解直角三角形題型歸納- 2024年中考數(shù)學(xué)重難點突破

專題11解直角三角形題型歸納

啰煉內(nèi)町一

循定f皿三角形

i.如圖是某小區(qū)地下停車場入口處欄桿的示意圖，M。、p。分別表示地面和墻壁的位置,

ON表示垂直于地面的欄桿立柱，。4、A3是兩段式欄桿，其中。4段可繞點O旋轉(zhuǎn)，A3段

可繞點/旋轉(zhuǎn).圖1表示欄桿處于關(guān)閉狀態(tài)，此時。、/、8在與地面平行的一直線上，并且

點3接觸到墻壁；圖2表示欄桿處于打開狀態(tài)，此時池〃MQ,。4段與豎直方向夾角為

30。.已知立柱寬度為30cm，點。在立柱的正中間，（9M=120cm,OA=120cm,AB=150cm.

（1）求欄桿打開時，點A到地面的距離；

⑵為確保通行安全，要求汽車通過該入口時，車身與墻壁間需至少保留10cm的安全距離,

問一輛最寬處為2.1m,最高處為2.1m的貨車能否安全通過該入口？（本小題中百取1.73）

【答案】⑴點N到地面的距離為(120+60后)cm

(2)貨車不能安全通過該入口

【分析】(1)過點A作4V_LON,垂足為點N,利用三角函數(shù)求得

NO=AO-cos30°=120x—=60A/3cm,的長度即為點/到地面的距離；

2

(2)作E/〃A3,交。4于點K,使=210cm,利用三角函數(shù)求出

HK=OHtan30。=90x立=306?51.9cm,

3

KF=HF-HK=OA+AB-HK=120+150-51.9=218.1cm,在高度正好的情況下，求得貨

車靠墻行駛需要寬度超過了KF的長度，說明不能安全通過.

圖2

【詳解】(1)

解：如圖，過點A作AN，ON,垂足為點N

NO=AO-cos30°=120x—=60阮m

2

NM=NO+OM=(120+60@cm

則點A到地面的距離為(120+60g)cm

圖2

(2)

解：如圖，作"F〃AB,交Q4于點K,使HM=210cm

2.1m=210cm

OH=MH-OM=210-120=90cm

HK=OH-tan30°=90x—=3073?51.9cm

3

KF=HF-HK=OA+AB-HK=n0+150-51.9=218Acm

若貨車靠墻行駛需要寬度為210+10=220cm>218.1cm

則貨車不能安全通過該入口.

【我思故我在】本題考查了與解直角三角形相關(guān)的應(yīng)用題，掌握三角函數(shù)并能解決實際問題

是解題關(guān)鍵.

2.如圖，株洲市炎陵縣某中學(xué)在實施“五項管理”中，將學(xué)校的"五項管理"做成宣傳牌（CD）,

放置在教學(xué)樓/棟的頂部（如圖所示）該中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組在山坡的坡腳/處測得宣傳牌

底部D的仰角為60。，沿芙蓉小學(xué)圍墻邊坡AB向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為

45°.已知山坡48的坡度為，=1：3,AB=2屈m,AE=8m.

（1）求點B距水平面AE的高度BH.

（2）求宣傳牌CD的高度.（結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù)：72=1.414,73=1.732）

【答案】（1）點2距水平面/E的高度瓦/是2米

⑵廣告牌CD的高度約為2.1米

【分析】⑴根據(jù)山坡的坡度為i=l：3,可設(shè)則/〃=3a,然后在7?也48〃中，利用

勾股定理進行計算即可解答；

(2)過點8作瓦同CE,垂足為尸，則砂=2米，BF=HE=14米,然后在比△/￡>￡中，

利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再在MABFC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出

CP的長，最后進行計算即可解答.

【詳解】(1)解：在尺位1488中，

BH：AH=1:3,

團設(shè)28=。，貝Ij/H=3a,

EL45=2A/10,

由勾股定理得28=2,

答:點B距水平面AE的高度BH是2米;

(2)解：在RZEL48"中,8〃=2,

1MH=6,

4—DE

在Rf3\ADE中，tanELD/E=—

AE

即Z)E=tan60■NE=86,

如圖，過點B作3死CE,垂足為F,

BF=AH+AE=6+8=14,

DF=DE-EF=DE-BH=8y/3-2,

在RtSBCF中,EIC=[aC5尸=45°,

ECF=BF=14,

^CD=CF-DF=U-(86-2)=14—86+2=2.1

答:廣告牌CD的高度約為2.1米.

【我思故我在】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目

的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

3.如圖1是疫情期間測溫員用"額溫槍”對小紅測溫時的實景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其

中槍柄5c與手臂MC始終在同一直線上，槍身BA與額頭保持垂直量得胳膊MN=28cm,

槍柄與槍身之間的夾角為120。(即4ffiA=120。)，肘關(guān)節(jié)M與槍身端點A之間的水平寬度

為25.3cm(即MP的長度)，槍身84=8.5cm.

圖1

(1)求MB的長；

(2)測溫時規(guī)定槍身端點A與額頭距離范圍為3~5cm.在圖2中，若測得NBMN=75。，小紅

與測溫員之間距離為50cm問此時槍身端點A與小紅額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？并說明

理由.(結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù)：五“4，6"7)

【答案】⑴33.6cm；

(2)在規(guī)定范圍內(nèi)，理由見詳解.

【分析】(1)過點B作于點〃，在中，利用含30。直角三角形三邊關(guān)系，

即可解答；

(2)延長交尸G于點/,NM"=45。，在Rt中，利用三角函數(shù)的定義即可求出必

的長，比較即可判斷.

(1)

解：過點B作皿工”件于點H,由題可知四邊形為矩形，如下圖:

測

「小K

t

員紅

30°,

90°=

0°-

H=12

ZAB

A-

ZMB

BH=

0ZM

,

5cm

=8.

BA

3cm,

=25.

國MP

cm,

16.8

.5=

.3-8

=25

—HP

=MP

RMH

，

7中

89

在Rt

2

；

.6cm

8=33

x16.

￥=2

2Afl

0Affi=

(2)

90°,

IM=

：ZN

題意的

/,由

于點

交FG

PM

延長

解：

，

=60。

MH

知/B

)可

由(1

5°,

N=7

0/BM

45°,

60°=

75°-

80°—

I=1

HZNM

,

8cm

N=2

又M

Ml

MJ

,

-=——

----

45°=

，cos

〃中

t▲NA

團在R

28

MN

cm

u19.8

*^^

=28

0MZ

2

,

50cm

距離為

員之間

與測溫

回小紅

m,

4.9c

5.3=

8-2

-19.

=50

HAD

,

.9<5

03<4

內(nèi).

范圍

規(guī)定

離在

的距

額頭

小紅

點A與

身端

時槍

回此

銳

和熟記

輔助線

是添加

題關(guān)鍵

用，解

際應(yīng)

的實

角形

角三

解直

查了

要考

題主

在】此

故我

【我思

定義.

函數(shù)的

角三角

組的同

學(xué)習(xí)小

，他和

下午

.一天

高度

樹的

棵古

內(nèi)一

學(xué)校

測量

識來

量知

的測

學(xué)過

用剛

明利

4.小

.

所示

如圖

部8,

的底

古樹

到達

無法

他們

保護，

有圍欄

，由于

樹前

棵古

到這

具來

量工

著測

學(xué)帶

,測得

器CD

測量

裝了

處安

點D

并在

。，

一點

選擇

地上

的空

周圍

古樹

先在

他們

于是

平放

面上水

處的地

并在G

米，

G=5

,使D

點G