北京市順義區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（教師版）

順義區(qū)2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)高一數(shù)學(xué)試卷考生須知1．本試卷總分150分，考試月時(shí)120分鐘．2．本試卷共6頁(yè)，分為選擇題（40分）和非選擇題（110分）兩個(gè)部分．3．試卷所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回，試卷自己保留．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.在平面直角坐標(biāo)系中，，則向量（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)求向量坐標(biāo).【詳解】依題意，，.故選：B2.在以下4項(xiàng)調(diào)查中：①調(diào)查一個(gè)40人班級(jí)的學(xué)生每周的體育鍛煉時(shí)間；②調(diào)查某省的一種結(jié)核病的發(fā)病率；③調(diào)查一批食品的合格率；④調(diào)查一個(gè)水庫(kù)所有魚中草魚所占的比例；適合用全面調(diào)查的是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全面調(diào)查的定義判斷即可.【詳解】根據(jù)全面調(diào)查的定義可知，①適合用全面調(diào)查，②③④適合用抽樣調(diào)查.故選：A3.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】，故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限，故選：B4.已知向量，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.1 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由平面向量垂直的坐標(biāo)公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄?，且，則，則.故選：C5.某中學(xué)高一年級(jí)有280人，高二年級(jí)有320人，為了解該校高一高二學(xué)生對(duì)暑假生活的規(guī)劃情況，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)容量為60的樣本，則高一年級(jí)應(yīng)抽取的人數(shù)為（）A14 B.16 C.28 D.32【答案】C【解析】【分析】根據(jù)抽樣比即可按比例求解.【詳解】高一年級(jí)應(yīng)抽取人，故選：C6.若是兩個(gè)不同的平面，則“存在兩條異面直線m，n，滿足”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分，必要條件的定義，結(jié)合幾何關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，即可判斷.【詳解】必要性：如圖，，平面與平面交于，平面交平面交于，，，平面是相交平面，所以與，與是相交直線，所以與是異面直線，且，，所以，同理，所以滿足必要性，充分性，若異面直線平移至點(diǎn)，成為相交直線，當(dāng)直線都與平面平行時(shí)，則所確定的平面都與平行，此時(shí)，所以“存在兩條異面直線m，n，滿足”是“”的充分條件，由以上可知，“存在兩條異面直線m，n，滿足”是“”的充分必要條件.故選：C7.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合三角函數(shù)圖象變換可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，為了得到函?shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度.故選：A.8.已知非零向量滿足，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，結(jié)合模長(zhǎng)公式以及數(shù)量積公式得出夾角.【詳解】因?yàn)?，所以，，即與的夾角為.故選：C9.如圖，圓錐的底面直徑和高均是2，過(guò)的中點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩下幾何體的體積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓錐和圓柱的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，圓柱底面半徑為，則，，剩下幾何體的體積．故選：D10.已知半圓的直徑為圓心，圓周上有兩動(dòng)點(diǎn)滿足．設(shè)弦與弦的長(zhǎng)度之和與的關(guān)系為，則最大值為（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，分別表示出，得到函數(shù)關(guān)系式，然后換元，由二次函數(shù)的最值即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，且，做于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，，則，令，因?yàn)椋瑒t，所以，所以，，對(duì)稱軸，則.故選：B第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5道小題，每題5分，共25分，把答案填在答題卡上．11.______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，以及特殊角的正弦值，可得結(jié)果.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式，屬基礎(chǔ)題.12.已知是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，則________．【答案】【解析】【分析】由共軛復(fù)數(shù)的定義結(jié)合模長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?故答案為：13.在中，，則________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)正弦定理即可求解.【詳解】由正弦定理可得,由于,所以或，故答案為：或14.為了解某小區(qū)6月份的用電量情況，近過(guò)隨機(jī)抽樣獲得其中300戶居民的月用電量（單位：度），發(fā)現(xiàn)都在之間．將所有數(shù)據(jù)按照分成六組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．則________；該小區(qū)居民6月份用電量的分位數(shù)大約是________．【答案】①.0.0044②.175【解析】【分析】根據(jù)頻率和為1求；再根據(jù)百分位數(shù)公式，結(jié)合頻率分布直方圖，即可求解.【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可知，，得，設(shè)小區(qū)居民6月份用電量的分位數(shù)，.故答案為：；15.在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面，有以下四個(gè)說(shuō)法：①可能與相交；②與不可能平行；③與是異面直線；④三棱錐的體積為定值；其中，所有正確說(shuō)法的序號(hào)是________．【答案】①③④【解析】【分析】分別取和的中點(diǎn)，可證得平面平面，從而可得點(diǎn)的軌跡是線段，再逐一判斷即可.【詳解】如圖：分別取和的中點(diǎn)，連接，則，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理得平面，又，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)的軌跡是線段.對(duì)于①，連接交于，當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，與相交，故①正確；對(duì)于②，當(dāng)在的中點(diǎn)處時(shí)，，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，假設(shè)與不是異面直線，則與共面且相交，因?yàn)椋?，所以由和可確定平面，由和可確定平面，顯然平面與平面不是同一平面，這與三條兩兩相交直線（不交于同一點(diǎn)）確定一個(gè)平面矛盾，所以假設(shè)不成立，即與異面直線，故③正確；對(duì)于④，由，平面，平面，所以平面，三棱錐的高為到平面的距離，又因?yàn)樵诰€段上運(yùn)動(dòng)，所以等于點(diǎn)到平面的距離，為定值，又底面三角形的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故④正確.故答案為：①③④三、解答題共6道題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．16.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）求方程的解集．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦型函數(shù)的周期公式即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，列出方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】最小正周期.【小問(wèn)2詳解】∵在上單增，∴令，∴，∴的單增區(qū)間為.【小問(wèn)3詳解】令即，∴或，∴或，∴方程解集是或17.某球員在8場(chǎng)籃球比賽的投籃情況如下（假設(shè)各場(chǎng)比賽互相獨(dú)立）：場(chǎng)次投籃次數(shù)命中次數(shù)場(chǎng)次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場(chǎng)12214客場(chǎng)1186主場(chǎng)21512客場(chǎng)2135主場(chǎng)3228客場(chǎng)3217主場(chǎng)42317客場(chǎng)41815（1）從上述比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，求該球員在本場(chǎng)比賽中投籃命中率超過(guò)0.5的概率；（2）從上述比賽中選擇一個(gè)主場(chǎng)和一個(gè)客場(chǎng)，求該球員的投籃命中率一場(chǎng)超過(guò)0.5，另一場(chǎng)不超過(guò)0.5的概率；（3）記是表中8場(chǎng)命中率的平均數(shù)，是表中4個(gè)主場(chǎng)命中率的平均數(shù)，是表中4個(gè)客場(chǎng)命中率的平均數(shù)，比較的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）》【答案】（1）0.5（2）（3）【解析】【分析】（1）統(tǒng)計(jì)8場(chǎng)比賽中的投中率，即可求解，（2）根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式即可求解，（3）由平均數(shù)的定義即可結(jié)合表中數(shù)據(jù)求解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在8場(chǎng)比賽中，該球員投籃命中率超過(guò)0.5的有4場(chǎng)，分別是主場(chǎng)1，主場(chǎng)2，主場(chǎng)4，客場(chǎng)4．∴在隨機(jī)選擇的一場(chǎng)比賽中，該球員投籃命中率超過(guò)0.5的概率是0.5．【小問(wèn)2詳解】設(shè)事件A為“在隨機(jī)選擇的一場(chǎng)主場(chǎng)比賽中，該球員的投籃命中率超過(guò)0.5”，事件B為“在隨機(jī)選擇的一場(chǎng)客場(chǎng)比賽中，該球員的投籃命中率超過(guò)0.5”事件C為“在隨機(jī)選擇的一個(gè)主場(chǎng)和一個(gè)客場(chǎng)中，該球員的投籃命中率一場(chǎng)超過(guò)0.5，一場(chǎng)不超過(guò)0.5”．則相互獨(dú)立．根據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，．故∴在隨機(jī)選擇的一個(gè)主場(chǎng)和一個(gè)客場(chǎng)中，該球員的投籃命中率一場(chǎng)超過(guò)0.5，一場(chǎng)不超過(guò)0.5的概率是．【小問(wèn)3詳解】，理由：根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知主場(chǎng)的4場(chǎng)比賽中，投籃命中率的平均數(shù)顯然高于客場(chǎng)的，所以，由于，所以.18.已知平面直角坐標(biāo)系中，等邊的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)．（1）若四點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（寫出所有滿足條件的情況）（2）若點(diǎn)為線段邊上一動(dòng)點(diǎn)（包含點(diǎn)），求的取值范圍．【答案】（1）或或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)四點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，分類討論或者或者，根據(jù)向量相等的概念求解即可；（2）根據(jù)題意設(shè)，得到，進(jìn)而求得取值范圍即可.【小問(wèn)1詳解】∵等邊的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在第一象限∴點(diǎn)的坐標(biāo)為又∵若四點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形∴或者或者設(shè)，則由可得即∴由可得即∴由可得即∴∴D的坐標(biāo)為或或【小問(wèn)2詳解】∵點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（包含點(diǎn)），∴可設(shè)∴∴∴當(dāng)時(shí)，的最大值為4，當(dāng)時(shí)，的最小值為2．∴的取值范圍是19.在中，．（1）求；（2）再?gòu)南铝腥齻€(gè)條件中，選擇兩個(gè)作為已知，使得存在且唯一，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：邊上的高為．注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，接第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用降冪公式和二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)即可得解；（2）選①②，先利用正弦定理求出邊，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.選①③，先根據(jù)邊上的高求出邊，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.選②③，先根據(jù)邊上的高求出邊，再利用正弦定理求出角，即可得解.【小問(wèn)1詳解】在中，，∴∴，即，∵在中，，∴；【小問(wèn)2詳解】選擇①②，則，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∵在中，，∴，∴.選擇①③，∵邊上的高為，，∴，∵，∴，∵，，∴，∵在中，，∴，∴.選擇②③，∵邊上的高為，∴，∵，∴，∵在中，，∴或，此時(shí)不唯一．20.如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，為的中點(diǎn)．（1）求證：//平面；（2）求證：；（3）若平面，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)線線平行即可求證，（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，進(jìn)而可得線線垂直,（3）根據(jù)線面垂直得到線線垂直，進(jìn)而根據(jù)邊角關(guān)系即可求解.【小問(wèn)1詳解】∵平面,平面∴平面【小問(wèn)2詳解】∵為等邊三角形，為的中點(diǎn)，∴又∵平面平面，平面平面，平面∴平面，又∵平面，∴【小問(wèn)3詳解】延長(zhǎng)文于點(diǎn),∵平面,平面，∴,∴,即，∵,∴，∵，∴，∴，又為的中點(diǎn)，，∴，∵在中，，∴，∴在中，，∴即，21.設(shè)集合為元數(shù)集，若的2個(gè)非空子集滿足：，則稱為的一個(gè)二階劃分．記中所有元素之和為中所有元素之和為．（1）若，求的一個(gè)二階劃分，使得；（2）若．求證：不存在的二階劃分滿足；（3）若為的一個(gè)二階劃分，滿足：①若，則；②若，則．記為符合條件的的個(gè)數(shù)，求的解析式．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)二階劃分的定義，結(jié)合第一問(wèn)的條件，即可求解；（2）首先假設(shè)存在的二階劃分滿足，再計(jì)算，即可推出矛盾，即可證明；（3）根據(jù)二階劃分的定義，并結(jié)合奇數(shù)集合和偶數(shù)集合，即可推理求解.小問(wèn)1詳解】中所有元素之和為中所有元秦之和為且∴∴，即可知∵∴【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在符合條件的一個(gè)二階劃分滿足，則，從而是3的倍數(shù)又∴∵55不是3的倍數(shù)∴假設(shè)不成立∴不存在的二階劃分滿足【小問(wèn)