河北省聯(lián)盟2024屆高三年級下冊4月第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

河北省名校聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期4月第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合A={x|x=3〃-1,〃wZ},3={XOvX<6},則AB=()

A.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}

2.已知橢圓E：Y+J=l經(jīng)過點［，目］,則E的長軸長為()

A.1B.2C.4D.2拒

3.己知W=2邳，且,力）斐，貝也在a上的投影向量為（）

A.~~aB.—3。

4

C.—aD.3a

4.4知々=$1110.5,。=3啖。=108030.5,則a,女。的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

5.中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究.設(shè)“，瓦加（〃2>0）為整

數(shù)，若。和b被機除得的余數(shù)相同，則稱。和b對模加同余，記為。三6（modm）.若

q=C；0.2+C322++C；122°,a=b（mod9）,則6的值可以是（）

A.2018B.2020C.2022D.2024

6.已知實數(shù)羽丫滿足，加2+2>2=4（機>。），若|x+2y|的最大值為4,則心=（）

A.自B.-C.受D.1

3322

7.有一枚質(zhì)地均勻點數(shù)為1到4的特制骰子，投擲時得到每種點數(shù)的概率均等，現(xiàn)在進行

三次獨立投擲，記X為得到最大點數(shù)與最小點數(shù)之差，則X的數(shù)學(xué)期望E（X）=（）

21r3-7-15

A.—B.—C.-D.—

16248

8.已知正方體ABCD-A由GA的棱長為2,P為線段G2上的動點，則三棱錐尸-3a>外

接球半徑的取值范圍為（）

二、多選題

9.已知圓O:x?+=1,圓C:（x-a）2+（y-l）2=4,。eR,則（）

A.兩圓的圓心距|0C|的最小值為1

B.若圓。與圓C相切，則。=±20

C.若圓。與圓C恰有兩條公切線，則-2忘＜"2忘

D.若圓。與圓C相交，則公共弦長的最大值為2

10.設(shè)z為復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），下列命題正確的有（）

A.若（l+i）z=-i,則|z|=l

B.對任意復(fù)數(shù)Z-z2,有|斗2|=閭憶|

C.對任意復(fù)數(shù)Z],z2,有Z]-Zz=z-z?

D.在復(fù)平面內(nèi)，若“=仁|卜-2K2},則集合M所構(gòu)成區(qū)域的面積為6兀

11.如圖，在棱長為2的正方體ABCQ-44GA中，點尸是側(cè)面ADRA內(nèi)的一點，點E是

線段eq上的一點，則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)點P是線段的中點時，存在點E,使得AEJ■平面尸片R

B.當(dāng)點E為線段CG的中點時，過點A,E,2的平面截該正方體所得的截面的面積為

9

4

C.點E到直線BDt的距離的最小值為血

試卷第2頁，共4頁

D.當(dāng)點E為棱CQ的中點且PE=2夜時，則點尸的軌跡長度為亍

三、填空題

12.已知6＞0,函數(shù)=是奇函數(shù)，貝巾=,b=.

13.已知A（T,0）,3（＜0）,|P@=2|B4|,若平面內(nèi)滿足到直線/：3x+4y+〃z=0的距離為1

的點尸有且只有3個，則實數(shù)機=.

14.己知等差數(shù)列｛4｝（公差不為0）和等差數(shù)列也,｝的前〃項和分別為S“,7；,如果關(guān)于x

的實系數(shù)方程1003，-$。/+。,3=。有實數(shù)解，則以下1003個方程

龍2-平+4=0。=1,2,,1003）中，有實數(shù)解的方程至少有個.

四、解答題

15.如圖，已知四邊形A5CZ）為等腰梯形，E為以5c為直徑的半圓弧上一點，平面

平面BCE,。為BC的中點，M為CE的中點，BE=AB=AD=DC=2,BC=4.

⑵求平面4狙與平面DCE的夾角的余弦值.

16.用1,2,3,4,5,6這六個數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，則

⑴在數(shù)字1,3相鄰的條件下，求數(shù)字2,4,6也相鄰的概率；

（2）對于這個六位數(shù)，記夾在三個偶數(shù)之間的奇數(shù)的總個數(shù)為X,求X的分布列與期望.

17.已知函數(shù)/（x）=3-%+qsinx.

⑴當(dāng)4=2時，求曲線y=〃x）在點（0,〃0））處的切線方程；

⑵當(dāng)xe（0,7i）時，/（%）＞0,求實數(shù)。的取值范圍.

22

18.已知橢圓E:土+匕=1,直線/與橢圓E交于A、8兩點，0為坐標(biāo)原點，且

84

OP1AB,垂足為點P.

⑴求點P的軌跡方程；

⑵求面積的取值范圍.

19.設(shè)42是兩個非空集合，如果對于集合A中的任意一個元素?zé)o，按照某種確定的對應(yīng)

關(guān)系了,在集合8中都有唯一確定的元素y和它對應(yīng)，并且不同的x對應(yīng)不同的y；同時B

中的每一個元素》都有一個A中的元素尤與它對應(yīng)，則稱/：A-3為從集合A到集合8

的一一對應(yīng)，并稱集合A與2等勢，記作了=].若集合A與B之間不存在一一對應(yīng)關(guān)系，

則稱A與2不等勢，記作了片].

例如：對于集合4=：\*,8=123weN”},存在對應(yīng)關(guān)系y=2x(xeA,ye8),因此屋].

⑴已知集合C={(x,y)-+y2=i},DTaMt+Of],試判斷是否成立?請說

明理由；

(2)證明：①(0,1)=(-oo,+oo);

②N*w卜,[N*}.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.D

【分析】直接求交集即可.

【詳解】A={x|x=3?-l,MeZ},B={x|0<x<6),則A8={2,5}.

故選：D

2.C

【分析】將點的坐標(biāo)代入橢圓方程求得橢圓方程，即可求解長軸長.

【詳解】因為橢圓R/+報=1經(jīng)過點叼，所以gj+b^_=i，解得同=2,

2

所以/+匕=i,所以E的長軸長為2x2=4.

4

故選：C.

3.A

【分析】根據(jù)麻小%進行求解，得到答案.

【詳解】因為14=26網(wǎng)，a,b=當(dāng),

116

所以人在〃上的投影向量為|現(xiàn)05〃力2=—85〃力〃=^-cos--a=--a.

11\a\a664

故選：A.

4.B

【分析】構(gòu)造函數(shù)丁=411%-x,利用導(dǎo)數(shù)法求最值得sinxvx,從而有。<0.5,再利用函數(shù)

y=log°.3%單調(diào)遞減得0.5vcvl,利用函數(shù)y=3"單調(diào)遞增得6>1,即可比較大小.

［詳角軍］對因為y=sinx—x,貝I］y'=cosx_l<0,即函數(shù)y=sinx—x在(0,］］單

調(diào)遞減，

且x=0時，>=。，則sinx-x<0,BPsinx<%,所以a=sin0.5vO.5,

因為210g030.5=log030.25>log030.3=1且log030.5<log030.3=1,所以0.5<c=log030.5<1,

又Z?=3°5>3°=1,所以avc<〃.

故選：B

5.D

【分析】首先根據(jù)二項式定理化簡。，再判斷余數(shù)，結(jié)合選項，即可求解.

答案第1頁，共16頁

2202010

【詳解】a=C'0-2+C10-2++C?-2=（l+2）-l=9-l,

所以。除以9的余數(shù)是8,

選項中只有2024除以9余8.

故選：D

6.D

【分析】利用題給條件構(gòu)造關(guān)于機的方程，解之即可求得加的值.

【詳解】令%+2y=%,則產(chǎn)K16,則機＞0時，

[x+2y=t.0

由4,整理得（4根+2）y-4加（y+m方一4=0,

[mx2+2y2=4

則A=（4mZ）2—4（4機+2）（加之—4）＞0,

士Ie,口24+8m4+8m、,心力、,口1

整理得-----,則------=16,解之得力二大

mm2

故選：D

7.D

【分析】由題意得X的所有可能取值為0」,2,3,用古典概型算出相應(yīng)的概率，進而即可求

解.

【詳解】X的所有可能取值為0」,2,3,記三次得到的數(shù)組成數(shù)組（。,4。），

滿足X=0的數(shù)組有：

（1,1,1）,（2,2,2）,（3,3,3）,（4,4,4），共4個,

41

所以P（X=O）=^=記，

滿足X=1的數(shù)組有：

（1,1,2）,（1,2,1）,（2,1,1）,（2,2,3）,（2,3,2）,（3,2,2）,（3,3,4）,（3,4,3）,（4,3,3）,

（2,2,1）,（2,1,2）,（1,2,2）,（3,3,2）,（3,2,3）,（2,3,3）,（4,4,3）,（4,3,4）,（3,4,4）,共18個，

18Q

所以尸5=1）=不=記，

滿足X=2的數(shù)組有：

（1,1,3）,（1,3,1）,（3,1,1）,（2,2,4）,（2,4,2）,（4,2,2）,

（3,3,1）,（3,1,3）,（1,3,3）,（4,4,2）,（4,2,4）,（2,4,4）,

答案第2頁，共16頁

（1,2,3）,（1,3,2）,（2,1,3）,（2,3,1）,（3,1,2）,（3,2,1）,

（423）,（4,3,2）,（2,4,3）,（2,3,4）,（3,4,2）,（3,2,4）,共24個，

所以尸（X=2）=不會，

滿足X=3的數(shù)組有：

（1,2,4）,（1,3,4）,（1,4,4）,（1,4,1）,（1,4,2）,（1,4,3）,

（1,1,4）,（2,1,4）,（3,1,4）,（4,1,1）,（4,2,1）,（4,3,1）,

（4,1,2）,（4,1,3）,（4,1,4）,（2,4,1）,（3,4,1）,（4,4,1）,共18個，

1?o

所以尸”=3）=不=我，

1oQ915

所以X的數(shù)學(xué)期望以XbOx%+lx=+Zxm+BxSu?.

1632832X

故選：D.

8.C

【分析】根據(jù)外接球性質(zhì)找到外接球球心位置，通過幾何直觀找到外接球半徑與「PCD的外

接圓半徑的關(guān)系式4=1+/；設(shè)尸G=x,在PCD中根據(jù)面積關(guān)系和正弦定理，得到『是

關(guān)于x的函數(shù)/=(V-4X+8)(/+4)；利用導(dǎo)數(shù)求出/范圍，進而得到心范圍.

16

【詳解】如圖，連接AC,交BD于點E,易得E為的外心.

連接交于點/，易知斯工平面3CD,則三棱錐尸-皮力的外接球球心。在麻

上.

設(shè)，PCD的外接圓圓心為O',二OO'，平面PCD,

由正方體中棱3c1平面CCQ，得OO,//3C,又易得瓦尸分別是22月2中點，

所以0。=1.

答案第3頁，共16頁

設(shè).尸CD的外接圓半徑為廠，三棱錐P-BCD的外接球半徑為R.則代=1+產(chǎn)，

設(shè)尸G=x,xe[0,2],SPCD=2=^PC-PDsinZCPD,

.1PCPDG7LJ(2-X)2+4又「CD1

sinZCPD44'2sinZCP￡)sinZCPD)

.產(chǎn)_(f一4X+8)(X?+4)

"16

設(shè)/(x)=(x2-4x+8)(/+4),則f'(x)=4(x3-3X2+6尤-4),

設(shè)g(x)=f\x),則g\x)=12(X2-2X+2)>0,

.在xe[0,2]單調(diào)遞增，又/'⑴=0,

所以/(力在xe[0,l]單調(diào)遞減,在xe[l,2]單調(diào)遞增,又/⑴=25,/(0)=〃2)=32,

所以〃尤閆25,32],.，.人||,2,:.R=^+r26孚6.

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第一個突破口是找出外接球半徑與j8的外接圓半徑的關(guān)系，

第二步是根據(jù)面積關(guān)系和正弦定理，得到,是關(guān)于x的函數(shù).

9.AD

【分析】根據(jù)兩點的距離公式，算出兩圓的圓心距dNl,從而判斷出A項的正誤；根據(jù)兩

圓相切、相交的性質(zhì)，列式算出。的取值范圍，判斷出B,C兩項的正誤；當(dāng)圓。的圓心在兩

圓的公共弦上時，公共弦長有最大值，從而判斷出D項的正誤.

【詳解】根據(jù)題意，可得圓O：/+y2=i的圓心為o(o,o),半徑廠=1,

[BlC:(x—a)2+(y—I)2=4的圓心為C(a,l),半徑R=2.

對于A,因為兩圓的圓心距d=|OC|=jH+izi,所以A項正確；

答案第4頁，共16頁

對于B,兩圓內(nèi)切時，圓心距“4。C|=R-r=l,BP77+1=1-解得。=0.

兩圓外切時，圓心星巨”=|OC|=R+r=3,即[儲+]=3,解得。=±2忘.

綜上所述，若兩圓相切，貝觴=0或°=土20，故B項不正確；

對于C,若圓。與圓C恰有兩條公切線，則兩圓相交，d=\OC\e(R-r,R+r),

即八2+le(l,3),可得1<5/〃+1<3,解得且。力0，故C項不正確;

對于D,若圓。與圓C相交，則當(dāng)圓O：/+y2=i的圓心。在公共弦上時，公共弦長等于

2r=2,達到最大值，

因此，兩圓相交時，公共弦長的最大值為2,故D項正確.

故選：AD.

10.BC

【分析】借助復(fù)數(shù)的運算、共朝復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的幾何意義逐項判斷即可得.

-ix(l—i)-1-i

【詳解】對A：由(l+1)z=-i,故2=

17r(l+i)(i)2

對B：設(shè)4=〃+歷(a,Z?￡R)、z2=c+di(^c,dGR),

貝!J上㈤=K〃+bi)(c+di)|=\ac-bd+^ad+Z?c)i|=+(〃d+bc『

=，儲02—2曲cd+匕2d2+〃2d2+2abed+He1=Ja2c2+白d2+a2d2+12c2,

12221

\Z]\'\z2\=yla+b-yjc+d=+叫心2+42)=J〃2。2+-2/+0d2+/02,

故匕聞二聞憶],故B正確；

對C：設(shè)馬二。+為(a,Z?￡R)、z2=c+di(c^dGR),

有42=(a+歷)(c+tfi)=cc—ld+(a/+bc)i,則zx-z2=ac-bd—[ad+Z?c)i,

Zj-z2=(a-Z?i)(c-tfi)=^c-M-(dzZ+Z?c)i,故馬&=4&,故C正確；

對D：設(shè)2=x+yi(%ywR),貝lj有(％—27+/<4,

集合M所構(gòu)成區(qū)域為以(2,0)為圓心，半徑為2的圓，

答案第5頁，共16頁

故S=7tr=4兀，故D錯誤.

故選：BC.

11.ACD

【分析】由題意分別畫出圖形，再逐項解決線面垂直、截面面積、距離最值和軌跡問題即可.

【詳解】對于A,如下圖所示，連接ACA4，

___________C.

;，AX......、、、

、I/

AB

因為點尸是線段4。的中點，所以點尸也是線段AR的中點，

所以平面尸耳。即為平面ABA.

根據(jù)正方體的性質(zhì)，4。，平面4。。，A瓦，平面ABC,

所以AR，AC,A瓦，AC,

又因為ARcAB{=A,AD{u平面ABlDl,ABtc:平面AB{D{,

所以AC，平面A瓦。，所以E與C重合時，AE，平面尸瓦2,故A正確;

對于B,如下圖所示，取BC的中點”，

根據(jù)E,M分別為CG，BC的中點，易得EM〃AR,

所以A",E,2四點共面,

所以截面為四邊形AME，，且該四邊形為等腰梯形.

答案第6頁，共16頁

又因為ME=叵,AE[=26,AM=EQ=布,

所以等腰梯形AME2的高為J（石）2_（1）2=浮,

所以截面面積為《（0+2夜）x”l=g,故B錯誤；

222

對于C,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

由圖可得，5（2,2,0）,2（0,0,2）,所以52=（—2,-2,2）,

設(shè)石（0,2,m）（。4加￡2）,所以3石=（一2,0,加），

（、2

=《（加-1『+2，

所以點E到直線5"的距離[=BE1-早半

I\BD\]

所以"2=1時，距離最小，最小為故C正確；

對于D,如圖所示，取。2的中點G,連接EG,GP,PE,

易得GE_L平面A41A。，

又因為GPu平面MDQ,所以GE_LGP,

所以GP=yJPE2-GE2=7（2A/2）2-22=2，

答案第7頁，共16頁

則點尸在側(cè)面MOD內(nèi)的運動軌跡為以G為圓心，半徑為2的劣弧，圓心角為：IT，

所以點尸的軌跡長度為：x2=g,故D正確.

故選：ACD.

12.-11

【分析】由/（O）=a+l=O,可求。，由/（力=20修卜-2丁結(jié)合奇函數(shù)可求b.

【詳解】由〃0）=。+1=0,解得a=T,所以“到=*1=2所山一2：

又因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以/（x）=-〃x）,

所以2陽）“一2T=-（2+“3-2，）,

所以僅儂一方（2"%（X）“=-X,

所以（2所??？*21尬2-*2=）,

所以2（幼學(xué)?0_=或吸a%_2'=0，

所以26-1=1或2b-1=-1,解得6=1,6=0（舍去）.

故答案為：①-1;②L

13.5或-5

【分析】設(shè)出動點尸的坐標(biāo)，由|P到=2|R4|求得其軌跡方程，由題意知，只需使圓心到直線

/:3x+4y+〃z=0的距離等于1即可.

【詳解】設(shè)點尸（無,田，由|PB|=2|上4|可得：J（x+41+y2=2必+1）2+丁,

兩邊平方整理得：%2+/=4,即點P的軌跡是圓,圓心在原點，半徑為2.

若該圓上有且只有3個點到直線/：3x+4y+根=0的距離為1,

則圓心到直線的距離4=空=1,解得加=±5.

故答案為：5或-5.

14.502

【分析】依題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式得到嗑-的姒對，想要有實根，貝|

-46,20（，=1,2,,1003）,結(jié)合根的判別式與基本不等式得420,4岫之。中至少一個成

立，同理得到與^。，4皿2。中至少一個成立，L,A501>0,&。32。中至少一個成立，

答案第8頁，共16頁

且dozN。，即可解決問題.

【詳解】由題意得，S^3-4X10037；003>0,

又因為九。3=—(ar)=]0033，兀,=⑼已+―=1003G，

代入得曦-他?！?,要使方程f—平+4=0?=1,2,,1003)有實數(shù)解，則

a,2-4Z?,>0(!=1,2,,1003),

顯然第502個方程有解，設(shè)方程+4=0與方程尤,-4期天+仿期=。的判另IJ式分另IJ為

△”△1003，

則A+A1003=(a；-44)+(403-4狐。3)=。；+。溫一4(々+/?1003)>-一4x2Z?502

即A1+A1003片一帆2=2(曦-4%)20'等號成立的條件《=限’

所以ARO,AioosN。中至少一個成立，

同理可得A2>0,A1002>0中至少一個成立，L,A501>0,A503>0中至少一個成立，且區(qū)。220,

綜上，在所給的1003個方程中，有實根的方程最少502個，

故答案為：502.

15.(1)證明見解析

⑵返

65

【分析】(1)取3E的中點N,連接AN,MN,利用幾何關(guān)系證明DWV/AN,再由線面平

行的判定定理得到結(jié)果.

(2)建系后分別找到平面DCE的法向量為m=(x,y,z)和平面ABE的法向量為n=(a,b,c),

代入空間向量二面角的余弦公式求出即可.

【詳解】(1)取8E的中點N,連接AN,MN,

答案第9頁，共16頁

則ACV//BC且MN=LgC,

2

又AD//BC且=所以MN//AD且MN=AD,

所以四邊形⑷V儀。為平行四邊形，所以DM〃⑷V.

又DMC平面.￡■,4Vu平面ABE,

所以DM//平面ABE.

(2)取AD的中點尸，連接。尸，

因為四邊形ABCD為等腰梯形，所以O(shè)尸，3C,

又平面ABCD1平面BCE,平面ABCDc平面gCE=2C,0尸＜=平面ABC。,

所以。'，平面3CE.

過點0作直線BC的垂線交BC于點G,

以。為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)G,0C,,所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系,

因為BC為直徑，所以BE=；BC,

所以/8CE=30°,/BOE=60°,ZEOG=30°.

在等腰梯形A5co中，AB=AD=DC=2,BC=4,

所以O(shè)F=，22-=G，

所以E（瘋-I,。）,C（0,2,0）,￡>（0,1,A/3）,B（0,-2,0）,A（O,-1，⑹，

所以CE=（6-3,0）,cr>=（o,-i,V3）,BX=（后1,0）,BA=（O,1,V3）,

in-CE=0,

設(shè)平面。CE的法向量為根=(x,y,z),貝！I，

m-CD=0,

答案第10頁，共16頁

百x-3y=0,“l(fā)

所以l令y=v3,則x=3,z=1,

-y+j3z=0,

n-BE=由a+b=0

設(shè)平面ABE的法向量為"=（o,b,c）,則＜

n-BA=b+=0

設(shè)平面4狙與平面。CE的夾角為a,

|3-3+l|A/65

貝!Jcosa=Icos(w7,n)\=J?J

j9+3+lxJl+3+l-65~

所以平面4龍與平面DCE的夾角的余弦值為叵.

65

16.⑴3

10

3

⑵分布列見解析，5

【分析】（1）分別求出數(shù)字1,3相鄰時的六位數(shù)個數(shù)以及數(shù)字1,3相鄰，數(shù)字2,4,6

也相鄰的六位數(shù)的個數(shù)，根據(jù)條件概率的計算公式，即可求得答案；

（2）確定X的所有可能取值，求出每個值相應(yīng)的概率，即可得分布列，繼而求得數(shù)學(xué)期望.

【詳解】（1）設(shè)4="數(shù)字1,3相鄰”，設(shè)3="數(shù)字2,4,6相鄰”，

則數(shù)字1,3相鄰時的六位數(shù)有A；A；=24。個，

數(shù)字1,3相鄰，數(shù)字2,4,6也相鄰的六位數(shù)的個數(shù)為A；A；A；=72,

則尸（財=嚅723

24010；

（2）X的所有可能取值為0,1,2,3,

因為3個偶數(shù)中間共有2個空隙.由題意知“X=0”表示3個偶數(shù)相鄰,

A3A41

貝”尸(x=o)=受=卜

A3rlA3Q

1個奇數(shù)，則尸==得,

“X=1”表示3個偶數(shù)中間只插入了

答案第11頁，共16頁

X=2”表示3個偶數(shù)中間共插入了2個奇數(shù)，可分為兩種情形：0+2和1+1類型,

3

貝”(X=2)=

A^_72010

X=3”表示3個偶數(shù)中間共插入了3個奇數(shù)，可分為兩種情形：0+3和1+2類型,

A3piA34-A3C1C1A21

則P(x=3)=A333T332=1,

A65

所以X的分布列為

3c3c13

---i-2x---F3X—=—

101052

17.(1)J=^；

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進而求出切線方程；

(2)分和av1討論，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合不等式放縮判斷導(dǎo)數(shù)正負，結(jié)合單調(diào)性驗證恒成

立是否滿足.

【詳解】(1)當(dāng)〃=2時，/(x)=^--x+2sinx,則/'(%)=%-l+2cosx,

所以切線斜率為左=r(o)=i,又/(。)=0,

所以，切線方程是丁=九.

(2)①當(dāng)。時，因為了￡(0,兀)，所以sinx>0,

所以〃力=---x+asinx2----x+sinx.

22

記g(x)='—x+sinx，則g'(x)=%T+COSJV,

令M%)=g'(x)=x—1+cosx,則”(x)=1-sinx.

因為當(dāng)』?0㈤時,〃(力NO,所以g'(x)在區(qū)間(0,兀)上單調(diào)遞增,

所以,/(%)>/(。)=。，

答案第12頁，共16頁

所以，g(x)在區(qū)間(0㈤上單調(diào)遞增,

所以，g(x)>g(O)=O,所以〃x)>0.

②當(dāng)a<1時，f(x)=x-l+acosx,

因為當(dāng)無e(0㈤時，sinxe(0,1],

令。(元)=/'(x)=x-l+acos無，貝I]0'(x)=l-asinx,

若aVO,則”(x)>0,即/'(x)在區(qū)間(0,兀)上單調(diào)遞增.

若貝！]0'(x)=l—asinx21-a>0,

所以r(x)在區(qū)間(0,兀)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)a<1時，尸⑺在區(qū)間(0,兀)上單調(diào)遞增.

因為〃0)=4一1<0,43=9>。，

所以，存在毛]。,口，使得:伍)=0,

所以,當(dāng)x<O,Xo)時，r(x)<0,即〃x)在區(qū)間(0,尤0)上單調(diào)遞減，

所以/(M)</(。)=。，不滿足題意.

綜上可知，實數(shù)。的取值范圍為

18.(1)%2+/=|

(2)|，2及

【分析】(1)分直線/斜率不存在和存在兩種情況進行討論，結(jié)合韋達定理以及向量垂直的

坐標(biāo)表示即可求得尸的軌跡方程；

(2)分直線/斜率不存在和存在兩種情況進行討論，求出弦長|相|的取值范圍，結(jié)合面積

公式S4即可求得答案.

【詳解】(1)①當(dāng)直線/斜率不存在時，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)直線/在y軸右側(cè)，

直線OA的方程為y=x,

答案第13頁，共16頁

由可+?=1,解得工=冬回2^/6/2斯2瓜

y=-^―,所以，A—

3

I）=尤

所以，直線A2的方程為尤=迎，止匕時P逑,。

3I3

同理,當(dāng)直線/在y軸左側(cè)時，P

②當(dāng)直線/斜率存在時，設(shè)直線/的方程為廣區(qū)+，"，人（工,%），3（%,%），

y=kx+m

由vf,2消去,整理得，+2k2x2+4knvc+2m2—8=0,

184

.口-4km2m-8

??A=64左9一8機9+32〉0,且再+%2=;~~^77，%々=-----F

l+2k1+2左

又\?OA_LOB,???。405=0即：玉%2+%%=°，

所以，玉%+（g+m）（Ax2+m）=0,

22

則（l+^）xlx2+fon（%j+x2）+m=0,

故（1+左2）（2療-8）軟*J2（1+2用=0

'1+2/1+2左21+2左2—

所以3/=8（攵2+1）滿足A>0,

綜上，|。尸|=乎，所以，點P的軌跡方程為d+y2=g.

Q

（2）①由U）可知‘當(dāng)直線,斜率不存在或斜率為。時'S-BC=相

②當(dāng)直線/斜率存在且不為0時，

|AB|=5不上一目