新人教版九年級上冊全冊教案(下半部)

第二十二章一元二次方程

單元要點(diǎn)分析

教材內(nèi)容

1.本單元教學(xué)的主要內(nèi)容.

一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程應(yīng)用題.

2.本單元在教材中的地位與作用.

一元二次方程是在學(xué)習(xí)《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基礎(chǔ)之上學(xué)習(xí)的，它也是一

種數(shù)學(xué)建模的方法.學(xué)好一元二次方程是學(xué)好二次函數(shù)不可或缺的，是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的奠基工程.應(yīng)該說,

一元二次方程是本書的重點(diǎn)內(nèi)容.

教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

了解一元二次方程及有關(guān)概念；掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程；掌

握依據(jù)實(shí)際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的方法；應(yīng)用熟練掌握以上知識解決問題.

2.過程與方法

(1)通過豐富的實(shí)例，讓學(xué)生合作探討，老師點(diǎn)評分析，建立數(shù)學(xué)模型.根據(jù)數(shù)學(xué)模型恰如其分地

給出一元二次方程的概念.

(2)結(jié)合八冊上整式中的有關(guān)概念介紹一元二次方程的派生概念，如二次項(xiàng)等.

(3)通過掌握缺-次項(xiàng)的一元二次方程的解法——直接開方法，導(dǎo)入用配方法解一元二次方程，又

通過大量的練習(xí)鞏固配方法解一元二次方程.

(4)通過用已學(xué)的配方法解ax2+bx+c=0(aWO)導(dǎo)出解?元二次方程的求根公式，接著討論求根公

式的條件：b2-4ac>0,b2-4ac=0,b2-4ac<0.

(5)通過復(fù)習(xí)八年級上冊《整式》的第5節(jié)因式分解進(jìn)行知識遷移，解決用因式分解法解?元二次

方程，并用練習(xí)鞏固它.

(6)提出問題、分析問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并用該模型解決實(shí)際問題.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

經(jīng)歷由事實(shí)問題中抽象出元二次方程等有關(guān)概念的過程，使同學(xué)們體會到通過一元二次方程也是刻

畫現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型；經(jīng)歷用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的過

程，使同學(xué)們體會到轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想：經(jīng)歷設(shè)置豐富的問題情景，使學(xué)生體會到建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問

題的過程，從而更好地理解方程的意義和作用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

教學(xué)重點(diǎn)

1.一元二次方程及其它有關(guān)的概念.

2.用配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程.

3.利用實(shí)際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并解決這個(gè)問題.

教學(xué)難點(diǎn)

1.一元二次方程配方法解題.

2.用公式法解一元二次方程時(shí)的討論.

3.建立一元二次方程實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型；方程解與實(shí)際問題解的區(qū)別.

教學(xué)關(guān)鍵

1.分析實(shí)際問題如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型.

2.用配方法解一元二次方程的步驟.

3.解一元二次方程公式法的推導(dǎo).

課時(shí)劃分

本單元教學(xué)時(shí)間約需16課時(shí)，具體分配如下：

22.1一元二次方程2課時(shí)

22.2降次——解一元二次方程7課時(shí)

22.3實(shí)際問題與一元二次方程4課時(shí)

教學(xué)活動、習(xí)題課、小結(jié)3課時(shí)

22.1一元二次方程

第一課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關(guān)概念.

教學(xué)目標(biāo)

了解一元二次方程的概念：一般式ax2+bx+c=0（a關(guān)0）及其派生的概念；應(yīng)用一元二次方程概念解

決一些簡單題目.

1.通過設(shè)置問題，建立數(shù)學(xué)模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義.

2.一元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念.

3.解決一些概念性的題目.

4.態(tài)度、情感、價(jià)值觀

4.通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念解決問題.

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：通過提出問題，建立?元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元

二次方程的概念.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動：列方程.

問題（1）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、

廣各兒何？”

大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？

如果假設(shè)門的高為x尺，那么，這個(gè)門的寬為尺，根據(jù)題意，得.

整理、化簡，得：.

問題（2）如圖，如果二=烏，那么點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn).

ABAC

ACB

如果假設(shè)AB=1,AC=x,那么BC=,根據(jù)題意，得：.

整理得：.

問題（3）有一面積為54m2的長方形，將它的一邊剪短5m,另一邊剪短2m,恰好變成一個(gè)正方形，

那么這個(gè)正方形的邊長是多少？

如果假設(shè)剪后的正方形邊長為x,那么原來長方形長是,寬是,根據(jù)題意，得：.

整理，得：.

老師點(diǎn)評并分析如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并整理.

二、探索新知

學(xué)生活動：請口答下面問題.

（I）上面三個(gè)方程整理后含有幾個(gè)未知數(shù)？

（2）按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是兒次？

（3）有等號嗎？或與以前多項(xiàng)式一樣只有式子？

老師點(diǎn)評：（1）都只含一個(gè)未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；（3）都有等號，是方程.

因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)

的方程，叫做一元二次方程.

一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a^O).這

種形式叫做一元二次方程的一般形式.

一個(gè)一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0(aXO)后，其中ax?是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是

一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng).

例1.將方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)

系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).

分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=O(a/0).因此，方程(8-2x)(5-2x)=18必須運(yùn)用

整式運(yùn)算進(jìn)行整理，包括去括號、移項(xiàng)等.

解：去括號，得：

40-16X-10X+4X2=18

移項(xiàng)，得：4X2-26X+22=0

其中二次項(xiàng)系數(shù)為4,一次項(xiàng)系數(shù)為-26,常數(shù)項(xiàng)為22.

例2.(學(xué)生活動：請二至三位同學(xué)上臺演練)將方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方

程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)項(xiàng).

分析：通過完全平方公式和平方差公式把(x+l)2+(x-2)(x+2)=1化成ax?+bx+c=O(a/0)的形式.

解：去括號，得：

X2+2X+1+X2-4=1

移項(xiàng)，合并得：2X2+2X-4=0

其中：二次項(xiàng)2x2,二次項(xiàng)系數(shù)2；一次項(xiàng)2x,一次項(xiàng)系數(shù)2；常數(shù)項(xiàng)-4.

三、鞏固練習(xí)

教材P32練習(xí)1、2

四、應(yīng)用拓展

例3.求證：關(guān)于x的方程(n?-8m+17)x2+2mx+l=0,不論m取何值，該方程都是一元二次方程.

分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明n?-8m+17W0即可.

證明：m2-8m+17=(m-4)2+1

,/(m-4)2>0

(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1^0

不論m取何值，該方程都是一元二次方程.

五、歸納小結(jié)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)

本節(jié)課要掌握：

(1)一元二次方程的概念；(2)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=O(a^O)和二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系

數(shù)，一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)的概念及其它們的運(yùn)用.

六、布置作業(yè)

1.教材P34習(xí)題22.1k2.

2.選用作業(yè)設(shè)計(jì).

作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題

1.在下列方程中，一元二次方程的個(gè)數(shù)是().

①3x2+7=。②ax2+bx+c=0③(x-2)(x+5)=x2-l@3x2--=0

X

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.方程2x2=3(x-6)化為一般形式后二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為().

A.2,3,-6B.2,-3,18C.2,-3,6D.2,3,6

3.px2-3x+p2-q=0是關(guān)于x的一元二次方程，則().

A.p=lB.p>0C.pWOD.p為任意實(shí)數(shù)

二、填空題

1.方程3x2-3=2x+l的二次項(xiàng)系數(shù)為,一次項(xiàng)系數(shù)為,常數(shù)項(xiàng)為

2.一元二次方程的一般形式是.

3.關(guān)于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程，則a的取值范圍是.

三、綜合提高題

1.a滿足什么條件時(shí)，關(guān)于x的方程a(x2+x)=V3x-(X+1)是一元二次方程？

2.關(guān)于x的方程(2m2+m)xm+=3x=6可能是一元二次方程嗎？為什么？

3.一塊矩形鐵片，面積為In?,長比寬多3m,求鐵片的長，小明在做這道題時(shí)，是這樣做的：

設(shè)鐵片的長為X,列出的方程為x(x-3)=1,整理得：x2-3x-l=0.小明列出方程后，想知道鐵片的長

到底是多少，下面是他的探索過程:

第一步：

X1234

X2-3X-1-3-3

所以，<x<

第二步：

X3.13.23.33.4

X2-3X-1-0.96-0.36

所以，<x<

(1)請你幫小明填完空格，完成他未完成的部分；

(2)通過以上探索，估計(jì)出矩形鐵片的整數(shù)部分為,十分位為

答案：

-、1.A2.B3.C

二、1.3,-2,-4

2.ax+bx+c=O(a#0)

3.aHl

三、1.化為：ax2+(a-V3+l)x+l=0,所以，當(dāng)a#0時(shí)是一元二次方程.

+1=2

2.可能，因?yàn)楫?dāng)《?，

2"+mw0

當(dāng)m=l時(shí)，該方程是一元二次方程.

3.(1)-1,3,3,4,-0.01,0.36,3.3,3,4(2)3,3

22.1一元二次方程

第二課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

1.一元二次方程根的概念；

2.根據(jù)題意判定?個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的根及其利用它們解決一些具體題目.

教學(xué)目標(biāo)

了解一元二次方程根的概念，會判定一個(gè)數(shù)是否是一個(gè)一元二次方程的根及利用它們解決一些具體問

題.

提出問題，根據(jù)問題列出方程，化為一元二次方程的?般形式，列式求解：由解給出根的概念；再由

根的概念判定一個(gè)數(shù)是否是根.同時(shí)應(yīng)用以上的幾個(gè)知識點(diǎn)解決一些具體問題.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根；

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：由實(shí)際問題列出的?元二次方程解出根后還要考慮這些根是否確定是實(shí)際問題的根.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動：請同學(xué)獨(dú)立完成下列問題.

問題1.如圖，一個(gè)長為10m的梯子斜靠在墻匕梯子的頂端距地面的垂直距離為8m,那么梯子的

底端距墻多少米？

設(shè)梯子底端距墻為xm,那么，

根據(jù)題意，可得方程為

整理，得.

列表：

根據(jù)題意，得

整理，得.

列表：

X01234567891011

老師點(diǎn)評（略）

二、探索新知

提問：（1）問題1中一元二次方程的解是多少？問題2中一元二次方程的解是多少？

（2）如果拋開實(shí)際問題，問題1中還有其它解嗎？問題2呢？

老師點(diǎn)評:(1)問題1中x=6是x2-36=0的解，問題2中，x=10是x2+2x-120=0的解.

(3)如果拋開實(shí)際問題，問題(1)中還有x=-6的解；問題2中還有x=-12的解.

為了與以前所學(xué)的一元一次方程等只有一個(gè)解的區(qū)別，我們稱：

?元二次方程的解叫做一元二次方程的根.

回過頭來看：x2-36=0有兩個(gè)根，一個(gè)是6,另一個(gè)是一6,但-6不滿足題意；同理，問題2中的x=-12

的根也滿足題意.因此，由實(shí)際問題列出方程并解得的根，并不一定是實(shí)際問題的根，還要考慮這些根是

否確實(shí)是實(shí)際問題的解.

例1.下面哪些數(shù)是方程2x2+10x+12=0的根？

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

分析：要判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式兩邊相等即可.

解：將上面的這些數(shù)代入后，只有-2和-3滿足方程的等式，所以x=2或x=-3是一元二次方程

2X2+10X+12=0的兩根.

例2.你能用以前所學(xué)的知識求出下列方程的根嗎？

(1)X2-64=0(2)3X2-6=0(3)x2-3x=0

分析：要求出方程的根，就是要求出滿足等式的數(shù)，可用直接觀察結(jié)合平方根的意義.

解：(1)移項(xiàng)得x?=64

根據(jù)平方根的意義，得：x=±8

即Xi=8,X2=-8

(2)移項(xiàng)、整理，得X2=2

根據(jù)平方根的意義，得x=±J5

即X|=,X2=->/2

(3)因?yàn)閤?-3x=x(x-3)

所以X2-3X=0,就是x(x-3)=0

所以x=0或x-3=0

即X|=0,X2=3

三、鞏固練習(xí)

教材P33思考題練習(xí)1、2.

四、應(yīng)用拓展

例3.要剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm,這塊鐵片應(yīng)該怎樣剪？

設(shè)長為xcm,則寬為(x-5)cm

列方程x(x-5)=150,BPx2-5x-150=0

請根據(jù)列方程回答以下問題：

(1)x可能小于5嗎？可能等于10嗎？說說你的理由.

(2)完成下表：

X1011121314151617.??

X2-5X-150

(3)你知道鐵片的長x是多少嗎？

分析：x2-5x-15O=O與上面兩道例題明顯不同，不能用平方根的意義和八年級上冊的整式中的分解因式

的方法去求根，但是我們可以用一種新的方法——“夾逼”方法求出該方程的根.

解：(1)x不可能小于5.理由：如果x<5,則寬(x-5)<0,不合題意.

x不可能等于10.理由：如果x=10,則面積X2-5X-150=-100,也不可能.

(2)

X1011121314151617......

X2-5X-150-100-84-66-46-2402654......

(3)鐵片長x=15cm

五、歸納小結(jié)(學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

(1)一元二次方程根的概念及它與以前的解的相同處與不同處；

(2)要會判斷一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的根；

(3)要會用一些方法求一元二次方程的根.

六、布置作業(yè)

1.教材P34復(fù)習(xí)鞏固3、4綜合運(yùn)用5、6,7拓廣探索8、9.

2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題

1.方程x(x-1)=2的兩根為().

A.Xi=O,X2=lB.X|=0,X2=-lC.xi=l>X2=2D.X|=-l,x2=2

2.方程ax(x-b)+(b-x)=0的根是().

2

一D.X]=a\X2=b

A.Xi=b,X2=aB.xt=b,X2=C.X|=a,X2=

a

fZ70

3.已知x=-l是方程ax,bx+cX)的根(b#0),則J—+—=().

h

A.1B.-1C.0D.2

二、填空題

1.如果X2-81=0,那么X2-81=0的兩個(gè)根分別是X|=,X2=

2.已知方程5x2+mx-6=0的一個(gè)根是x=3,則m的值為.

3.方程(x+l)2+V2X(x+1)=0,那么方程的根X|=;X2=.

三、綜合提高題

1.如果x=l是方程ax2+bx+3=0的一個(gè)根，求(a-b)?+4ab的值.

2.如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)中的二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之和等于一次項(xiàng)系數(shù),

求證：-1必是該方程的一個(gè)根.

r2_1尤2_]

3.在一次數(shù)學(xué)課外活動中，小明給全班同學(xué)演示了一個(gè)有趣的變形，即在一)2-2X-~-+1=0,

r2_]

令-----=y,則有y2-2y+l=0,根據(jù)上述變形數(shù)學(xué)思想(換元法)，解決小明給出的問題：在(x?」)?+(x?/)

=0中，求出(x2-l)2+(x2-l)=0的根.

答案：

一、1.D2.B3.A

二、1.9,-92.-133.-I,1-V2

三、1.由已知，得a+b=-3,原式=(a+b)2=(-3)2=9.

2.a+c=b,a-b+c=O,把x=-1代入得

ax24-bx+c=aX(-1)2+bX(-1)+c=a-b+c=O,

A-l必是該方程的一根.

3.Sy=x2-1,貝II『+丫=0,yi=O,丫2=?1，

即當(dāng)X2-l=0,X]=l,X2=-l；

當(dāng)y2=-l時(shí)，x2-l=-l,x2=0,

X3=X4=0,

**.X]=1,x2=-l,X3=X4=0是原方程的根.

22.2.1直接開平方法

教學(xué)內(nèi)容

運(yùn)用直接開平方法，即根據(jù)平方根的意義把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.

教學(xué)目標(biāo)

理解一元二次方程“降次”——轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問題.

提出問題，列出缺?詼項(xiàng)的一元二次方程ax2+c=O,根據(jù)平方根的意義解出這個(gè)方程，然后知識遷移

到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：運(yùn)用開平方法解形如(x+m)2=n(n20)的方程；領(lǐng)會降次——轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n,知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如(x+m)2=n

(n20)的方程.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動：請同學(xué)們完成下列各題

問題1.填空

(1)X2-8X+=(x-)2；(2)9X2+12X+(3X+)2；(3)x2+px+(x+)

2

問題2.如圖，在AABC中，/B=90°,點(diǎn)P從點(diǎn)B開始，沿AB邊向點(diǎn)B以Icm/s的速度移動，

點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始，沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動，如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都從B點(diǎn)同

時(shí)出發(fā)，幾秒后aPBQ的面積等于8cm2?

c

老師點(diǎn)評：

問題1：根據(jù)完全平方公式可得：(1)164；(2)42；(3)(K)2￡.

22

問題2：設(shè)x秒后aPBO的面積等于8cm2

則PB=x,BQ=2x

依題意，得：—x,2x=8

2

X2=8

根據(jù)平方根的意義，得*=±2啦

BPX1=2V2,X2=-2V2

可以驗(yàn)證，2夜和-2拉都是方程2x?2x=8的兩根，但是移動時(shí)間不能是負(fù)值.

2

所以2秒后△PBQ的面積等于8cm2.

二、探索新知

上面我們已經(jīng)講了X2=8,根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x=+2V2,如果X換元為2t+L即(2t+l)

2=8,能否也用直接開平方的方法求解呢？

(學(xué)生分組討論)

老師點(diǎn)評：回答是肯定的，把2t+l變?yōu)樯厦娴膞,那么2t+l=±20

即2t+l=2jE,2t+l=-2V2

方程的兩根為力=J5—,t2=-V2—

22

例1：解方程：X2+4X+4=1

分析：很清楚，x?+4x+4是?個(gè)完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為(x+2)2=1.

解：由已知，得：(x+2)2=1

直接開平方，得：x+2=±l

即x+2=1,x+2=-1

所以，方程的兩根7=-1,X2=-3

例2.市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m?提高到14.4m,求每年人均住房面積增長率.

分析：設(shè)每年人均住房面積增長率為x.一年后人均住房面積就應(yīng)該是10+10x=10(1+x)；二年后

人均住房面積就應(yīng)該是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2

解：設(shè)每年人均住房面積增長率為x,

則:10(1+x)2=14.4

(1+x)2=1.44

直接開平方，得l+x=±1.2

即l+x=L2,l+x=-1.2

所以，方程的兩根是Xi=0.2=20%,X2—2.2

因?yàn)槊磕耆司》棵娣e的增長率應(yīng)為正的，因此，X2=-2.2應(yīng)舍去.

所以，每年人均住房面積增長率應(yīng)為20%.

（學(xué)生小結(jié)）老師引導(dǎo)提問：解一元二次方程，它們的共同特點(diǎn)是什么？

共同特點(diǎn)：把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)

化思想”.

三、鞏固練習(xí)

教材P36練習(xí).

四、應(yīng)用拓展

例3.某公司一月份營業(yè)額為1萬元，第一一季度總營業(yè)額為3.31萬元，求該公司二、三月份營業(yè)額平

均增長率是多少？

分析：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x,那么二月份的營業(yè)額就應(yīng)該是（1+x）,三月份的

營業(yè)額是在二月份的基礎(chǔ)上再增長的，應(yīng)是（1+X）2.

解：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為X.

那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31

把（1+x）當(dāng)成一個(gè)數(shù)，配方得：

1,3,

（l+x+-）2=2.56,即（x+-）2=2.56

22

333

x+—=+1.6,即x+—=16x+—=-1.6

222

方程的根為Xi=10%,X2=-3.1

因?yàn)樵鲩L率為正數(shù)，

所以該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為10%.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p（p20）,那么x=±4P轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如（mx+n）2=p

（p》0）,那么mx+n=±C，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的.

六、布置作業(yè)

1.教材P45復(fù)習(xí)鞏固1、2.

2.選用作業(yè)設(shè)計(jì)：

一、選擇題

1.若x?-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分別是()?

A.p=4,q=2B.p=4,q=-2C.p=-4,q=2D.p=-4,q=-2

2.方程3x2+9=0的根為().

A.3B.-3C.±3D.無實(shí)數(shù)根

2

3.用配方法解方程x2--x+l=0正確的解法是（）.

3

,181,2V2

A.(x--)2=-,x=-+----

3933

1Q

B.(x--)2=一2,原方程無解

39

C.汨)

/2、251

D.(x--)=1,X]=-，X2=?一

333

二、填空題

1.若8x2-16=0,則x的值是.

2.如果方程2(x-3)2=72,那么，這個(gè)一元二次方程的兩根是

3.如果a、b為實(shí)數(shù)，滿足J3a+4+b2-12b+36=0,那么ab的值是

三、綜合提高題

1.解關(guān)于x的方程(x+m)2=n.

2.某農(nóng)場要建?個(gè)長方形的養(yǎng)雞場，雞場的?邊靠墻(墻長25m),另三邊用木欄圍成，木欄長40m.

(1)雞場的面積能達(dá)到180m2嗎？能達(dá)到200m嗎？

(2)雞場的面積能達(dá)到210m2嗎？

3.在一次手工制作中，某同學(xué)準(zhǔn)備了一根長4米的鐵絲，由于需要，現(xiàn)在要制成一個(gè)矩形方框，并

且要使面積盡可能大，你能幫助這名同學(xué)制成方框，并說明你制作的理由嗎？

答案：

一、1.B2.D3.B

二、1.土夜2.9或-33.-8

三、1.當(dāng)n與0時(shí)，x+m=±y/n,X|=Vn-m,X2=-V?-m.當(dāng)n<0時(shí)，無解

2.(1)都能達(dá)到.設(shè)寬為x,則長為40-2x,

依題意，得：x(40-2x)=180

整理，得：X2-20X+90=0,X]=10+JF5,X2=1O-VTO；

同理x(40-2x)=200,xi=X2=10，長為40?20=20.

(2)不能達(dá)到.同理x(40-2x)=210,x2-20x+105=0,

b2-4ac=400-410=-10<0,無解，即不能達(dá)到.

3.因要制矩形方框，面積盡可能大，

所以，應(yīng)是正方形，即每邊長為1米的正方形.

22.2.2配方法

第1課時(shí)

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：講清“直接降次有困難，如X2+6X-16=0的一元二次方程的解題步驟.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動)請同學(xué)們解下列方程

(1)3X2-1=5(2)4(x-1)<9=0(3)4x2+16x+16=9

老師點(diǎn)評：上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p》0)的形式，那么可得

x=±y[pmx+n=±y[p

如：4X2+16X+16=(2X+4)2

二、探索新知

列出下面二個(gè)問題的方程并回答：

(1)列出的經(jīng)化筒為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？

(2)能否直接用上面三個(gè)方程的解法呢？

問題1：印度古算中有這樣一首詩：“一群猴子分兩隊(duì)，高高興興在游戲，八分之一再平方，蹦蹦跳

跳樹林里；其余十二嘰喳喳，伶俐活潑乂調(diào)皮，告我總數(shù)共多少，兩隊(duì)猴子在一起”.

大意是說：一群猴子分成兩隊(duì)，一隊(duì)猴子數(shù)是猴子總數(shù)的1的平方，另一隊(duì)猴子數(shù)是12,那么猴子總

8

數(shù)是多少？你能解決這個(gè)問題嗎？

問題2：如圖，在寬為20m,長為32m的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條平行且與另一條相互垂直

的道路，余下的六個(gè)相同的部分作為耕地，要使得耕地的面積為SOOOnA道路的寬為多少？

老師點(diǎn)評：問題1：設(shè)總共有x只猴子，根據(jù)題意，得：

x=(-x)2+12

8

整理得：X2-64X+768=0

問題2：設(shè)道路的寬為x,則可列方程:(20-x)(32-2x)=500

整理，得：X2-36X+70=0

(1)列出的經(jīng)化簡為般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個(gè)左邊是含有x的完全平

方式而后二個(gè)不具有.

(2)不能.

既然不能直接降次解方程，那么，我們就應(yīng)該設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為可直接降次解方程的方程，下面，我們

就來講如何轉(zhuǎn)化：

X2-64X+768=0移項(xiàng)fx=2-64x=-768

-64

兩邊加(——)2使左邊配成x?+2bx+b2的形式X2-64X+322=-768+1024

2

左邊寫成平方形式f(x-32)2=256降次fx-32=±16即x-32=16或x-32=-16

解一次方程一XI=48,X2=16

可以驗(yàn)證：xi=48,X2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子.

學(xué)生活動：

例1.按以上的方程完成X2-36X+70=0的解題.

老師點(diǎn)評：X2-36X=-70，X2-36X+182=-70+324，(X-18)2=254,X-18=±—254,x-18=j254或x-18=-j254，

Xi-34,X2比2.

可以驗(yàn)證x產(chǎn)34,X2-2都是原方程的根，但x、34不合題意，所以道路的寬應(yīng)為2.

例2.解下列關(guān)于x的方程

(1)X2+2X-35=0(2)2X2-4X-1=0

分析：(1)顯然方程的左邊不是一個(gè)完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；(2)同上.

解：(1)X2-2X=35X2-2X+12=35+1(X-1)2=36x-l=±6

x-l=6,x-l=-6

X]=7,X2=-5

2

可以,驗(yàn)證xj=7,X2=-5都是X+2X-35=0的兩根.

/、2121

(2)x~-2x?一=0x~-2x=—

22

i3

x2-2x+l2=—+1(x-1)2=一

22

,,V6V6

x-l=±---x-l=------,x-l=----

222

V6屈

X]=1+---，x?=1---

22

可以驗(yàn)證：X|=l+——?X2=l-J^■都是方程的根.

22

三、鞏固練習(xí)

教材P38討論改為課堂練習(xí)，并說明理由.

教材P39練習(xí)12.⑴、(2).

四、應(yīng)用拓展

例3.如圖，在RtZ\ACB中，ZC=90°,AC=8m,CB=6m,點(diǎn)P、Q同時(shí)由A,B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿

AC、BC方向向點(diǎn)C勻速移動，它們的速度都是lm/s,兒秒后APCQ的面積為Rt^ACB面積的一半.

分析：設(shè)x秒后4PCQ的面積為RtAABC面積的一半，4PCQ也是直角三角形.根據(jù)已知列出等式.

解：設(shè)x秒后4PCQ的面積為RtZSACB面積的一半.

根據(jù)題意，得：一(8-x)(6-x)=—X—X8X6

222

整理,得：X2-14X+24=0

(x-7)也25即X|=12,X2=2

xi=12,X2=2都是原方程的根，但幣=12不合題意，舍去.

所以2秒后4PCQ的面積為RtAACB面積的一半.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

左邊不含有x的完全平方形式，左邊是非負(fù)數(shù)的一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式,

右邊是非負(fù)數(shù)，可以直接降次解方程的方程.

一、選擇題

1.將二次三項(xiàng)式x2-4x+l配方后得().

A.(x-2)2+3B.(x-2)2-3C.(x+2)2+3D.(x+2)2-3

2.已知X2-8X+15=0,左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是().

A.X2-8X+(-4)2=31B.X2-8X+(-4)2=1

C.X2+8X+42=1D.X2-4X+4=-11

3.如果mx2+2(3-2m)x+3m-2=0(mWO)的左邊是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式，則m等于().

A.1B.-1C.1或9D.-1或9

二、填空題

1.方程x2+4x-5=0的解是.

J-2_2

2.代數(shù)式一一的值為0,則x的值為

x2-l------------

3.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值，若設(shè)x+y=z,則原方程可變?yōu)?所以求出z的

值即為x+y的值，所以x+y的值為.

三、綜合提高題

1.已知三角形兩邊長分別為2和4,第三邊是方程x2-4x+3=0的解，求這個(gè)三角形的周長.

2.如果x2-4x+y'+6y+Jz+2+13=0,求(xy)”的值.

3.新華商場銷售某種冰箱，每臺進(jìn)貨價(jià)為2500元，市場調(diào)研表明：當(dāng)銷售價(jià)為2900元時(shí)，平均

每天能售出8臺；而當(dāng)銷售價(jià)每降50元時(shí)，平均每天就能多售出4臺，商場要想使這種冰箱的銷售利潤

平均每天達(dá)5000元，每臺冰箱的定價(jià)應(yīng)為多少元？

答案：

一、1.B2.B3.C

二、1.X|=l,X2=-52.23.Z2+2Z-8=0,2,-4

三、1.(x-3)(x-1)=0,X|=3,X2=l,

??.三角形周長為9(???X2=1,?,?不能構(gòu)成三角形)

2.(x-2)2+(y+3)2+Vz+2=0,

x=2,y=?3,z=-2,(xy)z=(-6)

36

2900—x

3.設(shè)每臺定價(jià)為x,貝I」：(x-2500)(8+--------X4)=5000,

50

X2-5500X+7506250=0,解得x=2750

22.2.2配方法

第2課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

給出配方法的概念，然后運(yùn)用配方法解?元二次方程.

教學(xué)目標(biāo)

了解配方法的概念，掌握運(yùn)用配方法解一元二次方程的步驟.

通過復(fù)習(xí)上一節(jié)課的解題方法，給出配方法的概念，然后運(yùn)用配方法解決一些具體題目.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：講清配方法的解題步驟.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊后，兩邊加上的常數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)-半的平方.

教具、學(xué)具準(zhǔn)備

小黑板

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動)解下列方程：

(1)X2-8X+7=0(2)X2+4X+1=0

老師點(diǎn)評：我們前一節(jié)課，已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何解左邊含有x的完全平方形式，右邊是非負(fù)數(shù)，不可以

直接開方降次解方程的轉(zhuǎn)化問題，那么這兩道題也可以用上面的方法進(jìn)行解題.

解：(1)X2-8X+(-4)2+7-(-4)2=0(x-4)2=9

x-4=±3即xi=7,x2=l

(2)X2+4X=-1X2+4X+22=-1+22

(x+2)2=3即x+2=±G

XI=A/3-2,X2=-A/3-2

二、探索新知

像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法.

可以看出，配方法是為了降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解.

例1.解下列方程

(1)X2+6X+5=0(2)2X2+6X-2=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0

分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來完成，即配一個(gè)含有x的完

全平方.

解:(1)移項(xiàng)，得：X2+6X=-5

配方：X2+6X+32=-5+32(X+3)2=4

由此可得:x+3=±2,即Xi=-1,X2=-5

(2)移項(xiàng)，得：2X2+6X=-2

二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得：X2+3X=-1

配方X2+3X+(-)2=-1+(-)2(x+-)2=一

2224

,3_^V5_V53_V53

由此可得XH---i--->即X]=------，X2---------

222222

(3)去括號,整理得:X2+4X-1=0

移項(xiàng)，得x，4x=l

配方，得(x+2)2=5

x+2=±V5,即xi=^5-2,X2—V5-2

三、鞏固練習(xí)

教材P39練習(xí)2.(3)、(4)、(5)、(6).

四、應(yīng)用拓展

例2.用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6

分析：因?yàn)槿绻归_(6x+7)2,那么方程就變得很復(fù)雜，如果把(6x+7)看為一個(gè)數(shù)y,那么(6x+7)

2=y2,其它的3x+4=4(6x+7)+-,x+l=-(6x+7)因此，方程就轉(zhuǎn)化為y的方程，像這樣的轉(zhuǎn)化,

2266

我們把它稱為換元法.

解：設(shè)6x+7=y

E1111

貝lj3x+4=—y+—,x+l=-y?一

2266

依題意，得：y2(—y^—)(—y—)=6

2266

去分母，得：y2(y+1)(y-1)=72

y2(y2-l)=72,y4-y2=72

、

(/y2—1)2=——289

24

y?=9或y2=-8(舍)

/.y=±3

2

當(dāng)y=3時(shí)t，6x+7=36x=-4x=-—

當(dāng)y=-3時(shí)、6x+7=-36x=-l0x=--

3

25

所以，原方程的根為Xj=,X2=

33

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟.

2.作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題

.4_

1.配方法解方程2x2--x?2=0應(yīng)把它先變形為（）.

3

/1、28/2、2

A.（X--）~=—B.（X--）~=0

393

2.下列方程中，一定有實(shí)數(shù)解的是().

A.x2+l=0B.(2x+l)2=0

C.(2x+1)2+3=0D.(—x-a)2=a

2

3.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,則x+y+z的值是().

A.1B.2C.-1D.-2

二、填空題

1.如果X2+4X-5=0,則*=.

2.無論x、y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2+y2-2x-4y+16的值總是數(shù).

3.如果16(x-y)2+40(x-y)+25=0,那么x與y的關(guān)系是.

三、綜合提高題

1.用配方法解方程.

(1)9y2-18y-4=0(2)x2+3=2也x

2.已知：x2+4x+y2-6y+13=0,求當(dāng)工學(xué)的值.

x+y

3.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡

快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)降價(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)?元，商場平均每天可多

售出2件.

①若商場平均每天贏利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？

②每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，商場平均每天贏利最多？請你設(shè)計(jì)銷售方案.

答案：

一、1.D2.B3.B

_十5

一、1.1,-52.正3.x-y=—

4

4413

三、1.(1)y2-2y--=0,y2-2y=§,(y-1)2=—,

,.713_V13V13

y-i=±3，yi=3+1,ya=i——

(2)X2-25/3x=-3(x-VJ)2=0,X]=X2=5/3

2.(x+2)2+(y-3)2=0,xi=-2,yz=3,

.百個(gè)_一2-6_8

??區(qū)I式=-----------

1313

3.(1)設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，則(40-x)(20+2x)=1200,

X2-30X+200=0.XI=10,X2=20

(2)設(shè)每件襯衫降價(jià)x元時(shí)，商場平均每天贏利最多為y,

WiJy=-2x2+60x+800=-2(x2-30x)+800=-2[(x-15)