福建省廈門市2022-2023學年高一下學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題（教師版）

廈門市2022—2023學年第二學期高一年級質(zhì)量檢測數(shù)學試題滿分：150分考試時間：120分鐘考生注意：1．答題前，考生務必將自己的準考證號、姓名境寫在答題卡上.考生要認真核對答題卡上粘淇的條形碼的“準考證號、姓名、考試科目”與考生本人準考證號、姓名是否一致.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.馬在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在毎小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數(shù)的虛部為（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)除法求得復數(shù)，進而可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：，所以復數(shù)的虛部為1.故選：A.2.某高中志愿者協(xié)會共有250名學生，其中高三年級學生50名．為了解志愿者的服務意愿，按年級采用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取50名學生進行問卷調(diào)查，則高一年和高二年共抽取的學生數(shù)為（）A.25 B.30 C.40 D.45【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣運算求解.【詳解】由題意可知：高三抽取人，所以高一年和高二年共抽取的學生數(shù)為.故選：C.3.將一個底面半徑為2，高為3的圓柱體鐵塊磨制成一個球體零件，則可能制作的最大零件的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓柱底面直徑與高的關(guān)系可知球體最大直徑，然后可得.【詳解】由題可知，圓柱的底面直徑為4，高為3，因為，所以該圓柱體鐵塊能磨制的最大球體直徑為3，半徑為，所以該球體的最大體積為.故選：B4.一個袋中裝有大小與質(zhì)地相同的3個白球和若干個紅球，某班分成20個小組進行隨機摸球試驗，每組各做50次，每次有放回地摸1個球并記錄顏色．統(tǒng)計共摸到紅球619次，則袋中紅球的個數(shù)最有可能為（）A.3 B.5 C.7 D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)頻率與概率之間的關(guān)系即可列式子求解.【詳解】設紅球的個數(shù)為，由題意可知：，所以紅球的個數(shù)最可能是5個，故選：B5.在平行四邊形中，，，設，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)運算求解.【詳解】由題意可得：.故選：A.6.某班共有48名同學，其中12名同學精通樂器，8名同學擅長舞蹈，從該班中任選一名同學了解其藝術(shù)特長．設事件“選中的同學精通樂器”，“選中的同學擅長舞蹈”，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求，然后由概率性質(zhì)計算可得.【詳解】由題知，，因為，所以，即，解得.故選：C7.在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將直三棱柱補形為長方體模型，在長方體中容易找出線面之間的關(guān)系，通過平行線平移法作出異面直線所成的角，然后角三角形求解．【詳解】如圖，直三棱柱中，，將其補形為長方體連接，，顯然四邊形為平行四邊形，所以．則（或其補角）為異面直線與所成角．在長方體中，，，．．．在中，．所以異面直線與所成角的余弦值為．故選：D．8.一個人騎自行車由地出發(fā)向正東方向騎行了到達地，然后由地向南偏東方向騎行了到達地，再從地向北偏東方向騎行了到達地，則兩地的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，作出幾何圖形，延長AB交CD于點E，再利用余弦定理求解作答.【詳解】如圖，，延長AB交CD于點E，則，因此是正三角形，，于是，在中，由余弦定理得，所以兩地的距離為.故選：B二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．9.如圖是全國居民消費價格漲跌幅的統(tǒng)計圖（月度同比增長率是指本月和上一年同月相比較的增長率，月度環(huán)比增長率是指本月和上一個月相比較的增長率），從2022年5月到2023年5月（）A.全國居民消費價格月度同比漲跌幅的極差為B.2023年1月份全國居民消費價格月度環(huán)比漲幅最大C.2023年5月份全國居民消費價格比2022年5月份全國居民消費價格上漲了D.2023年2月份開始，全國居民消費價格持續(xù)下降【答案】BCD【解析】【分析】觀察統(tǒng)計圖，觀察月度環(huán)比，月度同比增長率的變化趨勢即可得．【詳解】A項，由圖可知最大月度同比漲幅最大為2.8，最小為0.1，所以，全國居民消費價格月度同比漲跌幅的極差為，A錯誤；B項，月度環(huán)比曲線中，2023年1月份全國居民消費價格月度環(huán)比漲幅最大為，B正確；C項，2023年5月份月度同比增長為，則全國居民消費價格上漲了，C正確；D項，2023年2月份開始，月度環(huán)比增長率都為負數(shù)，則全國居民消費價格持續(xù)下降，D正確．故選：BCD．10.在平面直角坐標系中，向量，如圖所示，則（）A.B.C.在方向上的投影向量的模為1D.存在實數(shù)，使得與共線【答案】BCD【解析】【分析】由題意可得：，根據(jù)向量的坐標運算逐項分析判斷.【詳解】由題意可得：.對于選項A：因為，所以，不垂直，故A錯誤；對于選項B：因為，所以，故B正確；對于選項C：因為，所以在方向上的投影向量的模為，故C正確；對于選項D：因為，若與共線，則，解得，所以當時，與共線，故D正確；故選：BCD.11.已知復數(shù)，，在復平面內(nèi)對應的點分別為，且不共線，為復平面的坐標原點．若，則（）A.B.C.四邊形菱形D.若，則四邊形為正方形【答案】ACD【解析】【分析】設，由復數(shù)乘法運算和復數(shù)模公式可判斷A；利用兩點間距離公式和勾股定理可判斷B；由向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合已知可判斷C；根據(jù)可推得，結(jié)合B可判斷D.【詳解】設，則，，因為，，所以A正確；因為，則，因為不共線，所以，即.因為，所以，由，得，所以當且時，不垂直，B錯誤；因為，，且不共線，所以四邊形為菱形，C正確；若，故，即，由上可知，此時，又，，所以四邊形為正方形，D正確.故選：ACD12.已知正四面體的棱長為，和的重心分別為點、，則（）A.B.平面C.二面角的余弦值為D.直線到平面的距離為【答案】AC【解析】【分析】利用三角形重心的幾何性質(zhì)結(jié)合平行線的傳遞性可判斷A選項；求出與所成的角，可判斷B選項；利用二面角的定義結(jié)合余弦定理可判斷C選項；求出點到平面的距離，結(jié)合可知點到平面的距離等于點到平面的距離的，可判斷D選項.【詳解】如下圖所示：對于A選項，延長交于點，延長交于點，連接、，則、分別為、的中點，所以，，因為和的重心分別為點、，則，所以，，所以，，A對；對于B選項，因為，且，則與所成角為，故與平面不垂直，B錯；對于C選項，取的中點，連接、，因為是邊長為的等邊三角形，則，且，同理可得，，則二面角的平面角為，由余弦定理可得，因此，二面角的余弦值為，C對；對于D選項，設點在底面的射影為點，則點為等邊的中心，且，因為平面，平面，所以，，因為，平面，平面，所以，平面，所以，直線到平面的距離為點到平面的距離，因為，故點到平面距離為，D錯.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.方程在復數(shù)范圍內(nèi)的根為______．【答案】【解析】【分析】把方程化為，直接開方即可.【詳解】因為，即，所以.故答案為：14.如圖，用斜二測畫法畫出水平放置的的直觀圖為，已知，，則的周長為______．【答案】12【解析】【分析】把直觀圖還原為原圖形，利用勾股定理求出斜邊長，再計算周長．【詳解】把直觀圖△還原為原，如圖所示：所以，，所以，所以的周長為．故答案為：12．15.為調(diào)查某中學高一年級學生的身高情況，從中隨機抽取100名學生作為樣本，在統(tǒng)計過程中，甲、乙兩名同學因事缺席，測得其余98名同學的平均身高為，方差為50，之后補測得甲、乙的身高分別為與，則樣本的方差為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)和方差的公式，即可求解．【詳解】設除甲、乙外其他98同學的身高為，，，，甲，乙的身高分別為，，由題意可知，總樣本的平均數(shù)為，，故樣本的方差為：．故答案為：49.5．16.已知的內(nèi)解所對的邊分別為，且，，，則______；若內(nèi)有一點，使得，，則______．【答案】①.②.【解析】【分析】第一空，根據(jù)余弦定理先得，再根據(jù)余弦定理得；第二空，根據(jù)，，得到，，分別在，中解三角形，結(jié)合邊角之間的關(guān)系可得.【詳解】在中，由余弦定理得，所以，所以又因，所以，所以，因，，所以，，因，所以又，且，所以．同理，所以，設，在中，，所以，所以，在中，，所以,由正弦定理得，即所以，得，得，得，所以，即．故答案為：；【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查解三角形，解題關(guān)鍵點是能找到，，然后找到和中有關(guān)系的量，分別在兩個三角形中解三角形，通過相關(guān)量之間的聯(lián)系，可得的相關(guān)等式.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在四邊形中，，，，其中，為不共線的向量．（1）判斷四邊形的形狀，并給出證明；（2）若，，與的夾角為，為中點，求．【答案】（1）四邊形為梯形，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量線性運算判斷的關(guān)系即可；（2）利用向量數(shù)量積先求，和，然后由向量夾角公式可得.【小問1詳解】因為，，所以，又因為，所以，又因為四點不共線，所以且，所以四邊形為梯形．【小問2詳解】因為，所以，因為為中點，所以，所以，所以，所以，因為，所以．18.如圖，在正三棱柱中，，分別為，的中點．（1）求證：//平面；（2）若，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）解法一：構(gòu)造平行四邊形，根據(jù)線面平行判定定理證明即可；解法二：構(gòu)造平行平面，利用面面平行的性質(zhì)證明線面平行；（2）根據(jù)幾何體的線面關(guān)系確定底面積與高度距離，即可的體積.【小問1詳解】解法一：取中點，連接，，因為是中點，所以，，因為是中點，所以，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面．解法二：取中點，連接，，因為是中點，所以，因為平面，平面，所以平面．因為是中點，是中點所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，因為平面，平面，，所以平面平面，因為平面，所以平面．【小問2詳解】取中點，連接，在正三棱柱中，所以，且，因為平面平面，所以，因為，平面，平面，所以平面，即平面，所以的長為點到平面的距離，又的面積為，所以，所以三棱錐的體積為．19.工作椅的座高是影響坐姿舒適程度的主要因素之一，符合人體工程學的合理座高約等于人體的“小腿加足高”．在某市居民中抽樣調(diào)查了50位女性（歲）和50位男性（歲）的“小腿加足高”的數(shù)據(jù)（單位：），分別按從小到大排序如下：女性345354356358363374376378379379380381382382382383384385386386387387387389389390390391391392392392392393393395396397397398399404404405409411417417418420男性383383384387388391393395399402403404405405405406409410411411411412413415415415416416418418419424427427428431431432432437437438441443447449450452457459（1）按如下方式把100個樣本觀測數(shù)據(jù)以組距20分為6組：，，．．．，，畫頻率分布直方圖．根據(jù)所給數(shù)據(jù)補全直方圖（用陰影表示），并估計總體的大致分布情況；（2）根據(jù)國家標準，以男性的“小腿加足高”數(shù)據(jù)的第95百分位數(shù)和女性的“小腿加足高”數(shù)據(jù)的第5百分位數(shù)作為工作椅座高的上、下限值．根據(jù)這次調(diào)查結(jié)果，確定工作椅座高的范圍，并判斷是否在國家標準范圍（單位：）內(nèi)？若不在，請你從統(tǒng)計學的角度分析可能的原因．【答案】（1）答案見解析（2）本次調(diào)查所得范圍不在國家標準范圍內(nèi)，理由解析【解析】【分析】（1）由題意，得到在區(qū)間和上的頻數(shù)，可得相對應的頻率組距，進而補全頻率分布直方圖，再求解即可；（2）結(jié)合（1）中所得信息，求出男性的“小腿加足高”數(shù)據(jù)的第95百分位數(shù)和女性的“小腿加足高”數(shù)據(jù)的第5百分位數(shù)的數(shù)值，將其與國家標準對比，進而即可求解．【小問1詳解】由題意知在區(qū)間和上的頻數(shù)分別為40，12，所以在區(qū)間和上的頻率/組距分別為，補全頻率分布直方圖如下：所以由直方圖可以看出，所對應矩形面積最大，次之，并且整幅直方圖具有一定的對稱性．由此可以推測該市居民的小腿加足高的長度集中在附近，小腿加足高特別短或特別長的居民人數(shù)都較少．【小問2詳解】因為，，所以女性的“小腿加足高”數(shù)據(jù)的第5百分位數(shù)為女性的第3個數(shù)據(jù)即356，男性的“小腿加足高”數(shù)據(jù)的第95百分位數(shù)為男性的第48個數(shù)據(jù)即452，所以工作椅座高的范圍為．所以本次調(diào)查所得范圍不在國家標準范圍內(nèi)．產(chǎn)生差異的主要原因為：①由樣本的代表性所引起的，因為該市的調(diào)查結(jié)果不能代表全國的調(diào)查結(jié)果；②樣本容量過?。虎蹨y量產(chǎn)生的誤差等．20.已知的內(nèi)解所對的邊分別為，滿足．（1）求證：；（2）若為上一點，且，求的面積的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）2【解析】【分析】（1）利用正弦定理進行邊化角，再逆用差角正弦公式可得，結(jié)合角的取值范圍即可證明；（2）在中，由，，可得，利用正弦定理可求得，，再利用三角形的面積公式，結(jié)合倍角正弦公式可化簡為，結(jié)合角的范圍即可求解.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得，即，因為，，所以，所以，所以或．若，則；若，則，舍去；所以成立．【小問2詳解】在中，因為，，所以，由正弦定理得，即，所以．在中，由正弦定理得，因為，所以．因為，又，所以，所以的面積．又，所以，所以，所以當，即時，的面積最大值為2．21.為了建設書香校園，營造良好的讀書氛圍，學校開展“送書券”活動.該活動由三個游戲組成，每個游戲各玩一次且結(jié)果互不影響．連勝兩個游戲可以獲得一張書券，連勝三個游戲可以獲得兩張書券．游戲規(guī)則如下表：游戲一游戲二游戲三箱子中球的顏色和數(shù)量大小質(zhì)地完全相同的紅球3個，白球2個（紅球編號為“1，2，3”，白球編號為“4，5”）取球規(guī)則取出一個球有放回地依次取出兩個球不放回地依次取出兩個球獲勝規(guī)則取到白球獲勝取到兩個白球獲勝編號之和為獲勝（1）分別求出游戲一，游戲二的獲勝概率；（2）一名同學先玩了游戲一，試問為何值時，接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率更大．【答案】（1）游戲一獲勝的概率為，游戲二獲勝的概率為（2）的所有可能取值為．【解析】【分析】（1）利用列舉法，結(jié)合古典概型的概率公式即可得解；（2）利用互斥事件與獨立事件的概率公式求得先玩游戲二與先玩游戲三獲得書券的概率，從而得到游戲三獲勝的概率，進而利用表格得到編號之和為的概率，由此得解.【小問1詳解】設事件“游戲一獲勝”，“游戲二獲勝”，“游戲三獲勝”，游戲一中取出一個球的樣本空間為，則，因為，所以，．所以游戲一獲勝的概率為．游戲二中有放回地依次取出兩個球的樣本空間，則，因為，所以，所以，所以游戲二獲勝的概率為．【小問2詳解】設“先玩游戲二，獲得書券”，“先玩游戲三，獲得書券”，則，且，，互斥，相互獨立，所以又，且，，互斥，所以若要接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率大，則，所以，即．進行游戲三時，不放回地依次取出兩個球的所有結(jié)果如下表：第二次第一次1234512345當時，，舍去當時，，滿足題意，因此所有可能取值為．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第2小問的解決關(guān)鍵是利用互斥事件與獨立事件的概率公式求得先玩游戲二與先玩游戲三獲得書券的概率，從而得到游戲三獲勝的概率，由此得解.22.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，．（1）若平面平面，求證：；（