淺談魔方中的數(shù)學(xué)思想

淺談魔方中的數(shù)學(xué)思想學(xué)生姓名：之花127一、引言魔方是一種休閑益智玩具.生活中人們所熟知的魔方(Rubik’scube)是匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院魯比克(Rubik)教授于年創(chuàng)造的教學(xué)道具.這種方魔(Rubik’scube)是由個(gè)塊方的成組,個(gè)每塊方都能繞心中轉(zhuǎn)意任向方的體方立.總來的說,方魔的法玩就是轉(zhuǎn)動魔方令其上每個(gè)面的方塊顏色一致(復(fù)原)或排列組合出有規(guī)律的圖案.魔方轉(zhuǎn)動一次相當(dāng)于魔方一層上所有的方塊(有限元素)進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)意義上的變換.所以,魔方的構(gòu)造與操作過程中蘊(yùn)含著一定的數(shù)學(xué)思想.簡而言之一些數(shù)學(xué)思想比方變換、坐標(biāo)、組合等都可以在魔方上找到現(xiàn)實(shí)具體的運(yùn)用.二、魔方的根底知識〔一〕魔方的歷史與結(jié)構(gòu)生活中人們所常見的魔方(Rubik’scube)是匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院魯比克(Rubik)教授于1974年設(shè)計(jì)的教學(xué)道具.這種魔方是由個(gè)方塊組成的,每個(gè)方塊都能繞中心轉(zhuǎn)任意方向的立方體.經(jīng)過近40年的開展,原始的傳統(tǒng)意義上的魔方已經(jīng)創(chuàng)造性的衍生出了由方塊組成的各個(gè)方向都能夠轉(zhuǎn)動的多種多樣的幾何體魔方玩具.在外形設(shè)計(jì)的角度,傳播最早的魔方(Rubik’scube)也可以稱作三階立方體魔方,繼相有還階二、階四、階五等種多數(shù)階的體方立方魔,目前絡(luò)網(wǎng)上一方魔者好愛計(jì)設(shè)并造制了高最的階十七體方立方魔(2011).除體方立方魔外之有還它其體面多方魔和型異方魔.設(shè)計(jì)各種外形的幾何體魔方時(shí)使其各個(gè)組成局部具有良好的旋轉(zhuǎn)性是根本要求.這就使得魔方的內(nèi)部結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)豐富多樣、精簡巧妙.1.階從外形設(shè)計(jì)來看,立方體魔方每條棱上方塊數(shù)目就是該魔方的階數(shù).因此,生活中人們普遍見到玩賞的方魔可稱作階三體方立方魔.最初魔方在作為增加學(xué)生空間方位感覺的教學(xué)道具設(shè)計(jì)時(shí),魔方創(chuàng)造人Rubik教授考慮到從數(shù)學(xué)思維角度來說,(即二階立方體魔方)理論上是外形結(jié)構(gòu)最簡單的體方立魔方,然而在過經(jīng)驗(yàn)實(shí)后作操現(xiàn)發(fā)他,在械機(jī)計(jì)設(shè)的度角上慮考話的,魔方在部內(nèi)造構(gòu)上是最易容現(xiàn)實(shí)塊方各度角轉(zhuǎn)旋并備具最單簡械機(jī)構(gòu)結(jié)的體方立魔方.2.軸中心塊棱塊角塊如圖1所示，在拆開三階立方體魔方后,可以觀察到它的內(nèi)部構(gòu)造.一個(gè)以可各向方動轉(zhuǎn)的項(xiàng)六頭接在處的魔方的心中.其上個(gè)六頭接是即方魔的軸.一個(gè)塊方分別用螺絲、墊片、彈簧固定在每個(gè)接頭,這個(gè)方塊稱為中心塊.所以從內(nèi)部構(gòu)造的度角階三方魔被也作稱階三軸六魔方.六個(gè)中心塊被固定在魔方的六個(gè)軸上,而同一面上的四個(gè)中心塊可以繞垂直于這個(gè)面的兩個(gè)軸旋轉(zhuǎn).所以中心塊之間的相互位置不會在轉(zhuǎn)魔方過程中改變.綜上,塊心中的色顏以可定確它面在所的色顏,這就示表在面該它其塊方的色顏的斷判上以應(yīng)塊心中的色顏為準(zhǔn)基.實(shí)際上,魔方是由個(gè)方塊〔除去中心的一塊〕組成.除了以上所說的個(gè)中心塊以外,其它個(gè)方塊中:個(gè)方塊是兩個(gè)面涂有顏色,它們的正確位置和朝向?qū)⒂蓛蓚€(gè)中心塊決定,稱之為棱塊;個(gè)方塊有三個(gè)面涂有顏色(以下把涂有顏色的面稱為有色面),它們的正確位置和朝向由三個(gè)中心塊決定,稱之為角塊.如圖1在計(jì)設(shè)上塊棱和塊角都有具出突的腳小,塊棱的側(cè)兩有都裝弧的口缺,這些腳小和口缺與都塊心中扣緊在一起.這樣棱塊和角塊就能夠隨著所在層的轉(zhuǎn)動而向各個(gè)方向轉(zhuǎn)動,并且緊扣在中心塊上而不會在轉(zhuǎn)動時(shí)從魔方上脫落.〔二〕魔方的玩法魔方的作操,即針時(shí)順或針時(shí)逆動轉(zhuǎn)魔方的某層一或?qū)觾?作操單簡得使玩方魔起來看易容.不過玩過的人都明白玩魔方并不容易,而且玩魔方需要記憶一些步驟.對大局部人來說初始接觸的魔方都是三階魔方,它有正方體的外形,個(gè)面上都有個(gè)有色塊.大體上而言使每個(gè)面的有色塊的顏色都相同是玩魔方的游戲目標(biāo),也就是復(fù)原魔方.自然的,各個(gè)有色塊是組成魔方的方塊的一局部.實(shí)際操作魔方,即轉(zhuǎn)動魔方的過程中,方塊之間能夠互換位置或者方塊自身會變換朝向.事實(shí)上,Rubik教授在制造出世界上第一個(gè)魔方后隨意轉(zhuǎn)動之后想要復(fù)原魔方就花費(fèi)了三個(gè)多月的時(shí)間.復(fù)原魔方的困難之處就在于:移動一個(gè)方塊時(shí)伴隨著其它多個(gè)方塊的移動(中心塊除外).在復(fù)原的初始階也許這構(gòu)不成較大的困難，然而隨著多數(shù)方塊到達(dá)正確的位置,這時(shí)新的轉(zhuǎn)動必然會使這些方塊離開正確的位置,如何在轉(zhuǎn)動中不斷復(fù)原已完成好的局部是個(gè)難題.在學(xué)數(shù)的域領(lǐng)就應(yīng)對著有元限的換變和逆換變問題.今當(dāng)?shù)姆侥且环N不僅閑休的力智具玩,玩方魔更展發(fā)為成了技競動運(yùn).為作技競動運(yùn)的魔方法玩富豐樣多.種各魔方玩的界世錄記不斷被新刷,如快最原還魔方錄記者持保為生出于亞利澳大歲FeliksZemdegs,他的最快記錄為秒(2010年).魔方的種類除了傳播最早的魔方(Rubik’scude)也可以稱作三階立方體魔方,相繼還有二階、四階、五階等多種階數(shù)的立方體魔方,前目絡(luò)網(wǎng)上些一魔方者好愛計(jì)設(shè)并造制了高最的階十七體方立魔方.除體方立魔方外之有還它其體面多魔方和型異魔方.魔方的數(shù)軸、向軸、數(shù)階、狀形在魔方者好愛斷不試嘗與造創(chuàng)中得變富豐彩多.三、魔方中的數(shù)學(xué)思想〔一〕排列組合的思想“意隨的動轉(zhuǎn)魔方使魔方的面?zhèn)€六原還能可嗎?”通過魔方旋轉(zhuǎn)其上的色塊一共可以組合出多少種圖案,利用組合的數(shù)學(xué)思想,我們可以得到魔方可以變換種案圖.首先,易容到想果如動不轉(zhuǎn)魔方層間中,魔方的個(gè)六塊心中的置位會不變改,相對的旋轉(zhuǎn)上下兩層相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)中間層.通過這種方式可以固定魔方的空間位置,即立建一個(gè)間空系標(biāo)坐.其次,在這個(gè)系標(biāo)坐中個(gè)塊角的置位全列排為,又因?yàn)槊總€(gè)角塊有三個(gè)有色面,所以角塊所有的圖案組合為中.同理,魔方上的棱塊有個(gè),每個(gè)棱塊有個(gè)有色面,棱塊全部圖案有個(gè).再次,魔方上不存在以下的操作結(jié)果:只有一個(gè)角塊或一個(gè)棱塊的有色面變換了朝向,只有一對角塊或者一對棱塊相互交換了位置.所以除以.最后得到以上結(jié)果.如果人的平均壽命為年每秒轉(zhuǎn)動魔方下,除去重復(fù)的圖案,每個(gè)人吃飯睡覺都在轉(zhuǎn),億人經(jīng)過億年時(shí)間就可以轉(zhuǎn)出所有不同的圖案.所以通過隨意轉(zhuǎn)魔方而復(fù)原魔方有人可能終其一生都無法完成.“拆開重新組裝的魔方一定正確嗎?”首先,個(gè)中心塊固定在魔方中心的六個(gè)接頭上.其次,剩下的個(gè)方塊有:個(gè)角塊和個(gè)棱塊.個(gè)角塊的位置,以及每個(gè)角塊有個(gè)有色面,一共有種安裝角塊的方式.同理,共有種安插個(gè)棱塊的方法.魔方有種組裝方法.相對于魔方轉(zhuǎn)動變換出的圖案種類魔方組裝的圖案要多很多.比照上文可以得到正確組裝一個(gè)魔方的概率為.可以想到,在復(fù)原魔方的過程中試圖通過拆卸魔方方塊而簡化復(fù)原步驟的方法是不可行的.〔二〕群論的思想1.魔方中的對稱生活中,幾何體的鏡面對稱(關(guān)于某個(gè)平面的對稱)是很常見的,魔方的結(jié)構(gòu)也表達(dá)了這種對稱性.然而,對稱的含義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了鏡面對稱,需要用到群論的思想作為研究的工具.關(guān)于面平稱對,假設(shè)一個(gè)體何幾被某面平成劈分部兩,其中任一分部都是另一分部于關(guān)給所面平的面鏡像映,那么該體何幾關(guān)于面平稱對,即該體何幾成面鏡稱對.關(guān)于線直稱對,假設(shè)一個(gè)體何幾上的點(diǎn)每于關(guān)線直的點(diǎn)稱對在該體何幾上,那么個(gè)這體何幾關(guān)于該直線對稱,即這條直線是該幾何體的二階對稱軸.反過來講,如果一個(gè)幾何體具有二階對稱軸,那么該幾何體圍繞軸轉(zhuǎn)后與本身重合.類似的,假設(shè)幾何體圍繞一條直線旋轉(zhuǎn)后與本身重合,那么這條直線稱為該幾何體的n階對稱軸.關(guān)于點(diǎn)稱對,即心中稱對,假設(shè)段線的點(diǎn)中點(diǎn)為,那么點(diǎn)段于關(guān)點(diǎn)成心中稱對.如果某體何幾上的每點(diǎn)一個(gè)都以可在該體何幾上找到于關(guān)給點(diǎn)定成心中稱對的點(diǎn),那么就稱該體何幾關(guān)點(diǎn)于稱對.如圖=2\*Arabic2體方正有具階軸稱對(如圖=2\*Arabic2)、階軸稱對(如圖=2\*Arabic2)、階軸稱對(如圖=2\*Arabic2),同時(shí)正方體關(guān)于中心(即正方體體對角線的交點(diǎn))點(diǎn)對稱.三階魔方的外形正是這種具有僅次于球體的對稱性質(zhì)的正方體.2.魔方中的變換魔方的變換為旋轉(zhuǎn)魔方是方塊位置的變換,而在立體空間中,平移、旋轉(zhuǎn)和鏡面映像為三種不改變幾何體大小的空間運(yùn)動.在空間中任取一直線,假設(shè)空間中點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線相互對應(yīng),那么點(diǎn)或點(diǎn)繞軸轉(zhuǎn)一個(gè)確定的角度后與另一個(gè)相重合.所以間空換變轉(zhuǎn)旋是一一應(yīng)對的換變.同時(shí),在轉(zhuǎn)旋化變中持保了轉(zhuǎn)旋點(diǎn)的軸到離距不變.設(shè)合集,是的一個(gè)集子,為的一個(gè)換變,假設(shè)集子中每點(diǎn)一個(gè)的在換變用作為仍下的中點(diǎn).那么集子是變不的或稱對的,或者說換變畫刻了集子的稱對性.設(shè)為集合中保持不變的所有變換的集合,那么滿足以下的性質(zhì):=1\*GB3①,,;=2\*GB3②;=3\*GB3③中必有含等恒換變,有意任素元與等恒換變運(yùn)作持保變不,那么含有位單元;=4\*GB3④,,,.3.群的一般概念設(shè)空非合集中定規(guī)一個(gè)算運(yùn)“”,假設(shè)該算運(yùn)足滿下以的個(gè)四質(zhì)性,群就為說.封閉律,;結(jié)合律,;單位元,;④逆元律,.據(jù)此上文所描述的對稱的變換的全體在規(guī)定運(yùn)算后構(gòu)成一個(gè)群,那么稱該群為對稱變換群.通過構(gòu)建對稱變換群的形式來研究幾何體的對稱性是有效的,例如：三階魔方的外形是正六面體,因此正六面體對稱群成為了魔方的變換研究方面的數(shù)學(xué)依托.4.魔方群構(gòu)造魔方有上種六色顏和類三塊方,塊角有個(gè)面色有,個(gè)面色有著隨塊角的動轉(zhuǎn)而換互置位,每交換一次要?jiǎng)愚D(zhuǎn),此為階對稱軸的性質(zhì),棱塊有個(gè)有色面,每交換一次轉(zhuǎn)動,這是階對稱軸的性質(zhì).一般的以可用字?jǐn)?shù)來表代量變,從而可以用數(shù)字的置換代替變量的置換.如正三角形的稱對換變用可字?jǐn)?shù)的換置表示:所以三角正形的稱對換變?yōu)槿?假設(shè)把魔方每一個(gè)有色面用數(shù)字標(biāo)記出來(中心塊除外),那么有個(gè)有色面被標(biāo)記.如果任何兩個(gè)有色塊能夠相互調(diào)換位置,那么個(gè)有色面的置換的數(shù)目就是.稱這些換置的體全為次換置群,作記.到得可:面六正體的稱對群是,那么面六正體的稱對群的階為.魔方換變的體全為稱群方魔(下文證明〕.群方魔是群子的一個(gè).原因于在魔方在上塊角能只與塊角生發(fā)置位的換互,不能與塊棱進(jìn)行置位換互,同樣塊棱也只可以和塊棱行進(jìn)換互位置.例如,順時(shí)針把圖3中的所在面轉(zhuǎn)動時(shí),就會得到如下置換:用示來表魔方面色有動轉(zhuǎn)的換置,那么自然地,可以寫出其它個(gè)面上順時(shí)針旋轉(zhuǎn)置換:可以得到,群方魔由是、、、、、六個(gè)換置在群子中成生的.由一個(gè)素元成生的群稱為群環(huán)循.形如的素元成構(gòu)群環(huán)循.這些素元為稱的冪方,即,,..上述的六個(gè)置換可生成群,就是魔方群.即中含有所有的魔方變換.不難想到,原還魔方的程過使魔方從始初態(tài)狀,過經(jīng)干假設(shè)后的魔方換變,到回始初態(tài)狀的程過中表達(dá)了魔方變換的循環(huán)以及魔方變換的逆變換.魔方變換都可以屢次重復(fù)操作中實(shí)現(xiàn)魔方狀態(tài)的循環(huán).例如,如圖=5\*Arabic5中所示魔方依次完成圖中所示的旋轉(zhuǎn)可以現(xiàn)實(shí)魔方一層點(diǎn)頂、小彎拐、字一、字十的案圖循環(huán).5.魔方群性質(zhì).,共.,,,.,.:,.因此,中心塊可以代表它所在的面,這也建立了一個(gè)固定的參考系.,.,:,.().,.根據(jù)以上的描述中心塊建立了一個(gè)固定的參考系,如果用表示對應(yīng)面的中心塊,那么角塊可以用表示其方位,其含義為:位于面面面相交處的方塊.如表示(上)面(前)面(左)面相交的方塊.類似地,用表示棱塊,含義為:面面相交處的邊塊...如,.用表示魔方狀態(tài),即各方塊和有色面的方位,用表示魔方在狀態(tài)經(jīng)過操作后所生成的新狀態(tài).同時(shí),合成運(yùn)算是從左向右的,有.證明中的任何元素都能夠表示為假設(shè)干根本旋轉(zhuǎn)的合成,那么中任意兩個(gè)元素的合成仍然是有限個(gè)根本宣戰(zhàn)的合成.所以中的合成運(yùn)算滿足封閉律.用表示魔方狀態(tài),那么有:,,.,,.,.,,.,.=1\*GB2⑴交換性...證明.,.,,.證明魔方群中,相對面旋轉(zhuǎn)變換是不相交的.根據(jù)定理=2\*Arabic2,相對面的旋轉(zhuǎn)變換是可交換的,那么有.=2\*GB2⑵作用傳遞性軌道,,,,,.證明魔方群,有:,,.,;:..、、、.、、、.證明以魔方前面左下方的角塊為例,用表示.操作旋轉(zhuǎn):,后角塊將沿著轉(zhuǎn)動的路徑通過全部角塊的位置,最終返回起始點(diǎn).因此在,.、、..,,.引理=3\*Arabic3.引理=4\*Arabic4.,.=3\*GB2⑶共軛換位子魔方的復(fù)原是一個(gè)復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)操作過程,因?yàn)樾枰綌?shù)目較多的置換合成.假設(shè)沒有方案的隨意亂轉(zhuǎn),一定會把魔方狀態(tài)便得更加復(fù)雜.一下描述共軛和換位子在魔方復(fù)原中的作用.共軛在魔方復(fù)原中是一種常見的手法.引理=4\*Arabic4說明把映射到,那么的共軛把映射到..,,,,,.在論群中,子位換是以可來用量衡合集素元的性換交,來起看與方魔原還有沒點(diǎn)一系關(guān),事實(shí)上,換位子在魔方復(fù)原中反而起著簡化復(fù)原步驟的作用.根據(jù)上文每個(gè)旋轉(zhuǎn)作用是由個(gè)長度為的不相的交循環(huán)合成的.在復(fù)原魔方時(shí),每旋轉(zhuǎn)一次,就有個(gè)有色面重新排列,因此在無規(guī)律的連續(xù)旋轉(zhuǎn)后的魔方狀態(tài)會十分混亂,人們希望盡可能的保持已經(jīng)復(fù)原的局部不變,在這方面換位子的重要性就顯現(xiàn)出來了.魔方群中換位子定義的實(shí)際操作構(gòu)成,假設(shè)和是魔方相鄰兩面的旋轉(zhuǎn),表示在轉(zhuǎn)動之后再旋轉(zhuǎn),最后因?yàn)楹托D(zhuǎn)而改變的局部方塊或有色面可以復(fù)原到旋轉(zhuǎn)之前.從而換位子簡化了魔方的復(fù)原過程.