高考數(shù)學（人教B版）一輪復習課件第10章10.4隨機事件與概率

§10.4

隨機事件

與概率第十章計數(shù)原理、概率1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概

率的區(qū)別.2.理解事件間的關系與運算.3.掌握古典概型及其計算公式，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率.考試要求

內容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.樣本空間和隨機事件(1)樣本點和樣本空間樣本點：隨機試驗中每一種可能出現(xiàn)的結果稱為樣本點.樣本空間：由所有樣本點組成的集合稱為樣本空間，常用Ω表示.(2)隨機事件一般地，如果隨機試驗的樣本空間為Ω，則隨機事件A是Ω的一個非空真子集，而且若試驗的結果是A中的元素，則稱A發(fā)生，否則，稱A不發(fā)生.

含義符號表示包含關系A發(fā)生導致B發(fā)生______相等關系B?A且A?B______并事件(和事件)A與B至少一個發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A∩B＝?互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生_____________________2.兩個事件的關系和運算A?BA＝BA∩B＝?，A∪B＝Ω3.古典概型的特征(1)有限性：樣本空間所包含的樣本點個數(shù)是______；(2)等可能性：每個基本事件發(fā)生的可能性大小都_____.4.古典概型的概率公式假設樣本空間含有n個樣本點，如果事件C包含m個樣本點，則由互斥事件的概率加法公式可知P(C)＝____.有限的相等5.概率的性質性質1：對任意的事件A，都有P(A)≥0；性質2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；性質3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A＋B)＝___________；性質4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝________；P(A)＋P(B)1－P(B)性質5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質可得，對于任意事件A，因為??A?Ω，所以0≤P(A)≤1；性質6：設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，有P(A＋B)＝__________________.P(A)＋P(B)－P(AB)6.頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性一般地，如果在n次重復進行的試驗中，一個事件發(fā)生的頻率會很接近于這個事件發(fā)生的概率，而且，試驗的次數(shù)越多，頻率與概率之間差距很小的可能性越大.(2)頻率穩(wěn)定性的作用：可以用頻率fn(A)估計概率P(A).1.當隨機事件A，B互斥時，不一定對立；當隨機事件A，B對立時，一定互斥，即兩事件互斥是對立的必要不充分條件.2.若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.(

)(2)兩個事件的和事件發(fā)生是指這兩個事件至少有一個發(fā)生.(

)(3)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一個數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.(

)(4)若A＋B是必然事件，則A與B是對立事件.(

)××√√1.一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是A.至少有一次中靶

B.兩次都中靶C.只有一次中靶

D.兩次都不中靶√射擊兩次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或兩次都不中靶”，與該事件不能同時發(fā)生的是“兩次都中靶”.2.從某班學生中任意找出一人，如果該同學的身高小于160cm的概率為0.2，該同學的身高在[160,175](單位：cm)內的概率為0.5，那么該同學的身高超過175cm的概率為A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8√由題意知該同學的身高小于160cm的概率、該同學的身高在[160,175](單位：cm)內的概率和該同學的身高超過175cm的概率和為1，故所求概率為1－0.2－0.5＝0.3.3.(2022·全國乙卷)從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為______.探究核心題型第二部分命題點1隨機事件間關系的判斷例1

(1)(多選)對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設事件A＝{兩彈都擊中飛機}，事件B＝{兩彈都沒擊中飛機}，事件C＝{恰有一彈擊中飛機}，事件D＝{至少有一彈擊中飛機}，則下列關系正確的是A.AD＝? B.BD＝?C.A＋C＝D D.A＋B＝B＋D√題型一隨機事件√“恰有一彈擊中飛機”指第一枚擊中、第二枚沒中或第一枚沒中、第二枚擊中，“至少有一彈擊中飛機”包含兩種情況，一種是恰有一彈擊中，另一種是兩彈都擊中，故AD≠?，BD＝?，A＋C＝D，A＋B≠B＋D.(2)從裝有十個紅球和十個白球的罐子里任取兩球，下列情況中是互斥而不對立的兩個事件的是A.至少有一個紅球；至少有一個白球B.恰有一個紅球；都是白球C.至少有一個紅球；都是白球D.至多有一個紅球；都是紅球√對于A，“至少有一個紅球”可能為一個紅球、一個白球，“至少有一個白球”可能為一個白球、一個紅球，故兩事件可能同時發(fā)生，所以不是互斥事件；對于B，“恰有一個紅球”，則另一個必是白球，與“都是白球”是互斥事件，而任取兩球還可能都是紅球，故兩事件不是對立事件；對于C，“至少有一個紅球”為都是紅球或一紅一白，與“都是白球”顯然是對立事件；對于D，“至多有一個紅球”為都是白球或一紅一白，與“都是紅球”是對立事件.命題點2利用互斥、對立事件求概率例2

某商場進行有獎銷售，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個.設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎.設“1張獎券中獎”這個事件為M，則M＝A＋B＋C.∵事件A，B，C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)(2)1張獎券的中獎概率；設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件，(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.事件關系的運算策略進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結果，必要時可列出全部的試驗結果進行分析.當事件是由互斥事件組成時，運用互斥事件的概率加法公式.思維升華跟蹤訓練1

(1)(多選)拋擲一枚質地均勻的骰子，有如下隨機事件：Ci＝“點數(shù)為i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；D1＝“點數(shù)不大于2”，D2＝“點數(shù)不小于2”，D3＝“點數(shù)大于5”；E＝“點數(shù)為奇數(shù)”；F＝“點數(shù)為偶數(shù)”.下列結論正確的是A.C1與C2對立 B.D1與D2不互斥C.D3?F D.E?(D1D2)√√對于A，C1＝“點數(shù)為1”，C2＝“點數(shù)為2”，C1與C2互斥但不對立，故選項A不正確；對于B，D1＝“點數(shù)不大于2”，D2＝“點數(shù)不小于2”，當出現(xiàn)的點數(shù)是2時，D1與D2同時發(fā)生，所以D1與D2不互斥，故選項B正確；對于C，D3＝“點數(shù)大于5”表示出現(xiàn)6點，F(xiàn)＝“點數(shù)為偶數(shù)”，所以D3發(fā)生時F一定發(fā)生，所以D3?F，故選項C正確；對于D，D1D2表示兩個事件同時發(fā)生，即出現(xiàn)2點，E＝“點數(shù)為奇數(shù)”，所以D1D2發(fā)生，事件E不發(fā)生，所以E?(D1D2)不正確，故選項D不正確.(2)某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數(shù)據，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結算時間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.①確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.②估計一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結算時間(分鐘/人)11.522.53記A為事件“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘”，A1，A2，A3分別表示事件“該顧客一次購物的結算時間為1分鐘”“該顧客一次購物的結算時間為1.5分鐘”“該顧客一次購物的結算時間為2分鐘”，則可估計概率約為因為A＝A1＋A2＋A3，且A1，A2，A3兩兩互斥，例3

(1)(2023·南通質檢)我國數(shù)學家張益唐在“孿生素數(shù)”研究方面取得突破，孿生素數(shù)也稱為孿生質數(shù)，就是指兩個相差2的素數(shù)，例如5和7.在大于3且不超過20的素數(shù)中，隨機選取2個不同的數(shù)，恰好是一組孿生素數(shù)的概率為題型二古典概型√大于3且不超過20的素數(shù)為5,7,11,13,17,19，共6個，隨機選取2個不同的數(shù)，分別為(5,7)，(5,11)，(5,13)，(5,17)，(5,19)，(7,11)，(7,13)，(7,17)，(7,19)，(11,13)，(11,17)，(11,19)，(13,17)，(13,19)，(17,19)，共15種選法，其中恰好是一組孿生素數(shù)的有(5,7)，(11,13)，(17,19)，共3種，故隨機選取2個不同的數(shù)，恰好是一組孿生素數(shù)的概率為

.(2)在一次比賽中某隊共有甲、乙、丙等5位選手參加，賽前用抽簽的方法決定出場順序，則乙、丙都不與甲相鄰出場的概率是√利用公式法求解古典概型問題的步驟思維升華從寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回地隨機抽取2張，共有15種取法，它們分別是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6種取法，所以所求概率是跟蹤訓練2

(1)(2022·全國甲卷)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回地隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為√(2)(2022·宜賓質檢)2022年冬奧會在北京、延慶、張家口三個區(qū)域布置賽場，北京承辦所有冰上項目，延慶和張家口承辦所有雪上項目.組委會招聘了包括甲在內的4名志愿者，準備分配到上述3個賽場參與賽后維護服務工作，要求每個賽場至少分到一名志愿者，則志愿者甲正好分到北京賽場的概率為_____.例4

北京冬奧會順利閉幕后，某學校團委組織了一次“奧運會”知識講座活動，活動結束后隨機抽取120名學生對講座情況進行調查，其中男生與女生的人數(shù)之比為1∶1，抽取的學生中男生有40名對講座活動滿意，女生中有30名對講座活動不滿意.(1)完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為對講座活動是否滿意與性別有關？

滿意不滿意總計男生

女生

總計

120題型三概率與統(tǒng)計的綜合問題α＝P(χ2≥k)0.100.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.8282×2列聯(lián)表如表所示.根據列聯(lián)表中數(shù)據，

滿意不滿意總計男生402060女生303060總計7050120所以有90%的把握認為對講座活動是否滿意與性別有關.(2)從被調查的對講座活動滿意的學生中，利用分層抽樣方法抽取7名學生，再在這7名學生中抽取3名學生談談自己聽講座的心得體會，求其中恰好抽中2名男生與1名女生的概率.由(1)知，在樣本中對講座活動滿意的學生有70人，從中抽取7人，其中記“恰好抽中2名男生與1名女生”為事件A，求解古典概型的綜合問題的步驟(1)將題目條件中的相關知識轉化為事件；(2)判斷事件是否為古典概型；(3)選用合適的方法確定樣本點個數(shù)；(4)代入古典概型的概率公式求解.思維升華跟蹤訓練3

從參加環(huán)保知識競賽的學生中抽出40名，將其成績(均為整數(shù))整理后畫出頻率分布直方圖如圖所示，觀察圖形，回答下列問題.(1)成績在[80,90)這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？根據題意，成績在[50,60)這一組的頻率為0.015×10＝0.15，在[60,70)這一組的頻率為0.025×10＝0.25，在[70,80)這一組的頻率為0.035×10＝0.35，在[90,100)這一組的頻率為0.005×10＝0.05，(2)估計這次環(huán)保知識競賽成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；(不要求寫過程)這次競賽成績的平均數(shù)約為45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5；成績在[70,80)這一組的頻率最大，人數(shù)最多，則眾數(shù)約為75；70分左右兩側的頻率均為0.5，則中位數(shù)約為70.(3)從成績是80分以上(包括80分)的學生中選2人，求他們在同一分數(shù)段的概率.記“選出的2人在同一分數(shù)段”為事件E，成績在[80,90)內的有40×0.1＝4(人)，設為a，b，c，d；成績在[90,100)內的有40×0.05＝2(人)，設為A，B.從這6人中選出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15種選法，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7種選法，則P(E)＝課時精練第三部分1.擲一枚質地均勻的骰子，“向上的點數(shù)是1或3”為事件A，“向上的點數(shù)是1或5”為事件B，則A.A＋B表示向上的點數(shù)是1或3或5B.A＝BC.A＋B表示向上的點數(shù)是1或3D.AB表示向上的點數(shù)是1或51234567891011121314√基礎保分練1234567891011121314設A＝{1,3}，B＝{1,5}，則AB＝{1}，A＋B＝{1,3,5}，∴A≠B，AB表示向上的點數(shù)是1，A＋B表示向上的點數(shù)為1或3或5.2.杭州亞運會的三個吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”，如圖.現(xiàn)將三張分別印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片(卡片的形狀、大小和質地完全相同)放入盒子中.若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概率是√1234567891011121314記印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片分別為A，B，C，則樣本點有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9個，其中一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的樣本點有(A，B)，(B，A)，共2個，12345678910111213143.我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為A.134石 B.169石

C.338石 D.1365石√12345678910111213141234567891011121314√123456789101112131412345678910111213145.(2022·莆田質檢)將5名支援某地區(qū)抗疫的醫(yī)生分配到A，B，C三所醫(yī)院，要求每所醫(yī)院至少安排1人，則其中甲、乙兩名醫(yī)生恰好分配到同一醫(yī)院的概率為√12345678910111213146.(多選)下列說法中正確的有A.若事件A與事件B是互斥事件，則P(AB)＝0B.若事件A與事件B是對立事件，則P(A＋B)＝1C.某人打靶時連續(xù)射擊三次，則事件“至少有兩次中靶”與事件“至多

有一次中靶”是對立事件D.把紅、橙、黃3張紙牌隨機分給甲、乙、丙3人，每人分得1張，則事件

“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件1234567891011121314√√√事件A與事件B互斥，則A，B不可能同時發(fā)生，所以P(AB)＝0，故A正確；事件“至少有兩次中靶”與“至多有一次中靶”不可能同時發(fā)生，且二者必有一個發(fā)生，所以為對立事件，故C正確；事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”可能同時發(fā)生，即“丙分得的是紅牌”，所以不是互斥事件，故D錯誤.12345678910111213147.通過手機驗證碼注冊某APP時，收到的驗證碼由四位數(shù)字隨機組成，如某人收到的驗證碼(a1，a2，a3，a4)滿足a1<a2<a3<a4，則稱該驗證碼為遞增型驗證碼，某人收到一個驗證碼，則它是首位為2的遞增型驗證碼的概率為________.1234567891011121314∵a1＝2,2<a2<a3<a4，∴a2，a3，a4從3,4,5,6,7,8,9中選，1234567891011121314又四位驗證碼共有10×10×10×10＝10000(種)，8.(2022·全國甲卷)從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為________.1234567891011121314其中4個點共面有以下兩種情況：(1)所取的4個點為正方體同一個面上的4個頂點，如圖1，有6種取法；(2)所取的4個點為正方體同一個對角面上的4個頂點，如圖2，也有6種取法.故4個點在同一個平面共有6＋6＝12(種)情況.12345678910111213149.經統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口排隊的人數(shù)相應的概率如下：1234567891011121314求：(1)至多2人排隊等候的概率；排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.041234567891011121314記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥.記“至多2人排隊等候”為事件G，則G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.方法一

記“至少3人排隊等候”為事件H，則H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.方法二

記“至少3人排隊等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.(2)至少3人排隊等候的概率.1234567891011121314排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.0410.某縣共有90個農村淘寶服務網點，隨機抽取6個網點統(tǒng)計得到其元旦期間的網購金額(單位：萬元)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù).(1)根據莖葉圖計算樣本數(shù)據的平均數(shù)；1234567891011121314(2)若網購金額(單位：萬元)不小于18的服務網點定義為優(yōu)秀服務網點，其余為非優(yōu)秀服務網點，根據莖葉圖估計這90個服務網點中優(yōu)秀服務網點的個數(shù)；1234567891011121314(3)從隨機抽取的6個服務網點中任取2個做網購商品的調查，求恰有1個網點是優(yōu)秀服務網點的概率.1234567891011121314樣本中優(yōu)秀服務網點有2個，分別記為a1，a2，非優(yōu)秀服務網點有4個，分別記為b1，b2，b3，b4，從隨機抽取的6個服務網點中任取2個的可能情況有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15種，記“恰有1個網點是優(yōu)秀服務網點”為事件M，則事件M包含的可能情況有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8種，123456789101112131412