2025屆山西省太原市第四十八中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆山西省太原市第四十八中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．等比數(shù)列{an}中，a3=12A．3×10-5C．128 D．3×2-52．某學(xué)校高一、高二年級(jí)共有1800人，現(xiàn)按照分層抽樣的方法，抽取90人作為樣本進(jìn)行某項(xiàng)調(diào)查.若樣本中高一年級(jí)學(xué)生有42人，則該校高一年級(jí)學(xué)生共有（）A．420人 B．480人 C．840人 D．960人3．設(shè)，則有()A． B． C． D．4．已知數(shù)列{an}滿足a1=2A．2 B．-3 C．-125．已知向量，滿足，，且在方向上的投影是－1，則實(shí)數(shù)（）A．1 B．－1 C．2 D．－26．下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（）A．出租車車費(fèi)與出租車行駛的里程B．商品房銷售總價(jià)與商品房建筑面積C．鐵塊的體積與鐵塊的質(zhì)量D．人的身高與體重7．如圖，這是某校高一年級(jí)一名學(xué)生七次月考數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分100分）的莖葉圖去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是()A．87,9.6 B．85,9.6 C．87,5,6 D．85,5.68．某單位職工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，為了了解職工的建康狀況，用分層抽樣的方法從中抽取10人進(jìn)行體檢，則應(yīng)抽查的老年人的人數(shù)為（）A．3 B．5 C．2 D．19．函數(shù)的最小正周期為，則的圖象的一條對(duì)稱軸方程是（）A． B． C． D．10．若，，且，則與的夾角是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則其通項(xiàng)公式__________．12．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗(yàn)證成立時(shí)，等號(hào)左邊的式子是______.13．已知數(shù)列滿足，若對(duì)任意都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.14．對(duì)于下列數(shù)排成的數(shù)陣：它的第10行所有數(shù)的和為________15．方程的解集是______.16．已知向量，，且，點(diǎn)在圓上，則等于．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，，，求.18．已知圓（1）求圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為8，求直線的方程；（3）當(dāng)取何值時(shí)，直線與圓相交的弦長(zhǎng)最短，并求出最短弦長(zhǎng)．19．已知向量,的夾角為,且,.(1)求；(2)求.20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，求的取值范圍.21．已知，.（1）計(jì)算及、；（2）設(shè)，，，若，試求此時(shí)和滿足的函數(shù)關(guān)系式，并求的最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到公比，進(jìn)而得到通項(xiàng).【詳解】設(shè)公比為q，則12q+12q=30，∴∴q=2或q=12，∴a10即3×29或故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.2、C【解析】

先由樣本容量和總體容量確定抽樣比，用高一年級(jí)抽取的人數(shù)除以抽樣比即可求出結(jié)果.【詳解】由題意需要從1800人中抽取90人，所以抽樣比為，又樣本中高一年級(jí)學(xué)生有42人，所以該校高一年級(jí)學(xué)生共有人.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣，先確定抽樣比，即可確定每層的個(gè)體數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.3、A【解析】

根據(jù)題意，利用輔助角公式得，對(duì)于，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式對(duì)進(jìn)行處理，即可得到；對(duì)于，利用二倍角公式對(duì)變形處理可以得到，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】由題意得因?yàn)檎液瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以,選A.【點(diǎn)睛】本題是一道關(guān)于三角函數(shù)值大小比較的題目，解答本題的關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)公式；二倍角公式、輔助角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等．屬于中等題．4、D【解析】

先通過列舉找到數(shù)列的周期，再利用數(shù)列的周期求值.【詳解】由題得a2所以數(shù)列的周期為4，所以a2020故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推數(shù)列和數(shù)列的周期，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

由投影的定義計(jì)算．【詳解】由題意，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的幾何意義，掌握向量投影的定義是解題關(guān)鍵．6、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的概念來進(jìn)行判斷。【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，出租車車費(fèi)實(shí)行分段收費(fèi)，與出租車行駛里程成分段函數(shù)關(guān)系；對(duì)于B選項(xiàng)，商品房的銷售總價(jià)等于商品房單位面積售價(jià)乘以商品房建筑面積，商品房銷售總價(jià)與商品房建筑面積之間是一次函數(shù)關(guān)系；對(duì)于C選項(xiàng)，鐵塊的質(zhì)量等于鐵塊的密度乘以鐵塊的體積，鐵塊的體積與鐵塊的質(zhì)量是一次函數(shù)關(guān)系；對(duì)于D選項(xiàng)，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高與體重之間沒有必然聯(lián)系，因人而異，D選項(xiàng)中兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系。故選：D。【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)概念的理解，充分理解兩個(gè)變量之間是“一對(duì)一”或“多對(duì)一”的形式，考查學(xué)生對(duì)這些概念的理解，屬于基礎(chǔ)題。7、D【解析】

去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)為82，84，84，86，89，由此能求出所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差．【詳解】平均數(shù)，方差，選D.【點(diǎn)睛】本題考查所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的求法，考查莖葉圖、平均數(shù)、方差的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．8、A【解析】

先由題意確定抽樣比，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由題意該單位共有職工人，用分層抽樣的方法從中抽取10人進(jìn)行體檢，抽樣比為，所以應(yīng)抽查的老年人的人數(shù)為.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣，會(huì)由題意求抽樣比即可，屬于基礎(chǔ)題型.9、B【解析】

根據(jù)最小正周期為求解與解析式,再求解的對(duì)稱軸判斷即可.【詳解】因?yàn)樽钚≌芷跒?故.故,對(duì)稱軸方程為,解得.當(dāng)時(shí),.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)最小正周期的應(yīng)用以及對(duì)稱軸的計(jì)算.屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

根據(jù)相互垂直的向量數(shù)量積為零，求出與的夾角.【詳解】由題有，即，故，因?yàn)?，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量夾角的求解，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】分析：先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得當(dāng)時(shí)，，再檢驗(yàn)，時(shí)，不滿足上述式子，所以結(jié)果用分段函數(shù)表示.詳解：∵已知數(shù)列的前項(xiàng)和，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，不滿足上述式子，故數(shù)列的通項(xiàng)公式．點(diǎn)睛：給出與的遞推關(guān)系求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求.應(yīng)用關(guān)系式時(shí)，一定要注意分兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起.12、【解析】

根據(jù)左邊的式子是從開始，結(jié)束，且指數(shù)依次增加1求解即可.【詳解】因?yàn)樽筮叺氖阶邮菑拈_始，結(jié)束，且指數(shù)依次增加1所以，左邊的式子為，故答案為.【點(diǎn)睛】項(xiàng)數(shù)的變化規(guī)律，是利用數(shù)學(xué)歸納法解答問題的基礎(chǔ)，也是易錯(cuò)點(diǎn)，要使問題順利得到解決，關(guān)鍵是注意兩點(diǎn)：一是首尾兩項(xiàng)的變化規(guī)律；二是相鄰兩項(xiàng)之間的變化規(guī)律.13、【解析】

由題若對(duì)于任意的都有，可得解出即可得出．【詳解】∵，若對(duì)任意都有，

∴．

∴，

解得．

故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列與函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．14、【解析】

由題意得第10行的第一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值為，第10行的最后一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值為，再根據(jù)奇數(shù)為負(fù)數(shù)，偶數(shù)為正數(shù)，得到第10行的各個(gè)數(shù)，由此能求出第10行所有數(shù)的和．【詳解】第1行1個(gè)數(shù)，第2行2個(gè)數(shù)，則第9行9個(gè)數(shù)，故第10行的第一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值為，第10行的最后一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值為，且奇數(shù)為負(fù)數(shù)，偶數(shù)為正數(shù)，故第10行所有數(shù)的和為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題以數(shù)陣為背景，觀察數(shù)列中項(xiàng)的特點(diǎn)，求數(shù)列通項(xiàng)和前項(xiàng)和，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)要注意等差數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用．15、或【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可【詳解】，如圖所示：則故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)值求解對(duì)應(yīng)自變量取值范圍，結(jié)合圖形求解能夠避免錯(cuò)解，屬于基礎(chǔ)題16、【解析】試題分析：因?yàn)榍以趫A上，所以，解得，所以．考點(diǎn)：向量運(yùn)算．【思路點(diǎn)晴】平面向量的數(shù)量積計(jì)算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡(jiǎn)的妙用．利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問題、線段長(zhǎng)問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決．列出方程組求解未知數(shù)．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、11【解析】

根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合三角數(shù)的基本關(guān)系式，分別求得，和，再利用兩角和的正切的公式，進(jìn)行化簡(jiǎn)、運(yùn)算，即可求解.【詳解】由，由，可得又由，所以，由，得，可得，所以，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差的正切函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值問題，其中解答中熟記兩角和與差的正切公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題.18、（1）；（2）或；（3）【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)圓心與關(guān)于直線對(duì)稱，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由圓的弦長(zhǎng)公式，求得，根據(jù)斜率分類討論，求得直線的斜率，即可求解；（3）由直線，得直線過定點(diǎn),根據(jù)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，即可求解．【詳解】（1）由題意，圓的圓心，半徑為，設(shè)，因?yàn)閳A心與關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，則，半徑，所以圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)點(diǎn)到直線距離為，圓的弦長(zhǎng)公式，得，解得，①當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為，滿足題意②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得，所以直線的方程為，綜上，直線方程為或（3）由直線，可化為，可得直線過定點(diǎn),當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，又由，可得，此時(shí)最短弦長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的對(duì)稱圓的求解，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記直線與圓的弦長(zhǎng)公式，合理、準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）1；（2）【解析】

（1）利用向量數(shù)量積的定義求解；（2）先求模長(zhǎng)的平方，再進(jìn)行開方可得.【詳解】（1）?=||||cos60°=2×1×=1；（2）|+|2=（+）2=+2?+=4+2×1+1=7.所以|+|=.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的定義及向量模長(zhǎng)的求解，一般地，求解向量模長(zhǎng)時(shí)，先把模長(zhǎng)平方，化為數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行求解.20、(1)．(2)【解析】

（1）根據(jù)已知的等式，再寫一個(gè)關(guān)于等式，利用求通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求解，再根據(jù)單調(diào)性以及求解的取值范圍.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，兩式相減