山西省忻州市第二中學2025屆高一數(shù)學第二學期期末質(zhì)量檢測試題含解析_第1頁
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山西省忻州市第二中學2025屆高一數(shù)學第二學期期末質(zhì)量檢測試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.設,則“數(shù)列為等比數(shù)列”是“數(shù)列滿足”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件2.直線的傾斜角為()A. B. C. D.3.已知向量,與的夾角為,則()A.3 B.2 C. D.14.如圖,正方體中,異面直線與所成角的正弦值等于A. B. C. D.15.設為兩條不同的直線,為三個不重合平面,則下列結論正確的是()A.若,,則 B.若,則C.若,,則 D.若,,則6.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-,則=A.6 B.5 C.4 D.37.數(shù)列的通項,其前項和為,則為()A. B. C. D.8.若是第四象限角,則是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角9.在數(shù)列中,已知,,則該數(shù)列前2019項的和()A.2019 B.2020 C.4038 D.404010.函數(shù)的周期為()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.在中,分別是角的對邊,已知成等比數(shù)列,且,則的值為________.12.數(shù)列定義為,則_______.13.函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為____.14.在單位圓中,面積為1的扇形所對的圓心角的弧度數(shù)為_.15.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具,起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結構,這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結構)嚙合,十分巧妙,外觀看是嚴絲合縫的十字立方體,其上下、左右、前后完全對稱.從外表上看,六根等長的正四棱柱體分成三組,經(jīng)榫卯起來,如圖3,若正四棱柱體的高為,底面正方形的邊長為,現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi),則該球形容器的表面積的最小值為__________.(容器壁的厚度忽略不計)16.若無窮等比數(shù)列的各項和等于,則的取值范圍是_____.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.設二次函數(shù)f(x)=ax2+bx.(1)若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范圍;(2)當b=1時,若對任意x∈[0,1],-1≤f(x)≤1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.18.已知向量,,.(1)若,求的值;(2)設,若恒成立,求的取值范圍.19.已知是遞增的等比數(shù)列,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)為各項非零的等差數(shù)列,其前n項和為,已知,求數(shù)列的前n項和.20.已知圓與軸交于兩點,且(為圓心),過點且斜率為的直線與圓相交于兩點(Ⅰ)求實數(shù)的值;(Ⅱ)若,求的取值范圍;(Ⅲ)若向量與向量共線(為坐標原點),求的值21.如圖,在四棱錐中,,底面是矩形,側面底面,是的中點.(1)求證:平面;(2)求證:平面.

參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

“數(shù)列為等比數(shù)列”,則,數(shù)列滿足.反之不能推出,可以舉出反例.【詳解】解:“數(shù)列為等比數(shù)列”,則,數(shù)列滿足.充分性成立;反之不能推出,例如,數(shù)列滿足,但數(shù)列不是等比數(shù)列,即必要性不成立;故“數(shù)列為等比數(shù)列”是“數(shù)列滿足”的充分非必要條件故選:.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的定義、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.2、C【解析】

求出直線的斜率,然后求解直線的傾斜角.【詳解】由題意知,直線的斜率為,所以直線的傾斜角為.故選:C.【點睛】本題考查直線的斜率與傾斜角的求法,屬于基礎題.3、C【解析】

由向量的模公式以及數(shù)量積公式,即可得到本題答案.【詳解】因為向量,與的夾角為,所以.故選:C【點睛】本題主要考查平面向量的模的公式以及數(shù)量積公式.4、D【解析】

由線面垂直的判定定理得:,又,所以面,由線面垂直的性質(zhì)定理得:,即可求解.【詳解】解:連接,因為四邊形為正方形,所以,又,所以面,所以,所以異面直線與所成角的正弦值等于1,故選D.【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理,屬中檔題.5、D【解析】

根據(jù)空間中線線、線面、面面位置關系,逐項判斷,即可得出結果.【詳解】A選項,若,,則可能平行、相交或異面;故A錯;B選項,若,,則或,故B錯;C選項,若,,因為為三個不重合平面,所以或,故C錯;D選項,若,,則,故D正確;故選D【點睛】本主要考查命題真假的判定,熟記空間中線線、線面、面面位置關系,即可得出結果.6、A【解析】

利用余弦定理推論得出a,b,c關系,在結合正弦定理邊角互換列出方程,解出結果.【詳解】詳解:由已知及正弦定理可得,由余弦定理推論可得,故選A.【點睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應用.7、A【解析】分析:利用二倍角的余弦公式化簡得,根據(jù)周期公式求出周期為,從而可得結果.詳解:首先對進行化簡得,又由關于的取值表:123456可得的周期為,則可得,設,則,故選A.點睛:本題考查二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的周期性以及等差數(shù)列的求和公式,意在考查靈活運用所學知識解決問題的能力以及計算能力,求求解過程要細心,注意避免計算錯誤.8、C【解析】

利用象限角的表示即可求解.【詳解】由是第四象限角,則,所以,所以是第三象限角.故選:C【點睛】本題考查了象限角的表示,屬于基礎題.9、A【解析】

根據(jù)條件判斷出為等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到和之間的關系,得到答案.【詳解】為等差數(shù)列【點睛】本題考查等差中項,等差數(shù)列的基本性質(zhì),屬于簡單題.10、D【解析】

利用二倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)化為,再利用三角函數(shù)的周期公式即可求解.【詳解】,函數(shù)的最小正周期為.故選:D【點睛】本題考查了二倍角的余弦公式、輔助角公式以及三角函數(shù)的最小正周期的求法,屬于基礎題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】

利用成等比數(shù)列得到,再利用余弦定理可得,而根據(jù)正弦定理和成等比數(shù)列有,從而得到所求之值.【詳解】∵成等比數(shù)列,∴.又∵,∴.在中,由余弦定理,因,∴.由正弦定理得,因為,所以,故.故答案為.【點睛】在解三角形中,如果題設條件是關于邊的二次形式,我們可以利用余弦定理化簡該條件,如果題設條件是關于邊的齊次式或是關于內(nèi)角正弦的齊次式,那么我們可以利用正弦定理化簡該條件,如果題設條件是邊和角的混合關系式,那么我們也可把這種關系式轉(zhuǎn)化為角的關系式或邊的關系式.12、【解析】

由已知得兩式,相減可發(fā)現(xiàn)原數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項均為等差數(shù)列,分類討論分別算出奇數(shù)項的和和偶數(shù)項的和,再相加得原數(shù)列前的和【詳解】兩式相減得數(shù)列的奇數(shù)項,偶數(shù)項分別成等差數(shù)列,,,,數(shù)列的前2n項中所有奇數(shù)項的和為:,數(shù)列的前2n項中所有偶數(shù)項的和為:【點睛】對于遞推式為,其特點是隔項相減為常數(shù),這種數(shù)列要分類討論,分偶數(shù)項和奇數(shù)項來研究,特別注意偶數(shù)項的首項為,而奇數(shù)項的首項為.13、【解析】

將函數(shù)進行化簡為,求出其單調(diào)增區(qū)間再結合,可得結論.【詳解】解:,遞增區(qū)間為:,可得,在范圍內(nèi)單調(diào)遞增區(qū)間為。故答案為:.【點睛】本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,屬于基礎題。14、2【解析】試題分析:由題意可得:.考點:扇形的面積公式.15、【解析】表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1、2、6的長方體的外接球.設其半徑為R,,所以該球形容器的表面積的最小值為.【點睛】將表面積最小的球形容器,看成其中兩個正四棱柱的外接球,求其半徑,進而求體積.16、.【解析】

根據(jù)題意可知,,從而得出,再由,即可求出的取值范圍.【詳解】解:由題意可知,,且,,,,或,故的取值范圍是,故答案為:.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的極限問題,解題時要熟練掌握無窮等比數(shù)列的極限和,屬于基礎題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)5≤f(-2)≤10;(2)[-2,0).【解析】

(1)用和表示,再根據(jù)不等式的性質(zhì)求得.(2)對進行參變分離,根據(jù)和求得.【詳解】解(1)方法一?∵f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤f(-2)≤10.方法二設f(-2)=mf(-1)+nf(1),即4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,比較兩邊系數(shù):?∴f(-2)=3f(-1)+f(1),下同方法一.(2)當x∈[0,1]時,-1≤f(x)≤1,即-1≤ax2+x≤1,即當x∈[0,1]時,ax2+x+1≥0且ax2+x-1≤0恒成立;當x=0時,顯然,ax2+x+1≥0且ax2+x-1≤0均成立;當x∈(0,1]時,若ax2+x+1≥0恒成立,則a≥--=-(+)2+,而-(+)2+在x∈(0,1]上的最大值為-2,∴a≥-2;當x∈(0,1]時,ax2+x-1≤0恒成立,則a≤-=(-)2-,而(-)2-在x∈(0,1]上的最小值為0,∴a≤0,∴-2≤a≤0,而a≠0,因此所求a的取值范圍為[-2,0).【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)和參變分離的恒成立問題,屬于難度題.18、(1);(2).【解析】

(1)由,轉(zhuǎn)化為,利用弦化切的思想得出的值,從而求出的值;(2)由,轉(zhuǎn)化為,然后利用平面向量數(shù)量積的坐標運算律和輔助角公式與函數(shù)的解析式進行化簡,并求出在區(qū)間的最大值,即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)∵,且,,,∴,即,又∵,∴;(2)易知,,∵,∴,,當時,,取得最大值:,又恒成立,即,故.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標運算,考查三角函數(shù)的最值,在求解含參函數(shù)的不等式恒成立問題,可以利用參變量分離法,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來求解,考查轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學思想,考查計算能力,屬于中等題.19、(1);(2)【解析】

(1){an}是遞增的等比數(shù)列,公比設為q,由等比數(shù)列的中項性質(zhì),結合等比數(shù)列的通項公式解方程可得所求;(2)運用等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列中項性質(zhì),求得bn=2n+1,再由數(shù)列的錯位相減法求和,化簡可得所求和.【詳解】(1)∵是遞增的等比數(shù)列,∴,,又,∴,是的兩根,∴,,∴,.(2)∵,∴由已知得,∴∴,化簡可得.【點睛】本題考查數(shù)列的通項和求和,等差等比數(shù)列的通項通常是列方程組解首項及公差(比),數(shù)列求和常見的方法有:裂項相消和錯位相減法,考查計算能力,屬于中等題.20、(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)【解析】

(Ⅰ)由圓的方程得到圓心坐標和;根據(jù)、為等腰直角三角形可知,從而得到,解方程求得結果;(Ⅱ)設直線方程為;利用點到直線距離公式求得圓心到直線距離;由垂徑定理可得到,利用可構造不等式求得結果;(Ⅲ)直線方程與圓方程聯(lián)立,根據(jù)直線與圓有兩個交點可根據(jù)得到的取值范圍;設,,利用韋達定理求得,并利用求得,即可得到;利用向量共線定理可得到關于的方程,解方程求得滿足取值范圍的結果.【詳解】(Ⅰ)由圓得:圓心,由題意知,為等腰直角三角形設的中點為,則也為等腰直角三角形,解得:(Ⅱ)設直線方程為:則圓心到直線的距離:由,,可得:,解得:的取值范圍為:(Ⅲ)聯(lián)立直線與圓的方程:消去變量得:設,,由韋達定理得:且,整理得:解得:或,與向量共線,,解得:或不

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