福建省廈門市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（教師版）

廈門市2022—2023學(xué)年第二學(xué)期高一年級質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號、姓名境寫在答題卡上.考生要認(rèn)真核對答題卡上粘淇的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.馬在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在毎小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)的虛部為（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法求得復(fù)數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：，所以復(fù)數(shù)的虛部為1.故選：A.2.某高中志愿者協(xié)會共有250名學(xué)生，其中高三年級學(xué)生50名．為了解志愿者的服務(wù)意愿，按年級采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取50名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，則高一年和高二年共抽取的學(xué)生數(shù)為（）A.25 B.30 C.40 D.45【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：高三抽取人，所以高一年和高二年共抽取的學(xué)生數(shù)為.故選：C.3.將一個(gè)底面半徑為2，高為3的圓柱體鐵塊磨制成一個(gè)球體零件，則可能制作的最大零件的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓柱底面直徑與高的關(guān)系可知球體最大直徑，然后可得.【詳解】由題可知，圓柱的底面直徑為4，高為3，因?yàn)椋栽搱A柱體鐵塊能磨制的最大球體直徑為3，半徑為，所以該球體的最大體積為.故選：B4.一個(gè)袋中裝有大小與質(zhì)地相同的3個(gè)白球和若干個(gè)紅球，某班分成20個(gè)小組進(jìn)行隨機(jī)摸球試驗(yàn)，每組各做50次，每次有放回地摸1個(gè)球并記錄顏色．統(tǒng)計(jì)共摸到紅球619次，則袋中紅球的個(gè)數(shù)最有可能為（）A.3 B.5 C.7 D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)頻率與概率之間的關(guān)系即可列式子求解.【詳解】設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為，由題意可知：，所以紅球的個(gè)數(shù)最可能是5個(gè)，故選：B5.在平行四邊形中，，，設(shè)，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：.故選：A.6.某班共有48名同學(xué)，其中12名同學(xué)精通樂器，8名同學(xué)擅長舞蹈，從該班中任選一名同學(xué)了解其藝術(shù)特長．設(shè)事件“選中的同學(xué)精通樂器”，“選中的同學(xué)擅長舞蹈”，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求，然后由概率性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】由題知，，因?yàn)?，所以，即，解?故選：C7.在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將直三棱柱補(bǔ)形為長方體模型，在長方體中容易找出線面之間的關(guān)系，通過平行線平移法作出異面直線所成的角，然后角三角形求解．【詳解】如圖，直三棱柱中，，將其補(bǔ)形為長方體連接，，顯然四邊形為平行四邊形，所以．則（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成角．在長方體中，，，．．．在中，．所以異面直線與所成角的余弦值為．故選：D．8.一個(gè)人騎自行車由地出發(fā)向正東方向騎行了到達(dá)地，然后由地向南偏東方向騎行了到達(dá)地，再從地向北偏東方向騎行了到達(dá)地，則兩地的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，作出幾何圖形，延長AB交CD于點(diǎn)E，再利用余弦定理求解作答.【詳解】如圖，，延長AB交CD于點(diǎn)E，則，因此是正三角形，，于是，在中，由余弦定理得，所以兩地的距離為.故選：B二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.如圖是全國居民消費(fèi)價(jià)格漲跌幅的統(tǒng)計(jì)圖（月度同比增長率是指本月和上一年同月相比較的增長率，月度環(huán)比增長率是指本月和上一個(gè)月相比較的增長率），從2022年5月到2023年5月（）A.全國居民消費(fèi)價(jià)格月度同比漲跌幅的極差為B.2023年1月份全國居民消費(fèi)價(jià)格月度環(huán)比漲幅最大C.2023年5月份全國居民消費(fèi)價(jià)格比2022年5月份全國居民消費(fèi)價(jià)格上漲了D.2023年2月份開始，全國居民消費(fèi)價(jià)格持續(xù)下降【答案】BCD【解析】【分析】觀察統(tǒng)計(jì)圖，觀察月度環(huán)比，月度同比增長率的變化趨勢即可得．【詳解】A項(xiàng)，由圖可知最大月度同比漲幅最大為2.8，最小為0.1，所以，全國居民消費(fèi)價(jià)格月度同比漲跌幅的極差為，A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，月度環(huán)比曲線中，2023年1月份全國居民消費(fèi)價(jià)格月度環(huán)比漲幅最大為，B正確；C項(xiàng)，2023年5月份月度同比增長為，則全國居民消費(fèi)價(jià)格上漲了，C正確；D項(xiàng)，2023年2月份開始，月度環(huán)比增長率都為負(fù)數(shù)，則全國居民消費(fèi)價(jià)格持續(xù)下降，D正確．故選：BCD．10.在平面直角坐標(biāo)系中，向量，如圖所示，則（）A.B.C.在方向上的投影向量的模為1D.存在實(shí)數(shù)，使得與共線【答案】BCD【解析】【分析】由題意可得：，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可得：.對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以，不垂直，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以在方向上的投影向量的模為，故C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，若與共線，則，解得，所以當(dāng)時(shí)，與共線，故D正確；故選：BCD.11.已知復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，且不共線，為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)．若，則（）A.B.C.四邊形菱形D.若，則四邊形為正方形【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)，由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)模公式可判斷A；利用兩點(diǎn)間距離公式和勾股定理可判斷B；由向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合已知可判斷C；根據(jù)可推得，結(jié)合B可判斷D.【詳解】設(shè)，則，，因?yàn)?，，所以A正確；因?yàn)椋瑒t，因?yàn)椴还簿€，所以，即.因?yàn)?，所以，由，得，所以?dāng)且時(shí)，不垂直，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，且不共線，所以四邊形為菱形，C正確；若，故，即，由上可知，此時(shí)，又，，所以四邊形為正方形，D正確.故選：ACD12.已知正四面體的棱長為，和的重心分別為點(diǎn)、，則（）A.B.平面C.二面角的余弦值為D.直線到平面的距離為【答案】AC【解析】【分析】利用三角形重心的幾何性質(zhì)結(jié)合平行線的傳遞性可判斷A選項(xiàng)；求出與所成的角，可判斷B選項(xiàng)；利用二面角的定義結(jié)合余弦定理可判斷C選項(xiàng)；求出點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合可知點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的，可判斷D選項(xiàng).【詳解】如下圖所示：對于A選項(xiàng)，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接、，則、分別為、的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)楹偷闹匦姆謩e為點(diǎn)、，則，所以，，所以，，A對；對于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，則與所成角為，故與平面不垂直，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭沁呴L為的等邊三角形，則，且，同理可得，，則二面角的平面角為，由余弦定理可得，因此，二面角的余弦值為，C對；對于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，則點(diǎn)為等邊的中心，且，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，因?yàn)椋矫?，平面，所以，平面，所以，直線到平面的距離為點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)?，故點(diǎn)到平面距離為，D錯(cuò).故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為______．【答案】【解析】【分析】把方程化為，直接開方即可.【詳解】因?yàn)?，即，所?故答案為：14.如圖，用斜二測畫法畫出水平放置的的直觀圖為，已知，，則的周長為______．【答案】12【解析】【分析】把直觀圖還原為原圖形，利用勾股定理求出斜邊長，再計(jì)算周長．【詳解】把直觀圖△還原為原，如圖所示：所以，，所以，所以的周長為．故答案為：12．15.為調(diào)查某中學(xué)高一年級學(xué)生的身高情況，從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生作為樣本，在統(tǒng)計(jì)過程中，甲、乙兩名同學(xué)因事缺席，測得其余98名同學(xué)的平均身高為，方差為50，之后補(bǔ)測得甲、乙的身高分別為與，則樣本的方差為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)和方差的公式，即可求解．【詳解】設(shè)除甲、乙外其他98同學(xué)的身高為，，，，甲，乙的身高分別為，，由題意可知，總樣本的平均數(shù)為，，故樣本的方差為：．故答案為：49.5．16.已知的內(nèi)解所對的邊分別為，且，，，則______；若內(nèi)有一點(diǎn)，使得，，則______．【答案】①.②.【解析】【分析】第一空，根據(jù)余弦定理先得，再根據(jù)余弦定理得；第二空，根據(jù)，，得到，，分別在，中解三角形，結(jié)合邊角之間的關(guān)系可得.【詳解】在中，由余弦定理得，所以，所以又因，所以，所以，因，，所以，，因，所以又，且，所以．同理，所以，設(shè)，在中，，所以，所以，在中，，所以,由正弦定理得，即所以，得，得，得，所以，即．故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查解三角形，解題關(guān)鍵點(diǎn)是能找到，，然后找到和中有關(guān)系的量，分別在兩個(gè)三角形中解三角形，通過相關(guān)量之間的聯(lián)系，可得的相關(guān)等式.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在四邊形中，，，，其中，為不共線的向量．（1）判斷四邊形的形狀，并給出證明；（2）若，，與的夾角為，為中點(diǎn)，求．【答案】（1）四邊形為梯形，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量線性運(yùn)算判斷的關(guān)系即可；（2）利用向量數(shù)量積先求，和，然后由向量夾角公式可得.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)樗狞c(diǎn)不共線，所以且，所以四邊形為梯形．【小問2詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以?8.如圖，在正三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：//平面；（2）若，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）解法一：構(gòu)造平行四邊形，根據(jù)線面平行判定定理證明即可；解法二：構(gòu)造平行平面，利用面面平行的性質(zhì)證明線面平行；（2）根據(jù)幾何體的線面關(guān)系確定底面積與高度距離，即可的體積.【小問1詳解】解法一：取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．解法二：取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，是中點(diǎn)所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面．【小?詳解】取中點(diǎn)，連接，在正三棱柱中，所以，且，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，即平面，所以的長為點(diǎn)到平面的距離，又的面積為，所以，所以三棱錐的體積為．19.工作椅的座高是影響坐姿舒適程度的主要因素之一，符合人體工程學(xué)的合理座高約等于人體的“小腿加足高”．在某市居民中抽樣調(diào)查了50位女性（歲）和50位男性（歲）的“小腿加足高”的數(shù)據(jù)（單位：），分別按從小到大排序如下：女性345354356358363374376378379379380381382382382383384385386386387387387389389390390391391392392392392393393395396397397398399404404405409411417417418420男性383383384387388391393395399402403404405405405406409410411411411412413415415415416416418418419424427427428431431432432437437438441443447449450452457459（1）按如下方式把100個(gè)樣本觀測數(shù)據(jù)以組距20分為6組：，，．．．，，畫頻率分布直方圖．根據(jù)所給數(shù)據(jù)補(bǔ)全直方圖（用陰影表示），并估計(jì)總體的大致分布情況；（2）根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)，以男性的“小腿加足高”數(shù)據(jù)的第95百分位數(shù)和女性的“小腿加足高”數(shù)據(jù)的第5百分位數(shù)作為工作椅座高的上、下限值．根據(jù)這次調(diào)查結(jié)果，確定工作椅座高的范圍，并判斷是否在國家標(biāo)準(zhǔn)范圍（單位：）內(nèi)？若不在，請你從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度分析可能的原因．【答案】（1）答案見解析（2）本次調(diào)查所得范圍不在國家標(biāo)準(zhǔn)范圍內(nèi)，理由解析【解析】【分析】（1）由題意，得到在區(qū)間和上的頻數(shù)，可得相對應(yīng)的頻率組距，進(jìn)而補(bǔ)全頻率分布直方圖，再求解即可；（2）結(jié)合（1）中所得信息，求出男性的“小腿加足高”數(shù)據(jù)的第95百分位數(shù)和女性的“小腿加足高”數(shù)據(jù)的第5百分位數(shù)的數(shù)值，將其與國家標(biāo)準(zhǔn)對比，進(jìn)而即可求解．【小問1詳解】由題意知在區(qū)間和上的頻數(shù)分別為40，12，所以在區(qū)間和上的頻率/組距分別為，補(bǔ)全頻率分布直方圖如下：所以由直方圖可以看出，所對應(yīng)矩形面積最大，次之，并且整幅直方圖具有一定的對稱性．由此可以推測該市居民的小腿加足高的長度集中在附近，小腿加足高特別短或特別長的居民人數(shù)都較少．【小問2詳解】因?yàn)?，，所以女性的“小腿加足高”?shù)據(jù)的第5百分位數(shù)為女性的第3個(gè)數(shù)據(jù)即356，男性的“小腿加足高”數(shù)據(jù)的第95百分位數(shù)為男性的第48個(gè)數(shù)據(jù)即452，所以工作椅座高的范圍為．所以本次調(diào)查所得范圍不在國家標(biāo)準(zhǔn)范圍內(nèi)．產(chǎn)生差異的主要原因?yàn)椋孩儆蓸颖镜拇硇运鸬?，因?yàn)樵撌械恼{(diào)查結(jié)果不能代表全國的調(diào)查結(jié)果；②樣本容量過??；③測量產(chǎn)生的誤差等．20.已知的內(nèi)解所對的邊分別為，滿足．（1）求證：；（2）若為上一點(diǎn)，且，求的面積的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）2【解析】【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，再逆用差角正弦公式可得，結(jié)合角的取值范圍即可證明；（2）在中，由，，可得，利用正弦定理可求得，，再利用三角形的面積公式，結(jié)合倍角正弦公式可化簡為，結(jié)合角的范圍即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，即，因?yàn)?，，所以，所以，所以或．若，則；若，則，舍去；所以成立．【小問2詳解】在中，因?yàn)椋?，所以，由正弦定理得，即，所以．在中，由正弦定理得，因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，所以，所以的面積．又，所以，所以，所以當(dāng)，即時(shí)，的面積最大值為2．21.為了建設(shè)書香校園，營造良好的讀書氛圍，學(xué)校開展“送書券”活動(dòng).該活動(dòng)由三個(gè)游戲組成，每個(gè)游戲各玩一次且結(jié)果互不影響．連勝兩個(gè)游戲可以獲得一張書券，連勝三個(gè)游戲可以獲得兩張書券．游戲規(guī)則如下表：游戲一游戲二游戲三箱子中球的顏色和數(shù)量大小質(zhì)地完全相同的紅球3個(gè)，白球2個(gè)（紅球編號為“1，2，3”，白球編號為“4，5”）取球規(guī)則取出一個(gè)球有放回地依次取出兩個(gè)球不放回地依次取出兩個(gè)球獲勝規(guī)則取到白球獲勝取到兩個(gè)白球獲勝編號之和為獲勝（1）分別求出游戲一，游戲二的獲勝概率；（2）一名同學(xué)先玩了游戲一，試問為何值時(shí)，接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率更大．【答案】（1）游戲一獲勝的概率為，游戲二獲勝的概率為（2）的所有可能取值為．【解析】【分析】（1）利用列舉法，結(jié)合古典概型的概率公式即可得解；（2）利用互斥事件與獨(dú)立事件的概率公式求得先玩游戲二與先玩游戲三獲得書券的概率，從而得到游戲三獲勝的概率，進(jìn)而利用表格得到編號之和為的概率，由此得解.【小問1詳解】設(shè)事件“游戲一獲勝”，“游戲二獲勝”，“游戲三獲勝”，游戲一中取出一個(gè)球的樣本空間為，則，因?yàn)?，所以，．所以游戲一獲勝的概率為．游戲二中有放回地依次取出兩個(gè)球的樣本空間，則，因?yàn)?，所以，所以，所以游戲二獲勝的概率為．【小問2詳解】設(shè)“先玩游戲二，獲得書券”，“先玩游戲三，獲得書券”，則，且，，互斥，相互獨(dú)立，所以又，且，，互斥，所以若要接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率大，則，所以，即．進(jìn)行游戲三時(shí)，不放回地依次取出兩個(gè)球的所有結(jié)果如下表：第二次第一次1234512345當(dāng)時(shí)，，舍去當(dāng)時(shí)，，滿足題意，因此所有可能取值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第2小問的解決關(guān)鍵是利用互斥事件與獨(dú)立事件的概率公式求得先玩游戲二與先玩游戲三獲得書券的概率，從而得到游戲三獲勝的概率，由此得解.22.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，．（1）若平面平面，求證：；（