2024年遼寧省丹東市第五中學(xué)九年級中考三模數(shù)學(xué)試題

2024年遼寧省丹東市振興區(qū)丹東市第五中學(xué)九年級中考三模數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（下列各題的四個選項中，只有一個選項最符合題意要求，請將最符合題意要求的選項涂在答題卡指定位置上。本題共10小題，每小題3分，共30分。）1．（3分）下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）某種芯片每個探針單元的面積為0.0000064cm2，0.0000064用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．6.4×10﹣5 B．6.4×106 C．6.4×10﹣6 D．6.4×1053．（3分）質(zhì)檢員抽查4個足球，其中超過標準質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標準質(zhì)量的克數(shù)記為負數(shù)，從輕重的角度看，最接近標準質(zhì)量的足球是（）A． B． C． D．4．（3分）下列四幅圖形中，表示兩棵圣誕樹在同一時刻陽光下的影子的圖形可能是（）A． B． C． D．5．（3分）下列各式運算正確的是（）A．a(chǎn)5?a2＝a15 B．（a5）5＝a10 C．（ab2）3＝ab6 D．a(chǎn)8÷a7＝a6．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為位似中心，在y軸右側(cè)作△ABO放大2倍后的位似圖形△CDO，若點B的坐標為（﹣1，﹣2），則點B的對應(yīng)點D的坐標為（）A．（2，4） B．（3，4） C．（3，5） D．（4，3）7．（3分）將分別標有“大”、“美”、“織”、“金”漢字的四個小球裝在一個不透明的口袋中，這些球除漢字外無其他差別，每次摸球前先攪拌均勻．隨機摸出一球，不放回；再隨機摸出一球．兩次摸出的球上的漢字能組成“織金”的概率是（）A． B． C． D．8．（3分）下列命題為真命題的是（）A．若ab＞0，則a＞0，b＞0 B．兩個銳角分別相等的兩個直角三角形全等 C．在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上 D．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形9．（3分）如圖的立體圖形由相同大小的正方體積木堆疊而成．判斷拿走圖中的哪一個積木后，此圖形主視圖的形狀會改變（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10．（3分）某綜合實踐活動小組設(shè)計了簡易電子體重秤：制作一個裝有踏板（踏板質(zhì)量忽略不計）的可變電阻R1（Ω）（如圖1），當人站上踏板時，通過電壓表顯示的讀數(shù)U0換算為人的質(zhì)量m（kg），已知U0隨著R1的變化而變化（如圖2），R1與踏板上人的質(zhì)量m的關(guān)系見圖3．則下列說法不正確的是（）A．在一定范圍內(nèi)，U0越大，R1越小 B．當U0＝3V時，R1的阻值為50Ω C．當踏板上人的質(zhì)量為90kg時，U0＝2V D．若電壓表量程為0﹣6V（0≤U0≤6）為保護電壓表，該電子體重秤可稱的最大質(zhì)量是115kg二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分。）11．（3分）式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是．12．（3分）分解因式x2y﹣16y的結(jié)果為．13．（3分）如圖，直線m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，點C在直線n上．若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)是．14．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，S△DEF：S△ABF＝4：25，則DE：EC＝．15．（3分）如圖，拋物線y＝a（x﹣1）2+（a≠0）經(jīng)過y軸正半軸上的點A，點B，C分別是此拋物線和x軸上的動點，點D在OB上，且AD平分△ABO的面積，過D作DF∥BC交x軸于F點，則DF的最小值為．三、解答題（本題共8小題，共75分）17．（9分）某社區(qū)準備在甲、乙兩位射箭愛好者中選出一人參加集訓(xùn)，兩人各射了5箭，他們的總成績（單位：環(huán)）相同，小宇根據(jù)他們的成績繪制了尚不完整的統(tǒng)計圖表，并計算了甲成績的平均數(shù)和方差（見小宇的作業(yè)）．甲、乙兩人射箭成績統(tǒng)計表第1次第2次第3次第4次第5次甲94746乙757a7小宇的作業(yè)：解：，．（1）a＝，x乙＝，甲成績的眾數(shù)是，乙成績的中位數(shù)是．（2）請完成圖中表示乙成績變化情況的折線．（3）①請求出乙成績的方差，并比較誰的成績比較穩(wěn)定．②請你從平均數(shù)和方差的角度分析，誰將被選中．18．（8分）為加強學(xué)生安全教育，某學(xué)校組織了“安全教育”知識競賽，對表現(xiàn)優(yōu)異的班級進行獎勵，學(xué)校購買了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，購買3副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需140元；購買2副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需210元．（1）求購買1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；（2）若學(xué)校購買乒乓球拍和羽毛球拍共30幅，且總費用不超過1100元，求至少購買多少副乒乓球拍．19．（8分）某單位準備購買一種水果，現(xiàn)有甲、乙兩家超市進行促銷活動，該水果在兩家超市的標價均為13元/千克．甲超市購買該水果的費用y（元）與該水果的質(zhì)量x（千克）之間的關(guān)系如圖所示；乙超市該水果在標價的基礎(chǔ)上每千克直降3元．（1）求y與x之間的函數(shù)表達式；（2）現(xiàn)計劃用290元購買該水果，選甲、乙哪家超市能購買該水果更多一些？20．（8分）如圖1是一臺放置在水平桌面上的筆記本電腦，將其側(cè)面抽象成如圖2所示的幾何圖形，若顯示屏所在面的側(cè)邊AO與鍵盤所在面的側(cè)邊BO長均為24cm，點P為眼睛所在位置，D為AO的中點，連接PD，當PD⊥AO時，稱點P為“最佳視角點”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延長線上，且BC＝12cm．（1）當PA＝45cm時，求PC的長；（2）若∠AOC＝120°，求PC的長．（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）21．（8分）如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于點D，交AB于點E，過點D作⊙O的切線交CO的延長線于點F．（1）求證：FD∥AB；（2）若AC＝2，BC＝，求FD的長．22．（12分）綜合與實踐：綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．【操作判斷】操作一；如圖1，正方形紙片ABCD，將∠B沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形ABCD的內(nèi)部，得到折痕AE，點B的對應(yīng)點為M，連接AM；將∠D沿過點A的直線折疊，使AD與AM重合，得到折痕AF，將紙片展平，連接EF．（1）根據(jù)以上操作，易得點E，M，F(xiàn)三點共線，且①∠EAF＝°；②線段EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系為．【深入探究】操作二：如圖2、將∠C沿EF所在直線折疊，使點C落在正方形ABCD的內(nèi)部，點C的對應(yīng)點為N，將紙片展平，連接NE、NF．同學(xué)們在折紙的過程中發(fā)現(xiàn)，當點E的位置不同時，點N的位置也不同，當點E在BC邊上某一位置時（點E不與點B，C重合），點N恰好落在折痕AE上，此時AM交NF于點P，如圖3所示．（2）小明通過觀察圖形，得出這樣兩個結(jié)論：①AP＝BE+DF；②∠BAE＝30°．請任意選擇其中一個結(jié)論判斷其是否正確，并說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）若正方形紙片ABCD的邊長為3，當點N落在折痕AE或AF上時，請直接寫出線段BE的長．23．（12分）我們約定，在平面直角坐標系中，對于不同的兩點P（x1，y1）、Q（x2，y2），如果滿足y1﹣x1＝y(tǒng)2﹣x2，那么稱P、Q兩點互為“等差點”．（1）請判斷在點A（2，﹣1）、B（1，4）、C（﹣2，﹣1）中，有哪些點與點D（﹣1，2）互為“等差點”？（2）已知點E在直線y＝x﹣2上，點F在雙曲線（k為常數(shù)，且k≠±1）上，且E、F兩點互為“等差點”．請求出點F的坐標（用含k的代數(shù)式表示）；（3）已知拋物線（a，b為常數(shù)且a≠0、b≠0）的頂點為G點，與x軸交于M、N兩點，GM⊥GN，P、Q兩點分別在拋物線和直線上，如果P、Q兩點互為“等差點”，且P、Q兩點的橫坐標是一元二次方程的兩根，求3a﹣b的值．參考答案與試題解析一、單項選擇題（下列各題的四個選項中，只有一個選項最符合題意要求，請將最符合題意要求的選項涂在答題卡指定位置上。本題共10小題，每小題3分，共30分。）1．（3分）下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、原圖不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B、原圖既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故此選項符合題意；C、原圖不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D、原圖是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：B．2．（3分）某種芯片每個探針單元的面積為0.0000064cm2，0.0000064用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．6.4×10﹣5 B．6.4×106 C．6.4×10﹣6 D．6.4×105【解答】解：0.0000064＝6.4×10﹣6．故選：C．3．（3分）質(zhì)檢員抽查4個足球，其中超過標準質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標準質(zhì)量的克數(shù)記為負數(shù)，從輕重的角度看，最接近標準質(zhì)量的足球是（）A． B． C． D．【解答】解：∵|﹣3|＞|2|＞|0.75|＞|﹣0.6|，∴﹣0.6的足球最接近標準質(zhì)量，故選：B．4．（3分）下列四幅圖形中，表示兩棵圣誕樹在同一時刻陽光下的影子的圖形可能是（）A． B． C． D．【解答】解：A、影子的方向不相同，錯誤；B、影子平行，且較高的樹的影子長度大于較低的樹的影子，正確；C、相同樹高與影子是成正比的，較高的樹的影子長度小于較低的樹的影子，錯誤；D、影子的方向不相同，錯誤；故選：B．5．（3分）下列各式運算正確的是（）A．a(chǎn)5?a2＝a15 B．（a5）5＝a10 C．（ab2）3＝ab6 D．a(chǎn)8÷a7＝a【解答】解：A．a(chǎn)5?a2＝a7，故此選項不合題意；B．（a5）5＝a25，故此選項不合題意；C．（ab2）3＝a3b6，故此選項不合題意；D．a(chǎn)8÷a7＝a，故此選項符合題意．故選：D．6．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為位似中心，在y軸右側(cè)作△ABO放大2倍后的位似圖形△CDO，若點B的坐標為（﹣1，﹣2），則點B的對應(yīng)點D的坐標為（）A．（2，4） B．（3，4） C．（3，5） D．（4，3）【解答】解：∵以坐標原點O為位似中心，在y軸右側(cè)作△ABO放大2倍后的位似圖形△CDO，點B的坐標為（﹣1，﹣2），∴點B的對應(yīng)點D的坐標為（﹣1×（﹣2），﹣2×（﹣2）），即（2，4），故選：A．7．（3分）將分別標有“大”、“美”、“織”、“金”漢字的四個小球裝在一個不透明的口袋中，這些球除漢字外無其他差別，每次摸球前先攪拌均勻．隨機摸出一球，不放回；再隨機摸出一球．兩次摸出的球上的漢字能組成“織金”的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有12種等可能結(jié)果，其中兩次摸出的球上的漢字能組成“織金”的有2種結(jié)果，所以兩次摸出的球上的漢字能組成“織金”的概率為．故選：B．8．（3分）下列命題為真命題的是（）A．若ab＞0，則a＞0，b＞0 B．兩個銳角分別相等的兩個直角三角形全等 C．在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上 D．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形【解答】解：A、若ab＞0，則a、b同號，錯誤，是假命題；B、兩個銳角分別相等的兩個直角三角形相似但不一定全等，錯誤，是假命題；C、在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，正確，是真命題；D、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形可以是等腰梯形，錯誤，是假命題；故選：C．9．（3分）如圖的立體圖形由相同大小的正方體積木堆疊而成．判斷拿走圖中的哪一個積木后，此圖形主視圖的形狀會改變（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：拿走圖中的“乙”一個積木后，此圖形主視圖的形狀會改變，第二列小正方形的個數(shù)由原來的兩個變成一個．故選：B．10．（3分）某綜合實踐活動小組設(shè)計了簡易電子體重秤：制作一個裝有踏板（踏板質(zhì)量忽略不計）的可變電阻R1（Ω）（如圖1），當人站上踏板時，通過電壓表顯示的讀數(shù)U0換算為人的質(zhì)量m（kg），已知U0隨著R1的變化而變化（如圖2），R1與踏板上人的質(zhì)量m的關(guān)系見圖3．則下列說法不正確的是（）A．在一定范圍內(nèi)，U0越大，R1越小 B．當U0＝3V時，R1的阻值為50Ω C．當踏板上人的質(zhì)量為90kg時，U0＝2V D．若電壓表量程為0﹣6V（0≤U0≤6）為保護電壓表，該電子體重秤可稱的最大質(zhì)量是115kg【解答】解：∵圖2中U0隨R1的增大而減小，∴在一定范圍內(nèi)，U0越大，R1越?。瓵正確，不符合題意；∵圖2中的圖象經(jīng)過點（50，3），∴當U0＝3V時，R1的阻值為50Ω．B正確，不符合題意；∵當m＝90時，R1＝﹣2m+240＝60Ω，U0＝2V時，對應(yīng)的是90Ω，∴踏板上人的質(zhì)量為90kg時，U0＝2V，錯誤．C符合題意．∵R1＝﹣2m+240，∴R1隨m的增大而減?。逺1的最小值為10，∴m的最大值為115．∴若電壓表量程為0﹣6V（0≤U0≤6）為保護電壓表，該電子體重秤可稱的最大質(zhì)量是115kg．D正確，不符合題意．故選：C．二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分。）11．（3分）式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是x≥5．【解答】解：式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x﹣5≥0，故實數(shù)x的取值范圍是：x≥5．故答案為：x≥5．12．（3分）分解因式x2y﹣16y的結(jié)果為y（x+4）（x﹣4）．【解答】解：x2y﹣16y＝y(tǒng)（x2﹣16）＝y(tǒng)（x+4）（x﹣4）．故答案為：y（x+4）（x﹣4）．13．（3分）如圖，直線m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，點C在直線n上．若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)是40°．【解答】解：過B作BK∥m，∵m∥n，∴BK∥n，∴∠3＝∠1＝50°，∠2＝∠4，∵∠ABC＝90°，∴∠4＝∠ABC﹣∠3＝40°，∴∠2＝∠4＝40°．故答案為：40°．14．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，S△DEF：S△ABF＝4：25，則DE：EC＝2：3．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF＝4：25，∴＝，∵AB＝CD，∴DE：EC＝2：3．故答案為：2：3．15．（3分）如圖，拋物線y＝a（x﹣1）2+（a≠0）經(jīng)過y軸正半軸上的點A，點B，C分別是此拋物線和x軸上的動點，點D在OB上，且AD平分△ABO的面積，過D作DF∥BC交x軸于F點，則DF的最小值為．【解答】解：設(shè)點B的坐標為（m，a（m﹣1）2+），點C坐標為（n，0）．∵點D在OB上，且AD平分△ABO的面積，∴OD＝BD，又∵DF∥BC，∴DF是△OBC的中位線，∴DF＝BC．根據(jù)兩點間的距離公式可知：BC2＝（m﹣n）2+＝（m﹣n）2+a2（m﹣1）4+2a（m﹣1）2+2，結(jié)合拋物線開口向上可知a＞0，∴（m﹣n）2≥0，a2（m﹣1）4≥0，2a（m﹣1）2≥0，∴BC2≥2，∴BC＝．∵DF＝BC，∴DF≥．故答案為：．三、解答題（本題共8小題，共75分）17．（9分）某社區(qū)準備在甲、乙兩位射箭愛好者中選出一人參加集訓(xùn)，兩人各射了5箭，他們的總成績（單位：環(huán)）相同，小宇根據(jù)他們的成績繪制了尚不完整的統(tǒng)計圖表，并計算了甲成績的平均數(shù)和方差（見小宇的作業(yè)）．甲、乙兩人射箭成績統(tǒng)計表第1次第2次第3次第4次第5次甲94746乙757a7小宇的作業(yè)：解：，．（1）a＝4，x乙＝6，甲成績的眾數(shù)是4，乙成績的中位數(shù)是7．（2）請完成圖中表示乙成績變化情況的折線．（3）①請求出乙成績的方差，并比較誰的成績比較穩(wěn)定．②請你從平均數(shù)和方差的角度分析，誰將被選中．【解答】解：（1）由題意得：甲的總成績是：9+4+7+4+6＝30，則a＝30﹣7﹣7﹣5﹣7＝4，＝30÷5＝6，甲成績的眾數(shù)是4，乙成績的中位數(shù)是＝7，故答案為：4；6；4；7；（2）如圖所示：（3）①S2乙＝×[（7﹣6）2+（5﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2]＝1.6．由于，所以乙成績比較穩(wěn)定；②因為兩人成績的平均水平（平均數(shù)）相同，根據(jù)方差得出乙的成績比甲穩(wěn)定，所以乙將被選中．18．（8分）為加強學(xué)生安全教育，某學(xué)校組織了“安全教育”知識競賽，對表現(xiàn)優(yōu)異的班級進行獎勵，學(xué)校購買了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，購買3副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需140元；購買2副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需210元．（1）求購買1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；（2）若學(xué)校購買乒乓球拍和羽毛球拍共30幅，且總費用不超過1100元，求至少購買多少副乒乓球拍．【解答】解：（1）設(shè)購買1副乒乓球拍需要x元，購買1副羽毛球拍需要y元，由題意得：，解之得：，答：購買1副乒乓球拍需要30元，購買1副羽毛球拍需要50元；（2）設(shè)購買a副乒乓球拍，則購買（30﹣a）副羽毛球拍，由題意得：30a+50（30﹣a）≤1100，∴30a+15﹣50a≤1100，∴a≥20，∵a取最小整數(shù)，∴a＝20．答：至少要購買20副乒乓球拍．19．（8分）某單位準備購買一種水果，現(xiàn)有甲、乙兩家超市進行促銷活動，該水果在兩家超市的標價均為13元/千克．甲超市購買該水果的費用y（元）與該水果的質(zhì)量x（千克）之間的關(guān)系如圖所示；乙超市該水果在標價的基礎(chǔ)上每千克直降3元．（1）求y與x之間的函數(shù)表達式；（2）現(xiàn)計劃用290元購買該水果，選甲、乙哪家超市能購買該水果更多一些？【解答】解：（1）當0≤x≤5時，設(shè)y1與x之間的函數(shù)解析式為y1＝kx（k≠0），把（5，65）代入解析式得：5k＝65，解得k＝13，∴y1＝13x；當x＞5時，設(shè)y1與x之間的函數(shù)解析式為y1＝mx+n（m≠0），把（5，65）和（10，110）代入解析式得，解得，∴y1＝9x+20，綜上所述，y1與x之間的函數(shù)解析式為y1＝；（2）在甲商店購買：9x+20＝290，解得x＝30，∴在甲商店290元可以購買30千克水果；在乙商店購買：10x＝290，解得x＝29，∴在乙商店290元可以購買29千克，∵30＞29，∴在甲商店購買更多一些．20．（8分）如圖1是一臺放置在水平桌面上的筆記本電腦，將其側(cè)面抽象成如圖2所示的幾何圖形，若顯示屏所在面的側(cè)邊AO與鍵盤所在面的側(cè)邊BO長均為24cm，點P為眼睛所在位置，D為AO的中點，連接PD，當PD⊥AO時，稱點P為“最佳視角點”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延長線上，且BC＝12cm．（1）當PA＝45cm時，求PC的長；（2）若∠AOC＝120°，求PC的長．（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【解答】解：（1）連接OP，∵D為AO的中點，PD⊥AO，∴PD是AO的垂直平分線，∴PA＝PO＝45cm，∵PC⊥BC，∴∠PCO＝90°，∵BC＝12cm，OB＝24cm，∴OC＝OB+BC＝36（cm），∴PC＝＝＝27（cm），∴PC的長為27cm；（2）過點D作DE⊥OC，交CO的延長線于點E，過點D作DF⊥PC，垂足為F，由題意得：DE＝CF，DF＝EC，DF∥EC，∵∠AOC＝120°，∴∠DOE＝180°﹣∠AOC＝60°，∵D為AO的中點，∴OD＝OA＝12（cm），在Rt△DOE中，DE＝DO?sin60°＝12×＝6（cm），OE＝DO?cos60°＝12×＝6（cm），∴DE＝CF＝6cm，DF＝EC＝OE+OB+OC＝42（cm），∵DF∥EC，∴∠FDO＝∠DOE＝60°，∵∠PDO＝90°，∴∠PDF＝∠PDO﹣∠FDO＝30°，∴在Rt△PDF中，PF＝DF?tan30°＝42×＝14（cm），∴PC＝PF+CF＝20≈34.6（cm），∴PC的長約為34.6cm．21．（8分）如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于點D，交AB于點E，過點D作⊙O的切線交CO的延長線于點F．（1）求證：FD∥AB；（2）若AC＝2，BC＝，求FD的長．【解答】（1）證明：連接OD．∵DF是⊙O的切線，∴OD⊥DF，∵CD平分∠ACB，∴＝，∴OD⊥AB，∴AB∥DF；（2）解：過點C作CH⊥AB于點H．∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵BC＝，AC＝2，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝?AC?BC＝?AB?CH，∴CH＝＝2，∴BH＝＝1，∴OH＝OB﹣BH＝﹣1＝，∵DF∥AB，∴∠COH＝∠F，∵∠CHO＝∠ODF＝90°，∴△CHO∽△ODF，∴＝，∴＝，∴DF＝．22．（12分）綜合與實踐：綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．【操作判斷】操作一；如圖1，正方形紙片ABCD，將∠B沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形ABCD的內(nèi)部，得到折痕AE，點B的對應(yīng)點為M，連接AM；將∠D沿過點A的直線折疊，使AD與AM重合，得到折痕AF，將紙片展平，連接EF．（1）根據(jù)以上操作，易得點E，M，F(xiàn)三點共線，且①∠EAF＝45°；②線段EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系為EF＝BE+DF．【深入探究】操作二：如圖2、將∠C沿EF所在直線折疊，使點C落在正方形ABCD的內(nèi)部，點C的對應(yīng)點為N，將紙片展平，連接NE、NF．同學(xué)們在折紙的過程中發(fā)現(xiàn)，當點E的位置不同時，點N的位置也不同，當點E在BC邊上某一位置時（點E不與點B，C重合），點N恰好落在折痕AE上，此時AM交NF于點P，如圖3所示．（2）小明通過觀察圖形，得出這樣兩個結(jié)論：①AP＝BE+DF；②∠BAE＝30°．請任意選擇其中一個結(jié)論判斷其是否正確，并說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）若正方形紙片ABCD的邊長為3，當點N落在折痕AE或AF上時，請直接寫出線段BE的長．【解答】解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C＝∠BAD＝90°，由折疊的性質(zhì)可知，∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝45°，即∠EAF＝45．故答案為：45．②由折疊的性質(zhì)可知，BE＝ME，DF＝MF，∵EF＝ME+MF∴EF＝BE+DF．故答案為：EF＝BE+DF．（2）選擇結(jié)論①．結(jié)論①是正確的，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°．由折疊的性質(zhì)可知，BE＝ME，DF＝MF，∠AME＝∠B＝∠C＝∠ENF＝90°，∴∠ANF＝∠AMF＝90°，又∵∠APN＝∠FPM，∴∠NAP＝∠NFE．由（1）得∠EAF＝45°，∴△ANF是等腰直角三角形．∴AN＝FN．∴△ANP≌△FNE（ASA）．∴AP＝EF．∵EF＝EM+FM＝BE+DF，∴AP＝BE+DF．或選擇結(jié)論②．結(jié)論②是正確的，理由如下：由折疊的性質(zhì)可知，∠BAE＝∠MAE，∠CFE＝∠NFE，∠AFD＝∠AFM．易