左K=44=上毛=T，

%-4x0-4

所以將+后22肉閆=2,當且僅當網=網取等號，故D錯誤.

故選：AC

11.BCD

【分析】對于A,分析導函數(shù)即得遞減區(qū)間，不能用“并”連接;對于B,由推理得/(2)=/(4),

利用函數(shù)單調性比較即得;對于C,分析函數(shù)的奇偶性,分段討論函數(shù)的單調性和圖象趨勢,

InX

得圖象簡圖，結合圖象判斷兩函數(shù)交點個數(shù)即得；對于D,設函數(shù)g(x)=」，構造函數(shù)

x

『2

h(x)=g(x)-g(-)并判斷其單調性，利用單調性得出%>e一即可.

X石

【詳解】函數(shù)〃無)=F的定義域為(aDua—)，尸(無)=等匚，

InxInx

對于A,由/''(無)<0可得0<x<l或l<x<e,由/'(無)>0可得X>e,

即函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(0,1)和(l,e),故A錯誤；

對于B,由A得，函數(shù)Ax)在(e,+8)上單調遞增,

244

因/⑵=忘=5啟"⑷'e<7i<4,

故7>5)<”4)=7(2),即B正確；

IxlX

對于C,易知了(次|)=號為偶函數(shù)，當尤>0時，/(|x|)=/W=—,

In|xIInx

由A項知，函數(shù)/(x)的單調減區(qū)間為(0,1)和(l,e),增區(qū)間為(e,+8).

又當x>l時，f(]x\)=f(x)>0,當X=e時，/(|e|)=e,

當Xf1+時，/(IX|)->+00,Xf+8時，f(|x|)f+00,

當0<x<l時，/(|x|)<0,當x->0時，f(|x|)-0,x.1-時，/(|x|)->-00,

故函數(shù)>="(1x1)1的圖象如圖所示.

答案第6頁，共17頁

由圖可得，直線，=左與函數(shù)y=l/(HI)l有6個不同交點，等價于上〉e,故C正確；

對于D,由圖，不妨設。<玉<6<%,由/&)=/(%)可得2~,

InXj_InxInx

即--------2，不妨取g(x)=——，

X]%2X

、門“、/、尸、InxxInxx(2-lnx)

設h(x)=g(九)一g(一)=-------=-----------，

xxexe

x

貝I]〃(x)=(皿)，_產一」,,=1-lnx_1-lnx=(l-lnx)(e2-V)

22222

'尤exeex

貝!I當0cx<e時，l-ln%>0,e2-x2>0,故〃(x)>0,〃(x)在(O,e)上單調遞增，

22

又〃(e)=0,又。<X]<e,/i(X])=g(X])-g(—)<0,即g(xj=g(x,)<g(-).

xxxx

因g(x)=皿，貝心口)=匕坐，當X>e時，g'(x)<0,8(X)=叱在化,+功上單調遞減,

xx'x

22,

因x,>e,—e>e,故得無2>e一，即玉X2>e?,故D正確.

占x\

故選：BCD.

【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查函數(shù)的零點和單調性應用，屬于難題.

解決該題的關鍵，在于對函數(shù)的圖象性質的探求，通過奇偶性單調性判斷，作出簡圖，利用

函數(shù)零點與方程的根、兩函數(shù)的圖象交點的關系轉化解決；同時要根據(jù)待證不等式特征，設

法構造對應的函數(shù)，利用該函數(shù)的單調性實現(xiàn)相關量的比較即得.

12.V2-1

【分析】設2=》+同,2€巳由條件得d+y2=2y+l,所求式|2|消元后化成|2|="用，

結合點的軌跡圖形特征，求得,的范圍，結合函數(shù)單調性即得I源的最小值.

【詳解】設2=》+仇兌、€1<,由|z-i|=拒兩邊平方整理得：x2+(y-l)2=2,

答案第7頁，共17頁

即/+J?=2y+1而后1=1x-M|=次+,2=J2y+1,

作出復數(shù)z對應的點Z(x,y)的軌跡/+(y-1)2=2的圖形如圖.

易得1-魚WyWl+及，因J2y+1在定義域內為增函數(shù),

故|N|=J2y+1>72(1-72)+1=叵-\，

即當且僅當y=l■時，1彳1取最小值a-1.

故答案為：0-1.

7

13.-/0.875

8

【分析】根據(jù)弦切互化可得c°sa+sina=6,平方得cosasin,即可根據(jù)完全平方求

cos6Z-sincr4

解.

,,1+tanarr,coscr+sincr廠十、一,口l+2costzsina一

【詳解】由；------=73Z得I=-------：—=近，平萬可得［:-----:-=3,

1-tanacosa-smal-2cosasin。

M1

故cosasina二一,

si.n4a+cos4a=(sin2a+cos2a-2sin26zcos2a=l-2x

、7

故答案為：—

o

14.里小

33

【分析】依題意作出棱臺的軸截面，利用切線長定理和射影定理求出上下底面邊長，代入棱

臺的體積公式計算即得.

【詳解】

答案第8頁，共17頁

如圖，作出正四棱臺的軸截面，設上底面邊長為2x,則下底面邊長為4x,

則CM=CF=x,BM=BE=2x,ZCIM=-ZMIF,ZBIM=-AMIE,

22

故NC7B=ZCIM+ZBIM=|{AMIE+NMIF)=90,

在RtC/B中，則由射影定理，得2/=1,解得彳=也，

2

于是棱臺的上底面面積為Ox)?=2,下底面面積為(4x)2=8,高為2,

故該正四棱臺的體積為：V=1x2x(2+V2^8+8)=y.

故答案為：

15.(1)/'(1)=1，/(%)=-%2+x+21nx

(2)證明見解析

【分析】(1)直接求導并令％=1可得r(i)=i,再代入原表達式即可；

(2)構造函數(shù)g(f)="ln/并用導數(shù)證明g(/)21,然后利用“X)=x-g(無2)即可.

?

【詳解】(1)由y(x)=—/")/+彳+21nx有廣⑴=一2廣⑴無+1+—,取X=1得到

X

尸⑴=-2/”)+1+2,解得*1)=1.

將廣⑴=1代入/(%)=-/⑴九2+x+21nx可得/(%)=一尤2+x+21nx.

(2)設g⑺="出乙則/⑺=1一;=T，故當0</<1時g'⑺<0,當r>l時g'⑺>0.

所以g⑺在(0,1)上遞減，在(L")上遞增，故g(t)>g⑴=1.

從而f(x)=—X?+x+21nx=—尤？+x+ln(%2)=x—g(x2)4尤—1.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于使用導數(shù)判斷單調性，屬于常規(guī)題.

16.(1)證明見解析;

答案第9頁，共17頁

⑵巫

3

【分析】（1）通過線線垂直先證明3cl平面R4B,即可由線面垂直證明面面垂直；

（2）以A為坐標原點建立空間直角坐標系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，即

可由向量法求得線面角的正弦值.

【詳解】（1）因為上4,平面ABCD,3Cu平面ASCD,所以PAL3C,

因為NABC=90。，所以3C_LAB,

因為PAAB=A,R4u平面上鉆，ABu平面R4B,

所以8C1平面P4B,

又因為BCu平面尸3C,所以平面「3cl平面上45,所以平面_1_平面尸3c.

（2）取。）中點E,連接AE,

因為ZABC=90。，AB//CD,AB=BC=1,CD=2,

所以四邊形池叱是矩形，所以

因為PA_L平面ABCD,所以P4_LAB,PA1,AE,

所以48、AE.AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系：

40,0,0),8(1,0,0),C(l,l,0),頤0,1,0),￡>(-1,1,0),

設P(0,0j)?>0),則

AG=04f,CG=TH,DG=一共

因為點A在平面PCD內的投影恰好是4PCD的重心G,所以AG_LCG,

2,

所以CG-AG=0，所以0-5+7=。，r=0,又3c=(0,1,0),PB=(1,0,-A/2),

令5=(點,0,1),

因為BCm=0>PB-m=0>

所以是平面PBC的法向量,

答案第10頁，共17頁

（i

DG的方向向量是OG=1,--,^-,

IS'）

所以直線CG與平面PBC所成角6的正弦值為

士應r

../…\m-DG\32&

sin0a=|cos<m,DG）\=--------=---尸==----

\m\-\DG\6正3

故直線DG與平面PBC所成角的正弦值為巫.

3

17.（1）1

（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)兩點斜率公式，結合點差法即可求解，

（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達定理，即可根據(jù)向量的坐標運算得數(shù)量積

7M.7N=（1+6）.號,TP.TQ=（1+公）.小，進而根據(jù)等量關系化簡即可求解.

【詳解】（1）當直線MN經過坐標原點時，M,N兩點關于原點對稱.

設加（再，%），"（—&-乂），尸（%,%）,

于THKPM-，汽PN—,?

玉）一玉%）+玉

因為M,N,P三點都在雙曲線爐-丁=1,

所以卜;一次二，兩式作差，x：-x：=y：-y；,所以

［芍一乂=i

>，-%f%+X、-4一1

KPMHN~~22-1,

%0—玉XQ+X1癡一%1

（2）己知T（l,2）,由題意可知MN,PQ均有斜率,

可設直線MV：y_2=K(x-l),直線PQ:y_2=/(x—1),司(％,%),N(/,%),可毛,%),

7^=(西-1，X-2),77V=(x,-l,y2-2).

y-2=k(x-I)

聯(lián)立直線MN方程與雙曲線E的方程:i

x2-y2=l

答案第11頁，共17頁

整理得，（1_片）/+2勺（（_2）尤_（勺—2）—1=0,

當1-將#0時，A=4（5—4））＞0.

,2kl（卜2）一（匕-2）~-1

?3=（1一儲）

于是,

7M?川=&-。（%-1）+（%-2）（%-2）=。+6）［占尤2—&+%）+1］

一（匕_2）--12匕（尢-2）］

。+標）=鵬）/

T^kT~

同理可得，"@=（1+代）?匚

1k21+k2

因為TM.TN=TP1Q,所以「+*

—

1—Kj1K2

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的范圍或最值或定值問題，可根據(jù)題意構造關于參數(shù)的目標

函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調性和基

本不等式的作用.另外在解析幾何中還要注意向量的應用，如本題中根據(jù)向量的數(shù)量積坐標

運算.

18.（1）0.2718

（2）①可靠性為"（4-3p）,增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高；②當〃為奇數(shù)時，增加一

個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當〃為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.

【分析】（1）直接根據(jù)題目條件及給定的正態(tài)分布數(shù)據(jù)求解；

（2）利用二項分布的概率性質求解可靠性，并比較不同”的取值下可靠性的大小關系即可,

答案第12頁，共17頁

當然也可以采取其它的思路求解.

【詳解】(1)技術改造前，易知M=50,5=0.4,則其優(yōu)品率為

尸(49.6<X<544)=尸(從一必<X<從+crj=尸4X-閡<2巧)=0.6827；

技術改造后，4=50,4=0.2,則其優(yōu)品率為

P(49.6<X<50.4)=P(//2-2cr2<X<+24)=P(|X-闖<2%)=0.9545.

所以優(yōu)品率之差為0.9545-0.6827=0.2718.

(2)①記x為原系統(tǒng)中正常工作元件個數(shù)，y為增加一個元件后正常工作元件個數(shù).

由條件知，X~B(4，P),y~B(5,p).

2

P(XN3)=C?3(1_p)+C?4=p3(4_3p),p(Y23)=C；p3(1-p)+C5，(l-p)+C；p'.

因為P(X23)-P(Y>3)=6p3(l-p)2>0,所以可靠性提高.

②方法一：

根據(jù)上一問的假設，易知X~B(〃,p),Y~B(n+l,p).

當〃為奇數(shù)時，設〃=2左-1伏22,%€?4*),原系統(tǒng)的可靠性為尸(X2幻，新系統(tǒng)的可靠性為

p(r>*+D,由題意可知，

P(Y>k+V)=P{X>k+Y)+p-P{X=k).

所以，P(Y>k+V)-P(X>k)=[P(X>k+I)+pP(X=k)]~

[P(X2P+1)+P(X=P)]=(p-1)C(X=k)=C3P“1-P產(P-D<0,這說明可靠性降低.

當〃為偶數(shù)時，設〃=2左小22次€4)，原系統(tǒng)的可靠性為P(X2左+1),新系統(tǒng)的可靠性為

p(y>k+\),由題意可知，

P(Y>k+l)=P(X>k+l)+p-P(X=k).

所以，P(Y>k+l)-P(X>k+1)=p-P(X=k)=C^pk+\l-p)k>0,這說明可靠性提高.

綜上，當"為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當”為偶數(shù)時，增加一個元件

后系統(tǒng)的可靠性會提高.

方法二：

當"為奇數(shù)時，設〃=2左-原系統(tǒng)的可靠性為尸(X2幻，新系統(tǒng)的可靠性為

P(Y>k+l),由題意可知,

答案第13頁，共17頁

2k-\2k-2

尸(X2Q==￡ckp'Cl-p)2"T+p2I

i=ki=k

2k—X2k—2

P(Y>k+l)=X-P*4=E(Cl+C工)*(1-0)2"T+Plk

i=ki-k

于是，P(Y>k+I)-P(X>k)

2k-22k—2

=s(cL,+c[L)p'M(i-p)2"i-s-p)2JT+p2k-pN

i=ki=k

2k—2「

=￡["Ci+c-L)-a-]p?-0)2--(i一P)P2I

2k-2

=SY"(l_p產[_(1一逝1

=-C；pkQ-p)k<0,

這說明可靠性降低.

當W為偶數(shù)時，^n=2k[k>2,k^*),原系統(tǒng)的可靠性為尸(X2左+1),新系統(tǒng)的可靠性為

P(Y>k+X),由題意可知，

2k

ii2ki

p(x>k+i)=Xc2kp(i-p)-

i=k+l

2k+l2k

P(X>k+l)=X-。產e=￡(d+C助爐”p嚴7+*1

i=^+li=k+l

于是，P(Y>k+i)-P(X>k)

2k2k

=t(c；1+4”口-。嚴"-X產+產

i=k+\i=k+l

2k+i

=srC；M(I-p嚴i+?山(i-。嚴--c；)(i-°嚴)]+P

i=k+\L

2k

=S[0(1-02皿+(_p)C"(l-產[+產1

i=k+i

2k

=￡[0(1-0嚴I-CZpH(l_p產[+p2I

i=k+i

=cMpZ(i-py>。.

這說明可靠性提高.

綜上，當“為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當“為偶數(shù)時，增加一個元件

后系統(tǒng)的可靠性會提高.

方法三：

設X1,X”…兩兩獨立且均服從二項分布磯Lp),記p“=p[x+X2+...+x“>；J,則該系統(tǒng)

配置有〃(〃23,〃eN)個元件時，系統(tǒng)的可靠性為p”.

答案第14頁，共17頁

貝U=尸(Xi+X2+…+乂2加之加+1)

<P(X1+X2+...+X2w>m+l)+P(X1+X2+...+X2m=rn,X2zn+1=1)

=P(X1+X2+...+X2m+1>m+l)=7?2w+1,且

22R=°(Xi+X?+...+X