2024屆重慶高三年級(jí)下冊(cè)5月月考數(shù)學(xué)試卷含答案

2024屆重慶八中高三下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試卷+答案

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填

寫(xiě)清楚.

2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試題卷上作答無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)120分鐘.

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.如圖所示，U是全集，A,8是U的子集，則陰影部分所表示的集合是

A.Cu（AUB）B.AUCJJBC.。4口（。町D.（^A）U（^B）

2.已知函數(shù)①y=log“x,②③y=IogcX,④y=logd%的大致圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)

正確的是

A.b+d>a+cB.Z?+c>a+dC.b+d<a+cD.b+c<a+d

3.在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)（1+。2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A,復(fù)數(shù)3+4,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為8,復(fù)數(shù)-1+加，對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)為C,若施，歷，則根的值為

1133

A.—B.——C.—D.——

2222

4.設(shè)/，機(jī)是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，若/ua,a//p,則“加”是“相」乃”

的

充分不必要條件必要不充分條件

充要條件既不充分也不必要條件

22

5.已知橢圓C：彳+==1（。＞。＞0）的左焦點(diǎn)為凡若廠關(guān)于直線/：y=一6x對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在橢圓C上,

則橢圓的離心率為

D.W

A.V3-1B.273-3C.4-273

2

6.與曲線在某點(diǎn)處的切線垂直，且過(guò)該點(diǎn)的直線稱(chēng)為曲線在某點(diǎn)處的法線，則曲線y=/的法線的縱截距

的取值范圍為

（4g4#]（4君）

A.—GO,----U-----------B.—GO,------------U--------------,+00

9[9J19J

4734折4疔

C.D.

7

7.已知盤(pán)子A中有3顆糖，盤(pán)子B中有4顆糖,小琨每次隨機(jī)從其中一個(gè)盤(pán)子中選擇吃一顆糖，直到7顆

糖全部吃完為止，則盤(pán)子A中的糖先吃完的概率為

792143

A.—B.—C.—D.—

14163264

8.棱長(zhǎng)為3的正方體容器ABCQ-中，點(diǎn)E是棱A5上靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)，點(diǎn)方是棱8C上靠

近3的三等分點(diǎn)，在點(diǎn)E,F,G處各有1個(gè)小孔（孔的大小忽略不計(jì)），則該容器可裝水的最大體積為

274345

A.0B.—C.—D.—

1422

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

9.若正項(xiàng)無(wú)窮數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且%+%=1°,則

A.a2+4+%=15

3

B.當(dāng)q=Q時(shí)，｛《｝的前20項(xiàng)和為128

公差”的取值范圍是1o,9

C.

D.當(dāng)%4為整數(shù)時(shí)，％4的最大值為9

10.已知函數(shù)y=x+l（T的零點(diǎn)為七,y=x+lgx的零點(diǎn)為馬，則

A.+x2>0B.XjX2<0

C.10*+lg%2=0D.4X^2-+2X2<1

11.我們通常把圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱(chēng)為圓錐曲線.通過(guò)普通高中課程實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》2-1第

二章《圓錐曲線與方程》的章頭引言我們知道，用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截面與

圓錐側(cè)面的交線）是一個(gè)圓.實(shí)際上，設(shè)圓錐母線與軸所成角為不過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面與軸所成角為仇則

7777

當(dāng)。=—，截口曲線為圓，當(dāng)（一時(shí)，截口曲線為橢圓；當(dāng)0W6<a時(shí)，截口曲線為雙曲線；當(dāng)。=a

22

時(shí)，截口曲線為拋物線.則在長(zhǎng)方體中，AB=AD=2,4&=4,點(diǎn)尸在平面ABCD

內(nèi)，下列選項(xiàng)正確的是

A.若點(diǎn)P到直線CG的距離與點(diǎn)P到平面BB&C的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為直線

B.若點(diǎn)P到直線CG的距離與點(diǎn)尸到⑨的距離之和等于4,則點(diǎn)尸的軌跡為橢圓

C.若NBQP=45。,則點(diǎn)P的軌跡為拋物線

D.若/BRP=60。，則點(diǎn)尸的軌跡為雙曲線

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12.已知成對(duì)樣本數(shù)據(jù)（七,%），（x2,y2）,???,2）中不，x2,???,五不全相等，且所有樣本

3

點(diǎn)（x,.，x）（z=l,2,..?小都在直線y=--x+l±,則這組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)r=,其決定

系數(shù)史=.

13.已知直線/：（根+l）x+（l-根）y—2=0被動(dòng)圓C：（x—〃y+（y—2”『=9截得的弦長(zhǎng)為定值，則直

線/的方程為.

14.滿(mǎn)足sinA=cosB=tanC且互不相似的△ABC的個(gè)數(shù)為個(gè).

四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

15.（本小題滿(mǎn)分13分）

已知5只小白鼠中有1只患有某種疾病，需要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定患病的小白鼠.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的

即為患病，呈陰性即為未患病.下面是兩種化驗(yàn)方法：

方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病小白鼠為止.

方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn).若結(jié)果呈陽(yáng)性則表明患病的小白鼠為這3只中的1只，

然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn).

若隨機(jī)變量。，芻分別表示用方案甲、方案乙進(jìn)行檢測(cè)所需的檢測(cè)次數(shù).

（1）求。，4之能取到的最大值和其對(duì)應(yīng)的概率;

（2）為使檢測(cè)次數(shù)的期望最小，同學(xué)們應(yīng)該選取甲方案還是乙方案？并說(shuō)明理由.

16.（本小題滿(mǎn)分15分）

22

已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足q=1,an+i=^1+sinjan+coseN*.

（1）求出，為，%，并求證：+1=2（%,t+1）0"eN*）；

（2）求數(shù)列｛4｝的前2〃項(xiàng)和“,.

17.（本小題滿(mǎn)分15分）

如圖，在直三棱柱ABC—4與。］中，AB=AC=AAl=l,M為線段A片上一點(diǎn)，平面BCM交棱AG于

點(diǎn)N.

（1）求證：直線BM,CN,9共點(diǎn)；

（2）若點(diǎn)M為4耳中點(diǎn)，再?gòu)臈l件①和條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線BQ與平面BCM

所成角的正弦值.

條件①：三棱錐A-MBC體積為工；

條件②：三棱柱ABC-4百百的外接球半徑為：-.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.（本小題滿(mǎn)分17分）

22

已知M為雙曲線C：上-匕=1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作C的兩條漸近線的垂線，垂足分別為P,Q.

45

（1）求加?麗的值；

（2）設(shè)4，4分別為雙曲線c的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)（3,0）的直線/與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x

軸上方），R為直線4人，的交點(diǎn)，若點(diǎn)R的縱坐標(biāo)為:，求直線/的方程.

19.（本小題滿(mǎn)分17分）

已知函數(shù)/（%）=-x3+x2+b,g（x）=alnx.

1、3

⑴若/（X）在-彳,1上的最大值為％,求實(shí)數(shù)6的值;

2）8

（2）若對(duì)任意的xe[l,e]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），都有g(shù)（x"-d+（a+2.恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍；

⑶在（1）的條件下，設(shè)"X）]，!?”「對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)。，曲線y=F（x）上是否存在兩點(diǎn)P,

[g⑺,x?l

。，使得△POQ是以。（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形的斜邊的中點(diǎn)在y軸上？

請(qǐng)說(shuō)明理由.

數(shù)學(xué)參考答案

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的）

題號(hào)12345678

答案DACBAACD

【解析】

1.圖中陰影部分表示的集合為圖（4口3）=（14川（圖3），故選D.

2.由已知可得/?>a>l>d>。>0,則b+d>a+c,即選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；又〃+d與b+c的大

小不確定，即選項(xiàng)B、D無(wú)法判斷，故選A.

3.復(fù)數(shù)（l+，y=2i,即A（0,2）,復(fù)數(shù)3+由，即8（3,4）,故荏=質(zhì)一況=（3,2）,復(fù)數(shù)一1+/位對(duì)應(yīng)

—*/、—>—>3

的點(diǎn)為C,則0c=（—1,加），因?yàn)锳BLOC,所以一3+2〃?=0,解得加=5,故選C.

4.若加_L/,Iua,a//（3,則相與夕的位置關(guān)系不能確定；若m工0,因?yàn)閍〃尸，所以機(jī)_La,

又/ua,所以加」/成立，所以“〃?」/”是“m10”的必要不充分條件，故選B.

5.設(shè)廠關(guān)于直線/：y=-Gx對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為尸，右焦點(diǎn)為工，再設(shè)FP的中點(diǎn)為由于。也為廠鳥(niǎo)的中

點(diǎn)，故OM〃尸乙，故焦點(diǎn)中，NF』F=；,NP&F=鼻,故PF=2cs哈=瓜,

PF^=2ccos—=c,故PF+PF,=Me+c=2ane='—=V3—1,故選A.

'3'aV3+1

6.在曲線y=d上任取一點(diǎn)P?/3),對(duì)函數(shù)y=%3求導(dǎo)得y,=3%2,則y，M=3/,若曲線y=%3的縱

截距存在，則tw0,所以，曲線y—d在點(diǎn)尸處的法線方程為y—t3——，即y=——^-x+t3+—,

所以，曲線》=尤3在點(diǎn)尸處的法線的縱截距為r+_L,令〃力=三+工，其中xwo,則

廠(%)=27*D3，令/可得27%4—3＞。=%4＞工=%2＞J.,所以當(dāng)冗＜一把時(shí),

v79x2v7933

fr(x)>0,此時(shí)，函數(shù)/(%)單調(diào)遞增，---<x<0,0<%<丁時(shí)，fr(x)<0,此時(shí)，函數(shù)/(%)

J3

單調(diào)遞減,當(dāng)x>彳-時(shí)，/'⑴>0,此時(shí),函數(shù)/⑴單調(diào)遞增，/圾f(x)=—8,

lim/(x)7=-00,limf(x)7=+00lim/(x)=+℃,所以，

尤-0一、Z+CO、

4百乎,+/故選A.

—00,—u

997

flV3

7.記吃第"顆糖時(shí)盤(pán)子A中的糖先吃完為事件4,,貝P(A3)=P(4)=C；7

2816

、55

「(A)Y2，尸(A)=c；=—,故盤(pán)子A中的糖先吃完的概率

232

7a

〃=P(A)+P(4)+尸(A)+P(A)=||，故選c

8.正方體ABCD-4與GO的體積為33=27,

1.當(dāng)E,F,G處的小孔都在水平面時(shí)，如圖1,三棱臺(tái)A^Q-BEF的體積為

(913、131341

V=-x-+-+—x3—,所以容器所裝水的多面體AE尸C。4GA的體積V=27—5

3{222)1

2.當(dāng)只有1個(gè)小孔在水平面上方時(shí)，(1)當(dāng)E處的小孔在水平面上方時(shí)，如圖2；當(dāng)。處的小孔在水平面

上方時(shí)，如圖3；顯然這兩種情況，容器所裝水的體積比多面體AE尸CD41GA的體積小，不會(huì)最大;

（2）當(dāng)尸處的小孔在水平面上方時(shí)，設(shè)水面所在平面為，

3

①當(dāng)H在線段CF上時(shí)，如圖4,設(shè)BH=x,xe（l,3]）則4G=—,棱臺(tái)gQG—3HE的體積為

無(wú)

(\313、9x399x

V—X—x3+—xxxl+—x3,可得V=——+—+—之一，當(dāng)且僅當(dāng)一=—，即尤=3

-3(2x22J'」2x222lx2

945

時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)棱臺(tái)4GG-3HE的體積有最小值丫=一，該容器可裝水的體積為

22

IS4

②當(dāng)H在線段CD上時(shí)，如圖5,設(shè)CH=x,XG[0,1],A4的三等分點(diǎn)為K,可知：水平面EHGG

為平行四邊形，且四棱錐K—EHC]G與四棱錐C—EHGG的體積相同，可知：多面體E3CH31GG的

19

體積與三棱柱E3C-Kg。的體積相同，所以三棱柱仍C-K耳。的體積為]Xlx3x3=e，此時(shí)該容

4545

器可裝水的體積為二.綜上所述：該容器可裝水的最大體積為二，故選D.

22

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

題號(hào)91011

答案ACDBCDABD

【解析】

9.對(duì)于A,等差數(shù)列｛〃〃｝中，若%+%=10,則。8=((%+%)=5,故%+〃8+%4=34=15,A正

確;對(duì)于B,由于a8=5,q=』，則公差d=—―5=!，故｛。”｝的前20項(xiàng)和S2。=20%+"義19d=125,

28—122

B錯(cuò)誤；對(duì)于C,由A的結(jié)論，as=5,只需q=5—7d>0且d>0即可，則有0<d<^,即d的取值

范圍為C正確；對(duì)于D,由等差數(shù)列的性質(zhì)，出+%4=。7+。9=1°，若《4為整數(shù)，4必為整數(shù)，

又由數(shù)列｛4｝是正項(xiàng)遞增的等差數(shù)列，即囚>0,且％>%，必有。2?1，故即為最大值為9，

D正確，故選ACD.

10.：函數(shù)y=x+10”的零點(diǎn)為％],y=x+lgx的零點(diǎn)為々，

；?函數(shù)y=—無(wú)與函數(shù)y=10*圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為％,函數(shù)y=—無(wú)與函數(shù)y=1g無(wú)圖象的交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)為超，作函數(shù)》=—%、函數(shù)》=10"、函數(shù)y=lgx的圖象如圖6,，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為％,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)

為馬,

-1.5-1-0.5IM^l1.52

圖6

???函數(shù)y=l(T與函數(shù)y=lg尤的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，函數(shù)y=—x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，

...點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，又：點(diǎn)A、B在直線y=—x上，...點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

玉+%2=。，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；易知C2<0,故選項(xiàng)B正確；

?.?10司=一再，1gX2=-X2,X]+%=0,10國(guó)+但無(wú)2=0，即選項(xiàng)C正確；由零點(diǎn)存在定理易知

(1Y1>n111M

—/<X]<0,0<々<5，*,?—"2〈°，即無(wú)1無(wú)。一Q無(wú)1+耳尤2一]<0，

4無(wú)1%-2無(wú)1+2%<1,故選項(xiàng)D正確，故選BCD.

11.A：如圖7,尸到直線CC]的距離與尸到平面3片。1。的距離相等，又尸在平面ABCO內(nèi)，所以在平面

內(nèi)，P到C的距離與P到直線BC的距離相等，又CeBC,.?.尸在直線CD上，故P的軌跡為直線，故A

正確；B：尸到直線的距離與P到AA的距離之和等于4,同A知：平面內(nèi)，尸到C的距離與尸到A的

距離之和等于4>[4。=2四，.?.尸的軌跡為橢圓，故B正確;

圖7

C：如圖8,根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)知：5,與面A5CD所成角的平面角NDI5O=畿，，4BR尸=45。時(shí),

相當(dāng)于以3A為軸，軸截面的頂角為2。=90°的圓錐被面ABCD所截形成的曲線，而B(niǎo)R=2娓,

DR=4,則sina=J=sin45°,即45°<a<90°,故尸的軌跡為橢圓，故C錯(cuò)誤；D：同C

32

分析：/3。尸=60。時(shí)，相當(dāng)于以3R為軸，軸截面的頂角為2。=120。的圓錐被面ABC。所截形成的

V6V3

曲線,而sina——<——sin600,即0<。<60°,故P的軌跡為雙曲線，故D正確，故選ABD.

32

圖8

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

題號(hào)121314

答案-1；12x-y-l=01

【解析】

12.由題易知r=-1,R?=1.

13.Z：加（九一y）+無(wú)+>一2=0過(guò)定點(diǎn)（1,1）,c：—=9,圓心C（”,2”），半徑為廠=3,

注意到動(dòng)圓圓心C在定直線/'：y=2x上動(dòng)，半徑為定值，要使直線/被截得的弦長(zhǎng)為定值，則動(dòng)點(diǎn)C到

/的距離為定值，貝U故/的斜率也為2,故直線/的方程為2x—y—1=0.

14.方法一：在△ABC中，可得sinA>0.再由sinA=cosB=tan。，可得cos3=tanC〉0,所以

JT\JTTT

NB,/C均是銳角，若NA是銳角，由sinA=cos8=sin——B，可得NA=——ZB,ZA+ZB^-,

(2J22

ZC=f與NC是銳角矛盾，由sinA=cos5,可得NA不是直角，所以NA是鈍角.由

71

cosB=sinA=cosA----,可得NB=/A----------ZA=-+ZB,于是

2

/、/、sin----2B

7i(7r\(nI2Jcos2Bl-2sin92B

ZC=——2Z.B0<Z5<—.因止匕cos3=tan——2B=——；----與=-----=---------

2(4J<2)(71jsin2B2sinBcosB

v7''cos----InBD

(2)

.1(7T\

2sinB(^1-sin2=1-2sin2BsinB-sin9B-sin5+—=00<ZB<—.設(shè)sin3=x,可得

2I4；

I（i\

0<x<--j=,題意即問(wèn)關(guān)于X的方程xi-x2-x+-=00<x（丁的實(shí)根個(gè)數(shù).設(shè)

V22IV2J

ooj.

〃x)=x—x—x-\—=00<x<--j=可得

2IA/27

、

/(X)=3X2-2X-1=(X-1)(3X+1)<00<X<J_/（無(wú)）為減函數(shù).又因?yàn)?（o）=g>o,

五‘

于=-2也<0,所以關(guān)于x的方程無(wú)3—無(wú)之一無(wú)+萬(wàn)0Q<x<的實(shí)根個(gè)數(shù)是1,因此答案

是1個(gè).

TTTT71

方法二：根據(jù)題意，有NA=—+N5,于是/C=——2NB.因此cos5=tan——2B.考慮函數(shù)

22^2)

2

/(x)=cosx-cot2x,x&,其導(dǎo)函數(shù)f\x）=—--sin尤>0,因此函數(shù)/（X）單調(diào)遞增.又

sinn

理〃上-00,㈣〃尤）=干>0,于是函數(shù)〃尤）在0,y上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，所以只有一組解

X->—7

4

（A,5C）符合題意.

四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

15.（本小題滿(mǎn)分13分）

T2

解：（1）用方案甲，最多檢測(cè)4次，即前3次檢測(cè)均未檢測(cè)出患病，則。的最大值為4,。（《=4）=才=￡.

A5

用方案乙，最多檢測(cè)3次，即混檢時(shí)，檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，繼續(xù)逐個(gè)檢測(cè)時(shí)，第一次未驗(yàn)中，無(wú)論第二次是否

驗(yàn)中，均可得出結(jié)果，

C2.C1C12

41

則與的最大值為3,尸（多=3）=3-=

（2）?？扇?,2,3,4,

1A11A219

尸/=1)=丁*=2)=苛=二,尸(*3)=%=不*=4)=『

￡(0),xl+Lx2+Jx3+2x4=￥

'"55555

多可取2,3,

若乙驗(yàn)兩次時(shí)，有兩種可能:

C2C'11

①三只小白鼠混檢時(shí)結(jié)果為陽(yáng)性，再?gòu)闹兄饌€(gè)驗(yàn)時(shí)，恰好一次驗(yàn)中概率為：《J乂不二一

Q45

C32

②三只小白鼠混檢時(shí)結(jié)果為陰性，再?gòu)钠渌麅芍恍“资笾序?yàn)陽(yáng)性的概率為：U==，（無(wú)論第二次是否驗(yàn)

Q5

中，均可以在第二次結(jié)束）

???…小那

??.￡依)』2+2X3』,

555

因此，同學(xué)們應(yīng)該選擇乙方案.

16.（本小題滿(mǎn)分15分）

解：⑴％=0+1)%+0=2，%=(1+0)。2+1=3,%=(1+1)%+0=6，

,.22mC22m兀

證明：?2m+l1+sin-----+cos--a-2-m-+1,

I2J2

2（2加一1）〃

—(2…”%+cos2a2m-l，

22

7

即a2m+l~a2m+1，tt2m=2a2m.I，則fl2m+l=^a2m-l+L

故“2皿+1+1=2（%*1+1）-

（2）由（1）可得：。2刈+1+1=2（。2"-1+1）且％+1=2/0，

所以數(shù)列｛。2.1+1｝是公比為2的等比數(shù)列，

故+1=（《+1）2加1，解得：a2m-l=2?-1,出加=2a2（?T=2"”一2,

n+\

2方-1,〃為奇數(shù)

故見(jiàn)=，“

2--2,〃為偶數(shù)

a

所以S2n=（fl,+tZ3H---F2n-\）+（%+04---的”）

=Qi+2?+…+2”—〃）+Q2+23+…+2"+i—2"）

2（1-2"）4（1-2"）

=△-------n+△--------—2〃=3?2,!+1-3n-6.

1-21-2

17.（本小題滿(mǎn)分15分）

（1）證明：如圖，由平面ABC〃A4G，平面BCWn平面ABC=BC,

平面BCMn平面4與。］=MN,

故MN〃BC〃BG，且MNwBC,

所以直線與直線NC相交，

記BMCNC=P,則PeBMu平面AB1,

同理PeNCu平面AG，

所以尸在平面AG與平面A4的交線上，即PeA4,.

（2）解：若選擇條件①，則有

V=V=-|AA|-S,?=-xlx—xlxlxsinZBAC=—sinABAC=—=>sinABAC-1,即

AA—MRDLr.M—AADRCrQI1|AAoCrQ。（

ZBAC=90°；

若選條件②，記△ABC的外接圓半徑為r,三棱柱ABC-4月。的外接球半徑R，則有

1QB

R=r~—IAAjI=—=>r=----,記△ABC外接圓心為O,

41142

Ji

則有A0=80=C0=且有4。2+5。2=432,

2

故NA4O=NC4O=45。,

故/BAC=90。；

以A為原點(diǎn)，A3的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-8C4,

1、

則5（1,0,0）,。（0,1,0）,知-,0,l,^（0,0,1）,CBj=（1,-1,1）,^=（-1,1,0）,W=-^-,0,1,

2727

記平面BCM的法向量為n=（x,y,z）,

-%+y=0

n-BC=0

則有《__

——x+z=0'

h-BM=0I2

取元=（2,2,1）,記直線5c與平面所成角為a,

2-2+1

則有sina=cos（亢,CB]

73x74+4+1-9-

18.（本小題滿(mǎn)分17分）

解：（1）設(shè)漸近線）=3％的傾斜角為仇則tan9=飛-,

,11

9-

cosZPOQ=cos20=cos0-sin-0=--,cosZMXOM2=

故cosZPMQ=cos（?-/POQ）=-cosZM,OM^=—

129

設(shè)M（無(wú)（）,%）n5龍;一4y；=20,

20

MPMQ=

339818?

⑵設(shè)/：x=my+3,A（XQJ,B（x2,y2）,

x=my+3

聯(lián)立：爐V_,化簡(jiǎn)得：（5加2一4）/+3。加》+25=0,

[45

-30m25

%

直線A4：y（尤+2）,直線即：y（尤-2）,

%]+2龍2—2

聯(lián)立消去y得:

x=_2,2）+為（％+2）=_2.」（加%+1）+乃（"5+5）=_2,2的i%+X+5%

%（%—2）—%（石+2）%（9％+1）—%（9%+5）X—5%

又.?』％=』5（/%+%、），

一：（％+%）+%+5%4

...x=_2.2,肛為+X+5%=_2.

""X-5%"X—5%3

、5

（45