2025年中考數(shù)學(xué)專題67 反比例函數(shù)背景下的全等、相似問題（原卷版）

例題精講例題精講考點(diǎn)1反比例函數(shù)與全等三角形綜合問題【例1】．如圖，把一個(gè)等腰直角三角形放在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB＝90°，點(diǎn)C（﹣1，0），點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且y軸平分∠BAC，則k的值是________變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，∠BAC＝30°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），將△ABC沿直線AC翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為（）A． B．﹣2 C．4 D．﹣4【變1-2】．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交圖象的另一支于點(diǎn)B．在點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，若存在點(diǎn)C（m，n），使得AC⊥BC，AC＝BC，則m，n滿足_______(填等量關(guān)系）考點(diǎn)2反比例函數(shù)與相似三角形綜合問題【例2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBD的邊OB與x軸的正半軸重合，AD∥OB，DB⊥x軸，對(duì)角線AB，OD交于點(diǎn)M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面積為4．若反比例函數(shù)y＝的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)M，則k的值為（）A． B． C． D．12變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝上，第二象限的點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝上，且OA⊥OB，＝，則k的值為（）A． B．﹣ C．﹣ D．﹣3【變2-2】．如圖，Rt△ABC的直角邊BC在x軸正半軸上，斜邊AC邊上的中線BD反向延長(zhǎng)線交y軸負(fù)半軸于E，雙曲線的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，若S△BEC＝8，則k等于（）A．8 B．16 C．24 D．28【變2-3】．如圖，在等腰△AOB中，AO＝AB，頂點(diǎn)A為反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，過點(diǎn)B作BC⊥OB，交反比例函數(shù)y＝的圖象上于點(diǎn)C，連接OC交AB于點(diǎn)D，若△BCD的面積為2，則k的值為（）A．18 B．20 C．22 D．211．如圖，AB⊥x軸，B為垂足，雙曲線y＝（x＞0）與△AOB的兩條邊OA，AB分別相交于C，D兩點(diǎn)，OC＝CA，且△ABC的面積為3，則k等于（）A．4 B．2 C．3 D．12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，點(diǎn)B，C在x軸上，OC＝OB，延長(zhǎng)AC交y軸于點(diǎn)D，連接BD，若△BCD的面積等于1，則k的值為（）A．3 B．2 C． D．43．如圖所示，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，頂點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y＝（x＞0）與y＝﹣（x＜0）的圖象上，則tan∠BAO的值為（）A． B． C． D．4．如圖，函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象經(jīng)過Rt△ABO斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB相交于C，連接AD．若AD＝3，則△ABO的周長(zhǎng)為（）A．12 B．6+ C．6+2 D．6+25．如圖，長(zhǎng)方形ABCD的頂點(diǎn)A、B均在y軸的正半軸上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，對(duì)角線DB的延長(zhǎng)線交x軸于點(diǎn)E，連接AE，已知S△ABE＝1，則k的值是（）A．1 B． C．2 D．46．如圖，直線y＝x+2與反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限交于點(diǎn)P，若OP＝，則k的值為．7．已知一次函數(shù)y＝2x+4的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若這個(gè)一次函數(shù)的圖象與一個(gè)反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點(diǎn)C，且AB＝2BC，則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為．8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，且點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，C為AB的中點(diǎn)，若AB＝4，則線段OC的長(zhǎng)為．9．如圖，△OMN是邊長(zhǎng)為10的等邊三角形，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與邊MN、OM分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)B不與點(diǎn)M重合）．若AB⊥OM于點(diǎn)B，則k的值為．10．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝圖象上，且y軸平分∠ACB，求k＝．11．如圖，矩形OABC的兩邊落在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限的分支過AB的中點(diǎn)D交OB于點(diǎn)E，連接EC，若△OEC的面積為12，則k＝．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠OAB＝60°，∠AOB＝90°，反比例函數(shù)y1＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，反比例函數(shù)y2＝﹣的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則m的值為．13．如圖，線段OA與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)B，且AB＝2OB，點(diǎn)C也在函數(shù)y＝（x＞0）圖象上，連結(jié)AC并延長(zhǎng)AC交x軸正半軸于點(diǎn)D，且AC＝3CD，連結(jié)BC，若△BCD的面積為3，則k的值為．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，過點(diǎn)A作x軸的垂線，與函數(shù)y＝﹣（x＞0）的圖象交于點(diǎn)C，連接BC交x軸于點(diǎn)D．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，BC＝3BD，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為．15．如圖，在△ABC中，邊AB在x軸上，邊AC交y軸于點(diǎn)E．反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)C，與邊BC交于點(diǎn)D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，則k＝．16．如圖，A為反比例函數(shù)（其中x＞0）圖象上的一點(diǎn)，在x軸正半軸上有一點(diǎn)B，OB＝4．連接OA，AB，且OA＝AB＝2．過點(diǎn)B作BC⊥OB，交反比例函數(shù)（其中x＞0）的圖象于點(diǎn)C，連接OC交AB于點(diǎn)D，則的值為．17．如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線相交于坐標(biāo)原點(diǎn)O，四個(gè)頂點(diǎn)分別在雙曲線y＝和y＝（k＜0）上，＝，平行于x軸的直線與兩雙曲線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OE，OF，則△OEF的面積為．18．如圖，已知直線l：y＝﹣x+4分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，雙曲線（k＞0，x＞0）與直線l不相交，E為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，EF⊥y軸于點(diǎn)F，分別與直線l交于點(diǎn)C，D，且∠COD＝45°，則k＝．19．如圖，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)C在y軸正半軸上，CD平行于x軸，直線AC交x軸于點(diǎn)E，BC⊥AC，連接BE，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，已知S△BCE＝2，則k的值是．20．如圖，A為反比例函數(shù)y＝（其中x＞0）圖象上的一點(diǎn)，在x軸正半軸上有一點(diǎn)B，OB＝4．連接OA，AB，且OA＝AB．過點(diǎn)B作BC⊥OB，交反比例函數(shù)y＝（其中x＞0）的圖象于點(diǎn)C，連接OC交AB于點(diǎn)D，則的值為．21．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)第一象限內(nèi)圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)第三象限內(nèi)圖象上，AC⊥y軸于點(diǎn)C，BD⊥y軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，若BO＝CE，則k的值為．22．如圖，菱形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，對(duì)角線AC、BD交于原點(diǎn)O，AE⊥BC于E點(diǎn)，交BD于M點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段DC的中點(diǎn)N，若BD＝4，則ME的長(zhǎng)為．23．如圖，平面坐標(biāo)系中，AB交矩形ONCM于E、F，若＝（m＞1），且雙曲線y＝也過E、F兩點(diǎn)，記S△CEF＝S1，S△OEF＝S2，用含m的代數(shù)式表示．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P、Q在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，PA、QB分別垂直x軸于點(diǎn)A、B，PC、QD分別垂直y軸于點(diǎn)C、D．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為n，△PCD的面積為S1，△QAB的面積為S2．（1）當(dāng)m＝2，n＝3時(shí)，求S1、S2的值；（2）當(dāng)△PCD與△QAB全等時(shí)，若m＝3，直接寫出n的值．25．如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足k1x+b＞的x的取值范圍；（3）若點(diǎn)P在線段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．26．如圖，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝5，分別以O(shè)A、OC所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，D是邊CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與C、B重合），反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)D且與邊BA交于點(diǎn)E，連接DE．（1）連接OE，若△EOA的面積為2，則k＝；（2）連接CA、DE與CA是否平行？請(qǐng)說明理由；（3）是否存在點(diǎn)D，使得點(diǎn)B關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)在OC上？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．27．如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)E（2，1）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的兩點(diǎn)，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，分別過點(diǎn)A、B作y較的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、D，AC＝BD，連接AB交y軸于點(diǎn)F．（1）求k；（2）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為m，求證：am＝﹣2．（3）連接CE、DE，當(dāng)∠CED＝90°時(shí)，求A的坐標(biāo)．28．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO，AO的延長(zhǎng)線交反比