河南省南陽(yáng)、信陽(yáng)等六市高三第五次模擬考試新高考數(shù)學(xué)試卷及答案解析_第1頁(yè)
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河南省南陽(yáng)、信陽(yáng)等六市高三第五次模擬考試新高考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,,若,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.42.很多關(guān)于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂,吸引了大量的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者,有些猜想已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明,如“費(fèi)馬大定理”,但大多猜想還未被證明,如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內(nèi)容是:對(duì)于每一個(gè)正整數(shù),如果它是奇數(shù),則將它乘以再加1;如果它是偶數(shù),則將它除以;如此循環(huán),最終都能夠得到.下圖為研究“角谷猜想”的一個(gè)程序框圖.若輸入的值為,則輸出i的值為()A. B. C. D.3.如圖所示的程序框圖輸出的是126,則①應(yīng)為()A. B. C. D.4.已知函數(shù),則()A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱 D.函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱5.已知在平面直角坐標(biāo)系中,圓:與圓:交于,兩點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為()A.1 B.2 C.-1 D.-26.一個(gè)四面體所有棱長(zhǎng)都是4,四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球上,則球的表面積為()A. B. C. D.7.在三角形中,,,求()A. B. C. D.8.下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)何種變換可以得到的圖象()A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位9.在正方體中,,分別為,的中點(diǎn),則異面直線,所成角的余弦值為()A. B. C. D.10.若集合,則=()A. B. C. D.11.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積等于()cm3A. B. C. D.12.如圖,在矩形中的曲線分別是,的一部分,,,在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),若此點(diǎn)取自陰影部分的概率為,取自非陰影部分的概率為,則()A. B. C. D.大小關(guān)系不能確定二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)若關(guān)于的不等式的解集為,則實(shí)數(shù)的所有可能值之和為_(kāi)______.14.在回歸分析的問(wèn)題中,我們可以通過(guò)對(duì)數(shù)變換把非線性回歸方程,()轉(zhuǎn)化為線性回歸方程,即兩邊取對(duì)數(shù),令,得到.受其啟發(fā),可求得函數(shù)()的值域是_________.15.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足,則點(diǎn)表示的區(qū)域面積為_(kāi)_____.16.從2、3、5、7、11、13這六個(gè)質(zhì)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù),這兩個(gè)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是________(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知等差數(shù)列中,,數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)求;(2)若,求的前項(xiàng)和.18.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)已知是的一個(gè)極值點(diǎn),求曲線在處的切線方程(Ⅱ)討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù).19.(12分)已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:.20.(12分)已知函數(shù)(1)已知直線:,:.若直線與關(guān)于對(duì)稱,又函數(shù)在處的切線與垂直,求實(shí)數(shù)的值;(2)若函數(shù),則當(dāng),時(shí),求證:①;②.21.(12分)已知橢圓的短軸長(zhǎng)為,左右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的任一點(diǎn),且當(dāng)時(shí),.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若橢圓上點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,過(guò)點(diǎn)作垂直于軸,垂足為,連接并延長(zhǎng)交于另一點(diǎn),交軸于點(diǎn).(?。┣竺娣e最大值;(ⅱ)證明:直線與斜率之積為定值.22.(10分)在銳角三角形中,角的對(duì)邊分別為.已知成等差數(shù)列,成等比數(shù)列.(1)求的值;(2)若的面積為求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

解出,分別代入選項(xiàng)中的值進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】解:,.當(dāng)時(shí),,此時(shí)不成立.當(dāng)時(shí),,此時(shí)成立,符合題意.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法,考查了集合的關(guān)系.2、B【解析】

根據(jù)程序框圖列舉出程序的每一步,即可得出輸出結(jié)果.【詳解】輸入,不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)不成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;成立,跳出循環(huán),輸出i的值為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】試題分析:分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并輸出滿足循環(huán)的條件.解:分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并輸出滿足循環(huán)的條件.∵S=2+22+…+21=121,故①中應(yīng)填n≤1.故選B點(diǎn)評(píng):算法是新課程中的新增加的內(nèi)容,也必然是新高考中的一個(gè)熱點(diǎn),應(yīng)高度重視.程序填空也是重要的考試題型,這種題考試的重點(diǎn)有:①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出.其中前兩點(diǎn)考試的概率更大.此種題型的易忽略點(diǎn)是:不能準(zhǔn)確理解流程圖的含義而導(dǎo)致錯(cuò)誤.4、C【解析】

依題意可得,即函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱,再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),即可判斷函數(shù)的單調(diào)性;【詳解】解:由,,所以函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱,又,在上不單調(diào).故正確的只有C,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性的判定,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

由可得,O在AB的中垂線上,結(jié)合圓的性質(zhì)可知O在兩個(gè)圓心的連線上,從而可求.【詳解】因?yàn)椋設(shè)在AB的中垂線上,即O在兩個(gè)圓心的連線上,,,三點(diǎn)共線,所以,得,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的性質(zhì)應(yīng)用,幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化是求解的捷徑.6、A【解析】

將正四面體補(bǔ)成正方體,通過(guò)正方體的對(duì)角線與球的半徑關(guān)系,求解即可.【詳解】解:如圖,將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體,正四面體的外接球與正方體的外接球相同,∵四面體所有棱長(zhǎng)都是4,∴正方體的棱長(zhǎng)為,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體外接球問(wèn)題,解決本題的關(guān)鍵在于,巧妙構(gòu)造正方體,利用正方體的外接球的直徑為正方體的對(duì)角線,從而將問(wèn)題巧妙轉(zhuǎn)化,屬于中檔題.7、A【解析】

利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合余弦定理可求得角的值,再利用正弦定理可求得的值.【詳解】,由正弦定理得,整理得,由余弦定理得,,.由正弦定理得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理求值,涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.8、D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個(gè)解析式為,再根據(jù)平移法則得到答案.【詳解】設(shè)函數(shù)解析式為,根據(jù)圖像:,,故,即,,,取,得到,函數(shù)向右平移個(gè)單位得到.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式,三角函數(shù)平移,意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.9、D【解析】

連接,,因?yàn)?,所以為異面直線與所成的角(或補(bǔ)角),不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,取的中點(diǎn)為,連接,在等腰中,求出,在利用二倍角公式,求出,即可得出答案.【詳解】連接,,因?yàn)椋詾楫惷嬷本€與所成的角(或補(bǔ)角),不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則,,在等腰中,取的中點(diǎn)為,連接,則,,所以,即:,所以異面直線,所成角的余弦值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值,利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式,還考查空間思維和計(jì)算能力.10、C【解析】

求出集合,然后與集合取交集即可.【詳解】由題意,,,則,故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】解:根據(jù)幾何體的三視圖知,該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體,結(jié)合圖中數(shù)據(jù),計(jì)算它的體積為:V=V三棱柱+V半圓柱=×2×2×1+?π?12×1=(6+1.5π)cm1.故答案為6+1.5π.點(diǎn)睛:根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體,結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計(jì)算它的體積即可.12、B【解析】

先用定積分求得陰影部分一半的面積,再根據(jù)幾何概型概率公式可求得.【詳解】根據(jù)題意,陰影部分的面積的一半為:,于是此點(diǎn)取自陰影部分的概率為.又,故.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型,定積分的計(jì)算以及幾何意義,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由分段函數(shù)可得不滿足題意;時(shí),,可得,即有,解方程可得,4,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象即可得到所求和.【詳解】解:由函數(shù),可得的增區(qū)間為,,時(shí),,,時(shí),,當(dāng)關(guān)于的不等式的解集為,,可得不成立,時(shí),時(shí),不成立;,即為,可得,即有,顯然,4成立;由和的圖象可得在僅有兩個(gè)交點(diǎn).綜上可得的所有值的和為1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查不等式的解法,注意運(yùn)用分類(lèi)討論思想方法,考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力,屬于中檔題.14、【解析】

轉(zhuǎn)化()為,即得解.【詳解】由題意:().故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查類(lèi)比法求函數(shù)的值域,考查了學(xué)生邏輯推理,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.15、【解析】

先畫(huà)出滿足條件的平面區(qū)域,求出交點(diǎn)坐標(biāo),利用定積分即可求解.【詳解】畫(huà)出實(shí)數(shù)x,y滿足表示的平面區(qū)域,如圖(陰影部分):則陰影部分的面積,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了定積分求曲邊梯形的面積,考查了微積分基本定理,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

依據(jù)古典概型的計(jì)算公式,分別求“任取兩個(gè)數(shù)”和“任取兩個(gè)數(shù),和是質(zhì)數(shù)”的事件數(shù),計(jì)算即可。【詳解】“任取兩個(gè)數(shù)”的事件數(shù)為,“任取兩個(gè)數(shù),和是質(zhì)數(shù)”的事件有(2,3),(2,5),(2,11)共3個(gè),所以任取兩個(gè)數(shù),這兩個(gè)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是?!军c(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率求法。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1),;(2).【解析】

(1)由條件得出方程組,可求得的通項(xiàng),當(dāng)時(shí),,可得,當(dāng)時(shí),,得出是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,可求得的通項(xiàng);(2)由(1)可知,,分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)分別求得.【詳解】(1)由條件知,,,當(dāng)時(shí),,即,當(dāng)時(shí),,是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,;(2)由(1)可知,,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),綜上,【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)的求得,以及其前n項(xiàng)和,注意分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況分別求得其數(shù)列的和,屬于中檔題.18、(Ⅰ);(Ⅱ)見(jiàn)解析【解析】

(Ⅰ)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用x=2是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),得f'(2)=0建立方程求出a的值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可;(Ⅱ)利用參數(shù)法分離法得到,構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)?,則,因?yàn)槭堑囊粋€(gè)極值點(diǎn),所以,即,所以,因?yàn)?,,則直線方程為,即;(Ⅱ)因?yàn)?,所以,所以,設(shè),則,所以在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),故,所以,所以,設(shè),則,所以在上是減函數(shù),上是增函數(shù),所以,所以當(dāng)時(shí),,函數(shù)在是減函數(shù),當(dāng)時(shí),,函數(shù)在是增函數(shù),因?yàn)闀r(shí),,,,所以當(dāng)時(shí),方程無(wú)實(shí)數(shù)根,當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根,當(dāng)或時(shí),方程有1個(gè)實(shí)根.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)中由極值點(diǎn)求參,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,還考查了利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題,屬于難題.19、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1),①當(dāng)時(shí),,②兩式相減即得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)先求出,再利用裂項(xiàng)相消法求和證明.【詳解】(1)解:,①當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),,②由①-②,得,因?yàn)榉仙鲜?,所以.?)證明:因?yàn)?,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求法,考查數(shù)列求和,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.20、(1)(2)①證明見(jiàn)解析②證明見(jiàn)解析【解析】

(1)首先根據(jù)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的求法,求得的方程及其斜率.根據(jù)函數(shù)在處的切線與垂直列方程,解方程求得的值.(2)①構(gòu)造函數(shù),利用的導(dǎo)函數(shù)證得當(dāng)時(shí),,由此證得.②由①知成立,整理得成立.利用構(gòu)造函數(shù)法證得,由此得到,即,化簡(jiǎn)后得到.【詳解】(1)由解得必過(guò)與的交點(diǎn).在上取點(diǎn),易得點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為,即為直線,所以的方程為,即,其斜率為.又因?yàn)?,所以,,由題意,解得.(2)因?yàn)?,所?①令,則,則,且,,時(shí),,單調(diào)遞減;時(shí),,單調(diào)遞增.因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以存在,使時(shí),,單調(diào)遞增;時(shí),,單調(diào)遞減;時(shí),,單調(diào)遞增.又,所以時(shí),,即,所以,即成立.②由①知成立,即有成立.令,即.所以時(shí),,單調(diào)遞增;時(shí),,單調(diào)遞減,所以,即,因?yàn)?,所以,所以時(shí),,即時(shí),.【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)圖象的對(duì)稱性,利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等基礎(chǔ)知識(shí);考查學(xué)生分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力,推理與運(yùn)算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸思想,數(shù)形結(jié)合思想和應(yīng)用意識(shí).21、(1);(2)(?。?;(ⅱ)證明見(jiàn)解析.【解析】

(1)由,解方程組即可得到答案;(2)(?。┰O(shè),,則,,易得,注意到,利用基本不等式得到的最大值即可得到答案;(ⅱ)設(shè)直線斜率為,直

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