人教A版高中數(shù)學(xué)第一冊(必修1)課時作業(yè)5：4. 5 . 3 函數(shù)模型的應(yīng)用

4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況.

加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）

2020年5月1日1235000

2020年5月15日4835600

注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程.

在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為（）

A.8升B.6升

C.4升D.105FI-

『解析』由表知：汽車行駛路程為35600—35000=600（千米），耗油量為48

升，.?.每100千米耗油量為8升.

『答案』A

2.某研究小組在一項實驗中獲得一組關(guān)于的數(shù)據(jù)，將其整理得到如圖所示的

圖形.下列函數(shù)中，最能近似刻畫y與，之間關(guān)系的是（）

\.y=TB.>=2/2

C.y=13D.y=log2/

『解析』由題圖知，該函數(shù)可能是y=log2r.故選D.

『答案』D

3.某雜志能以每本1.20元的價格銷售12萬本，假設(shè)定價每降低0.1元，銷售量就

增加4萬本，要使總銷售收入不低于20萬元，則雜志的價格最低為（）

A.0.5元B.0.8元

C.1元D.l.l元

『解析』設(shè)雜志的價格降低了x個0.1元，則此時價格為(1.20—xXO.l)元，賣

出(12+4%)萬本，設(shè)總銷售收入為y萬元，則y=(1.20—0.1x)(12+4x)=—0.4/+

3.6x+14.4(x￡N*),要使y?20,即f-9x+14W0,解得2WxW7,當(dāng)尤=7時，

價格最低,為1.20-0.7=0.5(70).

『答案』A

4.某新款電視投放市場后第一個月銷售了100臺，第二個月銷售了200臺，第三

個月銷售了400臺，第四個月銷售了790臺，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷

量y與投放市場的月數(shù)MlWxW4,xGN*)之間關(guān)系的是()

A.y=100A-B.y=50x2—50JC4-100

C.J=50X2XD.y=100'

『解析』將題目中的數(shù)據(jù)代入各函數(shù)中，易知指數(shù)型函數(shù)能較好地與題中的數(shù)

據(jù)相對應(yīng).

『答案』C

5.在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)，現(xiàn)準(zhǔn)備用下列

四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是()

X1.992345.156.126

y1.5174.04187.51218.01

1,

A.y=2x—2BJ=2（X2—1）

C.y=log2XD.y=2x

『解析』由題中表格可知函數(shù)在(0,+8)上是增函數(shù)，且〉的變化隨X的增

大而增大的越來越快，分析選項可知B符合，故選B.

『答案』B

二'填空題

6.某工廠8年來某種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間/(年)的函數(shù)關(guān)系如c

圖所示，給出下列四種說法：①前三年中產(chǎn)量增長的速度越來(~~;

越快；②前三年中產(chǎn)量增長的速度越來越慢；③第三年后這種卡一

產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④第三年后產(chǎn)量保持不變.其中說法正確是(填序號).

『解析』由rwro,3』的圖象，聯(lián)想到羸函數(shù)〉=咫0”<1),反映了C隨時

間的變化而逐漸增長但速度越來越慢，由re『3,8』的圖象可知，總產(chǎn)量C沒

有變化，即第三年后停止生產(chǎn).

『答案』②③

7.在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度。m/s和燃料質(zhì)量Mkg、火箭(除

燃料外)質(zhì)量mkg的關(guān)系是。=2000^1+^],則當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的

倍時，火箭的最大速度可達(dá)12km/s.

『解析』由題意2000111(1+==12000.

?.」n(l+^)=6,從而肛e6—1.

『答案』e6-l

8.現(xiàn)測得(x,y)的兩組對應(yīng)值分別為(1,2),(2,5),現(xiàn)有兩個待選模型，甲：y=

x2+l,乙：y=3x-l,若又測得(x,y)的一組對應(yīng)值為(3,10.2),則應(yīng)選用

作為函數(shù)模型.

『解析』將x=3分別代入y=f+l及y=3x—1中，得y=3?+1=10,y=3X3

—1=8.由于10更接近10.2,所以選用甲模型.

『答案』甲

三、解答題

9.物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設(shè)物體的初始溫度是To,

經(jīng)過一定時間，后的溫度是T,則丁一九=(乃一兀)[0",其中兀表示環(huán)境溫度，h

稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用88c熱水沖的速溶咖啡，放在24c的房間中，如果咖啡

降溫到40c需要20min,那么降溫到35c時，需要多少時間？(參考數(shù)據(jù)：

Igl1^1.04,1g2^0.30)

20

解由題意知40—24=(88—244『'，

20

即1=(0"'解得力=10.

故T—24=(88—24＞為1°

當(dāng)T=35時，代入上式，得

35-24=(88-24)-1

兩邊取對數(shù)，求得，心25.

因此，約需要25min,可降溫到35℃.

10.某公司試銷某種“上海世博會”紀(jì)念品，每件按30元銷售，可獲利50%,設(shè)

每件紀(jì)念品的成本為a元.

（1）試求a的值；

（2）公司在試銷過程中進(jìn)行了市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量y（件）與每件銷售價M元）滿足

關(guān)系y=-10x+800.設(shè)每天銷售利潤為川（元），求每天銷售利潤W（元）與每件銷售

價M元）之間的函數(shù)『解析』式；當(dāng)每件售價為多少時，每天獲得的利潤最大？

最大利潤是多少？

解（1）'.?按30元銷售，可獲利50%,.?.a（l+50%）=30,解得a=20.

（2）...銷售量y（件）與每件銷售價x（元）滿足關(guān)系y=-10x+800,則每天銷售利潤

W（元）與每件銷售價M元）滿足w=（-10x+800）（A：-20）=-10^+1000x-16000

=-10（X-50）2+9000,故當(dāng)x=50時，W取最大值9000,

即每件銷售價為50元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是9000元.

能力提升

11.某人計劃購買一輛A型轎車，售價為14.4萬元，購買后轎車每年的保險費、

汽油費、年檢費、停車費等約需2.4萬元，同時汽車年折舊率約為10%（即這輛車

每年減少它的價值的10%）,則大約使用年后，用在該車上的費用（含折

舊費）達(dá)到14.4萬元.

『解析』設(shè)使用x年后花費在該車上的費用達(dá)到14.4萬元，

依題意可得，14.4（1—O.iy+2.4x=14.4,

化簡得x-6X09=0.

令人x）=x-6X09,易得/（X）為單調(diào)遞增函數(shù)，

又43）=—1.374<0,7（4）=0.0634>0,

所以函數(shù)兀0在（3,4）上有一個零點.

故大約使用4年后，用在該車上的費用達(dá)到14.4萬元.

『答案』4

12.某地區(qū)為響應(yīng)上級號召，在2015年初，新建了一批有200萬平方米的廉價住

房，供困難的城市居民居住.由于下半年受物價的影響，根據(jù)本地區(qū)的實際情況,

估計今后住房的年平均增長率只能達(dá)到5%.

(1)經(jīng)過x年后，該地區(qū)的廉價住房為y萬平方米，求y="r)的表達(dá)式，并求此函

數(shù)的定義域.

(2)作出函數(shù)y=?r)的圖象，并結(jié)合圖象求：經(jīng)過多少年后，該地區(qū)的廉價住房能

達(dá)到300萬平方米？

解(1)經(jīng)過1年后，廉價住房面積為200+200X5%=200(1+5%)；經(jīng)過2年后

為200(1+5%)2；

經(jīng)過x年后，廉價住房面積為200(1+5%尸，

所以y=?r)=200(l+5%尸QGN*).

(2)作函數(shù)y=/U)=200(l+5%)x(x20,xGN*)的圖象，如圖所示.

作直線y=300,與函數(shù)y=200(l+5%》的圖象交于A點，則A(M),300),A點的

橫坐標(biāo)xo的值就是函數(shù)值y=300時所經(jīng)過的時間x的值.因為8<xo<9,則取xo=

9,即經(jīng)過9年后，該地區(qū)的廉價住房能達(dá)到300萬平方米.

創(chuàng)新猜想

13.(多空題)里氏震級M的計算公式為：M=lgA-lgAo,其中A是測震儀記錄的

地震曲線的最大振幅，4)是標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅.假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最

大振幅是1000,此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001,則此次地震的震級為級；

9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的倍.

『解析』M=lg1000-lg0.001=6,設(shè)9級地震的最大振幅和5級地震的最大

6

振幅分別為A9和4,則9=lgA9—IgO.OOl,.\A9=10,5=lgA5-lg0.001,：.A5

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=10,-2=10.

,?A510

『答案』610000(或10，

14.(多空題)已知某種藥物在血液中以每小時20%的比例衰減，現(xiàn)給某病人靜脈注

射了該藥物2500mg,設(shè)經(jīng)過x個小時后，藥物在病人血液中的量為ymg.