江蘇省某中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

江蘇省泰州中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期期中考試

高一數(shù)學(xué)試題

（考試時(shí)間：120分鐘；總分：150分）

一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將答案填涂到答題卡相應(yīng)區(qū)域.）

1,已知單位向量4，e2的夾角為120。，則（26—02）七=（）

【答案】A

【解析】

［分析］根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律結(jié)合已知條件直接求解即可.

【詳解】因?yàn)閱挝幌蛄縬,62的夾角為120。，

_一一一一一2

所以（2er-e2）-e2=2e^e2-e2

=2-e2cosl200-e2

故選：A

2.在中，角A3,C所對(duì)的邊分別為“，b,c,若a=2,A=^,cos5=姮，則人

正

D.26

【答案】B

【解析】

【分析】首先求出sinB,再由正弦定理計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閏os3=巫，所以sin3=J1—COS23=L,

44

,2b

ai）-----——

由正弦定理——=——，即.兀1,解得匕=1.

sinAsinBsin——

64

故選：B

第1頁(yè)共17頁(yè)

「心sm2a1/、

3.已知-------二一一,貝Mana=()

l-cos2cr3

11

A.3B.—C.—D.

33

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二倍角公式即可求解.

sin2a2sin。cos。coscr11

詳解】l-cos2al-^l-2sin2sinatan。3

故tana=-3,

故選：D

4.如圖，向量Q—6=()

A.—3^2B.-4,—2^

C.—2q—3^2D.—6]+3^

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】如圖：設(shè)〃=

所以〃一方=〃+(—/?)=AC+CB—AB=一,+3^,

第2頁(yè)共17頁(yè)

tan12°-6

5.計(jì)算---------------------------------------------()

(4COS212°-2)sinl2°

A4B.-2D.2

【答案】C

【解析】

【分析】切化弦后根據(jù)二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)即可求值.

tanl2°-^_sin120-73cos12°_2sin(12°-60°)_4

【詳解】(4cos212°-2卜inl2°2sin12°cos12°cos24°-sin48°,

2

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角恒等變形，涉及二倍角公式，兩角和差的正弦、正切公式，切化弦的思想，

屬于中檔題.

6,泰州市廣播電視塔建于上世紀(jì)90年代，橫跨在泰州市區(qū)繁華的青年路上，宛如法國(guó)巴黎的埃菲爾鐵塔

鐵塔，直插云霄.如圖，小明想在自己家測(cè)量樓對(duì)面電視塔的高度，他在自己家陽(yáng)臺(tái)M處，M到樓地面

底部點(diǎn)N的距離為40(2-J5)m,假設(shè)電視塔底部為E點(diǎn)，塔頂為尸點(diǎn)，在自己家所在的樓與電視

塔之間選一點(diǎn)P,且E,N,尸三點(diǎn)共處同一水平線，在尸處測(cè)得陽(yáng)臺(tái)M處、電視塔頂口處的仰角分別是

。=15°和，=60。，在陽(yáng)臺(tái)M處測(cè)得電視塔頂P處的仰角7=45。，假設(shè)和點(diǎn)尸在同一平面

內(nèi)，則小明測(cè)得的電視塔的高斯為()

C.8073mD.(80百-20)m

【答案】A

【解析】

MN

【分析】根據(jù)題意可得PAf=------，在中，利用正弦定理可求尸產(chǎn)，進(jìn)而在印中求得結(jié)

sin15°

果.

第3頁(yè)共17頁(yè)

【詳解】在Rt^PMN中，PM=--------,

sin150

在uFPM中，ZFMP=450+15°=60°,2FPM180?15?60?105?,

則NMFP=180°—105°—60°=15。，

MPPF

由正弦定理二--------=---------可得

sinZMFPsinZPMF

島

PF="Psin60QMNMN6MN

sin15sin15鞍~T'sin2151-cos30?；

在RtZkPEF中，

enzr柏eCMN在“40陰(28)百

EF-PF朝n60=------------矮n60=------------------——120^

1-cos30?62米，

1--

2

故選：A.

7.ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)尸滿足CP=sin2crCA+cos2sCB，若A4=5BP，則cos2a=()

1344

A.-B.-C.-D.一一

5555

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量的基本定理，求得sin2a和cos?。的值，根據(jù)二倍角公式求解即可.

【詳解】BA=5BP，,?BP=(BA,

1114

?.CP=CB+BP=CB+-BA=CB+-{CA-CB)=-CA+-CB,

又CP=sin2aCA+cos2aCB，

/.si.n2a--1,cos2a=—4

55

.。2.2413

..cos2a=coscif-sina------=—.

555

故選：B.

8.輔助角公式是我國(guó)清代數(shù)學(xué)家李普蘭發(fā)現(xiàn)的用來(lái)化簡(jiǎn)三角函數(shù)的一個(gè)公式，其內(nèi)容為

asinx+bcosx=y/a2+Z?2sin(x+j).已知函數(shù)/(%)=asinx+Z?cos尤(其中〃wO,bwR,

tane=：).若VxeR,/(%)</W,則下列結(jié)論正確的是()

第4頁(yè)共17頁(yè)

B.7(戈)的圖象關(guān)于直線x=~^對(duì)稱

兀7兀

C./⑺在上單調(diào)遞增

66

D.過(guò)點(diǎn)的直線與了⑴的圖象一定有公共點(diǎn)

【答案】D

【解析】

【分析】由可得0=]，/(x)=2asin[x+1],計(jì)算出可判斷A；由三

角函數(shù)對(duì)稱性質(zhì)可判斷B；整體代換法和b值可判斷C；由—2aW/(x)W2a可判斷D.

【詳解】因?yàn)?(x)=asinx+Z2cos%=，^T/sin(x+9)(其中tane=L〃w。),

因?yàn)閂xwR,,

TTTT7TTV

所以一+0=—+2E(左eZ),解得夕=—+2E(左eZ),不妨取夕=—,

6233

所以/(x)=《a2+b?sin[x+-1-j<yja2+b2,

即/f—=asin—+bcos—=—a+^-b=y]a2+b2，解得Z?=43a>0，

y6y6622

所以/(%)=2asinx+0),

71兀.兀)

=2a\sin—cos—+cos—sin—

I4343j

所以故A錯(cuò)誤;

第5頁(yè)共17頁(yè)

因?yàn)?[0-）=2asinlw-+l[=°，所以/（%）關(guān)于點(diǎn)卜寸稱，故B錯(cuò)誤;

,717兀,71713兀713兀

當(dāng)九￡時(shí),x+—e5因?yàn)閥=smx在—上單調(diào)遞減,

OO32T

（JTA兀7兀

所以〃x）=2asinx+3（?！?）在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?（x）=2asin[x+m}a〉0）是xeR,且一2aW/（%）W2a的周期函數(shù)，

又6=y/3a>0，

故過(guò)點(diǎn)（。力）即過(guò)點(diǎn),,、瓦）（。>0）的直線與/（%）的圖象一定有公共點(diǎn)，故D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是對(duì)輔助角公式asinx+bcosx=Jo?+尸sin（x+/）[tan。=—1的應(yīng)用，結(jié)合

函數(shù)的最值得到6=&>0.

二、選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.已知向量a,b,c是三個(gè)非零向量，則下列結(jié)論正確的有（）

A.若a//b，則a?方=|a|?|〃|

B.若。〃Z?，bile>則?！╟

C.）〃；的充要條件是存在唯一的；leR,使得c=2a

D.若|"+/?|=|a|,則萬(wàn)工3

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)共線的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)量積的定義即可求解A,根據(jù)共線的性質(zhì)即可求解BC,根據(jù)模長(zhǎng)公式即

可求解D.

【詳解】對(duì)于A,allb，則a,6方向相同或者相反，故=±|a|?|6|，A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,由于力力時(shí)，所以勿/0，bile>則；〃1故B正確，

第6頁(yè)共17頁(yè)

對(duì)于C,由于a,C為非零向量，所以a〃c的充要條件是存在唯一的4eR,使得c=4a，C正確,

.2222

對(duì)于D,由|a+6|=|a—6|可得/，/二蘇+萬(wàn)―2a2=a+萬(wàn)+2a必=0，故

alb，故D正確,

故選：BCD

10.已知函數(shù)/(x)=K'sinZx-cosZx,xeR,貝！1()

A.-2</(%)<2B.于（x）在區(qū)間（0,萬(wàn)）上只有1個(gè)零點(diǎn)

C.廣⑴的最小正周期為萬(wàn)

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用二倍角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】已知函數(shù)/（x）=J^sin2x-cos2x=2sin（2x-20，xeR,

6

A、—2K/（%）K2正確，

jrKTCTC

B、當(dāng)2x——=k7i,keZ,即工=—+——，kwZ,/（x）在區(qū)間（0,〃）上只有2個(gè)零點(diǎn)

6212

jr74

x=一,—,則AM在區(qū)間（o,1）上只有i個(gè)零點(diǎn)錯(cuò)誤,

1212

C、/a）的最小正周期為萬(wàn)，正確

D、當(dāng)x=?時(shí)，函數(shù)/（x）=2sin（2x—^）,xeR,^^=2sin^2xf-^=2

jr

所以％=—為/（無(wú)）圖象的一條對(duì)稱軸，正確.

3

故選：ACD.

11.已知內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,下列說(shuō)法正確的是（）

A.若AC-A3>0,則是銳角三角形

B.若sinA>sin3,貝>6

C.若51114：51115：5111。=2:3:4,貝!].ABC是鈍角三角形

D.若4=30°,a=2,b=2尬,則只有一解

【答案】BC

【解析】

第7頁(yè)共17頁(yè)

【分析】由數(shù)量積定義判斷A,由正弦定理判斷B,由正弦定理、余弦定理判斷C,由正弦定理判斷D.

【詳解】選項(xiàng)A,ACAB>0>Bp|AC||AB|cosA>0,COSA>0,A是銳角，但5c是否都為銳角，

不確定，A錯(cuò)；

ah

選項(xiàng)B,由正弦定理-----=-----，因此sinA>sin5oa>b,B正確；

sinAsinB

選項(xiàng)C,由正弦定理，$111744115411。=2:3:4則〃：/?：0=2:3:4,設(shè)a=2k,b=3k,c=4k,

222

Z7+A_r4”2+9〃2_]6“2i

則cosC="^—~—=--<0,。為鈍角，ABC是鈍角三角形，C正確；

lab2-2k-3k4

選項(xiàng)D,由正弦定理得sin5==20sm30。=也,而0。<5<180°,又由得

sinAsin3a22

B>A,因此3=45°或135°,ABC有兩解，D錯(cuò).

故選：BC.

三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

12.己知向量a=（l,3）,〃=（3,4）,若（。一/1人）_1_沙，則4=.

3

【答案】-##0.6

【解析】

【分析】首先求出a-2b的坐標(biāo)，依題意可得（a-彳。）⑦=0,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即

可；

【詳解】因?yàn)?=（1,3）,6=（3,4）,

所以a—?jiǎng)?（1,3）_彳（3,4）=（1_343_4為，

又（a—九人）_Lb,

所以（a—?jiǎng)瘢┬?0,所以3（1—3丸）+4（3—4X）=0,解得彳=|.

3

故答案為：—

1（a7i^

13.已知a是銳角，cosa=—,則cos工+7=________.

3（26；

【答案】立―立

26

【解析】

第8頁(yè)共17頁(yè)

aa

【分析】利用二倍角公式求出cos一,即可求出sin一,最后由兩角和的余弦公式計(jì)算可得.

22

【詳解】因?yàn)閏osa=』，所以cosa=2cos2q—1=』，解得cos4=±逅，

32323

又戊是銳角，則0＜里＜乙，所以cosq=逅，則sin4=Ji—腐瞑店,

24232V23

(a71>1a7t.a.TI

所以cos—+—=cos—cos——sin—sin—

^26J2626

V673A/31V2V3

-------X--------------------x__—____________

323226

故答案為：也—走

26

14.在A5c中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c,2asinA—Z?sin5=3csinC,若S表示

S

一相。的面積，則屏的最大值為.

［答案］也

2

【解析】

【分析】利用正弦定理將角化邊，由余弦定理可得cosA,結(jié)合三角形面積公式求得的表達(dá)式，根據(jù)

二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值，進(jìn)而得解.

【詳解】因?yàn)?asinA-bsinB=3csinC,

i3

222

由正弦定理可得2a-b=3c,所以片=一片+巳,2,

22

2

上人、0222b+C--f-Z?2+-C2＞）22

由余弦定理得,b'+c-a（22）b--c,

cosA=--------------=--------------------------=---------

2bc2bc4bc

所以PY_Qsmjjsii?A_^(l_cos?A)

IFJ一g4b2W

I4BC)J_18CV-Z24-C4

4p—64p

第9頁(yè)共17頁(yè)

_1(c*418c21

~64{V+~b2--}'

2

令2=/(7>0),對(duì)于函數(shù)/(x)=—d+i8x—1=—(x—91+80,

所以="9)=80，

所以(\]=^-(-Z2+18?-1)<|，當(dāng)且僅當(dāng)r=9,即c=3萬(wàn)時(shí)取等號(hào)，

所以與〈逝，即W的最大值為好.

b22b22

故答案為：立.

2

四、解答題：(本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

(71)]

15.已知tan—Fct——.

(4)2

(1)求tan。的值；

/與、sin2a-cos2a,,

(2)求--------------的值.

1+cosla

【答案】(1)-1

⑵

6

【解析】

【分析】(1)利用正切函數(shù)兩角和公式直接計(jì)算即可;

(2)利用正弦和余弦的二倍角公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

兀

tan—+tana

1+tana1

由題意得tan+cc4—一9

兀

1?-tan—tana1-tana2

4

解得tana=--.

3

【小問(wèn)2詳解】

,后土/口sinla-cos2a2sinacosa-cos2a2sinacosa-cos2a

由題意得--------------

1+coslal+2cos2cif-12cos2a

第10頁(yè)共17頁(yè)

_,_.、.2tana—15

分子分母同除cos2a得---------=—

26

故原式=_?.

6

16.如圖，在ABC中，BD=2DC^E是的中點(diǎn)，設(shè)AB=a，AC=b-

（1）試用a，6表示AD,BE；

（2）若|a|=l,|b|=l,a與6的夾角為60，求|8E|

—.12—51-

【答案】（1）AD=—a+—b,BE=——d+—b

3363

【解析】

【分析】（1）利用向量加法減法的三角形法則及數(shù)乘運(yùn)算即可求解；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用向量的模公式和向量的數(shù)量積公式即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

因BD=2DC，

所以BD=2BC.

3

221212

所以A￡>=AB+5￡>=45+38。==AB+§（AC—AB）=3AB+§AC=§a+]匕.

因?yàn)镋是A。的中點(diǎn)，

所以3E=；（3A+3D）=；1—A3+g3c[=—|a+g6.

【小問(wèn)2詳解】

_51-

由（1）知，BE=—dH—b,

63

第11頁(yè)共17頁(yè)

-2512s511

12

所以仍聞=(—a-\—b)2=—a—2x—x—6Z-Z7H—b

116336639

=~a2-2x—x-\a\\l^cos（a,b\+—b2=—xl2-2x—x—xlxlxcos60+—xl2=—,

3663l!lI\/93663936

所以忸目=晅

116

17.己知ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,設(shè)向量m=（sin+c）,

zz=（sinC-sinB,a+Z?）,且m〃〃.

（1）求角C；

（2）若b=2,ABC的面積為班，求,ABC的周長(zhǎng).

【答案】（1）C=—；

3

（2）4+2后

【解析】

【分析】（1）利用向量平行的坐標(biāo)公式，結(jié)合正余弦定理，結(jié)合。的范圍，即可求得結(jié)果；

（2）由三角形面積公式求得。，且a=Z?=2,進(jìn)而求得3,由余弦定理求得c,再求周長(zhǎng)即可.

【小問(wèn)1詳解】

由向量平行的坐標(biāo)公式，得（。+》卜1114一（＞+0）（5皿?！?1115）=0,

由正弦定理，得(a+b)a-3+c)(c-b)=0,即—必=/+〃2_g2,

由余弦定理，得cosC='+"—廣=」,又Ce（O,兀），故。=型.

lab23

【小問(wèn)2詳解】

由三角形面積公式，得百=！x2a義正，故a=2,

22

所以ABC為等腰三角形，所以4=3=]兀

26

將a=b=2代入（1）中所求一成=1+62_,2,則,2=12,

解得c=-2百（舍去）或0=2百，

第12頁(yè)共17頁(yè)

所以—ABC的周長(zhǎng)為2+2+26=4+2百.

18.法國(guó)著名軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)

等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為等邊三角形的頂點(diǎn)”.如圖，在一ABC中，內(nèi)角A,

B,C的對(duì)邊分別為"c,且10。M0芋1=7—cos2A.以A55cAe為邊向外作三個(gè)等邊三角

形，其外接圓圓心依次為。”。2，03?

(1)求角A；

(2)若a=3,的面積為拽，求-A3。的面積.

4

【答案】(1)A=1

⑵空

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換可2cos2A+5cosA—3=0,進(jìn)而可得cosA=^,即可求解；

2

(2)利用正弦定理得［A。|=^C,|AQ|=#6，由.。0203的面積為乎求得|。。3「=7,在

O1AO3與A5C中，利用余弦定理求得bc=6,利用三角形面積公式求得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

2

ViofI=7-cos2A,5（l-cos（B+C））=7-cos2A,

I2

故5（1+cosA）=8-2cos2A,

所以2cos2A+5cosA-3=0，可得cosA='或cosA=—3（舍）,

2

第13頁(yè)共17頁(yè)

由Ae（O,兀），所以4

【小問(wèn)2詳解】

如圖，連接AOpAC，

M=2"』，則|叫=￡中勾=$，

.兀

sin—

3

正。1。2。3面積51=小。1。345垣|'=曰|。。3-=^^，，|。1。3「=7,

jr27r

而/癡。=3,則NO]AC>3=q，

在,OHa中，由余弦定理得：|。。3『TAO『+|AQ|2—2|AqHAq|

b1c2be(O

即7=—+--2---I--I,則廿+。2+bc=21>

兀

在一ABC中，A=—,a=3,由余弦定理得/=/+c2_2bccos^BAC，

則"+c?—人。=9,..be=6,

所以二A5c面積為s=‘AsinA=X5.

22

19.由倍角公式cos2<9=2cos2。一1，可知cos2。可以表示為cos夕的二次多項(xiàng)式.對(duì)于cos38,我們有

cos30=cos(26+6)=cos23cos0-sin20sin0

=(2COS2e-l)cos，-2sin2OcosO

=2cos33-cos3-2(l-cos26)cos6

=4cos3。一3cos。

第14頁(yè)共17頁(yè)

可見(jiàn)cos3。也可以表示成cosS的三次多項(xiàng)式.

(1)利用上述結(jié)論，求sin180的值；

(2)化簡(jiǎn)cos(60°-8)cos(60°+6)cos8；并利用此結(jié)果求sin20°sin40°sin600sin80°的值；

13

(3)已知方程4三—3x——=0在(-M)上有三個(gè)根，記為西,々,退，求證：4xf+4^+4^=-.

22

【答案】(1)sinl8°=避二

4

⑵—；

16

(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)cos54°=sin36°,利用三倍角公式結(jié)合二倍角正弦公式，可得到關(guān)于sinl8。的方程，即

可求得答案；

(2)先利用兩角和差的余弦公式化簡(jiǎn)，即可利用三倍角公式得到結(jié)果；

⑶根據(jù)方程的特征，令x=cos/0<e<7r),利用三倍角公式可得COS39=L即可求得8的值，繼而可

2

得4%：+4石+4尺的表達(dá)式，利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，即可證明結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

90°=2xl8°+3xl8°,所以cos54°=sin36°,

因?yàn)閏os54°=sin36°