九年級數(shù)學(xué)下冊專題07 相似三角形的基本模型（K字型）（解析版）（人教版）

專題07相似三角形的基本模型（K字型）【模型說明】“一線三等角”型的圖形，因?yàn)橐粭l直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等，從而得到兩個三角形相似．1）一線三等角模型（同側(cè)型）（銳角型）（直角型）（鈍角型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED.2）一線三等角模型（異側(cè)型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ADE∽△BEC.3）一線三等角模型（變異型）圖1圖2圖3①特殊中點(diǎn)型：條件：如圖1，若C為AB的中點(diǎn)，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.【例題精講】例1．（基本模型）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出AP的長．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【分析】探究：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可；拓展：證明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．【詳解】探究：證明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，當(dāng)CP=CE時，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；當(dāng)PC=PE時，△ACP≌△BPE，則PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4；當(dāng)EC=EP時，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，綜上所述：△CPE是等腰三角形時，AP的長為4或．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．例2．（培優(yōu)綜合1）如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點(diǎn)E在邊CD或延長線上運(yùn)動，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝．【答案】3．【分析】過F作FG⊥CD，交CD的延長線于G，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；設(shè)EC＝x，則DG＝x，F(xiàn)G＝x，再根據(jù)勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依據(jù)勾股定理進(jìn)行計算，即可得出BE的長．【詳解】如圖所示，過F作FG⊥CD，交CD的延長線于G，則∠G＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，又∵∠BEF＝90°，∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，∴∠FEG＝∠EBC，又∵∠C＝∠G＝90°，∴△BCE∽△EGF，∴＝＝，即＝＝，∴FG＝EC，GE＝2＝CD，∴DG＝EC，設(shè)EC＝x，則DG＝x，F(xiàn)G＝x，∵Rt△FDG中，F(xiàn)G2+DG2＝DF2，∴（x）2+x2＝（）2，解得x2＝9，即CE2＝9，∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形．例3．（培優(yōu)綜合2）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，點(diǎn)B，C，E都在同一直線上，且△ABC和△DCE在該直線同側(cè)．（1）如圖①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，請猜想線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，請直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（3）如圖③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，請直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（用含α的式子表示）．【答案】（1）AF=DF，AF⊥DF，證明見解析；（2），證明見解析；（3）．【分析】（1）如圖①中，結(jié)論：AF=DF，AF⊥DF．證明△AHF≌△FJD（SAS），可得結(jié)論；（2）如圖②中，結(jié)論：．證明△AHF∽△FJD，可得結(jié)論；（3）如圖③中，結(jié)論：，證明方法類似（2）．【詳解】解：（1）如圖①中，結(jié)論：AF=DF，AF⊥DF．理由：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，過點(diǎn)D作DJ⊥EC于J．∵AB=AC，DC=DE，∠BAC=∠CDE=90°，∴BH=CH，CJ=JE，∴AH=BH=CH，DJ=CJ=JE，∵BF=FE，∴HJ=BF=EF，∴BH=FJ=AH，F(xiàn)H=JE=DJ，∵∠AHF=∠FJD=90°，∴△AHF≌△FJD（SAS），∴AF=FD，∠HAF=∠DFJ，∵∠FAH+∠AFH=90°，∴∠AFH+∠DFJ=90°，∴∠AFD=90°，即AF⊥DF；（2）如圖②中，結(jié)論：．理由：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，過點(diǎn)D作DJ⊥EC于J．∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BH=CH，，∵DC=DE，∠CDE=120°，∴CJ=JE，∠DEC=∠DCE=30°，∴，∵BF=FE，∴HJ=BF=EF，∴BH=FJ，HF=JE，∴，∴，∵∠AHF=∠FJD=90°，∴△AHF∽△FJD，∴，∠HAF=∠DFJ，∵∠FAH+∠AFH=90°，∴∠AFH+∠DFJ=90°，∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，∴，AF⊥DF；（3）如圖③中，結(jié)論：，理由：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，過點(diǎn)D作DJ⊥EC于J．∵AB=AC，∠BAC=α，∴BH=CH，，∵DC=DE，∠CDE=180°-α，∴CJ=JE，，∵BF=FE，∴HJ=BF=EF，∴BH=FJ，HF=JE，∴，∴，∵∠AHF=∠FJD=90°，∴△AHF∽△FJD，∴，∠HAF=∠DFJ，∵∠FAH+∠AFH=90°，∴∠AFH+∠DFJ=90°，∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，∴，AF⊥DF．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題．例4．（培優(yōu)綜合3）⑴如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)D、E在直線AB同側(cè)，∠A＝∠DCE＝∠CBE，DC＝CE.求證：AC＝BE.⑵如圖2，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)D、E在直線AB同側(cè)，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°.①求證：；②連接BD，若∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值；⑶如圖3，在△ABD中，點(diǎn)C在AB邊上，且∠ADC＝∠ABD，點(diǎn)E在BD邊上，連接CE，∠BCE＋∠BAD＝180°，AC＝3，BC＝，CE＝，直接寫出的值.【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②；（3）.【分析】（1）利用AAS證明可得AC=BE；（2）①先證明△DAC∽△CBE，再利用相似三角形的性質(zhì)可得；②根據(jù)∠A=∠DCE=∠CBE=90°，∠ADC=∠ABD，可推出△ADC∽△ADB，從而求出相應(yīng)的線段長度，得到tan∠CDB的值．（3）根據(jù)∠ADC=∠ABD，可推出△ADC∽△ADB，從而得到AD的長，根據(jù)∠BCE+∠BAD=180°，以E為圓心，EC長為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)H，連接EH，可得EH=EC，∠EHC=∠ECB=∠ADC+∠DCA，可得△BEH∽△ADC，則.【詳解】（1）證明：如圖1，，又，又（2）①證明：∵∠DCA+∠DCE+∠ECB=180°，∠DCA+∠A+∠CDA=180°，∠A=∠DCE，∴∠ADC=∠ECB，∵∠A=∠B，∴△DAC∽△CBE，②如圖2，∵∠ADC=∠DBA，∠A=∠A，∴△ADC∽△ABD，AB=AC+BC=∴解得AD=5，設(shè)∠DBA=∠CDA=α，∴∠CDG=90-2α，∴∠CGD=2α，∴∠GCB=∠GBC=α，∴CG=GB，設(shè)CG=GB=x，解得（3）如圖3，∵∠ADC=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ADB，解得AD=5，∵∠BCE+∠BAD=180°，∠ADC+∠DCA+∠BAD=180°，∴∠ADC+∠DCA=∠BCE，以E為圓心，EC長為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)H，連接EH，∴EH=EC，∠EHC=∠ECB=∠ADC+∠DCA，∵∠B=∠ADC，∴∠BEH=∠ACD，∴△BEH∽△ADC，故答案為【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形得性質(zhì)和判定，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出相關(guān)的線段長度，最后一問以EC為腰作等腰三角形為解題關(guān)鍵．例5．（與反比例函數(shù)綜合）如圖，在矩形中，，，分別以、所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，是邊上的一個動點(diǎn)（不與、重合），過點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)，將沿對折后，點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，則的值為．【答案】【分析】過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)翻折的性質(zhì)得到，進(jìn)而證明，再根據(jù)相似的性質(zhì)得到，通過矩形EAOM的性質(zhì)得到EM的長度，進(jìn)而得到DB的長度，最后在中應(yīng)用勾股定理即可求解．【詳解】如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵四邊形AOBC為矩形，OA=3，OB=4，∴BC=OA=3，AC=OB=4，，．∴，，，．∵點(diǎn)F在邊BC上，點(diǎn)E在邊AC上，∴，．又∵點(diǎn)E，F(xiàn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，．∴，．∴，．∴，．∵沿EF對折后得到，∴，，．∴．∵軸，∴∴，．∴．∴．∴．∵四邊形AOBC是矩形，∴．又∵軸，∴．∴四邊形EAOM是矩形，∴．在中，滿足，即，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與長度之間的關(guān)系以及勾股定理，作出合適的輔助線，熟練應(yīng)用以上知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．例7．（與二次函數(shù)綜合）如圖，拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)，其頂點(diǎn)為點(diǎn)C，連接AB，點(diǎn)D在拋物線上A、C兩點(diǎn)之間，過點(diǎn)D作軸，垂足為點(diǎn)F，DF與AB交于點(diǎn)E．（1）求此拋物線的解析式．（2）連接AD、BD，設(shè)的面積為S，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式并求出S的最大值．（3）點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，試探究平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2），；（3）存在，或或．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；（2）可求出直線AB的解析式，進(jìn)而求得E點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出DE，然后利用三角形面積公式可求得△ABD的面積；（3）當(dāng)△ABM為直角三角形時，可找到滿足條件的點(diǎn)N，分三種情況分別討論可求得N點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）∵拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)，∴，解得，∴此拋物線的解析式為．（2）∵，∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)D在拋物線上A，C兩點(diǎn)之間，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，∴，由點(diǎn)和點(diǎn)得出直線AB的解析式為，∴，∴，∵，∴，∵，∴當(dāng)m的值為時，S有最大值．（3）∵以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，為直角三角形，①當(dāng)，則M在y軸上時，過點(diǎn)B作軸，軸，交于Q點(diǎn)，如圖1，由點(diǎn)和點(diǎn)可知，，，則有∽，∴，即，解得，∵≌，∴，，∴，②當(dāng)，則M在x軸上時，作軸于H，軸于G，如圖2，由點(diǎn)和點(diǎn)可知，，則有∽，∴，，∵，∴，∴，∴G，H重合，∴，∴，③當(dāng)時，則M只能在y軸上，作軸于P，軸于Q，如圖3，∵，∴，而，，∴，在與中，∴≌（）∴，，∵直線AB的解析式為，∴直線AM的解析式為，∴，∴，∴，綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等．在（2）中求得E坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出M點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的應(yīng)用．本題考查知識點(diǎn)較基礎(chǔ)，難度適中．課后訓(xùn)練1．如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有一動點(diǎn)，連接并延長交圖象的另一支于點(diǎn)，在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，點(diǎn)始終在函數(shù)的圖象上運(yùn)動，若，則的值為（

）A．－6 B．－12 C．－18 D．－24【答案】B【分析】連接OC，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，通過角的計算找出∠AOE＝∠COF，結(jié)合“∠AEO＝90°，∠CFO＝90°”可得出△AOE∽△COF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再由，得出，可得出CF?OF的值，進(jìn)而得到k的值．【詳解】如圖，連接OC，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，∵由直線AB與反比例函數(shù)的對稱性可知A、B點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對稱，∴AO＝BO，又∵AC＝BC，∴CO⊥AB，∵∠AOE＋∠AOF＝90°，∠AOF＋∠COF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，∴△AOE∽△COF，∴，∵，∴，∴CF＝2AE，OF＝2OE，又∵AE?OE＝3，∴CF?OF＝|k|＝4×3＝12，∴k＝±12，∵點(diǎn)C在第二象限，∴k＝?12，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出CF?OF＝12．解決該題型題目時，巧妙的利用了相似三角形的性質(zhì)找出對應(yīng)邊的比例，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出結(jié)論．2．如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點(diǎn)，過矩形的中心，且．為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則四邊形的周長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，證明四邊形是矩形，再證明，求得與的長度，由勾股定理求得與，再由矩形的周長公式求得結(jié)果．【詳解】解：連接，四邊形是矩形，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形，，矩形是中心對稱圖形，過矩形的中心．過點(diǎn)，且，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，，，，，，設(shè)，則，，，解得，或4，或4，當(dāng)時，，則，，四邊形的周長；同理，當(dāng)時，四邊形的周長；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，關(guān)鍵在于證明四邊形是矩形．3．如圖，在中，，點(diǎn)在上，連接，，，，則線段．

【答案】【分析】作CE＝AC交AB于E，證明△DCE是等腰三角形，過點(diǎn)D作DF⊥CE于F，求出CF＝2，然后證明△ABC∽△CDF，利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式計算即可．【詳解】解：如圖，作CE＝AC交AB于E，則∠A＝∠CEA，CE＝4，∵∠ADC＝∠DCE＋∠CEA，∠ADC＝2∠A，∴∠DCE＝∠A＝∠CEA，∴DC＝DE，過點(diǎn)D作DF⊥CE于F，則CF＝EF＝＝2，∵∠DCE＝∠A，∠DFC＝∠BCA＝90°，∴△ABC∽△CDF，∴，在Rt△ABC中，，∴，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，通過作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．4．如圖，是直角三角形，，，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上．若點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為【答案】?8【分析】求函數(shù)的解析式只要求出B點(diǎn)的坐標(biāo)就可以，過點(diǎn)A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，分別于C，D．根據(jù)條件得到△ACO∽△ODB，得到，然后用待定系數(shù)法即可．【詳解】過點(diǎn)A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，分別于C，D．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（m，n），則AC＝n，OC＝m，∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∵∠DBO＋∠BOD＝90°，∴∠DBO＝∠AOC，∵∠BDO＝∠ACO＝90°，∴△BDO∽△OCA，∴，∵OB＝2OA，∴BD＝2m，OD＝2n，因?yàn)辄c(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則mn＝2，∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)是（?2n，2m），∴k＝?2n?2m＝?4mn＝?8．故答案為：?8．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定和性質(zhì)，求函數(shù)的解析式的問題，一般要轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo)的問題，求出圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積就可以求出反比例函數(shù)的解析式．5．如圖，已知D是等邊邊AB上的一點(diǎn)，現(xiàn)將折疊，使點(diǎn)C與D重合，折痕為EF，點(diǎn)E、F分別在AC和BC上．如果，則的值為．【答案】7：8【分析】設(shè)AD=2x，DB=3x，連接DE、DF，由折疊的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得△ADE∽△BFD，由相似三角形的性質(zhì)即可求得CE:CF的值．【詳解】設(shè)AD=2x，DB=3x，則AB=5x連接DE、DF，如圖所示∵△ABC是等邊三角形∴BC=AC=AB=5x，∠A=∠B=∠ACB=60°由折疊的性質(zhì)得：DE=CE，DF=CF，∠EDF=∠ACB=60°∴∠ADE+∠BDF=180°?∠EDF=120°∵∠BDF+∠DFB=180°?∠B=120°∴∠ADE=∠DFB∴△ADE∽△BFD∴即CE：CF=7：8故答案為：7：8【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明三角形相似是本題的關(guān)鍵．6．已知在中，，，，為邊上的一點(diǎn)．過點(diǎn)作射線，分別交邊、于點(diǎn)、．（1）當(dāng)為的中點(diǎn)，且、時，如圖1，_______：（2）若為的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，_______；（3）若改變點(diǎn)到圖3的位置，且時，求的值．【答案】（1）2；（2）2；（3）【分析】（1）由為的中點(diǎn)，結(jié)合三角形的中位線的性質(zhì)得到從而可得答案；（2）如圖，過作于過作于結(jié)合（1）求解再證明利用相似三角形的性質(zhì)可得答案；（3）過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，證明,可得再證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解同法求解從而可得答案．【詳解】解：（1）為的中點(diǎn)，故答案為：（2）如圖，過作于過作于由（1）同理可得：故答案為：（3）過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，∵，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∵，，∴．∴∴．∵，∴．∵，∴．∴．同理可得：．∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，三角形中位線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是直線AC上一動點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)D作FD⊥ED，交直線BC于點(diǎn)F．（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，若m＝n，點(diǎn)E在線段AC上，則＝；（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖2，若點(diǎn)E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；②當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或【分析】（1）先用等量代換判斷出，，得到∽，再判斷出∽即可；（2）方法和一樣，先用等量代換判斷出，，得到∽，再判斷出∽即可；（3）由的結(jié)論得出∽，判斷出，求出DE，再利用勾股定理，計算出即可．【詳解】解：當(dāng)時，即：，，，，，，，，即，∽，，，，∽，，，，，，，，，即，∽，，，，∽，，成立如圖3，，，又，，，，，即，∽，，，，∽，，．由有，∽，，，，如圖4圖5圖6，連接EF．在中，，，，如圖4，當(dāng)E在線段AC上時，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，，或舍如圖5，當(dāng)E在AC延長線上時，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，，，或舍，③如圖6，當(dāng)E在CA延長線上時，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，，，或（舍），綜上：或．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了三角形相似的性質(zhì)和判定，勾股定理，判斷相似是解決本題的關(guān)鍵，求CE是本題的難點(diǎn)．8．等邊△ABC邊長為6，P為BC上一點(diǎn)，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P上，使三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．(1)如圖1，當(dāng)P為BC的三等分點(diǎn)，且PE⊥AB時，判斷△EPF的形狀；(2)在（1）問的條件下，F(xiàn)E、PB的延長線交于點(diǎn)G，如圖2，求△EGB的面積；(3)在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如圖3，求PE的長．【答案】(1)等邊三角形；(2)；(3)4【分析】（1）要證三角形EPF是等邊三角形，已知了∠EPF＝60°，主要再證得PE＝PF即可，可通過證三角形PBE和PFC全等來得出結(jié)論，再證明全等過程中，可通過證明FP⊥BC和BE＝PC來實(shí)現(xiàn)；（2）由（1）不難得出∠CFG＝90°，那么在△CFG中，有∠C的度數(shù)，可以根據(jù)CF的長求出GC的長，從而求出GB的長，下面的關(guān)鍵就是求GB邊上的高，過E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的長，有∠ABC的度數(shù)，可以求出BE、EP的長，再根據(jù)三角形面積的不同表示方法求出EH的長，這樣有了底和高就能求出△GBE的面積；（3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，設(shè)BP＝x，則CP＝6﹣x，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出x的值，再根據(jù)勾股定理求出PE的值即可．【詳解】（1）∵PE⊥AB，∠B＝60°，因此直角三角形PEB中，，∴∠BPE＝30°，∵∠EPF＝60°，∴FP⊥BC，在△BEP和△CPF中，，∴△BEP≌△CPF，∴EP＝PF，∵∠EPF＝60°，∴△EPF是等邊三角形．（2）過E作EH⊥BC于H，由（1）可知：FP⊥BC，，在三角形FCP中，∠PFC＝90°﹣∠C＝30°，∵∠PFE＝60°，∴∠GFC＝90°，直角三角形FGC中，∠C＝60°，CF＝4，∴GC＝2CF＝8，∴GB＝GC﹣BC＝2，直角三角形BEP中∠EBP＝60°，BP＝4，∴PE＝2，BE＝2，∴EH＝BE?PE÷BP＝，∴S△GBE＝；（3）∵在BPE中，∠B＝60°，∴∠BEP+∠BPE＝120°，∵∠EPF＝60°，∴∠BPE+∠FPC＝120°，∴∠BEP＝∠FPC，又∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CFP，∴，設(shè)BP＝x，則CP＝6﹣x．∴＝，解得：x＝2或4．當(dāng)x＝2時，在△△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝2，過E作EH⊥BC于H，則EH＝BE?sin∠B＝2，BH＝2，∴PH＝0，即P與H重合，與CF≠BP矛盾，故x＝2不合題意，舍去；當(dāng)x＝4時，在△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝4，則△BEP是等邊三角形，∴PE＝4．故PE＝4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，注意對全等三角形和等邊三角形的應(yīng)用．9．（1）問題如圖1，在四邊形中，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，當(dāng)時，求證：．（2）探究若將角改為銳角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且，若，求的長．【答案】（1）見解析；（2）成立；理由見解析；（3）5【分析】（1）由可得,即可證到，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2）由可得,即可證到，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（3）證明,求出，再證,可求,進(jìn)而解答即可．【詳解】解：（1）證明：如圖1，，，，又，；（2）結(jié)論仍成立；理由：如圖2，，又，，，，又，，；（3）,,,是等腰直角三角形

是等腰直角三角形又即解得．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似，正切值的求法，能夠通過構(gòu)造角將問題轉(zhuǎn)化為一線三角是解題的關(guān)鍵．10．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，，將邊繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，在射線上取點(diǎn)D，使得．請求出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）類比探究：如圖2，若，作，且，其他條件不變，則線段與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?如果變化，請寫出變化后的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（3）拓展延伸：如圖3，正方形的邊長為6，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且，把線段逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，直接寫出線段的長．

【答案】（1）；（2）發(fā)生變化，，證明見解析；（3）【分析】（1）結(jié)合“一線三等角”推出，從而證得結(jié)論即可；（2）利用條件證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明即可；（3）作延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，結(jié)合“一線三垂直”證明，從而利用全等三角形的性質(zhì)求出和，最后利用勾股定理計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴．在和中，∴，∴．（2）發(fā)生變化，．證明：由（1）得，，，∴，∴，∴．（3）如圖所示，作延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，，，由（1）同理可證，，∴，，∴，，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，準(zhǔn)確證明三角形全等或相似，并熟練運(yùn)用其性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=-交x軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-1，連接BC交y軸于點(diǎn)D．(1)如圖1，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖2，點(diǎn)P在第二象限內(nèi)拋物線上，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于G，點(diǎn)E在線段PG上，連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE交線段DB于F，若EF=AE，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段PE的長為d，求d與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)H在線段OB上，連接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)（0，2）(2)(3)（，）【分析】（1）先根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)B、點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線BC解析式，即可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過E作x軸平行線l，過A、F作l的垂線段，垂足分別為N、M，證明出△ANE≌△EMF，得AN=EM，NE=MF，用t、d表示出F點(diǎn)坐標(biāo)，將該坐標(biāo)代入直線BC解析式即可得d與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）過C作CQ⊥PG于Q，由∠CEF=∠AEH，知△CEQ∽△EHG，得：，即，求出HG的表達(dá)式，可得用t表示的AH的長度，再利用，可得EH-CE與CE的關(guān)系，代入EH-CE=即可得CE關(guān)于t的表達(dá)式，由勾股定理得到關(guān)于t的方程，解方程即可．【詳解】（1）解：令拋物線中的y=0，即，解得：x=-4或x=1，當(dāng)x=-1時，y=4，即C（-1，4），即A（-4，0），B（1，0），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則，解得：，即直線BC解析式為y=-2x+2，當(dāng)x=0時，y=2，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．（2）解：過E作x軸平行線l，過A、F作l的垂線段，垂足分別為N、M，如圖所示，由∠AEN+∠FEM=90°，∠AEN+∠EAN=90°知∠FEM=∠EAN，∵AE=EF，∴△ANE≌△EMF，∴AN=EM，NE=MF，∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，PE=d，∴P（t，yP），NE=t+4=MF，EG=yP－d=AN=EM，其中，∴F點(diǎn)橫坐標(biāo)為：t+EM=t+yP－d，F(xiàn)點(diǎn)縱坐標(biāo)為：EG－MF=yP－d－（t+4），將F點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-2x+2得：yP－d－（t+4）=－2（t+yP－d）+2，化簡得：3d=，即．（3）解：過C作CQ⊥PG于Q，如圖所示，∵∠CEF=∠AEH，∠AEF=90°，∴∠EFH=90°，則∠CEQ+∠ECQ=∠CEQ+∠HEG=90°，∴∠ECQ=∠HEG，∴△CEQ∽△EHG，∴，由（2）知，EG=yP－d=，∴QE=4-EG=，CQ=-1-t，∴，∴HG=，，∴，AH=AG+GH=t+4+=，即，∵EH-CE=，∴=，即：，∵C（－1，4），E（t，），∴由勾股定理得：（t+1）2+（-4）2=（）2，解得：（舍）或，∴P（，）．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形判定及性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及一元二次方程的解法等知識點(diǎn)．作出輔助線構(gòu)造出全等三角形及相似三角形是解題關(guān)鍵．12．如圖，矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），EF⊥BE交CD于點(diǎn)F．

（1）求證：EA·ED＝AB·DF；（2）若BE平分∠ABD，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，AG交BE于點(diǎn)K，H為AB邊上一點(diǎn)，∠BEH＝45°，BD交EF于點(diǎn)J，當(dāng)＝時，求；

（3）若AB＝BC，點(diǎn)K為線段BE的三等分點(diǎn)（BK＜E