廣東省“六校”2024屆高三年級上冊9月聯(lián)合摸底數(shù)學試題【含答案】

2024屆高三級9月“六?！保ㄇ逯?、河中、北中、惠中、陽中、茂中）

聯(lián)合摸底考試

數(shù)學試題

考生注意：

1.滿分150分，考試時間120分鐘.

2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對

應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)

域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

3.本卷命題范圍：高考范圍.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.若集合用={4>3},N={1,2,3,4},則MCN=（）

A.{1,2}B.{3,4}

C.{x[l<x<5,xeN*}D.

【答案】C

【解析】

3

【分析】求得集合屈={燈、>5},根據(jù)集合的交集運算可得答案.

【詳解】由題意得河={x|2x>3}=1N={1,2,3,4},

故McN={2,3,4}={x[l<x<5,xeN*},

故選：C

2.已知三是復數(shù)z的共輾復數(shù)，則（i+z'i+z）=4+4i,則|z|=（）

A.1B.V5C.5D.472

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)出復數(shù)的代數(shù)形式，結(jié)合復數(shù)相等的定義、復數(shù)模的定義進行求解即可.

【詳解】設(shè)2=%+耳（羽〉eR）,

由題意可得:

(i+z)(i+z)=-l+(z+z)i+z2=x2+y2-l+2xi=4+4i,

22

即X?+「=5,即|z|=^X+y=也,

故選：B

3.已知向量a=(-=(掰,2).若—則加=()

A.YB.2C.-2D.0

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量線性運算法則，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標表示公式進行求解即可.

【詳解】因為2=(—1,1)1=(加,2),所以Z—3=(—1—陽1),

因為(a—b)_La,所以(a—b)，a=(—l)x(―1—加)+(—1)x1=0,

解得m=0,

故選：D

4.從1、2、3、4、5、6、7這7個數(shù)中任取5個不同的數(shù)，事件A：“取出的5個不同的數(shù)的中位數(shù)是4”,

事件3：“取出的5個不同的數(shù)的平均數(shù)是4”，則P(8|/)=()

1913

A.—B.—C.—D.一

73537

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)、平均數(shù)的定義，結(jié)合古典概型、條件概率的公式進行求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，從7個數(shù)中任取5個數(shù)，則基本事件總數(shù)為C；=21,

這5個數(shù)的中位數(shù)是4的基本事件有C；C；=9個，

a3

所以尸(z)=五=7，

其中5個數(shù)的平均數(shù)都是4的基本事件有

1,2,4,6,7；1,3,4,5,7；2,3,4,5,6,共3種情況，

這3種情況恰好也是AB的基本事件，

所以P（45）=（=g,所以「（8|/）=P(AB)1

故選：c

71

5.已知函數(shù)/(x)=sin|0X+—（0＞0）在區(qū)間10,；內(nèi)有最大值,但無最小值,則0）的取值范圍是（

6

28j_525￡8

A.B.C.D.

3；36563566；3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.

7r

【詳解】因為0〉?！援敃r,

.71717171

則有一＜GX+—＜一刃+―,

6626

因為/（x）在區(qū)間內(nèi)有最大值，但無最小值,

結(jié)合函數(shù)圖象，得/＜四。+巴V型,

2262

2Q

解得一＜G4一,

33

故選：A

6.已知數(shù)列［an］的前〃項和為S",且滿足S),="2+”+1,若＜+4=2027,p,qeN*,則夕+q=(

A.2027B.1012C.1013D.1014

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意所給條件求出數(shù)列的通項公式，利用通項公式分析得出夕國的值，從而解決問題.

【詳解】因為5“=/+〃+1,

所以當〃=1時，q=3,

當“之2時，S,一S"_］=%=（〃2+“++（〃_］）+］=2n,

故數(shù)列從第2項開始都是偶數(shù)，而瑪+%=2027是奇數(shù)，

故正整數(shù)P和9其中必有一個等于1n4=3,另一個就是alon=2024,

故夕+q=l+1012=1013,

故選：C.

7.設(shè)橢圓［+C=1（a>6>0）的左、右焦點分別為￡、F21是橢圓上一點，歸片|=4筆|,（，WXW2）,

ab2

7T

/茸隼=萬，則橢圓離心率的取值范圍為（）

A（0,馬B.除當C4當D.［豐』）

JJJJ

【答案】B

【解析】

【分析】

22+1

設(shè)片(―c,0),鳥（c,0）,運用橢圓的定義和勾股定理，求得e?=令加=4+1,可得4二加一1,

(%+1)2

即有量=2（：-；）2+；，運用二次函數(shù)的最值的求法，解不等式可得所求范圍,

【詳解】解：設(shè)片（―c,0）,g（C,O）,由橢圓的定義可得，|W|+|平|=2即

可設(shè)|尸鳥|=/,可得|尸片|=加,

即有(X+1)，=2Q,①

由/為隼=],可得|P62+|pg「=4c2,

即為(22+1)/=4c2,②

22+1

由②+①2可得e?

(%+1)2

令加=4+1,可得4二加一1,

2

即有扁m-2m+21121

—二?m

132

由萬”4,2,可得—?陽3,IP-,,-

3m3

則當加=2時，取得最小值;；當加=3或3時，取得最大值3,

229

即有;”e；,解得：g,,4

所以橢圓離心率的取值范圍為［乎,理］.

故選：B.

【點睛】本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì),主要考查離心率的范圍，同時考查不等式的解法，屬于中檔

題.

8.設(shè)a==e°,-l,c=tanO.l,則()

A.a<b<cB.C<a<b

Ca<c<bD.b<a<c

【答案】C

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)，求出導數(shù)，利用導數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此能求出結(jié)果.

【詳解】解：令/(x)=e-(x+1),所以1(x)=e，-l,

當尤＞0時H(x)〉0,當x＜0時/'(力＜0,

即函數(shù)/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以/(x)min=/(°)=0.

即e*2x+l，當且僅當x=0時取等號，令x=0.1,可得b=e°J—1〉0.1，

JIJI1

令7z(x)=tanx-x,xe(0,—),則在xe(0,一)時，h\x)=-；——1>0,

22cosx

71

%(X)=tanX-X在X￡(0,5)上單調(diào)遞增，

■IJ

：./z(x)>/z(0)=0,.,.%￡((),5)時，tanx>x.c=tanO.l>0.1,

11_T

令g(x)=lnx—x+1,貝i[g'(x)=__l=----,

XX

所以當0<X<1時g'(x)>0,當X>1時g'(x)<0,

即函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

所以g(x)max=g6=°，

即InxVx—1,當且僅當x=l時取等號，

所以當x=l.l,可得a=lnl.l<l.l—1=0.1,所以。最小，

設(shè)=ex一1一tanx(xe(0,0.1]),貝(]t\x)=eY--->0,

：.t{x}在(0,0』上單調(diào)遞增，.」(0)<?(0.1),

.?./(O.l)=eol-l-tanO.l>e°-l-tanO=O,

b=e°1-1>tan0.1=c，

綜上可得6〉c>a；

故選：C

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.如圖所示，棱長為2的正方體/BCD—44GA中，面對角線與8。相交于點。，則下列說法正確

A.。。"/平面48。1

B.點。到平面4BQ］的距離為"

3

C.過點A作與平面481〃垂直的直線/,貝IJ/與直線夾角的余弦值為且

3

D,沿正方體的表面從點A到點G的最短距離是20+2

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)題意，證得平面4BQ"/平面8￡?G,可判定A正確；證得AD//平面48Q1,將。到平面

ABXDX的距離轉(zhuǎn)化為B到平面ABXDX的距離，結(jié)合=VDi_ABBi,可判定B錯誤；證得4。1平面

4BR,轉(zhuǎn)化為4c與5。的夾角，進而可判定C正確；結(jié)合正方體的側(cè)面展開圖，可得判定D錯誤.

【詳解】對于A中，如圖1,在正方體48CD—44Goi中，可得BQ//BD,ADJ/BCi，

因為穌平面3￡>G，BQu平面3￡>G，所以"D"/平面8￡>G，

同理可證：40"/平面RDG，

又因為NAcBQi=3且AD1,BQ<z平面ABR,所以平面ABXDJI平面BDC,,

因為。Gu平面ADG，所以。G〃平面48。］,所以A正確；

對于B中，由平面ADC"/平面4BQ］,因為ADu平面5￡>G，所以AD//平面人”劣，

所以點。到平面4BQI的距離等于8到平面48］。的距離，設(shè)為〃，

由△4BQ］為邊長為2血的等邊三角形，可得=%(2亞丫=2出,

又由腺一期4=/「極2可得gx2百?7/=；xgx2x2x2,解得/2=乎

即點。到平面的距離等于冬8,所以B錯誤；

3

對于c中，連接4。，在正方體48co中，可得平面4AG。，

因為BQiU平面4AG2,所以Z4，及。1,

又因為BR，4G,AAXn4c=4且441，4。U平面AA^X,所以BR1平面AA.C,,

因為4。u平面440,所以為2,4。，同理可證：AB{lAtC,

因為/用IBQ=片，且AB,Lu平面Z8Q］,所以4C，平面ABR,

所以過點A且垂直于平面ABXDX的直線IHA.C,

所以/與直線5C的夾角為4c與5。的夾角，即N4C8,

在直角A4CS中，可得cos/4cs=生=斗=走，所以C正確；

4c2V33

對于D中，如圖2所示，由正方體側(cè)面展開圖可知2。=2J5,

即從正方體的表面從點A到點G的最短距離是2，所以D錯誤.

10.已知圓=4和圓c：（x—3y+（y—=4,P,Q分別是圓。，圓。上的動點，則下列說法錯

誤的是（）

A,圓。與圓。相交

B.|尸0|的取值范圍是[3拒—4,3收+4]

C.x-y=2是圓。與圓。的一條公切線

D.過點。作圓。的兩條切線，切點分別為則存在點。，使得NMQN=90。

【答案】AC

【解析】

【分析】利用兩圓的位置關(guān)系可判斷AB；求出外公切線可判斷C；根據(jù)四邊形OMQN為正方形，可判斷

【詳解】對于A選項，由題意可得，圓。的圓心為。（0,0）,半徑"=2,圓C的圓心C（3,3）,半徑馬=2,

因為兩圓圓心距|。。|=3五〉2+2=勺+々，所以兩圓外離，故A錯誤；

對于B選項，|尸。|的最大值等于|OC+/]+G=30+4,最小值為|OC|—八―々=30-4,故B正確；

對于C選項，顯然直線x-y=2與直線平行，因為兩圓的半徑相等,

則外公切線與圓心連線平行，由直線OC：y=x,設(shè)外公切線為y=x+t,

K

則兩平行線間的距離為2,即正=2,故了=x+2y[2,

故C錯誤；

對于D選項，易知當NMQN=90°時，四邊形QMQN為正方形，故當|。。|=2后時，ZMQN=90°,

故D正確.

故選：AC.

II,已知三次函數(shù)+云2+cx+d有三個不同的零點4超,七(%1</<七)，若函數(shù)

g(x)=/(x)—1也有三個不同的零點B2/3&<，2</3)，則下列等式或不等式一定成立的有()

A.<3cB.t3>x3

C.X]+%2+X3=4+G+'3D.xxx2x3-txt2t3=1

【答案】BC

【解析】

【分析】對于A,由題意可得/'(x)=0有兩個不同的實根，則△>(),從而可進行判斷，對于B,根據(jù)圖

象分析判斷，對于CD,由零點的定義結(jié)合方程化簡變形進行判斷.

【詳解】f^(x)=3x2+2bx+c,因為原函數(shù)有三個不同的零點，則/'(x)=0有兩個不同的實根，

即3/+29+C=0，則A=4/—12c>0，即加>3c，所以A錯誤;

因為三次函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d有三個不同的零點再,9，W(西</<七),

所以

3232

x+bx+cx+d=(x-Xj)(x-x2)(x-x3)=x-(X[+x2+x3)x+(XjX2+X2X3+X[X3)x-XJXJXJ=0,

所以匹+%+%3=—6內(nèi)％2%3=-d,

同理人+父+，3=一bJ/2t3=1-d,

所以匹+%2+%3=%+，2+，3，%工2%3一d2%3=一1，故C正確，D錯誤;

由/(x)的圖象與直線y=1的交點可知匕〉與，B正確.

故選：BC.

12.已知直線/過拋物線E:J?=4X的焦點廠，與拋物線相交于/(國,%)、8(/，%)兩點，分別過45作

拋物線的準線4的垂線，垂足分別為4,用，以線段為直徑作圓M,。為坐標原點，下列正確的判斷有

A.X]+x2>2B.A/OB為鈍角三角形

c.點廠在圓/外部D.直線4/平分N0E4

【答案】ABD

【解析】

【分析】對選項A,根據(jù)焦半徑公式即可判斷A正確，對選項B,根據(jù)力.無=一3<0即可判斷B正確,

對選項C,D,根據(jù)拋物線的性質(zhì)得到N44尸=ZA^FB,=90°,即可判斷C錯誤，D

正確.

【詳解】如圖所示：

對選項A,由拋物線的焦半徑公式可知|48|=再+/+2之2。=4,所以西+%?2,

故A正確；

對于選項B,OA-OB=x/2+乂％=（號）+%為'

16

令直線/的方程為x=my+l,代入y2=4x得「一4叩一4=0,所以％%=-4,

所以。7?礪=-3<0，所以是鈍角三角形，故B正確；

對選項C,D,由以4|=|2刊可知，

又AA//OF,所以N/4尸=NOE4]=NZE4],所以直線E4平分角N/R9,

同理可得總'平分角4即O,所以4尸，即"即/4q1=90°，

所以圓〃經(jīng)過點尸，故C錯誤，D正確.

故選：ABD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.現(xiàn)有5名同學從北京、上海、深圳三個路線中選擇一個路線進行研學活動，每個路線至少1人，至多2

人,其中甲同學不選深圳路線，則不同的路線選擇方法共有種.（用數(shù)字作答）

【答案】60.

【解析】

【分析】根據(jù)題意，分為甲同學單獨1人和甲同學與另外一個同學一起，兩類情況討論，結(jié)合排列、組合,

即可求解.

【詳解】每個路線至少1人，至多2人，則一個路線1人，另外兩個路線各2人，

若甲同學單獨1人時，有C；C：=12種不同的選法；

若甲同學與另外一個同學一起，則有C；C；C；A；=48種不同的選法，

則不同的選擇方法有60種.

故答案為：60.

14.如圖所示，在上、下底面均為正方形的四棱臺48co-4400中，已知

說=BB]=CCj=DD[=4i,AB=2,AXBX=1,則該四棱臺外接球的體積為.

【答案】W1兀

3

【解析】

【分析】根據(jù)正四棱臺的性質(zhì)和球的性質(zhì)，結(jié)合球的體積公式進行求解即可.

【詳解】由已知可知正四棱臺的外接球的球心。在軸線"1上，如圖所示，

HG=*HC=0HH\=',OC\=OC=r，設(shè)例=x，

當球心在線段"1延長線上時,

HiC1

有/+(變］=L-^+(V2)2,解得》=四,

、2J12J2

顯然不可能，

當球心在線段”1上時，

有=［逅-J+(V2)2,解得x=",則「=也,

222

所以正四棱臺的外接球的體積為「=3乃(亞)3=迤兀.

33

故答案為：----71

3

15.已知函數(shù)/@)=三彳+￡?+2，且滿足/(療)+/(加—2)〉4,則實數(shù)加的取值范圍是.

【答案】(-叫-2)U(l,+8)

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的形式、已知函數(shù)的解析式形式構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進行

求解即可.

【詳解】令g(x)=《匚+殳，貝Ug(x)=/(x)—2,因為

eJ+1

eA-lb―1eT-ll-eT

g(x)+g(-x)i-exdex=-----1-----二0,

e'+l----ex+l------ex+lex+l

所以g(x)為奇函數(shù).

/、2

又g（x）=l--^-r+ex，

e+1

所以根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)可得g（x）為增函數(shù).

因為/（加2）+/（加一2）〉4,

所以/（療）一2+/（m-2）-2>0,等價于g?+g（加一2）〉0,即g"）〉—g（m-2）=g（2-加）,

所以加2>2—加,即加？+加—2>0,解得加<一2或S>1,

所以實數(shù)加的取值范圍為（-8,-2）U（1,+8）.

故答案為：（-oo,-2）U（l,+℃）

【點睛】關(guān)鍵點睛：由不等式的形式構(gòu)造函數(shù)8（%）=%1+改是解題的關(guān)鍵.

16.直線Vj分別與曲線>=2（x+l）,>=x+lnx交于48,則|/理的最小值為

3

【答案】-

2

【解析】

【詳解】設(shè)/（X1,Q）,5（X2,Q）,則2（X1+1）=X2+ZHX2，

X1=y（X2^-Inx2）~1,

\AB\=X2TX\=y（X2一歷X2）+1，

令尸g（x-加x）+i,則=,

???函數(shù)在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞增，

3

???尸1時，函數(shù)的最小值為一，

2

3

故答案為一.

2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在等比數(shù)列｛%｝中，4=2,且％,生+1，。4成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

2〃

（2）記勿=I1—/數(shù)列也｝的前〃項和為北，求不等式（<10的解集.

W〃—i+W〃+「I

【答案】（1）%=2"

（2）｛123,4,5｝

【解析】

【分析】（1）解：設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為根據(jù)題意列出方程，求得q=2,進而得到數(shù)列的通項公式；

（2）由（1）得到b“=—1—12"—1，結(jié)合裂項法求和，求得北=，2向-1-1,結(jié)合題意，得到不等

式匚1<11，即可求得不等式的解集?

【小問1詳解】

解：設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為4，

因為4,%+1，。4成等差數(shù)列，所以2（%+1）=%+。4，即2（。洶"+1）=%+。］/,

又因為q=2,則2（2/+1）=2+2/，即2/=0,qw0,解得q=2,

所以數(shù)列｛4｝的通項公式為%=2".

【小問2詳解】

r\n_________

解：由?！?2",可得b“=~^=~=V2,!+1-l-,2"—1,

所以7；=(7F^-Vr^)+(72r^i-72r^i)+---+(7Fr^i-72r^i)

=V2"+1-1-1

又由7；<10,可得即2"+i—l<121,〃eN*,

即2"i<122,〃eN*,所以“=1,2,3,4,5,所以不等式的解集為{1,2,3,4,5}.

18.如圖，四棱錐力—PC8M中，底面四邊形PCBN是直角梯形，PM〃BC/PCB=90°,BC=2,

PM=1,AC=1,ZACB=120°,AB1PC,直線ZM與PC所成的角為60°.

（1）求證：平面P/CL平面45C；

(2)點。為線段MB上一點，若二面角?！?。―8的大小為30。，求。8的長.

【答案】(1)證明見解析

⑵迪

3

【解析】

【分析】(1)由線線垂直可證明線面垂直，即可得面面垂直，

(2)建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角即可求解.

【小問1詳解】

證明：???PC±AB,PC±BC,ABA5C=B,AB,BCu平面ABC,

PCABC.

又PCu平面R4C,

平面PAC±平面ABC.

【小問2詳解】

在平面48c內(nèi)，過。作x軸，C8,建立空間直角坐標系C-斗(如圖).

>o),則M(O,l,Zo),

V33、

AM=F5*。，麗=(O,O,z0),

k7

由直線與直線PC所成的角為60°,得而?麗=|而［J而］-cos60°,即z；=；jz；+3.zo,得

z。=1,所以PC=1.

由直角梯形PCW可知ZCBM=45°,則可設(shè)0(0,2T,1)(04三1).

由題意可得CQ=(0,2—/,/),□=^,--,0,設(shè)平面ZC0的一個法向量為〃=(x,y,2),

取x=1,得〃=

[2-t^y+zt=0

平面45。的法向量取浣=（O,O/），

4321B

-Y，解得/=§（負值舍去），則@==2

19.已知AZ8C的內(nèi)角48。的對邊分別為"c,>ccosCsiiU=（2b-c）sinCcos^.

（1）求NZ；

（2）若|行—0|=4,<：058+（：05。=1,求ATIBC的面積.

TT

【答案】（1）A=-

3

⑵4月

【解析】

【分析】（1）由正弦定理邊角化以及結(jié)合三角恒等變換即可求解，

（2）由和差角公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷三角形為等邊三角形，即可由面積公式求解.

【小問1詳解】

,一、…eabc

由正弦定理----二-----二-----，

sirvlsinBsinC

得sinCcosCsin4=（2sin5-sinC）sinCeos/.

化簡得sinC（sinAcosC+cos/sinC）=2sin5sinCcosA,

由兩角和的正弦公式得sinCsin（Z+C）=2sin_5sinCcos/.

由誘導公式化簡得sinCsin3二2sinBsinCcosA.

因為。e（0,7i）,Be（0,7i）,

所以sin。w0,sin8w0,所以COS24=」.

2

由于Ze（0,兀），所以4=].

【小問2詳解】

|CS-G4|=|J5|=4,即C=4.

TT

由（1）知2=一，

3

所以cosB+cosC=cosf——+cosC=-sinC+—cosC=sinfc+巴］=1,

I3）22I6）

因為0<C<0,巴<C+巴〈亞，

3666

7T7T7T

所以C+—=—nC=—.

623

即“BC為邊長是4的等邊三角形.

11-\/3

S“BC=—acsmB=—x4x4x^-=4v■

20.某同學進行投籃訓練，已知該同學每次投中的概率均為05

（1）若該同學進行三次投籃，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，記X為三次總

得分，求X的分布列及數(shù)學期望；

^-np

（2）已知當隨機變量《服從二項分布5（場,P）時，若"充分大，則隨機變量〃=J〃夕0_夕）服從標準正態(tài)

分布N（0,l）.若保證投中的頻率在0.4與0.6之間的概率不低于90%,求該同學至少要投多少次.

附：若〃表示投籃的次數(shù)，J表示投中的次數(shù)，則投中的頻率為專；若〃~N（0,l）,則

尸①<1.28)=0.9,P(7<1,645)=0.95.

【答案】（1）分布列見解析，2

（2）68次

【解析】

【分析】（1）設(shè)事件4,^2,4分別表示第一次投中，第二次投中，第三次投中，

列出X的所有取值，再計算出對應的概率，即可求解.

（￡\（—01〃—05Tl01〃'

出根據(jù)題意將尸0.4<￡<0.620.9轉(zhuǎn)化為尸—<&—>0.9,即可求解.

\（0.5〃051n0.5，〃J

【小問1詳解】

設(shè)事件4,力2,4分別表示第一次投中，第二次投中，第三次投中,

根據(jù)題意可知x=0,1,2,3,4,

故尸(X=O)=P(4)P(4)P(4)=J

o

P(X=I)=P(4)P(4)P(4)+P(4)P(4)P(4)=；

P(X=2)=P(4)P(4)P(4)+P(4)P(4)P(4)=：

P(X=3)=P(4)P(4)P(4)+P(4)P(4)P(4)=1

p(^=4)=p(4)p(4)p(4)=1xlxl=1.

X的分布列為:

X01234

1111]_

P

84448

X的數(shù)學期望m=0x』+lxL+2x』+3x!+4x1=2.

84448

【小問2詳解】

設(shè)至少投〃次，其中投中的次數(shù)1~3(”,0.5),

若尸(0.4<6<0.6]20.9,即0(0.4〃<J<0,6M)>0,9,

一0.1〃自一0.5九0.1〃

由已知條件可知尸>0.9,

0.5〃05GG5G

又因為尸(〃<1.645)=0.95,所以0.23>1.645，

所以67.6

所以至少要投68次才能保證投中的頻率在0.4到0.6之間的概率不低于90%

22

21.已知雙曲線C：5—1=l(a>0,b>0)經(jīng)過點4(2,0),4(4,0),4僅在⑹，4(2血,—⑹,

4(G,G)中的3個點.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)已知點M,N是雙曲線C上與其頂點不重合的兩個動點，過點N的直線右都經(jīng)過雙曲線。的

右頂點，若直線右的斜率分別為左，左2,且左+左2=1，判斷直線施V是否過定點，若過定點，求出該

點的坐標；若不過定點，請說明理由

22

【答案】(1)土-匕=1

43

(2)直線跖V過定點，且定點坐標為(2,3)

【解析】

【分析】(1)分析出雙曲線經(jīng)過的3個點，然后求得。,人，從而求得雙曲線。的方程.

(2)設(shè)出直線跖V的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，由左+左2=1列方程進行化簡，

進而求出直線跖V過定點(2,3)

【小問1詳解】

由于4,4關(guān)于x軸對稱，所以4,4要么都在雙曲線。上，要么都不在雙曲線。上.

點4,4不可能都在雙曲線。上，因為雙曲線。經(jīng)過3個點，所以4,4都在雙曲線。上?

2283

將的坐標代入4=1得=―不=1,

abab

由4,4都在雙曲線c上可知4(4,0)、4(G,G)都不在雙曲線。上，

所以點4(2,0)在雙曲線c上，故a=2,

Q3

結(jié)合-....-=1可得b=V3,

ao

22

所以雙曲線。的方程為L-2=1.

43

【小問2詳解】

設(shè)M(Xi，yJ,N(X2，%)，其中％0出，故可設(shè)直線跖V的方程為》=叼+〃，

x=my+n

由＜22消去工并化簡得(3加之一4)/+6加町+3/-12=0,

土-上=1

[43

6mn3M2-12

3加2_4W0，必+%=一3加2_4'必』-3加2_4

因為雙曲線。的右頂點為4(2,0),且左+左2=1，

所以必+%=---Z1----+----%----

七一2x2-2myx+〃-2my2+n-2

二2加%丁2+(〃_2)(弘+)2)

川必必+加(〃-2)(必+%)+(〃—2)*2

Gm"-24m6mn2—12mn

3病-4-3加2—4''],

3m2n2-12m26m2n2-12m2n/_2-n

-----丁一-------亍?+("2yx2

3m2-43m2-4

所以〃=—3加+2,代入%=叩+〃得x=加(y—3)+2,

當》=3時，x=2,

所以直線MV過定點(2,3).

Inx

22.已知函數(shù)/(x)=---l-a(x-l),aGR.

x

(1)試討論/(X)的極值點的個數(shù)；

(2)若g(x)=W(x),且對任意的xe[l,+oo)都有g(shù)(x)<0,求。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)(-oo,-l]

【解析】

【分析】⑴根據(jù)題意，求得/'(x)=a—"口，令/'(x)=0,單調(diào)°=叵二，令〃卜)=生」

求得加(x)=3，得到函數(shù)力(x)的單調(diào)性與最大值，進而得出答案.

X

(2)解法一：令加(％)=g'(x)=—+2QX—Q,求得，(x)=--G+2Q,得到函數(shù)加(x)的單調(diào)性，且

m(x)<m(l)=l+?<0,進而得g(x)在[1,+8)上單調(diào)遞減，進而求得。的取值范圍；

解法二：由g(x)=M(x)=hur+ax?-ax,當aNO時，g(2)>0,不符合題意；當a<0時，取得

/卜)=網(wǎng)*±1,得到g，(x)=。有兩個異號實根%,匕，分馬〉1和0<%<1，兩種情況討論，即可

求解.

1r11*lr)Y

解法三：根據(jù)題意，把不等式的恒成立，轉(zhuǎn)化為—-Z一恒成立，令一,求得

X-xX-x

/、(2x-l)lnx-(x-l)

=-一六—F―令夕(x)=(2x—l)lnx—(x—利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得出

(X-X]

《X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，進而求得。的取值范圍.

【小問1詳解】

解：由函數(shù)/(x)=U^+a(x—1)的定義域為(0,+動，可得/<x)=a—蛔二，

XX

人萬/\M口rlnx-1人7/、lnx-1E7，/\3-21m;

令/(x)=。，即。=——2-'令力(')=——J-'則〃(1)=---3-，

當0<x<el時，〃(可>0,/z(x)單調(diào)遞增；

當X〉[時，〃'(x)<0，Mx)單調(diào)遞減，

所以力OOmax叫e2=—,

又當0<x<e時，/z(x)<0j=L/z(e)=O；且當x-+co時，