重慶市2023-2024學年高一年級下冊4月階段測試數學試卷(含答案)

重慶市清華中學校2023-2024學年高一下學期4月階段測試數學試卷

學校：____________姓名：____________班級：考號：

一、選擇題

1.下列命題中，正確的是（）

A.若則aliaB.若a〃a，/?ua則allb

C.若allahila，則allbD.若allbblIa則alia

2.在△ABC中,sinA:sin3:sinC=2:3:4McosC=（）

A.--B.-lC.-lD.l

3434

3.若」+且i是關于x的實系數方程加+云+1=0的一個復數根，設z=a+此則

22

z=（）

131331

B.l+-iC.---!-iD.i+;

555555

4.已知a力,c分別為△ABC內角A,8,C的對邊,△ABC的面積s="+'一°,則C=（）

4

A.goB.6OC.45D.3O

5.我國古代數學名著《數書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時用一個圓臺形的

天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸,若盆中

積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一

尺等于十寸）（）

A.6寸B.4寸C.3寸D.2寸

6.下圖四邊形ABCD的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形AB'C'D.已知

=4，C77=2，則下列說法正確的是（）

A-AB=2b-A'D'=272

C.四邊形ABC。的周長為4+2血+26D.四邊形ABC。的面積為6夜

7.如圖，圓錐的母線長為2,點M為母線A3的中點，從點加處拉一條繩子繞圓錐的側面

轉一周到達8點,這條繩子的長度最短值為石，則此圓錐的表面積為（）

53

A.兀B.—兀C.—兀D.2兀

42

8.在△ABC中，角A、8、C的對邊分別為a、b、c,若入sB二8c2sC=0,又

Sc-5ba

△ABC的面積S=106,且3+C=2A，則A8IC+8C-C4+C4?48=（）

A.64B.84C.-69D.-89

二、多項選擇題

9.歐拉公式=cosx+isinx是由瑞士著名數學家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數函數的定義

域擴大到復數集，建立了三角函數與指數函數的關聯,在復變函數論里面占有非常重要的

地位，被譽為數學中的天橋.依據歐拉公式，下列說法中正確的是（）

A./i對應的點位于第二象限Be?"，為實數

C.e'i的模長等于D.手的共粗復數為3i

2e-22

10.已知。=&—2）2=（一4,。,則（）

A.若出妨，則r=±20

B.若a_Lb，則f=0

C.*司的最小值為2

D.若向量〃與向量力的夾角為鈍角，則/的取值范圍為（0,+8）

11.在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,"c,且tanA+tan8=-^J.則下列結

acosB

論正確的是（）

A.A=-B.若a=2,則該三角形周長的最大值為6

6

C.若△ABC的面積為2,則。有最小值D.設3。=——BC,且45=1，則2為定值

2b+cbc

三、填空題

12.若復數z=/_4+(機+2)i(i為虛數單位)是純虛數，則實數，〃的值為

13.如圖，正方體ABS-AgCQ的棱長為4,E是側棱AA1的中點，則平面gCE截正方

體ABCD-44GA所得的截面圖形的周長是.

14.設向量q，c滿足同=忖=2”/,=_2，(a-c,0-c)=60。,則同的最大值

四、解答題

15.已知同=2，W=3,(a+0)”=8.

(1)求卜+可；

(2)當左為何值時，版―。與“+2b垂直？

16.如圖，在正四棱錐p_ABC￡)中,24=鈣=。酉是棱d。的中點；

(1)求證：PA//平面￡08；

(2)求三棱錐￡—%)。的體積.

17.如圖,在平面四邊形A3CO中，已知4=q,8=空,48=6.在A3邊上取點瓦使得

23

BE=\，連接EC,ED.若ZCED=—,EC=V??

3

a________________D

BEA

(1)求sin/BCE的值；

(2)求CO的長.

18.已知圓錐的頂點為P,母線小，心所成角的余弦值為L軸截面等腰三角形PAC的

4

頂角為90。，若△尸AB的面積為2厲.

(1)求該圓錐的側面積；

(2)求該圓錐的內接圓柱側面積的最大值；

(3)求圓錐的內切球體積.

19.已知△A8C，角A、B、C的對邊分別為a、c,。、E均在線段上,AD為中線,AE

為NBA。的平分線.

(1)若S=2SACE，求證c=?；

⑵在⑴的條件下，若AC=3OE，求cosB；

(3)若。c=20，BC=10,AD<5求DE的取值范圍?

參考答案

1.答案：D

解析：A.若a//〃,"uo,則aHa或aua，所以該選項錯誤；

B.若a〃a，》ua，則a//?；騛,b異面，所以該選項錯誤；

C.若alia，blla，則aHb或。力異面或a,b相交，所以該選項錯誤;

D.若a〃O，8//a，aaa，由。〃a，過〃作平面/，使。y=m,

則》〃加，又allb>alIm，aua,mua,：.alla，

所以該選項正確.

故選：D.

2.答案：B

解析：由正弦定理可知,a：0：c=2:3:4，

設a=2k，b=3k，c=4k

13公一16公]_

則cosC=

lab⑵24

故選：B.

3.答案：D

解析：因為一是關于x的實系數方程依2+法+i=o的一個復數根,

22

則另一個復數根為—1?一走i，

22

、(、

1后bh

I——2+——1+

2(22aQ=1

所以77，即解得

(113)11=1b=l

——+---1-----------1

2222Ja

所以z=a+bi=l+i-

故選：D.

4.答案：C

解析：由余弦定理得02+〃一°2=2"cosC，

又三角形面積公式得S=^HsinC,

2

故*g竿小

又a>0,6〉0,故^^=1,即tanC=l，

cosC

又Cw(O,冷，故。=45。-

故選：C.

5.答案：C

解析：如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸,下底面半徑為6寸，高為18寸,

因為積水深9寸，所以水面半徑為gx(14+6)=10寸,

則盆中水的體積為］x9x(6?+102+6x10)=588兀立方寸,

所以平地降雨量等于2鱉=3寸.

7CX142

故選：c.

6.答案：D

解析：如圖過D'作0E±OB交。'9于點E,

y,

由等腰梯形AB'C。'且ZD'O'B'=45°，又A'B1=4,CZ>'=2，可得△AO'E是等腰直角三

角形，

即A。=y[2A'E=gx（4-2）x及=上,故B錯誤；

還原平面圖如下圖，

如

不，

O（Z）-F-B*

則舫=48=4,8=。'￡>'=2,4。=247）'=2a，故A錯誤；

過C作CF_LAB交A3于點F,則4/=。。=2,

由勾股定理得CB=巧+叫?=2百，

故四邊形ABCD的周長為：4+2+2及+2石=6+2&+2后，即C錯誤;

四邊形ABCD的面積為：gx（4+2）x2>/5=6及，即D正確.

故選：D.

7.答案：B

解析：將圓錐側面沿母線AB剪開，其側面展開圖為扇形,如圖,

從點M處拉一條繩子，繞圓錐的側面轉一周達到B點，最短距離即為線段長，則有

BM=#>，

而M是線段短中點，又母線長為2,于是得—2f2,即血吟,

設圓錐底面圓半徑為r,從而有：2口=2—,解得r=L

22

所以圓錐的表面積為S=nr2+nr-AB=-?

4

故選:B.

8.答案：C

解析.由5cosB-8cosc_cosA得5cosB-8cosc_cosA

8c-5ba8sinC-5sinBsinA

所以5(sinAcosB+cosAsinB)=8(sinAcosC+cosAsinC)，

則5sin(A+B)=8sin(A+。,即5sinC=8sinB，即5c=86，

乂S^ABC=；besinA=1073，即besinA=20G，

y.B+C=2A,B+C+A=nMA=-,

3

聯"5c=8Z?、feesinA-20>/3'■4=§,解得。=8,/?=5，

222

則a=b，+c-3ccosA=52+8?-5x8=49，即。=7，

由48+8。+04=0，平方知。2+。2+62+2(48?80+8℃+0448)=°，

所以4r8C+5CCA+C4A8=-"+"一°=—69.

2

故選：C.

9.答案：AB

解析：對于A：由題意可得：e"=cos3+isin3,則e"對應的點為(cos3,sin3,

-則cos3<0,sin3>0,

3i

e對應的點位于第二象限，故A正確；

對于B：由題意可得/疝=cos2兀+isin2兀=1實數，故B正確；

對于C：由題意可得斕=cosx+isinx，則卜”卜，cos2%+sin2%=l,故C錯誤;

對于D：由題意可得e?=cos火+isin四='+3力

3322

則至的共輒復數為_1_Yii,故D錯誤；

e-22

故選：AB.

10.答案:AB

解析：已知a=(.2)2=(-4")

若allb，則*=-2x(-4)=8懈得t=±20，A選項正確；

若a_L/?，則q."=_今-2f=0,解得f=O，B選項正確；

a-b=(t+4,-2-t),\a-b\=^(r+4)2+(-2-^)2={2(￡+3丫+2，

當”—3時，h-q有最小值0C選項錯誤；

當好20時，。=(2啦,一2),%=卜4,27^,/,=一缶，

向量&與向量/>的夾角為180,D選項錯誤.

故選：AB.

11.答案：BCD

解析：對于A：因為tanA+tanBh—C，由正弦定理可得包4+包巨=?sinC

acosBcosAcos8sinAcos5

sinAsinB_sinAcosB+cosAsinB_sin(A+B)_sinC

cosAcosBcosAcosBcosAcosBcosAcosB

故sinC_6sinC

cosAcosBsinAcosB

因為0<C<TT且cos8位于分母位置，故sinCw0,cos3w0,

所以tanA=G，乂0VA<兀,所以A=&，故A錯誤；

3

對于B：由余弦定理得/=〃+C2_2Z?CCOSA，

即4=Z?24-c2-/?c=(/?+c)2-3bc>(b+c)2-3^+C,

\2J

所以S+c)2416,〃+cW4,當且僅當。=c=2時等號成立，

此時Q+/?+CK6,所以△ABC的周長的最大值為6,故B正確；

對于C：因為S2BC=L歷$皿4=,^*立=幽=2,所以歷=更,

△.sc22243

由余弦定理得"=+,2一拉?N2"_歷=更，當且僅當方=C時等號成立,

3

所以。有最小值，故C正確；

又寸于D：因為5。=—即A。一AB=—(AC-A5

2b+c28+c'

所以AO=-^-AB+—^AC,

c+2Z?c+2〃

4b%2c2b24b2c21

兩邊平方并化簡得--------------7--------X—

(c+2與2(C+28)2(c+2份22

即（c+2bf=7ble2，即c+2匕=近兒,所以\2故D正確.

bc

12.答案:2

解析：由于復數z=/_4+（祖+2）i（i為虛數單位）是純虛數，所以（1-4=0

m+2^0

解得m=2.1

故答案為：2.

13.答案：6拒+4各

解析：取AD中點”,連接EH，AQ,

AO中點為H,E是側棱A4的中點,

EH〃AD,EH《AD，

又直角三角形中4O=J4A2+A02=J16+16=4夜，

EH=LAD=2垃,

2

正方體ABCO-A4GQ中,ABJ/OC,A&=DC,

四邊形A.B.CD為平行四邊形，

EHHB.C,

四點共面,即為正方體的截面.

在直角三角形EA片中EBLJEA^+AB：=74+16=2#)，

同理HC=275，則截面周長為EB1+HC+EH=4指+6日

故答案為：6a+4逐.

14.答案：4

解析：由題設,cos(a,6)=?，而e[0,7t]，則(a,b)=|,

令a=04，人=。3，0=0。則4—。=。，。一。=。8，又(。一。力-。)=5，如下圖所示：

所以ZAOB=—,ZACB=-，則ZAOB+ZACB=兀,故A,O,B,C四點共圓,

33

而前=(b-a^=b2-2a-b+a=4+4+4=123P|AB|=2\[?>,

2^/^

故外接圓直徑2R=F=4

sin—

3

對于卜|,當0C為直徑時最大，從而|c|的最大值為k[而=2R=4.

故答案為：4.

15.答案：(1)&T

(2)—

2

解析：(1)因為同==3=8,

所以夕/?+/?2=8,即a?/?+32=8，則“/=—1，

所以,+耳=+b)=\la2+2a-b+b~={2。+2x(-1)+3*=VFT；

(2)右履一。與a+2。垂直，

則(依一=

即ka2+2kab-a-b-2b2=0'

KPZ：x22+2Z：x(-l)-(-l)-2x32=0>WA:=y.

16.答案：(1)證明見解析；

(2)五

24

解析：(1)證明：在正四棱錐P-ABCD中,四邊形ABC。為正方形，

連接AC交3。于。，則。為AC的中點，

又因為E為PC的中點，所以PA//OE，

因為OEu平面EDB，PA2平面￡06,

所以PA//平面直出.

(2)在正四棱錐p_ABCD中，。為底面的中心，則P0_L底面ABCD，

所以△PQ4為直角三角形,po=yJPA2-AO2=^PA2-([AB)?=與

因為E為尸C的中點，則點到E平面A8CO的距離//=’尸0=叵，

24

因此,三棱錐E-BDC的體積V=-SKcn-h=!,/.叵=叵.

3Ba32424

p

(1)叵;

17.答案:

14

(2)7.

BECE

解析:(1)在△8EC中，由正弦定理，知

sinNBCEsinB

因為B=不，BE=1，CE=H，

所以金々普嗎辿=半=應;

CE用14

(2)因為NCED=NB=空，所以NDEA=NBCE，

3

所以cosZDEA=Vl-sin2ZDE4=Vl-sin2ZBCE

因A=Z，所以△?1￡￡）為直角三角形，又AE=5，

2

ED-___—__--5_2幣--§-

所以“"一cosZDEA_5用5近，

1414

在△CEO中,C。?=。爐+。]-2CE-￡>E.cosNCEO=7+28-2xV7x2V7x[-；）=49,

所以CD=7.

18.答案：（1）8夜兀

（2）4兀

（3）64（10-7夜）兀

3

解析：（1）設圓錐母線長、底面半徑分別為/（/>0）、r（r>0）,

由圓錐的軸截面為等腰三角形且頂角為90。，則『+/2=（2廠）2,解得/=0「，

乂cosZAPB=；,所以sinNAPB="-cos?NAPB=J1-（；）=當，

又因為△PA8的面積為2JI?，

，S八s=，PA-PB-sinNAPB=L2x@l=2厲，解得/=4（負值舍去），

PAB224

又/=>/2r,所以r=2>/2,

，圓錐的側面積S=—x2?irx/=7ux2\/2x4=8>/27t.

2

（2）作出軸截面如下所示：

設圓柱底面半徑x（0<%<20）,即"=QG=x,

由（1）可知/CPO=45°廁尸。|=Q[G=x，又圓錐的高poMOnZg'，

所以OO]=PO—P。i=2上一X，即圓柱的高為2夜—X，

所以圓錐內接圓柱側面積，=2?（26'—x）W2兀-----=4兀,

當且僅當>2夜-X，即x=8時取等號，

所以圓錐內接圓柱的側面積的最大值為4兀.

（3）作出軸截面如圖所示:

根據圓錐的性質可知內切球球心在P0上，設球心為G,切于點D,

設內切球半徑為R,即GO=GO=R，則，

所以也=生，

AOPA

由（1）可知，圓錐的高產o=AO=2>/^，PA=4，

則有_二三解得R="2A，

2V24

所以圓錐的內切球的體積丫_4點「空白2⑸164（1°-7及）兀.

19.答案：（1）證明見解析

⑵-

8

（3）0,疲i

7

解析：（1）設△ABC邊BC上的高為無

因為SME=2SACE，即gB￡〃=2xgc￡./z,所以BE=2CE，

又因為為N84C的平分線，所以ZBAE=NC4E,

在△ABE中,由正弦定理得=—絲一，

sinZAEBsinZBAE

在△4CE中,由正弦定理得AC=CE,

sinZAECsinNCAE

又ZAEB+ZAEC=兀，所以sinZAEB=sin（兀一ZAEC）=sinZAEC,

所以空=竺=2,即￡=2,即c=26

ACCEb

（2）因為3E=2CE，。為3c的中點，所以。6=23。一工6。=@,

32