2025屆山西大同市第一中學高一下數學期末預測試題含解析

2025屆山西大同市第一中學高一下數學期末預測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．曲線與過原點的直線沒有交點，則的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知等差數列的前項和，若，則（）A．25 B．39 C．45 D．543．如圖，一個邊長為的正方形里有一個月牙形的圖案，為了估算這個月牙形圖案的面積，向這個正方形里隨機投入了粒芝麻，經過統(tǒng)計，落在月牙形圖案內的芝麻有粒，則這個月牙圖案的面積約為（）A． B． C． D．4．已知向量，且，則m=()A．?8 B．?6C．6 D．85．不等式的解集是：A． B．C． D．6．將函數的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），得到函數的圖象.若函數在區(qū)間上有且僅有兩個零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知數列滿足，且，其前n項之和為，則滿足不等式的最小整數n是（）A．5 B．6 C．7 D．88．已知一扇形的周長為，圓心角為，則該扇形的面積為()A． B． C． D．9．設函數，則()A．在單調遞增，且其圖象關于直線對稱B．在單調遞增，且其圖象關于直線對稱C．在單調遞減，且其圖象關于直線對稱D．在單調遞增，且其圖象關于直線對稱10．若直線經過A(1,0),B(2,3)兩點，則直線A．135° B．120° C．60° D．45°二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知是奇函數，且，則_______．12．已知，，則的值為．13．一個幾何體的三視圖如圖所示（單位:m）,則該幾何體的體積為.14．已知兩點A（2，1）、B（1，1+）滿足＝（sinα，cosβ），α，β∈（﹣，），則α+β＝_______________15．已知向量，，若，則______；若，則______.16．已知圓截直線所得線段的長度是，則圓M與圓的位置關系是_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（1）證明：{an+bn}是等比數列，{an–bn}是等差數列；（2）求{an}和{bn}的通項公式.18．某地統(tǒng)計局調查了10000名居民的月收入，并根據所得數據繪制了樣本的頻率分布直方圖如圖所示．（1）求居民月收入在[3000,3500）內的頻率；（2）根據頻率分布直方圖求出樣本數據的中位數；（3）為了分析居民的月收入與年齡、職業(yè)等方面的關系，必須按月收入再從這10000中用分層抽樣的方法抽出100人做進一步分析，則應從月收入在[2500,3000)內的居民中抽取多少人？19．已知，，，均為銳角，且.（1）求的值；（2）若，求的值.20．如圖所示，某住宅小區(qū)的平面圖是圓心角為120°的扇形，小區(qū)的兩個出入口設置在點及點處，且小區(qū)里有一條平行于的小路，已知某人從沿走到用了10分鐘，從沿走到用了6分鐘，若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑的長.21．正四面體是側棱與底面邊長都相等的正三棱錐，它的對棱互相垂直.有一個如圖所示的正四面體，E，F，G分別是棱AB，BC，CD的中點.（1）求證：面EFG；（2）求異面直線EG與AC所成角的大小.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

作出曲線的圖形，得出各射線所在直線的傾斜角，觀察直線在繞著原點旋轉時，直線與曲線沒有交點時，直線的傾斜角的變化，由此得出的取值范圍.【詳解】當，時，由得，該射線所在直線的傾斜角為；當，時，由得，該射線所在直線的傾斜角為；當，時，由得，該射線所在直線的傾斜角為；當，時，由得，該射線所在直線的傾斜角為.作出曲線的圖象如下圖所示：由圖象可知，要使得過原點的直線與曲線沒有交點，則直線的傾斜角的取值范圍是，故選：A.【點睛】本題考查直線傾斜角的取值范圍，考查數形結合思想，解題的關鍵就是作出圖形，利用數形結合思想進行求解，屬于中等題.2、A【解析】

設等差數列的公差為，從而根據，即可求出，這樣根據等差數列的前項和公式即可求出．【詳解】解：設等差數列的公差為，則由，得：，，，故選：A．【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式和等差數列的前項和公式，屬于基礎題．3、A【解析】

根據幾何概型直接進行計算即可.【詳解】月牙形圖案的面積約為：本題正確選項：【點睛】本題考查幾何概型的應用，屬于基礎題.4、D【解析】

由已知向量的坐標求出的坐標，再由向量垂直的坐標運算得答案．【詳解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．故選D．【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，考查向量垂直的坐標運算，屬于基礎題．5、C【解析】

把不等式轉化為不等式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，不等式，等價于，解得，即不等式的解集為，故選C．【點睛】本題主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟記一元二次不等式的解法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．6、C【解析】

寫出變換后的函數解析式，，，結合正弦函數圖象可分析得：要使函數有且僅有兩個零點，只需，即可得解.【詳解】由題，根據變換關系可得：，函數在區(qū)間上有且僅有兩個零點，，，根據正弦函數圖象可得：，解得：.故選：C【點睛】此題考查函數圖象的平移和伸縮變換，根據函數零點個數求參數的取值范圍.7、C【解析】

首先分析題目已知3an+1+an=4（n∈N*）且a1=9，其前n項和為Sn，求滿足不等式|Sn﹣n﹣6|＜的最小整數n．故可以考慮把等式3an+1+an=4變形得到，然后根據數列bn=an﹣1為等比數列，求出Sn代入絕對值不等式求解即可得到答案．【詳解】對3an+1+an=4變形得：3（an+1﹣1）=﹣（an﹣1）即：故可以分析得到數列bn=an﹣1為首項為8公比為的等比數列．所以bn=an﹣1=8×an=8×+1所以|Sn﹣n﹣6|=解得最小的正整數n=7故選C．【點睛】此題主要考查不等式的求解問題，其中涉及到可化為等比數列的數列的求和問題，屬于不等式與數列的綜合性問題，判斷出數列an﹣1為等比數列是題目的關鍵，有一定的技巧性屬于中檔題目．8、C【解析】

根據題意設出扇形的弧長與半徑，通過扇形的周長與弧長公式即可求出扇形的弧長與半徑，進而根據扇形的面積公式即可求解．【詳解】設扇形的弧長為，半徑為，扇形的圓心角的弧度數是.

則由題意可得：.

可得：，解得：，.可得：故選：C【點睛】本題主要考查扇形的周長與扇形的面積公式的應用，以及考查學生的計算能力，屬于基礎題．9、B【解析】

先將函數化簡，再根據三角函數的圖像性質判斷單調性和對稱性，從而選擇答案.【詳解】

根據選項有，當時，在在上單調遞增.又即為的對稱軸.當時，為的對稱軸.故選：B【點睛】本題考查的單調性和對稱性質，屬于中檔題.10、C【解析】

利用斜率公式求出直線AB，根據斜率值求出直線AB的傾斜角.【詳解】直線AB的斜率為kAB=3-02-1【點睛】本題考查直線的傾斜角的求解，考查直線斜率公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據奇偶性定義可知，利用可求得，從而得到；利用可求得結果.【詳解】為奇函數又即，解得：本題正確結果：【點睛】本題考查根據函數的奇偶性求解函數值的問題，屬于基礎題.12、3【解析】

，故答案為3.13、【解析】該幾何體是由兩個高為1的圓錐與一個高為2的圓柱組合而成,所以該幾何體的體積為.考點：本題主要考查三視圖及幾何體體積的計算.14、或0【解析】

運用向量的加減運算和特殊角的三角函數值，可得所求和．【詳解】兩點A（2，1）、B（1，1）滿足（sinα，cosβ），可得（﹣1，）＝（，）＝（sinα，cosβ），即為sinα，cosβ，α，β∈（），可得α，β＝±，則α+β＝0或．故答案為0或．【點睛】本題考查向量的加減運算和三角方程的解法，考查運能力，屬于基礎題．15、6【解析】

由向量平行與垂直的性質，列出式子計算即可.【詳解】若，可得，解得；若，則，解得.故答案為：6；.【點睛】本題考查平面向量平行、垂直的性質，考查平面向量的坐標運算，考查學生的計算能力，屬于基礎題.16、相交【解析】

根據直線與圓相交的弦長公式，求出的值，結合兩圓的位置關系進行判斷即可．【詳解】解：圓的標準方程為，則圓心為，半徑，圓心到直線的距離，圓截直線所得線段的長度是，即，，則圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，則，，，，即兩個圓相交．故答案為：相交．【點睛】本題主要考查直線和圓相交的應用，以及兩圓位置關系的判斷，根據相交弦長公式求出的值是解決本題的關鍵．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2），．【解析】

(1)可通過題意中的以及對兩式進行相加和相減即可推導出數列是等比數列以及數列是等差數列；(2)可通過(1)中的結果推導出數列以及數列的通項公式，然后利用數列以及數列的通項公式即可得出結果．【詳解】(1)由題意可知，，，，所以，即，所以數列是首項為、公比為的等比數列，，因為，所以，數列是首項、公差為的等差數列，．(2)由(1)可知，，，所以，．【點睛】本題考查了數列的相關性質，主要考查了等差數列以及等比數列的相關證明，證明數列是等差數列或者等比數列一定要結合等差數列或者等比數列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．18、（1）0.15（2）2400（3）25人【解析】

(1)由頻率分布直方圖計算可得月收入在[3000,3500）內的頻率；(2)分別計算小長方形的面積值，利用中位數的特點即可確定中位數的值；(3)首先確定10000人中月收入在[2500,3000]內的人數，然后結合分層抽樣的特點可得應抽取的人數.【詳解】（1）居民月收入在[3000,3500]內的頻率為（2）因為，，，，所以樣本數據的中位數為.（3）居民月收入在[2500,3000]內的頻率為，所以這10000人中月收入在[2500,3000]內的人數為.從這10000人中用分層抽樣的方法抽出100人，則應從月收入在[2500,3000]內的居民中抽取(人).【點睛】利用頻率分布直方圖求眾數、中位數和平均數時，應注意三點：①最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數；②中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；③平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.19、（1）；（2）【解析】

(1)計算表達出,再根據,兩邊平方求化簡即可求得.(2)根據,再利用余弦的差角公式展開后分別計算求解即可.【詳解】（1）由題意,得,,,,.（2）,,均為銳角,仍為銳角,,,.【點睛】本題主要考查了根據向量的數量積列出關于三角函數的等式,再利用三角函數中的和差角以及湊角求解的方法.屬于中檔題.20、【解析】

連接，由題意，得米，米，，在△中，由余弦定理可得答案.【詳解】設該扇形的半徑為米，連接，如圖所示：由題意，得米，米，，在△中，由余弦定理得，即，解得米.答：該扇形的半徑的長為米.【點睛】本題考查了利用余弦定理解三角形，將問題轉化為在三角形中求解是解題關鍵，屬于基礎題.21、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）連接EF