初中奧數(shù) 圖形

精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

學(xué)員編號：年級：初三課時數(shù)：3

學(xué)員姓名：唐開元輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：王興帥

授課類型c三角形c平行四邊形c梯形

授課日期及時段2014年5月2日

教學(xué)內(nèi)容

三角形的全等及其應(yīng)用

例1.如圖2-2所示.AABC是等腰三角形，D,E分別是腰AB及AC延長線上的一點，且BD=CE,連接DE交底

BC于G.求證：GD=GE.

A

國2-21

例3如圖2-5所示.在等邊三角形ABC中，AE=CD,AD,BE交于P點，BQLAD于Q.求證：BP=2PQ.

A

B圖2-5°C

例4如圖2-6所示.ZA=90°,AB=AC,M是AC邊的中點，AD_LBM交BC于D,交BM于E.求證：

A

圖2—6

ZAMB=ZDMC.

例5如圖2-8所示.正方形ABCD中，在邊CD上任取一點Q,連AQ,過D作DPLAQ,交AQ于R,交BC于P,

正方形對角線交點為0,連OP,0Q.求證：0P±0Q.

例6如圖2-9所示.已知正方形ABCD中，M為CD的中點，E為MC上一點，且NBAE=2/DAM.求證：AE=BC+CE.

勾股定理與應(yīng)用

定理在三角形中，銳角（或鈍角）所對的邊的平方等于另外兩邊的平方和，減去（或加上）這兩邊中的一邊與

另一邊在這邊（或其延長線）上的射影的乘積的2倍.

例1如圖2-21所示.已知：在正方形ABCD中，ZBAC的平分線交BC于E,作EFXAC于F,作FGXAB于G.求

證：AB2=2FG2.

例2如圖2-22所示.AM是4ABC的BC邊上的中線，求證：AB2+AC=2(AM2+BM2).

推論4ABC的中線長公式:

=g42?+2c2-a?;①'

/=_J2a*+2c2-g。;②1

222

mc=172a+26-c.③'

例3如圖2-23所示.求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對角線的平方和加對角線中點連線平方的4

倍.

例4如圖2-24所示.已知△ABC中,ZC=90°,D,E分別是BC,AC上的任意一點.求證：AD2+BE2=AB2+DE2.

例5求證：在直角三角形中兩條直角邊上的中線的平方和的4倍等于斜邊平方的5倍.

如圖2-25所示.設(shè)直角三角形ABC中，ZC=90°,AM,BN分別是BC,AC邊上的中線.求證:

4(AM2+BN2)=5AB2.

平行四邊形

例1如圖2-32所示.在￡7ABCD中，AE±BC,CF±AD,DN=BM.求證：EF與MN互相平分.

圖2—32

例2如圖2-33所示.RtZ\ABC中，ZBAC=90°,AD_LBC于D,BG平分/ABC,EF〃BC且交AC于F.求證:

AE=CF.

例3如圖2-34所示.《7ABCD中，DE_LAB于E,BM=MC=DC.求證：ZEMC=3ZBEM.

圖2—34

例4如圖2-35所示.矩形ABCD中，CE_LBD于E,AF平分NBAD交EC延長線于F.求證：CA=CF.

例5設(shè)正方形ABCD的邊CD的中點為E,F是CE的中點（圖2-36）.求證:

ZDAE=^ZBAF.

2

例6如圖2-37所示.正方形ABCD中，在AD的延長線上取點E,F,使DE=AD,DF=BD,連接BF分別交CD,

CE于H,G.求證：是等腰三角形.

梯形

例1如圖2-43所示.在直角三角形ABC中，E是斜邊AB上的中點，D是AC的中點，DF〃EC交BC延長線

于F.求證：四邊形EBFD是等腰梯形.

⑴求證：ADCF是等腰梯形;

(2)若AADC的周長為16厘米(cm),AF=3厘米，AC-FC=1厘米，求四邊形ADCF的周長.

中位線及其應(yīng)用

3

例1如圖2-53所示.4BC中，A"C于D,E,F,G分別是?BD,AC的中點.若EG^EF,WEFM厘米，屋

ABC的面積.

例2如圖2-54所示.ZkABC中，ZB,/C的平分線BE,CF相交于0,AG_LBE于G,AH_LCF于H.

(1)求證：GH/7BC；

(2)若AB=9厘米，AC=14厘米,BC=18厘米,求GH.

例3如圖2-57所示.P是矩形ABCD內(nèi)的一點，四邊形BCPQ是平行四邊形，A',B',C',D'分別是AP,PB,

BQ,QA的中點.求證：A'C=B'D'.

CB

圖2—57

例4如圖2-58所示.在四邊形ABCD中，CD>AB,E,F分別是AC,BD的中點.求證:

EF〉g（CD-AB）.

例5如圖2-59所示.梯形ABCD中，AB〃CD,E為BC的中點，AD=DC+AB.求證：DEXAE.

例6如圖2-60所示.AABC外一條直線1,D,E,F分別是三邊的中點，AAi,FFi,DDi,EEi都垂直1于Ai,E,

Di,Ei.求證：

AAi+EEi=FFi+DDi.

AiF[0[DjEj

圖2—6。

相似三角形（一）

例2如圖2-65所示.OABCD的對角線交于0,0E交BC于E,交AB的延長線于F.若AB=a,BC=b,BF=c,

求BE.

GB

圖2—65

例4如圖2-67所示.U7ABCD中，AC與BD交于0點，E為AD延長線上一點，0E交CD于F,E0延長線交

AB于G.求證：

ABAD

DF-DE

例6如圖2-69所示.P為4ABC內(nèi)一點，過P點作線段DE,FG,HI分別平行于AB,BC和CA,且DE=FG=HI=d,

AB=510,BC=450,CA=425.求d.

第十六講相似三角形（二）

例2如圖2-77所示.在AABC中，AM是BC邊上的中線，AE平分NBAC,BD_LAE的延長線于D,且交AM延長

線于F.求證：EF〃AB.

圖2-27

例4如圖2-79所示.P,Q分別是正方形ABCD的邊AB,BC上的點，且BP=BQ,BHLPC于H.求證：QH±DH.

圖2-79

例5如圖2-80所示.P,Q分別是Rt/XABC兩直角邊AB,