云南省鎮(zhèn)沅縣2024年高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

云南省鎮(zhèn)沅縣一中2024年高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

22

1.記集合A={(x,y)|x+y<16)和集合B={(x,^)|x+y<4,x>0,y>0}表示的平面區(qū)域分別是居和Q2，若在區(qū)

域Q1內(nèi)任取一點，則該點落在區(qū)域的概率為()

47712乃4萬

2.設(shè)函數(shù)Ax)定義域為全體實數(shù)，令g(x)=/(|x|)-1域x)].有以下6個論斷:

①/(x)是奇函數(shù)時,g(x)是奇函數(shù);

②是偶函數(shù)時,g(x)是奇函數(shù);

③“X)是偶函數(shù)時,g(x)是偶函數(shù);

④/(x)是奇函數(shù)時,g(x)是偶函數(shù)

⑤g(x)是偶函數(shù)；

⑥對任意的實數(shù)x,g(x),,O.

那么正確論斷的編號是()

A.③④B.①②⑥C.③④⑥D(zhuǎn).③④⑤

3.過拋物線￡：42=20(0>0)的焦點尸作兩條互相垂直的弦48,CD,設(shè)P為拋物線上的一動點，2(1,2),若

嵩+志=:，則FW+IPQI的最小值是()

A.1B.2C.3D.4

4.已知函數(shù)〃%)=111%-2依，g(x)=%l—2x,若方程/(x)=g(x)恰有三個不相等的實根，則。的取值范圍

Inx

為()

0，｝

A.(0,e]B.

C.(e,-HX))D.0,-

ke7

5.若平面向量a,6,C,滿足|a|=2,|6|=4,a-b=4,\c-a+b\=j3>則|。一。|的最大值為()

A.572+73B.50-百C.25+6D.2萬-小

6.為了貫徹落實黨中央精準扶貧決策，某市將其低收入家庭的基本情況經(jīng)過統(tǒng)計繪制如圖，其中各項統(tǒng)計不重復(fù).若

該市老年低收入家庭共有900戶，則下列說法錯誤的是()

A.該市總有15000戶低收入家庭

B.在該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有1800戶

C.在該市無業(yè)人員中，低收入家庭有4350戶

D.在該市大于18歲在讀學(xué)生中，低收入家庭有800戶

7.如圖所示程序框圖，若判斷框內(nèi)為“<4"，則輸出S=()

8.在(1—x)5+(l—xp+a—xy+(l—x)s的展開式中，含丁的項的系數(shù)是()

A.74B.121C.-74D.-121

9.《易?系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在

后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù).若從這10個數(shù)中任取3個

數(shù)，則這3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為()

o-o-o-oooo

1

A.2B.4C.-D.8

2

11.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”,

亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的).類比“趙

爽弦圖”.可類似地構(gòu)造如下圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成一個大等邊三角

形.設(shè)。尸=2A尸=2,若在大等邊三角形中隨機取一點，則此點取自小等邊三角形(陰影部分)的概率是()

A.2B.-2C.-3D.3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在直角坐標系中，某等腰直角三角形的兩個頂點坐標分別為(1,1)，(2,2),函數(shù)

/(x)=Asin(5+01A〉0,0＜0＜叁,|同＜的圖象經(jīng)過該三角形的三個頂點,則/(x)的解析式為

/(%)=------------

14.函數(shù)/(x)=生三口的極大值為.

X

15.(5分)函數(shù)/(x)=ln(l-x)+"的定義域是.

22

16.已知橢圓上+匕=1的左焦點為P，點P在橢圓上且在x軸的上方，若線段的中點在以原點。為圓心，|。耳

為半徑的圓上，則直線小的斜率是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=sinx+lnx—l.

(I)求/(x)在點，"處的切線方程；

(II)求證：Ax)在(0,不)上存在唯一的極大值；

(III)直接寫出函數(shù)/(x)在(0,2萬)上的零點個數(shù).

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=必+2(。-3)x+2alnx,其中aeH.

(1)函數(shù)/Xx)在x=l處的切線與直線龍-2丁+1=0垂直，求實數(shù)a的值；

(2)若函數(shù)f(x)在定義域上有兩個極值點為,馬，且西

①求實數(shù)。的取值范圍；

②求證：/(x1)+/(x2)+10>0.

19.(12分)如圖，在斜三棱柱ABC—A與G中，側(cè)面ACGA與側(cè)面CBGG都是菱形，NACG=NCG4=60°,

AC=2.

(I)求證：ABX±CQ；

(II)若做=&，求平面CABy與平面A,AB,所成的銳二面角的余弦值.

20.(12分)如圖(1)五邊形ABCDE中，ED=EA,AB//CD,CD^2AB,

NEDC=150,將AEAD沿AD折到的位置，得到四棱錐P—ABCD,如圖(2),點"為線段PC的中點,

且5A/_L平面PCD.

(1)求證：平面平面ABC。；

221

21.（12分）已知橢圓。：x=+當(dāng)v=1（?！?〉0）的左頂點為4,左、右焦點分別為耳,耳，離心率為彳，P是橢圓上

ab2

的一個動點（不與左、右頂點重合），且△「￡鳥的周長為6,點P關(guān)于原點的對稱點為Q,直線ARQE交于點".

（1）求橢圓方程；

（2）若直線尸工與橢圓交于另一點N,且=45.被，求點P的坐標.

22.（10分）已知某種細菌的適宜生長溫度為12℃~27℃,為了研究該種細菌的繁殖數(shù)量V（單位：個）隨溫度x（單

位：。C）變化的規(guī)律，收集數(shù)據(jù)如下：

溫度x/C14161820222426

繁殖數(shù)量y/個2530385066120218

對數(shù)據(jù)進行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計量的值，如表所示:

￡7（七-元）c7o77_

Xyk工(%-元)(%-9)可仕-Q

Z=1i=li=lZ=1

20784.11123.8159020.5

_1工

其中左=如％,k=-2L^.

/i=l

（1）請繪出y關(guān)于x的散點圖，并根據(jù)散點圖判斷了=法+”與＞=0*哪一個更適合作為該種細菌的繁殖數(shù)量丁關(guān)

于溫度X的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）;

20

00

80

60

40

20

00

80

60

40

20

。

6

2224

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表格數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（結(jié)果精確到0.D；

（3）當(dāng)溫度為27℃時，該種細菌的繁殖數(shù)量的預(yù)報值為多少？

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（4%）?=L2,3,，其回歸直線v=/3u+a的斜率和截距的最小二成估計分別為

6=J-----------------------------，a=v-/3u,參考數(shù)據(jù)：e55°245.

之（iI

i=l

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

據(jù)題意可知，是與面積有關(guān)的幾何概率，要求〃落在區(qū)域內(nèi)的概率，只要求4、3所表示區(qū)域的面積，然后代入

區(qū)域的面積

概率公式「=計算即可得答案.

區(qū)域的面積

【詳解】

根據(jù)題意可得集合A=｛（x,y）IX2+,,16｝所表示的區(qū)域即為如圖所表示:

y

的圓及內(nèi)部的平面區(qū)域，面積為16萬，

集合人4。，V。表示的平面區(qū)域即為圖中的RMAOB'S.《X4X4=8'

Q1

根據(jù)幾何概率的計算公式可得P=!,

1O7T2%

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了幾何概率的計算，本題是與面積有關(guān)的幾何概率模型.解決本題的關(guān)鍵是要準確求出兩區(qū)域的面積.

2^A

【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)g(x)的奇偶性并證明.

【詳解】

當(dāng)/(尤)是偶函數(shù)，則/(—X)=/(%),

所以g(T>=f(]-xl)-|/(-x)|=/(|x1)-1/(x)|=g(x),

所以g(x)是偶函數(shù)；

當(dāng)/(尤)是奇函數(shù)時，則〃r)=—4x),

所以g(-x)=f(\-x1)-1/(-x)1=/(IX1)-1/(x)|=g(x),

所以g(E)是偶函數(shù)；

當(dāng)/(無)為非奇非偶函數(shù)時，例如：〃x)=x+5,

則川-2|)=7,|〃-2)|=3,此時g(-2)>0,故⑥錯誤；

故③④正確.

故選：A

【點睛】

本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】

設(shè)直線A3的方程為y=6+g,代入必=2加得：^-Ipkx-p2=Q,由根與系數(shù)的關(guān)系得XA+XB=2P3

%乙=—p?,從而得至U|AB|=2夕(1+公)，同理可得|。。|=2。(1+』)，再利用求得，的值，

'，k\A.B\\CD\4

當(dāng)°,P,M三點共線時，即可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，可知拋物線的焦點為(0,~|),則直線的斜率存在且不為0,

設(shè)直線A5的方程為y=6+g,代入必=2外得：x^-lpkx-p2=0).

2

由根與系數(shù)的關(guān)系得巧,=2。左，xAxB=-p,

所以|AB|=2p(l+產(chǎn)).

又直線CD的方程為y=--x+^,同理|CD|=2p(l+二)，

k2k

111111

所以\CD\~2p(l+k2)2P(1+1)-2，一4，

所以2。=4.故_?=4y.過點P作PM垂直于準線，M為垂足，

則由拋物線的定義可得\PF|=|PM|.

所以|Pb|+1P。|=|PM|+1PQ以MQ|=3,當(dāng)Q,P,拉三點共線時，等號成立.

故選：C.

【點睛】

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、焦半徑公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力

和運算求解能力，求解時注意取最值的條件.

4、B

【解析】

由題意可將方程轉(zhuǎn)化為g-2a=出-2,令/(%)=皿，xe(O,l)(1,+8),進而將方程轉(zhuǎn)化為

xInxx

[《尤)+2][r(x)-2a]=0,即()=-2或r(x)=2a,再利用，(x)的單調(diào)性與最值即可得到結(jié)論.

【詳解】

由題意知方程/(X)=g(X)在(0,1)(1,^X5)上恰有三個不相等的實根,

4〃無2

BPInx-2ax=-----2九,①.

Inx

因為尤＞0,①式兩邊同除以X,得膽—2。=%—2.

xInx

所以方程-In-V2a-4-/7^Y+2=0有三個不等的正實根.

xInx

記/(%)=—,XG(0,1)(L+8),則上述方程轉(zhuǎn)化為Mx)"?！?2=0.

BP［/(X)+—=0,所以［(%)=一2或=2〃.

因為?力=匕",當(dāng)x?0,l)U(l,e)時,f(x)＞0,所以《力在(0,1),(l,e)上單調(diào)遞增,且％.0時,

《X)--OO.

當(dāng)X￡(e,+oo)時，/(%)＜0,(％)在(e,+8)上單調(diào)遞減,且％.”時，0.

所以當(dāng)x=e時，［%)取最大值L當(dāng)f(x)=-2,有一根.

e

所以r(x)=2。恰有兩個不相等的實根，所以0＜。＜’.

2e

故選：B.

【點睛】

本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

5、C

【解析】

可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)，化簡為三角函數(shù)最值.

【詳解】

由題意可得：

c—b—(c—〃+/7)+(〃-2b),

\a-2b『=(a—2b)2=|〃『+41b『一4〃力=4+4x16—4x4=52

:.\a-2b|=2713,

c-b|2=(c-Z?)2=[(c-?+Z?)+(a-2/?)]2=|(c-a+^)+(a-2/?)|2

=|c—a+b\+|a—2b「+2,|c—d+bI?Ia—2b|,cos<c—d+6,a+2b〉

=3+52+2xV3x2\^3xcos<c-a+b,a+2b>

=55+4A/39xcos<c-a+b,a+2b>

,,55+4739

55+4屈=52+2x2而x^+3=（2萬+百）2,

故選：C

【點睛】

本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧，把要求的向量重新組合成已知向量的表達是本題的關(guān)鍵

點.本題屬中檔題.

6、D

【解析】

根據(jù)給出的統(tǒng)計圖表，對選項進行逐一判斷，即可得到正確答案.

【詳解】

解：由題意知，該市老年低收入家庭共有900戶，所占比例為6%,

則該市總有低收入家庭900+6%=15000（戶），A正確，

該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有15000x12%=1800（戶），B正確，

該市無業(yè)人員中，低收入家庭有15000x29%%=4350（戶），C正確，

該市大于18歲在讀學(xué)生中，低收入家庭有15000x4%=600（戶），D錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查對統(tǒng)計圖表的認識和分析，這類題要認真分析圖表的內(nèi)容，讀懂圖表反映出的信息是解題的關(guān)鍵,屬于基

礎(chǔ)題.

7、C

【解析】

由題意，逐步分析循環(huán)中各變量的值的變化情況，即可得解.

【詳解】

由題意運行程序可得：

z<4,J=lx2=2,5=0+1X2=2,z=1+1=2；

z<4,J=2x2=4,5=2+2x4=10,z=2+l=3；

z<4,/=4x2=8,5=10+3x8=34,z=3+l=4；

，<4不成立，此時輸出s=34.

故選：C.

【點睛】

本題考查了程序框圖，只需在理解程序框圖的前提下細心計算即可，屬于基礎(chǔ)題.

8、D

【解析】

根據(jù)(1—X)5+(1—4+(1—4+(1—K，利用通項公式得到含>的項為:(《+*+4+或)(一進而得到

其系數(shù)，

【詳解】

因為在(1—X)5+(1—X)6+(1—X)7+(1—x)8,

所以含Y的項為：(《++《+或)(一”3,

所以含丁的項的系數(shù)是的系數(shù)是—(仁+管+管+或)，

=-(10+20+35+56)=-121,

故選:D

【點睛】

本題主要考查二項展開式及通項公式和項的系數(shù)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題，

9、C

【解析】

先根據(jù)組合數(shù)計算出所有的情況數(shù)，再根據(jù)“3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況，

由此可求解出對應(yīng)的概率.

【詳解】

所有的情況數(shù)有：￡30=120種，

3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有：

(1,2,3),(3,4,5),(5,6,7),(7,8,9),(1,4,7),(3,6,9),(1,3,5),(3,5,7),(5,7,9),(1,5,9),共10種，

所以目標事件的概率P=羔=占.

12012

故選：C.

【點睛】

本題考查概率與等差數(shù)列的綜合，涉及到背景文化知識，難度一般.求解該類問題可通過古典概型的概率求解方法進行

分析；當(dāng)情況數(shù)較多時，可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計算.

10、B

【解析】

根據(jù)題意得到%-q=q/-q=15,%-%=謂-%q=6,解得答案.

【詳解】

c1凡=—16

43q二］人

a-a=aq-a=15,a-a=aq一%q=6,解得《或《1(舍去).

5xxx42x"=2

故%=a/=4.

故選：B.

【點睛】

本題考查了等比數(shù)列的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.

11、A

【解析】

根據(jù)幾何概率計算公式，求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可.

【詳解】

在中，AD=3,BD=1,ZADB=120°,由余弦定理，得AB=［AD?+BD?—2AD-BDcos120°=舊，

DF2

所以罰

所以所求概率為墾讓=［二］.

%wcIA/BJ13

故選A.

【點睛】

本題考查了幾何概型的概率計算問題，是基礎(chǔ)題.

12、A

【解析】

1,1,

先求(1-一甘的展開式，再分類分析(2-7%)中用哪一項與(1--了相乘，將所有結(jié)果為常數(shù)的相加，即為

XX

1a

(2-“)(1—-)3展開式的常數(shù)項，從而求出加的值.

X

【詳解】

1,,1

（1一一）3展開式的通項為=c；?F-（--y=c;.（―1）'x-,

XX

當(dāng)（2-7我）取2時，常數(shù)項為2xC；=2,

當(dāng)（2-皿）取一加％時，常數(shù)項為一〃2xC；x（-l）i=3租

由題知2+3〃z=8,則“7=2.

故選：A.

【點睛】

本題考查了兩個二項式乘積的展開式中的系數(shù)問題，其中對（2-依）所取的項要進行分類討論，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2s%-J

【解析】

結(jié)合題意先畫出直角坐標系，點出所有可能組成等腰直角三角形的點，采用排除法最終可確定為尸點，再由函數(shù)性質(zhì)

進一步求解參數(shù)即可

【詳解】

等腰直角三角形的第三個頂點可能的位置如下圖中的點AB,C,D,E,F,其中點AB,C,。與已有的兩個

頂點橫坐標重復(fù)，舍去；若為點E則點E與點（2,2）的中間位置的點的縱坐標必然大于2或小于-2,不可能為。,1）,

因此點E也舍去，只有點產(chǎn)滿足題意.此時點（2,2）為最大值點，所以/■（x）=2sin（ox+。），又0<。<￡,貝!!

/>1,所以點（U）,（2,2）之間的圖像單調(diào)，將（U,）,（2,2）代入/（力的表達式有

71

[.Z\1。+°=￡+2k兀CD——,

3

<2n<

71TC-j7

sin(2。+0)二12口+。=萬+2人"(p———+k￡

因此/(x)=2sin](x-

由忸|<3知0=￡

故答案為：

【點睛】

本題考查由三角函數(shù)圖像求解解析式，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題

1

14、——

e

【解析】

先求函的定義域，再對函數(shù)進行求導(dǎo)，再解不等式得單調(diào)區(qū)間，進而求得極值點，即可求出函數(shù)/(X)的極大值.

【詳解】

lv]X—1

函數(shù)/(%)=------，%￡(。,+8),

X

「,/、1-(Inx-1)2-lrvc

???f(%)=-----$——二——，

XX

令/。)=0得，X=e2,

二當(dāng)xe(0,e2)時，f'(x)>Q,函數(shù)/(》)單調(diào)遞增；當(dāng)xe(e2,+oo)時，f'(x)<0,函數(shù)/'(x)單調(diào)遞減，

,當(dāng)x=e2時，函數(shù)/(x)取到極大值，極大值為/(e2)=絲匚=3.

ee

故答案為：—.

e~

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力，求解時注意定義域

優(yōu)先法則的應(yīng)用.

15.[-1,1)

【解析】

l-x>0fx<1

要使函數(shù)/Xx)有意義，貝！I,.,八，即，，，解得—1WX<1,故函數(shù)/⑴的定義域是[-1』).

4+3%-%->0[-1<%<4

16、V15

【解析】

結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長度用坐標表示成圓的方程，與橢圓方程聯(lián)立可進一步求解.利用

焦半徑及三角形中位線定理，則更為簡潔.

【詳解】

方法1：由題意可知|O/|=|OM|=c=2,

2

由中位線定理可得\PFl\=2\OM\=4,設(shè)尸(x,y)可得(x-2)+/=16,

22

聯(lián)立方程L+匕=i

95

321

可解得x=—-,x=一(舍)，點P在橢圓上且在x軸的上方，

22

方法2：焦半徑公式應(yīng)用

解析1：由題意可知I。尸l=[0M|=c=2,

3

由中位線定理可得|尸制=21QW|=4,即a-叼=4=4=一]

715

(3

求得「,所以左PF=[-=A.

2

【點睛】

本題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解答解析幾何問題的

重要途徑.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2TT

17>(I)y=-A-+ln^--l；(II)證明見解析；(III)函數(shù)/Xx)在(0,2%)有3個零點.

7T2

【解析】

(I)求出導(dǎo)數(shù)，寫出切線方程;

(II)二次求導(dǎo)，判斷了‘(X)單調(diào)遞減，結(jié)合零點存在性定理，判斷即可；

(III)lnx=l-sinx,數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論.

【詳解】

解：(I)r(x)=cosx+-,f(g)=l+lng-l=lng,尸(芻=工，

x22227r

故f(x)在點(g,處的切線方程為y-Ing=2(X-,

222712

ptrt2[兀1

即y=—x+]n----1?

n2

(II)證明：/,(x)=cosx+-,xe(O,萬)，

X

f,r(x)=-sinX-■y＜0,故/'(%)在(0,1)遞減，

x

JT91

又廣(g)=—＞0，-⑺=-!+—＜0,

2nn

由零點存在性定理，存在唯一一個零點〃好(石,?)，/?=coszn+-=0,

2m

當(dāng)xe(0,m)時，/'(x)遞增；當(dāng)了￡(加,乃)時，/(x)遞減，

故/(%)在(0,疳只有唯一的一個極大值；

(in)函數(shù)/■(*)在(0,2萬)有3個零點.

【點睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查零點存在性定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和零點存在定理確

定導(dǎo)函數(shù)的零點個數(shù)，進而確定函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題.

18、(1)-；(2)①0＜。＜1；②詳見解析.

2

【解析】

(1)由函數(shù)/(x)在x=l處的切線與直線x-2y+l=。垂直，即可得尸⑴.；=」，對其求導(dǎo)并表示「⑴，代入上述

方程即可解得答案；

r\

(2)①已知要求等價于/'(x)=2x+2(a-3)+0=0在(0,+s)上有兩個根匹,馬，且不＜羽，即

x

2必+2(。-3)x+2a=0在(0,+co)上有兩個不相等的根4/，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)構(gòu)建不等式組，解得答案，

最后分析此時單調(diào)性推及極值說明即可；

②由①可知，%,吃(°〈為＜%)是方程2爐+2(。-3)x+2a=0的兩個不等的實根，由韋達定理可表達根與系數(shù)的關(guān)

系，進而用含的式子表示/(%)+/(%),令g(a)=/(%)+/(X2),對g(a)求導(dǎo)分析單調(diào)性，即可知道存在常數(shù)

/￡("3,1)使8(々)在(0/)上單調(diào)遞減，在(7,1)上單調(diào)遞增，進而求最值證明不等式成立.

【詳解】

解：(1)依題意，/(x)=x2+2(a-3)x+Inx,x>0,

故f(x)=2x+2(a-3)+—f所以f(l)=4a-49

x

據(jù)題意可知，(4?-4).1=-l,解得a=g.

所以實數(shù)。的值為

2

(2)①因為函數(shù)/(x)在定義域上有兩個極值點為,馬，且不<々，

rs

所以八%)二2%+2(。-3)+—^=0在(0,+8)上有兩個根%,%2，且玉<9，

%

即2/+2(?！?)%+2。=。在(0,+oo)上有兩個不相等的根石,9?

_三〉0,

2x2

所以<A=4(a-3)2-16〉0,解得0<。<1.

2a>0,

當(dāng)0<Q<1時，若0<%<%或%>九2，2%2+2(〃-3)%+2。>0,/'(%)>0,函數(shù)/(%)在(0,%)和(％,+oo)上單調(diào)

2

遞增；若玉<%<%,2x+2(a-3)x+2a<09f(x)<0,函數(shù)/(%)在(石,々)上單調(diào)遞減，故函數(shù)/(%)在(。，+8)

上有兩個極值點看，無2，且再<%2?

所以，實數(shù)〃的取值范圍是

2

②由①可知，^,x2(O<x1<x2)是方程2x+2(。-3)x+2a=0的兩個不等的實根,

X+=3-(2,

所以12其中OVQ<1.

西馬-〃，

故f(xj+f(入2)=片+2(Q-3)M+2〃1口%1+2(a-3)x2+2a\nx2

=(芯2

+x2)-2XXX2+2(〃-3)(%I+x2)+2tzlnx1x2

—(3—Q)?—2a+2(Q—3)(3—a)+2aIna—2aInci—+4Q—9,

令g(a)=2alna-a2+4a-9,其中0<avl.故g'(a)=21na-2a+6,

2

令h(a)=gf(a)=21na-2a+6,h'(a)=——2>0,h(a)=g\d)在(0,1)上單調(diào)遞增.

a

由于/z(e-)=—2/3<0,〃(l)=4>0,

所以存在常數(shù)fe(1,1),使得/z?)=0,即lnf—f+3=0,ln/=-3,

且當(dāng)ae(Oj)時,〃(a)=g'(a)<0,g(a)在(0/)上單調(diào)遞減；

當(dāng)ae(/,l)時,丸(。)=g'(a)>0,g(a)在。1)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)0<。<1時，g(a)..g?)=2/lnt—/+布―9=2《?！?)—產(chǎn)+4?！?=r—2f—9,

又r—2―9=("I)?-10〉-10,

所以g(a)>-10,即以a)+10>0,

故/(%)+/(9)+1°>°得證?

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、兩直線的位置關(guān)系、由極值點個數(shù)求參數(shù)范圍問題，還考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立,

屬于難題.

19、(I)見解析；(H)叵.

【解析】

試題分析：(1)取CC1中點。，連Q4,。瓦，由等邊三角形三邊合一可知CGLOA,CC}LOB,即證.(2)以。用,

。。，Q4為正方向建立空間直角坐標系，由向量法可求得平面C4用與平面AA耳所成的銳二面角的余弦值.

試題解析：(I)證明：連AG，CB-貝！JACG和BCG皆為正三角形.

取中點。，連。4,OB1,則CC]，OA,CQ±OB,

則C￡1平面。4旦，則CG1AB}

(II)由(I)知，OA=OBl=y/3,又AB[=瓜,所以。4，。片.

如圖所示，分別以。用，。。，Q4為正方向建立空間直角坐標系，

則c(o,—1,0),4(6,0,0),A(O,O,A/3),

設(shè)平面C4用的法向量為機=(%,%,zj,

因為股=(6,0,—6),AC=(0,-1,-A/3),

A/SX,+0xy-Ez、=0,

所以1廠

0x%i_必_J3Z]=0,

取根=(1,_石,1)

面AA四的法向量取n=(1,0,1),

/、m-n2y/lQ

則c°sgM=麗=萬環(huán)=可，

平面CAB,與平面AA耳所成的銳二面角的余弦值巫.

5

20、(1)見解析(2)2包

7

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)已知條件由線線垂直得出線面垂直，再根據(jù)面面垂直的判定定理證得成立；(2)通過已知條件求

出各邊長度,建系如圖所示，求出平面PDB的法向量，根據(jù)線面角公式代入坐標求得結(jié)果.

試題解析：(1)證明：取PD的中點N,連接AN,政V,則MN//CD,MN==CD,

2

又ABI/CD,AB=LCD,所以MN//AB,MN=AB,則四邊形ABMN為平行四邊形，所以AN//BM,

2

又BAf_L平面PCD,

4V_L平面PCD,

：.AN±PD,AN±CD.

由石D=E4即。D=A4及N為PD的中點，可得為等邊三角形，

/.ZPDA=60°.

又NEQC=150°，?,?NCZM=90°，?,?C￡)_LAD,

CD,平面PA。,CD<=平面ABCD,

二平面AID，平面ABCD.

(2)解：

AB//CD,...NPCD為直線PC與A5所成的角，

PD1

由(1)可得NPZ)C=90°，tan/PCD=——=一，：.CD=2PD,

CD2

設(shè)。。=1,則CQ=2,PA=AQ=A5=1,

取AD的中點。，連接P0,過。作A3的平行線,

可建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,

/

則—；,0,0),561,1,01,0"1,2,0],20,0,

22

、

44

所修。書

所以。B=(1,1,0),P3=

x+y=0

n,DB=0

設(shè)〃=(x,y,z)為平面p皿的法向量，則H，即｛16

n,PB=0—x+y----z=。

22

取x=3,則〃=(3,-3,)為平面PBD的一個法向量,

n-BM-3_2A/7

..cos(n,BM)=

Hx是7

2

則直線BM與平面PDB所成角的正弦值為變.

7

點睛：判定直線和平面垂直的方法:①定義法.②利用判定定理：一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該

直線和此平面垂直.③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.平

面與平面垂直的判定方法:①定義法.②利用判定定理：一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直.

22(13P

21、(1)土+乙=1;⑵或一，-----

43124J

【解析】

(1)根據(jù)鳥的周長為2a+2c,結(jié)合離心率，求出。，。，即可求出方程;

(2)設(shè)P(%〃)，則Q(-%-〃)，求出直線AM方程，若QK斜率不存在，求出M,P,N坐標，直接驗證是否滿足題

意，若Q8斜率存在，求出其方程，與直線AM方程聯(lián)立，求出點M坐標，根據(jù)S.BM=454所/和尸，8，N三點

共線，將點N坐標用以〃表示，RN坐標代入橢圓方程，即可求解.

【詳解】

(1)因為橢圓的離心率為:，△「月耳的周長為6,

2a+2c=6,

c_1

設(shè)橢圓的焦距為2c,則廠子

b1+c2=a2,

解得a=2,c=l9b=,

.2,2

所以橢圓方程為工+二=1.

43

22

(2)設(shè)P(牡〃)，則竺~+。=1,且。(一加,一")，

43