新九年級(jí)數(shù)學(xué)時(shí)期講義第8講與圓有關(guān)的位置關(guān)系-滿分班(學(xué)生版+解析)

第8講與圓有關(guān)的位置關(guān)系1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1．點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系：由于平面上圓的存在，就把平面上的點(diǎn)分成了三個(gè)集合，即圓內(nèi)的點(diǎn)，圓上的點(diǎn)和圓外的點(diǎn)，這三類點(diǎn)各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則有

【例題精選】例1(2023秋?高郵市期末）在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的直徑為10，若圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)P（﹣8，6）與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在⊙O上 B．點(diǎn)P在⊙O外 C．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) D．無法確定例2(2023秋?鼓樓區(qū)期末）已知△ABC，以AB為直徑作⊙O，∠C＝88°，則點(diǎn)C在（）A．⊙O上 B．⊙O外 C．⊙O內(nèi) D．無法確定【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?沭陽縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，圓O的半徑為5，圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)P（﹣3，4）與圓O的位置關(guān)系是（）A．在⊙O內(nèi) B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能確定2．(2023秋?惠山區(qū)期末）已知⊙O的半徑為6cm，OP＝8cm，則點(diǎn)P和⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在圓內(nèi) B．點(diǎn)P在圓上 C．點(diǎn)P在圓外 D．無法判斷2直線與圓的位置關(guān)系1．直線和圓的三種位置關(guān)系：

(1)相交：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交．這時(shí)直線叫做圓的割線．

(2)相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切．這時(shí)直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．

(3)相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離．

2．直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)．

直線與圓的位置關(guān)系能否像點(diǎn)與圓的位置關(guān)系一樣通過一些條件來進(jìn)行分析判斷呢？

由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(diǎn)(圓心)的位置關(guān)系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么

【例題精選】例1(2023秋?姜堰區(qū)期末）已知⊙O的直徑為4，點(diǎn)O到直線l的距離為2，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法判斷例2(2023秋?東陽市期末）已知⊙O的半徑為3，圓心O到直線L的距離為4，則直線L與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?海陵區(qū)期末）已知⊙O的直徑是5，點(diǎn)O到直線l的距離為3，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法判斷2．(2023秋?定州市期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)（3，4）為圓心，4為半徑的圓與y軸所在直線的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定3．(2023?武漢模擬）已知⊙O的直徑為12cm，圓心到直線L的距離5cm，則直線L與⊙O的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．1 C．0 D．不確定3正多邊形和圓各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．

要點(diǎn)詮釋：

判斷一個(gè)多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個(gè)條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).

1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓．

2.正多邊形的有關(guān)概念

(1)一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．

3.正多邊形的有關(guān)計(jì)算

(1)正ｎ邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是；

(2)正ｎ邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是；

(3)正ｎ邊形每個(gè)外角的度數(shù)是.【例題精選】例1(2023?番禺區(qū)模擬）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P是上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，則∠BPC的大小是（）A．22.5° B．45° C．30° D．50°例2(2023?和平區(qū)校級(jí)模擬）正六邊形的邊長(zhǎng)與邊心距之比為（）A．1：2 B．2： C．2： D．：2【隨堂練習(xí)】1．(2023?和平區(qū)模擬）如圖，ABCDEF是中心為原點(diǎn)O，頂點(diǎn)A，D在x軸上，半徑為4的正六邊形，則頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（）A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣1，）2．(2023?鼓樓區(qū)一模）如圖，點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心，連接BD、OD，則∠BDO＝_________°．綜合應(yīng)用一．選擇題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M與x軸相切于點(diǎn)A，與y軸交于B、C兩點(diǎn)，M的坐標(biāo)為（3，5），則B的坐標(biāo)為（）A．（0，5） B．（0，7） C．（0，8） D．（0，9）2．已知⊙O的半徑為4cm．若點(diǎn)P到圓心O的距離為3cm，則點(diǎn)P（）A．在⊙O內(nèi) B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．與⊙O的位置關(guān)系無法確定3．如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，則以DE為直徑的圓與AB的位置關(guān)系是（）A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定4．如圖，⊙O中，AC為直徑，MA，MB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，∠BAC＝25°，則∠AMB的大小為（）A．25° B．30° C．45° D．50°二．解答題5．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過C點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB（1）求證：DC為⊙O的切線；（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半徑為3，求線段AC的長(zhǎng)6．如圖已知AB為⊙O的直徑，CD切⊙O于C點(diǎn)，弦CF⊥AB于E點(diǎn)，連結(jié)AC．（1）探索AC滿足什么條件時(shí)，有AD⊥CD，并加以證明．（2）當(dāng)AD⊥CD，OA＝5cm，CD＝4cm，求△OCF面積．7．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)F在⊙O上，且滿足＝，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，交AF的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．（1）求證：AE⊥DE；（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的長(zhǎng)．8．如圖，AB為⊙O的直徑，C、F為⊙O上兩點(diǎn)，且點(diǎn)C為弧BF的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作AF的垂線，交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AE＝3，DE＝4，求⊙O的半徑的長(zhǎng)．9．如圖，△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC上，且∠ADE＝∠B．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，CE＝2，求△ABC的面積．第8講與圓有關(guān)的位置關(guān)系1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1．點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系：由于平面上圓的存在，就把平面上的點(diǎn)分成了三個(gè)集合，即圓內(nèi)的點(diǎn)，圓上的點(diǎn)和圓外的點(diǎn)，這三類點(diǎn)各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則有

【例題精選】例1(2023秋?高郵市期末）在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的直徑為10，若圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)P（﹣8，6）與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在⊙O上 B．點(diǎn)P在⊙O外 C．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) D．無法確定分析：先根據(jù)勾股定理求出OP的長(zhǎng)，再與⊙P的半徑為5相比較即可．【解答】解：∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣8，6），OP＝＝10∵⊙O的直徑為10，半徑為5∴點(diǎn)P在⊙O外．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟知點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．例2(2023秋?鼓樓區(qū)期末）已知△ABC，以AB為直徑作⊙O，∠C＝88°，則點(diǎn)C在（）A．⊙O上 B．⊙O外 C．⊙O內(nèi) D．無法確定分析：根據(jù)圓周角定可得∠ADB＝90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】解：如圖，設(shè)⊙O交直線BC于D，連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠C＝88°，∴點(diǎn)C在⊙O外，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．也考查了圓周角定理和三角形外角的性質(zhì)．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?沭陽縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，圓O的半徑為5，圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)P（﹣3，4）與圓O的位置關(guān)系是（）A．在⊙O內(nèi) B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能確定【解答】解：∵P（﹣3，4），∴OP＝＝5，∵OP＝r＝5，∴點(diǎn)P在⊙O上，故選：C．2．(2023秋?惠山區(qū)期末）已知⊙O的半徑為6cm，OP＝8cm，則點(diǎn)P和⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在圓內(nèi) B．點(diǎn)P在圓上 C．點(diǎn)P在圓外 D．無法判斷【解答】解：∵點(diǎn)P到圓心的距離OP＝8cm，小于⊙O的半徑6cm，∴點(diǎn)P在在圓外．故選：C．2直線與圓的位置關(guān)系1．直線和圓的三種位置關(guān)系：

(1)相交：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交．這時(shí)直線叫做圓的割線．

(2)相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切．這時(shí)直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．

(3)相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離．

2．直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)．

直線與圓的位置關(guān)系能否像點(diǎn)與圓的位置關(guān)系一樣通過一些條件來進(jìn)行分析判斷呢？

由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(diǎn)(圓心)的位置關(guān)系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么

【例題精選】例1(2023秋?姜堰區(qū)期末）已知⊙O的直徑為4，點(diǎn)O到直線l的距離為2，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法判斷分析：根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判定方法，假設(shè)圓心到直線的距離為d，當(dāng)d＞r，直線與圓相離，當(dāng)d＝r，直線與圓相切，當(dāng)d＜r，直線與圓相交，由⊙O的直徑為4cm，點(diǎn)O到直線l的距離為2cm，得出d＝r，進(jìn)而l與⊙O的位置關(guān)系．【解答】解：∵⊙O的直徑為4，∴⊙O的半徑為2，∵點(diǎn)O到直線l的距離為2，∴d＝r∴l(xiāng)與⊙O的位置關(guān)系相切．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是判斷出圓的半徑與圓心到直線的距離，再根據(jù)判定方法得出位置關(guān)系．例2(2023秋?東陽市期末）已知⊙O的半徑為3，圓心O到直線L的距離為4，則直線L與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定分析：欲求直線1與圓O的位置關(guān)系，關(guān)鍵是比較圓心到直線的距離d與圓半徑r的大小關(guān)系．若d＜r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線與圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．【解答】解：∵圓半徑r＝3，圓心到直線的距離d＝4．故r＝3＜d＝4，∴直線與圓的位置關(guān)系是相離．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)系完成判定．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?海陵區(qū)期末）已知⊙O的直徑是5，點(diǎn)O到直線l的距離為3，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法判斷【解答】解：∵⊙O的直徑是5，∴⊙O的半徑是2.5，∵點(diǎn)O到直線l的距離為3，∴點(diǎn)O到直線l的距離大于圓的半徑，∴直線l與⊙O的位置關(guān)系為相離．故選：A．2．(2023秋?定州市期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)（3，4）為圓心，4為半徑的圓與y軸所在直線的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【解答】解：依題意得：圓心到y(tǒng)軸的距離為：3＜半徑4，所以圓與y軸相交，故選：C．3．(2023?武漢模擬）已知⊙O的直徑為12cm，圓心到直線L的距離5cm，則直線L與⊙O的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．1 C．0 D．不確定【解答】解：∵⊙O的直徑為12cm，∴⊙O的半徑為6cm，∵圓心到直線L的距離為5cm，∴直線L與圓是相交的位置關(guān)系，∴直線L與⊙O的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選：A．3正多邊形和圓各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．

要點(diǎn)詮釋：

判斷一個(gè)多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個(gè)條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).

1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓．

2.正多邊形的有關(guān)概念

(1)一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．

3.正多邊形的有關(guān)計(jì)算

(1)正ｎ邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是；

(2)正ｎ邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是；

(3)正ｎ邊形每個(gè)外角的度數(shù)是.【例題精選】例1(2023?番禺區(qū)模擬）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P是上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，則∠BPC的大小是（）A．22.5° B．45° C．30° D．50°分析：連接OB、OC，首先根據(jù)正方形的性質(zhì)，得∠BOC＝90°，再根據(jù)圓周角定理，得∠BPC＝45°．【解答】解：如圖，連接OB、OC，則∠BOC＝90°，根據(jù)圓周角定理，得：∠BPC＝∠BOC＝45°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和圓周角定理的應(yīng)用．這里注意：根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，知正方形對(duì)角線的交點(diǎn)即為其外接圓的圓心．例2(2023?和平區(qū)校級(jí)模擬）正六邊形的邊長(zhǎng)與邊心距之比為（）A．1：2 B．2： C．2： D．：2分析：可設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為2，欲求邊長(zhǎng)、邊心距之比，我們畫出圖形，通過構(gòu)造直角三角形，解直角三角形即可得出．【解答】解：如右圖所示，邊長(zhǎng)AB＝2；又該多邊形為正六邊形，故∠OBA＝60°，在Rt△BOG中，BG＝1，OG＝，所以AB＝2，即邊長(zhǎng)與邊心距之比2：，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查正多邊形邊長(zhǎng)的計(jì)算問題，要求學(xué)生熟練掌握應(yīng)用．【隨堂練習(xí)】1．(2023?和平區(qū)模擬）如圖，ABCDEF是中心為原點(diǎn)O，頂點(diǎn)A，D在x軸上，半徑為4的正六邊形，則頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（）A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣1，）【解答】解：連接OF．∵∠AOF＝＝60°，OA＝OF，∴△AOF是等邊三角形，∴OA＝OF＝4．設(shè)EF交y軸于G，則∠GOF＝30°．在Rt△GOF中，∵∠GOF＝30°，OF＝4，∴GF＝2，OG＝2．∴F（﹣2，2）．故選：C．2．(2023?鼓樓區(qū)一模）如圖，點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心，連接BD、OD，則∠BDO＝_________°．【解答】解：連接OB，OC，∵點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心，∴∠BOC＝∠COD＝＝72°，∴∠BOD＝2×72°＝144°，∵OB＝OC，∴∠BDO＝∠OBD＝＝18°，故答案為：18．綜合應(yīng)用一．選擇題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M與x軸相切于點(diǎn)A，與y軸交于B、C兩點(diǎn)，M的坐標(biāo)為（3，5），則B的坐標(biāo)為（）A．（0，5） B．（0，7） C．（0，8） D．（0，9）【解答】解：過M作MN⊥y軸，連接BM，∵圓M與x軸相切，M（3，5），∴ON＝AM＝5，MN＝3，設(shè)BC＝x，則BN＝OB﹣ON＝x﹣5，BM＝AM＝5，在Rt△BMN中，根據(jù)勾股定理得：52＝32+（x﹣5）2，解得：x＝9（x＝1不符合題意，舍去），則B（0，9），故選：D．2．已知⊙O的半徑為4cm．若點(diǎn)P到圓心O的距離為3cm，則點(diǎn)P（）A．在⊙O內(nèi) B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．與⊙O的位置關(guān)系無法確定【解答】解：∵點(diǎn)P到圓心的距離為3cm，而⊙O的半徑為4cm，∴點(diǎn)P到圓心的距離小于圓的半徑，∴點(diǎn)P在圓內(nèi)，故選：A．3．如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，則以DE為直徑的圓與AB的位置關(guān)系是（）A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定【解答】解：過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)N，∴CM×AB＝AC×BC，∴CM＝＝4.8，∵D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，∴CN＝MN＝CM，∴MN＝2.4，∵以DE為直徑的圓半徑為2.5，∴r＝2.5＞2.4，∴以DE為直徑的圓與AB的位置關(guān)系是：相交．故選：B．4．如圖，⊙O中，AC為直徑，MA，MB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，∠BAC＝25°，則∠AMB的大小為（）A．25° B．30° C．45° D．50°【解答】解：∵M(jìn)A切⊙O于點(diǎn)A，∴∠MAC＝90°，又∠BAC＝25°，∴∠MAB＝∠MAC﹣∠BAC＝65°，∵M(jìn)A、MB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝50°，故選：D．二．解答題5．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過C點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB（1）求證：DC為⊙O的切線；（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半徑為3，求線段AC的長(zhǎng)【解答】（1）證明：連接CO，∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴CO∥AD，∴CO⊥CD，∴DC為⊙O的切線；（2）連接BC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAB＝30°，∵⊙O的半徑為3，∴AB＝6，∴AC＝AB＝3．6．如圖已知AB為⊙O的直徑，CD切⊙O于C點(diǎn)，弦CF⊥AB于E點(diǎn)，連結(jié)AC．（1）探索AC滿足什么條件時(shí)，有AD⊥CD，并加以證明．（2）當(dāng)AD⊥CD，OA＝5cm，CD＝4cm，求△OCF面積．【解答】（1）當(dāng)AC滿足平分∠BAD條件時(shí)，有AD⊥CD，證明：連接BC，則∠ACB＝90°，即∠ABC+∠BAC＝90°，∵CD是圓O的切線，∴∠ACD＝∠ABC，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠CAD+∠ACD＝90°，即∠ADC＝90°，AD⊥CD；（2）解：連結(jié)OC、OF．∵CD切⊙O于C點(diǎn)，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＝∠DAC．∴AC平分∠BAD，∴CD＝CE，∵OA＝5，CD＝4，∴OC＝OA＝5，CE＝4，∵CF⊥AB，∴CF＝2CEOE＝＝＝3，∴CF＝2×4＝8CF×OE÷2＝8×3÷2＝12，故△OCF面積為12cm2．7．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)F在⊙O上，且滿足＝，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，交AF的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．（1）求證：AE⊥DE；（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接OC，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA，∵＝，∴∠BAC＝∠EAC，∴∠EAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∵DE切⊙O于點(diǎn)C，∴OC⊥DE，∴AE⊥DE；（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA＝60°，∴∠BAC＝∠EAC＝