專題13新定義材料閱讀類創(chuàng)新題(江蘇真題15道模擬30道)-2023年中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍【江蘇專用】(原卷版+解析)

2023年中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍（江蘇專用）專題13新定義材料閱讀類創(chuàng)新題（江蘇真題15道模擬30道）【真題再現(xiàn)】直面中考真題，實(shí)戰(zhàn)培優(yōu)提升一、解答題1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）定義：函數(shù)圖像上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于n(n≥0)的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖像的“n階方點(diǎn)”．例如，點(diǎn)13,13是函數(shù)y=x圖像的“12(1)在①?2,?12；②(?1,?1)；③(1,1)三點(diǎn)中，是反比例函數(shù)(2)若y關(guān)于x的一次函數(shù)y=ax?3a+1圖像的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，求a的值；(3)若y關(guān)于x的二次函數(shù)y=?(x?n)2?2n+1圖像的“n2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”．例如，點(diǎn)(1,1)是函數(shù)y=1（1）分別判斷函數(shù)y=x+2,y=x（2）設(shè)函數(shù)y=3x(x>0),y=?x+b的圖象的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．當(dāng)△ABC（3）若函數(shù)y=x2?2(x≥m)的圖象記為W1，將其沿直線x=m翻折后的圖象記為W23．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，小明知道，將點(diǎn)P繞著某定點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α，能得到一個(gè)新的點(diǎn)P′．經(jīng)過進(jìn)一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上述點(diǎn)P在某函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P′也隨之運(yùn)動(dòng)，并且點(diǎn)試根據(jù)下列各題中所給的定點(diǎn)A的坐標(biāo)和角度α的大小來解決相關(guān)問題．

【初步感知】如圖1，設(shè)A(1,1)，α=90°，點(diǎn)P是一次函數(shù)y=kx+b圖像上的動(dòng)點(diǎn)，已知該一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)P1（1）點(diǎn)P1旋轉(zhuǎn)后，得到的點(diǎn)P（2）若點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過點(diǎn)P【深入感悟】（3）如圖2，設(shè)A(0,0)，α=45°，點(diǎn)P反比例函數(shù)y=?1x(x<0)的圖像上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P′作二、四象限角平分線的垂線，垂足為【靈活運(yùn)用】（4）如圖3，設(shè)A(1,?3)，α=60°，點(diǎn)P是二次函數(shù)y=12x2+24．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點(diǎn)O是圓心，直徑AB的長是12cm，C是半圓弧上的一點(diǎn)（點(diǎn)C與點(diǎn)A、B不重合），連接AC、BC(1)沿AC、BC剪下△ABC，則△ABC是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)分別取半圓弧上的點(diǎn)E、F和直徑AB上的點(diǎn)G、H．已知剪下的由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長為6cm(3)經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點(diǎn)C，一定存在線段AC上的點(diǎn)M、線段BC上的點(diǎn)N和直徑AB上的點(diǎn)P、Q，使得由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長為4cm5．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）在四邊形ABCD中，O是邊BC上的一點(diǎn)．若△OAB≌△OCD，則點(diǎn)O叫做該四邊形的“等形點(diǎn)”．(1)正方形_______“等形點(diǎn)”（填“存在”或“不存在”）；(2)如圖，在四邊形ABCD中，邊BC上的點(diǎn)O是四邊形ABCD的“等形點(diǎn)”．已知CD=42，OA=5，BC=12，連接AC，求AC(3)在四邊形EFGH中，EH//FG．若邊FG上的點(diǎn)O是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，求OFOG6．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？（1）如圖①，圓錐的母線長為12cm，B為母線OC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在底面圓周上，AC的長為4πcm．在圖②所示的圓錐的側(cè)面展開圖中畫出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B（2）圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成．O是圓錐的頂點(diǎn)，點(diǎn)A在圓柱的底面圓周上．設(shè)圓錐的母線長為l，圓柱的高為h．①螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)O的最短路徑的長為________（用含l，h的代數(shù)式表示）．②設(shè)AD的長為a，點(diǎn)B在母線OC上，OB=b．圓柱的側(cè)面展開圖如圖④所示，在圖中畫出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑的示意圖，并寫出求最短路徑的長的思路．7．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，甲，乙都是高為6米的長方體容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形．如圖②，已知正方形ABCD與矩形EFGH滿足如下條件：正方形ABCD外切于一個(gè)半徑為5米的圓O，矩形EFGH內(nèi)接于這個(gè)圓O，EF=2EH．（1）求容器甲，乙的容積分別為多少立方米？（2）現(xiàn)在我們分別向容器甲，乙同時(shí)持續(xù)注水（注水前兩個(gè)容器是空的），一開始注水流量均為25立方米/小時(shí)，4小時(shí)后．把容器甲的注水流量增加a立方米/小時(shí)，同時(shí)保持容器乙的注水流量不變，繼續(xù)注水2小時(shí)后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小時(shí)，同時(shí)容器乙的注水流量仍舊保持不變．直到兩個(gè)容器的水位高度相同，停止注水．在整個(gè)注水過程中，當(dāng)注水時(shí)間為t時(shí)，我們把容器甲的水位高度記為?甲，容器乙的水位高度記為?乙，設(shè)?乙??甲=?①求a的值；②求圖③中線段PN所在直線的解析式．8．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，李老師設(shè)計(jì)了一份活動(dòng)單：已知線段BC=2，使用作圖工具作∠BAC=30°，嘗試操作后思考：（1）這樣的點(diǎn)A唯一嗎？（2）點(diǎn)A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追夢”學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報(bào)：點(diǎn)A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點(diǎn)B、C除外），……．小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓?。ㄈ鐖D1）．（1）小華同學(xué)提出了下列問題，請你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長為___________；②△ABC面積的最大值為_________；（2）經(jīng)過比對發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點(diǎn)不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內(nèi)部，我們記為A′，請你利用圖1證明∠B（3）請你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決問題：如圖2，已知矩形ABCD的邊長AB=2，BC=3，點(diǎn)P在直線CD的左側(cè)，且tan∠DPC=①線段PB長的最小值為_______；②若S△PCD=29．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．（1）△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點(diǎn)，且AE=1，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖1，求CF的長；（2）△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖2，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長；（3）△ABC是邊長為3的等邊三角形，M是高CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以BM為邊作等邊三角形BMN，如圖3，在點(diǎn)M從點(diǎn)C到點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑長；（4）正方形ABCD的邊長為3，E是邊CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過程中，小亮以B為頂點(diǎn)作正方形BFGH，其中點(diǎn)F、G都在直線AE上，如圖4，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F、G、H與點(diǎn)B重合．則點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為______，點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為______．10．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）木門常常需要雕刻美麗的圖案．（1）圖①為某矩形木門示意圖，其中AB長為200厘米，AD長為100厘米，陰影部分是邊長為30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心點(diǎn)P處，在雕刻時(shí)始終保持模具的一邊緊貼木門的一邊，所刻圖案如虛線所示，求圖案的周長；（2）如圖②，對于1中的木門，當(dāng)模具換成邊長為303厘米的等邊三角形時(shí)，刻刀的位置仍在模具的中心點(diǎn)P處，雕刻時(shí)也始終保持模具的一邊緊貼本門的一邊，使模具進(jìn)行滑動(dòng)雕刻．但當(dāng)模具的一個(gè)頂點(diǎn)與木門的一個(gè)頂點(diǎn)重合時(shí)，需將模具繞著重合點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)雕刻，直到模具的另一邊與木門的另一邊重合．再滑動(dòng)模具進(jìn)行雕刻，如此雕刻一周，請?jiān)趫D②11．（2023·江蘇常州·中考真題）如圖1，⊙I與直線a相離，過圓心I作直線a的垂線，垂足為H，且交⊙I于P、Q兩點(diǎn)（Q在P、H之間）．我們把點(diǎn)P稱為⊙I關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，把PQ?PH的值稱為⊙I關(guān)于直線a的“特征數(shù)”．

（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,4)，半徑為1的⊙O與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B、C、D．①過點(diǎn)E畫垂直于y軸的直線m，則⊙O關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O關(guān)于直線m的“特征數(shù)”為_________；②若直線n的函數(shù)表達(dá)式為y=3x+4，求⊙O關(guān)于直線（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過點(diǎn)M(1,4)，點(diǎn)F是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以F為圓心，2為半徑作⊙F．若⊙F與直線l相離，點(diǎn)N(?1,0)是⊙F關(guān)于直線l的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，且⊙F關(guān)于直線l的“特征數(shù)”是45，求直線l12．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖①，要在一條筆直的路邊l上建一個(gè)燃?xì)庹荆騦同側(cè)的A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)分別發(fā)鋪設(shè)管道輸送燃?xì)?，試確定燃?xì)庹镜奈恢?，使鋪設(shè)管道的路線最短．（1）如圖②，作出點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′，線A′B與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求，即在點(diǎn)C處建氣站，所得路線ACB是最短的，為了讓明點(diǎn)C的位置即為所求，不妨在l直線上另外任取一點(diǎn)C′，連接AC（2）如果在A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個(gè)生態(tài)保護(hù)區(qū)，燃?xì)夤艿啦荒艽┻^該區(qū)域請分別始出下列兩種情形的鋪設(shè)管道的方案（不需說明理由），①生市保護(hù)區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖③所示②生態(tài)保護(hù)區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖④所示．13．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）以下虛線框中為一個(gè)合作學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的過程記錄，請閱讀后完成虛線框下方的問題1~4．（1）在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=22AC2.82.72.62.321.50.4BC0.40.81.21.622.42.8AC+BC3.23.53.83.943.93.2（2）根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，選取上表中BC和AC+BC的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析；①設(shè)BC=x,AC+BC=y，以(x,y)為坐標(biāo)，在圖①所示的坐標(biāo)系中描出對應(yīng)的點(diǎn)；②連線；觀察思考（3）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)以及所面的圖像，猜想．當(dāng)x=時(shí)，y最大；（4）進(jìn)一步C猜想：若Rt△MBC中，∠C=90°，斜邊AB=2a(a為常數(shù)，a>0），則BC=時(shí)，AC+BC最大．推理證明（5）對（4）中的猜想進(jìn)行證明．問題1．在圖①中完善2的描點(diǎn)過程，并依次連線；問題2．補(bǔ)全觀察思考中的兩個(gè)猜想：3_______4_______問題3．證明上述5中的猜想：問題4．圖②中折線B?E?F?G?A是一個(gè)感光元件的截面設(shè)計(jì)草圖，其中點(diǎn)A,B間的距離是4厘米，AG=BE=1厘米，∠E=∠F=∠G=90°,平行光線從AB區(qū)域射入，∠BNE=60°14．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）已知矩形ABCD中，AB=5cm，點(diǎn)P為對角線AC上的一點(diǎn)，且AP=25cm.如圖①，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，在矩形邊上沿著A→B→C的方向勻速運(yùn)動(dòng)(不包含點(diǎn)C).設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，ΔAPM的面積為S(cm2)，S與(1)直接寫出動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s，BC的長度為cm;(2)如圖③，動(dòng)點(diǎn)M重新從點(diǎn)A出發(fā)，在矩形邊上，按原來的速度和方向勻速運(yùn)動(dòng).同時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，在矩形邊上沿著D→C→B的方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為vcm/s.已知兩動(dòng)點(diǎn)M、N經(jīng)過時(shí)間xs在線段BC上相遇(不包含點(diǎn)C)，動(dòng)點(diǎn)M、N相遇后立即停止運(yùn)動(dòng)，記此時(shí)ΔAPM與ΔDPN的面積為①求動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)速度vcm/s②試探究S1?S2是否存在最大值.若存在，求出

15．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）【概念認(rèn)知】：城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy，對兩點(diǎn)A(x1，y1)和B(x2，y2)，用以下方式定義兩點(diǎn)間距離：d(A，B)＝【數(shù)學(xué)理解】：（1）①已知點(diǎn)A(﹣2，1)，則d(O，A)＝；②函數(shù)y=?2x+4(0≤x≤2)的圖像如圖①所示，B是圖像上一點(diǎn)，d(O，B)＝3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是．（2）函數(shù)y=4（3）函數(shù)y=x【問題解決】：（4）某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖④，道路以M為起點(diǎn)，先沿MN方向到某處，再在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？（要求：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，畫出示意圖并簡要說明理由）【專項(xiàng)突破】深挖考點(diǎn)考向，揭示內(nèi)涵實(shí)質(zhì)一．解答題（共30小題）1．（2023?濱海縣模擬）如圖1，直線l：y＝kx+b（k＜0，b＞0）與x、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△COD，過點(diǎn)A、B、D的拋物線W叫做直線l的關(guān)聯(lián)拋物線，而直線l叫做拋物線W的關(guān)聯(lián)直線．（1）已知直線l1：y＝﹣3x+3，求直線l1的關(guān)聯(lián)拋物線W1的表達(dá)式；（2）若拋物線，求它的關(guān)聯(lián)直線l2的表達(dá)式；（3）如圖2，若直線l3：y＝kx+4（k＜0），G為AB中點(diǎn)，H為CD中點(diǎn)，連接GH，M為GH中點(diǎn)，連接OM．若，求直線l3的關(guān)聯(lián)拋物線W3的表達(dá)式；（4）在（3）的條件下，將直線CD繞著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到新的直線l4：y＝mx+n，若點(diǎn)P（x1，y1）與點(diǎn)Q（x2，y2）分別是拋物線W3與直線l4上的點(diǎn)，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，|y1﹣y2|≤4，請直接寫出m的取值范圍．2．（2023?淮安二模）我們把函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)定義為這個(gè)函數(shù)圖象上的“互反點(diǎn)”．例如在二次函數(shù)y＝x2的圖象上，存在一點(diǎn)P（﹣1，1），則P為二次函數(shù)y＝x2圖象上的“互反點(diǎn)”．（1）分別判斷y＝﹣x+3、y＝x2+x的圖象上是否存在“互反點(diǎn)”？如果存在，求出“互反點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．（2）如圖①，設(shè)函數(shù)y＝（x＜0），y＝x+b的圖象上的“互反點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．當(dāng)△ABC的面積為5時(shí)，求b的值；（3）如圖②，Q（m，0）為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，過Q作直線l⊥x軸，若函數(shù)y＝﹣x2+2（x≥m）的圖象記為W1，將W1沿直線l翻折后的圖象記為W2，當(dāng)W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“互反點(diǎn)”時(shí)，直接寫出m的取值范圍．3．（2023?姑蘇區(qū)校級模擬）平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意的三個(gè)點(diǎn)A、B、C，給出如下定義：若矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，且A，B，C三點(diǎn)都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱該矩形為點(diǎn)A，B，C的“三點(diǎn)矩形”．在點(diǎn)A，B，C的所有“三點(diǎn)矩形”中，若存在面積最小的矩形，則稱該矩形為點(diǎn)A，B，C的“最佳三點(diǎn)矩形”．如圖1，矩形DEFG，矩形IJCH都是點(diǎn)A，B，C的“三點(diǎn)矩形”，矩形IJCH是點(diǎn)A，B，C的“最佳三點(diǎn)矩形”．如圖2，已知M（4，1），N（﹣2，3），點(diǎn)P（m，n）．（1）①若m＝2，n＝4，則點(diǎn)M，N，P的“最佳三點(diǎn)矩形”的周長為，面積為；②若m＝2，點(diǎn)M，N，P的“最佳三點(diǎn)矩形”的面積為24，求n的值；（2）若點(diǎn)P在直線y＝﹣2x+5上．①求點(diǎn)M，N，P的“最佳三點(diǎn)矩形”面積的最小值及此時(shí)m的取值范圍；②當(dāng)點(diǎn)M，N，P的“最佳三點(diǎn)矩形”為正方形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P（m，n）在拋物線y＝ax2+bx+c上，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M，N，P的“最佳三點(diǎn)矩形”面積為12時(shí)，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接寫出拋物線的解析式．4．（2023?江都區(qū)一模）對某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果存在實(shí)數(shù)M，對于任意的函數(shù)值y，都滿足y≤M，那么稱這個(gè)函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的上確界．例如，函數(shù)y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函數(shù)，其上確界是2．（1）函數(shù)①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上界函數(shù)的為（只填序號即可），其上確界為；（2）若反比例函數(shù)y＝（a≤x≤b，a＞0）的上確界是b+1，且該函數(shù)的最小值為2，求a、b的值；（3）如果函數(shù)y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6為上確界的有上界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．5．（2023?如東縣一模）定義：若兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于某一點(diǎn)P中心對稱，則稱這兩個(gè)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)P互為“伴隨函數(shù)”．例如，函數(shù)y＝x2與y＝﹣x2關(guān)于原點(diǎn)O互為“伴隨函數(shù)”．（1）函數(shù)y＝x+1關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)解析式為，函數(shù)y＝（x﹣2）2+1關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)解析式為；（2）已知函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G關(guān)于點(diǎn)P（m，3）互為“伴隨函數(shù)”．若當(dāng)m＜x＜7時(shí)，函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G的函數(shù)值y都隨自變量x的增大而增大，求m的取值范圍；（3）已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（4，1），點(diǎn)C（2，0），二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與函數(shù)N關(guān)于點(diǎn)C互為“伴隨函數(shù)”，將二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與函數(shù)N的圖象組成的圖形記為W，若圖形W與線段AB恰有2個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出a的取值范圍．6．（2023?如皋市一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），若x1﹣x2＝y(tǒng)1﹣y2，則稱點(diǎn)M，N互為正等距點(diǎn)，|y1﹣y2|叫做點(diǎn)M，N的正等距．特別地，一個(gè)點(diǎn)與它本身互為正等距點(diǎn)，且正等距為0．例如，點(diǎn)（﹣2，3），（1，6）互為正等距點(diǎn)，兩點(diǎn)的正等距為3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1）．（1）判斷反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上是否存在點(diǎn)A的正等距點(diǎn)？若存在，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（2）若與點(diǎn)A的正等距等于4的點(diǎn)恰好落在直線y＝kx+2上，求k的值；（3）若拋物線y＝﹣（x﹣a）（x﹣a﹣6）上存在點(diǎn)A的正等距點(diǎn)B，且點(diǎn)A，B的正等距不超過1，請直接寫出a的取值范圍．7．（2023?常州模擬）對某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果存在實(shí)數(shù)M，對于任意的函數(shù)值y，都滿足y≤M，那么稱這個(gè)函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的上確界．例如，圖中的函數(shù)y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函數(shù)，其上確界是2．（1）函數(shù)①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函數(shù)的為（只填序號即可），其上確界為；（2）如果函數(shù)y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上確界是b，且這個(gè)函數(shù)的最小值不超過2a+1，求a的取值范圍；（3）如果函數(shù)y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3為上確界的有上界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．8．（2023?梁溪區(qū)校級二模）在拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）中，規(guī)定：（1）符號[a，b，c]稱為該拋物線的“拋物線系數(shù)”；（2）如果一條拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”．完成下列問題：（1）若一條拋物線的系數(shù)是[﹣1，0，m+1]，則此拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（含參數(shù)m），當(dāng)m滿足時(shí)，此拋物線沒有“拋物線三角形”；（2）若拋物線y＝x2+bx的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求出該拋物線的“拋物線系數(shù)”；（3）若一條拋物線的系數(shù)是[a，﹣4a，c]（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，已知S△ABD：S四邊形ABCD＝1：4，且tan∠ACB＝．求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式．9．（2023?鹽都區(qū)二模）將拋物線y＝ax2的圖象（如圖1）繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后可得新的拋物線圖象（如圖2），記為C：y2＝x．【概念與理解】將拋物線y1＝4x2和y2＝x2按上述方法操作后可得新的拋物線圖象，記為：C1：；C2：．【猜想與證明】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（x，0）在x軸正半軸上，過點(diǎn)M作平行于y軸的直線，分別交拋物線C1于點(diǎn)A、B，交拋物線C2于點(diǎn)C、D，如圖3所示．（1）填空：當(dāng)x＝1時(shí)，＝；當(dāng)x＝2時(shí)，＝；（2）猜想：對任意x（x＞0）上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明你的猜想；若不成立，請說明理由．【探究與應(yīng)用】（3）利用上面的結(jié)論，可得△AOB與△COD面積比為；（4）若△AOB和△COD中有一個(gè)是直角三角形時(shí)，求△COD與△AOB面積之差；【聯(lián)想與拓展】（5）若拋物線C3：y2＝mx、C4：y2＝nx（0＜m＜n），M（k，0）在x軸正半軸上，如圖所示，過點(diǎn)M作平行于y軸的直線，分別交拋物線C3于點(diǎn)A、B，交拋物線C4于點(diǎn)C、D．過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線C4于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作x軸的平行線交拋物線C3于點(diǎn)F．對于x軸上任取一點(diǎn)P，均有△PAE與△PDF面積的比值1：3，請直接寫出m和n之間滿足的等量關(guān)系是．10．（2023?廣陵區(qū)校級三模）【探究】如圖1，點(diǎn)N（m，n）是拋物線上的任意一點(diǎn)，l是過點(diǎn)（0，﹣2）且與x軸平行的直線，過點(diǎn)N作直線NH⊥l，垂足為H．①計(jì)算：m＝0時(shí)，NH＝；m＝4時(shí)，NO＝．②猜想：m取任意值時(shí)，NONH（填“＞”、“＝”或“＜”）．【定義】我們定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條直線l（點(diǎn)F不在直線l上）距離相等的點(diǎn)的集合叫做拋物線，其中點(diǎn)F叫做拋物線的“焦點(diǎn)”，直線l叫做拋物線的“準(zhǔn)線”．如圖1中的點(diǎn)O即為拋物線y1的“焦點(diǎn)”，直線l：y＝﹣2即為拋物線y1的“準(zhǔn)線”．可以發(fā)現(xiàn)“焦點(diǎn)”F在拋物線的對稱軸上．【應(yīng)用】（1）如圖2，“焦點(diǎn)”為F（﹣4，﹣1）、“準(zhǔn)線”為l的拋物線與y軸交于點(diǎn)N（0，2），點(diǎn)M為直線FN與拋物線的另一交點(diǎn)．MQ⊥l于點(diǎn)Q，直線l交y軸于點(diǎn)H．①直接寫出拋物線y2的“準(zhǔn)線”l：；②計(jì)算求值：＝；（2）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的⊙O與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），直線與⊙O只有一個(gè)公共點(diǎn)F，求以F為“焦點(diǎn)”、x軸為“準(zhǔn)線”的拋物線的表達(dá)式．11．（2023?武進(jìn)區(qū)二模）定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個(gè)角的夾邊稱為鄰余線．（1）如圖I，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E，F(xiàn)分別是BD，AD上的點(diǎn)．求證：四邊形ABEF是鄰余四邊形；（2）如圖2，在5×4的方格紙中，A，B在格點(diǎn)上，請畫出一個(gè)符合條件的鄰余四邊形ABEF，使AB是鄰余線，E，F(xiàn)在格點(diǎn)上；（3）如圖3，已知四邊形ABCD是以AB為鄰余線的鄰余四邊形，AB＝15，AD＝6，BC＝3，∠ADC＝135°，求CD的長度．12．（2023?工業(yè)園區(qū)模擬）【理解概念】如果一個(gè)矩形的一條邊與一個(gè)三角形的一條邊能夠重合，且三角形的這條邊所對的頂點(diǎn)恰好落在矩形這條邊的對邊上，則稱這樣的矩形為這個(gè)三角形的“矩形框”．如圖①，矩形ABDE即為△ABC的“矩形框”．（1）三角形面積等于它的“矩形框”面積的；（2）鈍角三角形的“矩形框”有個(gè)；【鞏固新知】（3）如圖①，△ABC的“矩形框”ABDE的邊AB＝6cm，AE＝2cm，則△ABC周長的最小值為cm；（4）如圖②，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，求△ABC的“矩形框”的周長；【解決問題】（5）如圖③，銳角三角形木板ABC的邊AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm，求出該木板的“矩形框”周長的最小值．13．（2023?姑蘇區(qū)一模）定義：有兩個(gè)內(nèi)角分別是它們對角的一半的四邊形叫做半對角四邊形．（1）如圖1，在半對角四邊形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，則∠B+∠C＝°；（2）如圖2，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，若邊AB上存在一點(diǎn)D，使得BD＝BO，在OA上取點(diǎn)E，使得DE＝OE，連接DE并延長交AC于點(diǎn)F，∠AED＝3∠EAF．求證：四邊形BCFD是半對角四邊形；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)D作DG⊥OB于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)G，OH＝2，DH＝6．①連接OC，若將扇形OBC圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面半徑為；②求△ABC的面積．14．（2023?新吳區(qū)二模）定義：長寬比為：1（n為正整數(shù)）的矩形稱為矩形．下面，我們通過折疊的方式折出一個(gè)矩形，如圖a所示．操作1：將正方形ABEF沿過點(diǎn)A的直線折疊，使折疊后的點(diǎn)B落在對角線AE上的點(diǎn)G處，折痕為AH．操作2：將FE沿過點(diǎn)G的直線折疊，使點(diǎn)F、點(diǎn)E分別落在邊AF，BE上，折痕為CD．則四邊形ABCD為矩形．（1）證明：四邊形ABCD為矩形；（2）點(diǎn)M是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)．①如圖b，O是對角線AC的中點(diǎn)，若點(diǎn)N在邊BC上，OM⊥ON，連接MN．求tan∠OMN的值；②若AM＝AD，點(diǎn)N在邊BC上，當(dāng)△DMN的周長最小時(shí)，求的值；③連接CM，作BR⊥CM，垂足為R．若AB＝2，則DR的最小值＝．15．（2023?通州區(qū)一模）平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P（x，y），給出如下定義：若x，y滿足|xy|＝2|x|+2|y|，且xy≠0，則稱點(diǎn)P為平衡點(diǎn)．例如，點(diǎn)是平衡點(diǎn)．（1）P1（2，2）和P2（，﹣5）兩點(diǎn)中，點(diǎn)是平衡點(diǎn)；（2）若平衡點(diǎn)P在一次函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OC＝6．反比例函數(shù)的圖象交邊BC于點(diǎn)D，交邊AB于點(diǎn)E若D，E兩點(diǎn)均為平衡點(diǎn)．求∠ODE的正切值．16．（2023?淮安區(qū)模擬）我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做底角的鄰對（can），如圖1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的鄰對記作canB，這時(shí)canB＝＝．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的鄰對值是一一對應(yīng)的，根據(jù)上述角的鄰對的定義，解下列問題：（1）can30°＝，若canB＝1，則∠B＝°．（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周長．17．（2023?廣陵區(qū)一模）學(xué)習(xí)過三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）．如圖，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對記作sadA，這時(shí)sadA＝．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述對角的正對定義，解下列問題：（1）sad60°的值為．A．B．1C．D．2（2）對于0°＜A＜180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是．（3）已知sinA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值．18．（2023?鹽城一模）對于平面內(nèi)的兩點(diǎn)K、L，作出如下定義：若點(diǎn)Q是點(diǎn)L繞點(diǎn)K旋轉(zhuǎn)所得到的點(diǎn)，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；若旋轉(zhuǎn)角小于90°，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．如圖1，點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)A（4，0），在點(diǎn)Q1（0，4），Q2（2，），Q3（﹣2，），Q4（，﹣2）中，是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的是．（2）已知點(diǎn)B（5，0），點(diǎn)C在直線y＝2x+b上，若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．（3）點(diǎn)D是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，D（t，0），E（t﹣3，0），點(diǎn)F（m，n）是以D為圓心，3為半徑的圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足n≥0．若直線y＝2x+6上存在點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，請直接寫出t的取值范圍．19．（2023?鐘樓區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點(diǎn)分別為A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），D（1，0）．對于圖形M，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為正方形ABCD邊上任意一點(diǎn)，如果P，Q兩點(diǎn)間的距離有最大值，那么稱這個(gè)最大值為圖形M的“正方距”，記作d（M）．已知點(diǎn)E（3，0）．①直接寫出d（點(diǎn)E）的值；②過點(diǎn)E畫直線y＝kx﹣3k與y軸交于點(diǎn)F，當(dāng)d（線段EF）取最小值時(shí)，求k的取值范圍；③設(shè)T是直線y＝﹣x+3上的一點(diǎn)，以T為圓心，長為半徑作⊙T．若d（⊙T）滿足d（⊙T）＞+，直接寫出圓心T的橫坐標(biāo)x的取值范圍．20．（2023?常州一模）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M、N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為圖形N上任意一點(diǎn)，如果P、Q兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形M、N間的“圖距離“，記作d（M，N）．已知點(diǎn)A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）d（點(diǎn)O，△ABC）；（2）線段L是直線y＝x（﹣2≤x≤2）上的一部分，若d（L，△ABC）＝1，且L的長度最長時(shí)，求線段L兩個(gè)端點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）⊙T的圓心為T（t，0），半徑為1．若d（⊙T，△ABC）＝1，直接寫出t的取值范圍．21．（2023?秦淮區(qū)二模）【概念認(rèn)識(shí)】與矩形一邊相切（切點(diǎn)不是頂點(diǎn)）且經(jīng)過矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做矩形的第Ⅰ類圓；與矩形兩邊相切（切點(diǎn)都不是頂點(diǎn)）且經(jīng)過矩形的一個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做矩形的第Ⅱ類圓．【初步理解】（1）如圖①～③，四邊形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都與邊AD相切，⊙O2與邊AB相切，⊙O1和⊙O3都經(jīng)過點(diǎn)B，⊙O3經(jīng)過點(diǎn)D，3個(gè)圓都經(jīng)過點(diǎn)C．在這3個(gè)圓中，是矩形ABCD的第Ⅰ類圓的是，是矩形ABCD的第Ⅱ類圓的是．【計(jì)算求解】（2）已知一個(gè)矩形的相鄰兩邊的長分別為4和6，直接寫出它的第Ⅰ類圓和第Ⅱ類圓的半徑長．【深入研究】（3）如圖④，已知矩形ABCD，用直尺和圓規(guī)作圖．（保留作圖痕跡，并寫出必要的文字說明）①作它的1個(gè)第Ⅰ類圓；②作它的1個(gè)第Ⅱ類圓．22．（2023?常熟市模擬）定義：圓心在三角形的一條邊上，并與三角形的其中一邊所在直線相切的圓稱為這個(gè)三角形的切圓，相切的邊稱為這個(gè)圓的切邊．（1）如圖1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，點(diǎn)O在AC邊上，以O(shè)C為半徑的⊙O恰好經(jīng)過點(diǎn)B，求證：⊙O是△ABC的切圓．（2）如圖2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的切圓，且另外兩條邊都是⊙O的切邊，求⊙O的半徑．（3）如圖3，△ABC中，以AB為直徑的⊙O恰好是△ABC的切圓，AC是⊙O的切邊，⊙O與BC交于點(diǎn)F，取弧BF的中點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的長．23．（2023?工業(yè)園區(qū)校級二模）如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角a與β叫滿足2a+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．（1）若△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，則∠B＝．（2）如圖（1），AB是半圓的直徑，AB＝10，BC＝6，C是半圓上的點(diǎn)，D是上的點(diǎn)，BD交AC于點(diǎn)E．①若D是的中點(diǎn)．則圖中共有對“準(zhǔn)互余三角形”；②當(dāng)△DEC是“準(zhǔn)互余三角形”時(shí)，求CE的長；③如圖（2）所示，若F是上的點(diǎn)（不與B、C重合），G為射線AF上一點(diǎn)，且滿足∠CBG＝2∠CAB．當(dāng)△ABG是“準(zhǔn)互余三角形”時(shí)，求AG的長．24．（2023?常州一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑是，A，B為⊙O外兩點(diǎn)，AB＝2．給出如下定義：平移線段AB，使平移后的線段A′B′成為⊙O的弦（點(diǎn)A′，B′分別為點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)），線段AA′長度的最小值成為線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”．（1）如圖1，⊙O中的弦P1P2、P3P4是由線段AB平移而得，這兩條弦的位置關(guān)系是；在點(diǎn)P1，P2，P3，P4中，連接點(diǎn)A與點(diǎn)的線段長度等于線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”；（2）若點(diǎn)A（0，7），B（2，5），線段AA′的長度是線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為；（3）如圖2，若A，B是直線y＝﹣x+6上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”為d，則d的最小值是；請你在圖2中畫出d取得最小值時(shí)的示意圖，并標(biāo)記相應(yīng)的字母．25．（2023?建鄴區(qū)二模）【概念學(xué)習(xí)】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，若⊙O平移d個(gè)單位后，使某圖形上所有點(diǎn)在⊙O內(nèi)或⊙O上，則稱d的最小值為⊙O對該圖形的“最近覆蓋距離”．例如，如圖①，A（3，0），B（4，0），則⊙O對線段AB的“最近覆蓋距離”為3．【概念理解】（1）⊙O對點(diǎn)（3，4）的“最近覆蓋距離”為．（2）如圖②，點(diǎn)P是函數(shù)y＝2x+4圖象上一點(diǎn)，且⊙O對點(diǎn)P的“最近覆蓋距離”為3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，若一次函數(shù)y＝kx+4的圖象上存在點(diǎn)C，使⊙O對點(diǎn)C的“最近覆蓋距離”為1，求k的取值范圍．（4）D（3，m）、E（4，m+1），且﹣4＜m＜2，將⊙O對線段DE的“最近覆蓋距離”記為d，則d的取值范圍是．26．（2023?金壇區(qū)二模）對于⊙C與⊙C上一點(diǎn)A，若平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足：射線AP與⊙C交于點(diǎn)Q，且PA＝2QA，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A關(guān)于⊙C的“倍距點(diǎn)”．已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣，0）．（1）如圖1，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙O的半徑是，點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“倍距點(diǎn)”．①若點(diǎn)P在x軸正半軸上，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)是；②若點(diǎn)P在第一象限，且∠PAO＝30°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)T（t，0），以點(diǎn)T為圓心，TA長為半徑作⊙T，一次函數(shù)y＝x+4的圖象分別與x軸、y軸交于D、E，若一次函數(shù)y＝x+4的圖象上存在唯一一點(diǎn)P，使點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于⊙T的“倍距點(diǎn)”，求t的值．27．（2023?高郵市校級模擬）A，B是⊙C上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P在⊙C的內(nèi)部．若∠APB為直角，則稱∠APB為AB關(guān)于⊙C的內(nèi)直角，特別地，當(dāng)圓心C在∠APB邊（含頂點(diǎn)）上時(shí)，稱∠APB為AB關(guān)于⊙C的最佳內(nèi)直角．如圖1，∠AMB是AB關(guān)于⊙C的內(nèi)直角，∠ANB是AB關(guān)于⊙C的最佳內(nèi)直角．在平面直角坐標(biāo)系xOy中．（1）如圖2，⊙O的半徑為5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上兩點(diǎn)．①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B中，是AB關(guān)于⊙O的內(nèi)直角的是；②若在直線y＝2x+b上存在一點(diǎn)P，使得∠APB是AB關(guān)于⊙O的內(nèi)直角，求b的取值范圍．（2）點(diǎn)E是以T（t，0）為圓心，4為半徑的圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，⊙T與x軸交于點(diǎn)D（點(diǎn)D在點(diǎn)T的右邊）．現(xiàn)有點(diǎn)M（1，0），N（0，n），對于線段MN上每一點(diǎn)H，都存在點(diǎn)T，使∠DHE是DE關(guān)于⊙T的最佳內(nèi)直角，請直接寫出n的最大值，以及n取得最大值時(shí)t的取值范圍．28．（2023秋?潤州區(qū)校級月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)的定義如下：若在射線CP上存在一點(diǎn)P′，滿足CP+CP′＝2r，則稱P′為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)，如圖為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)P′的示意圖．（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，①分別判斷點(diǎn)M（3，1），N（，0），T（﹣1，）關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)是否存在？若存在，直接求其坐標(biāo)；②將⊙O沿x軸水平向右平移1個(gè)單位為⊙O′，點(diǎn)P在直線y＝﹣x+1上，若點(diǎn)P關(guān)于⊙O′的反稱點(diǎn)P′存在，且點(diǎn)P′不在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y＝﹣x+12與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)E與點(diǎn)D分別在點(diǎn)A與點(diǎn)B的右側(cè)2個(gè)單位，線段AE、線段BD都是水平的，若四邊形ABDE四邊上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)P′在⊙C的內(nèi)部，直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．29．（2023秋?秦淮區(qū)校級月考）【數(shù)學(xué)概念】我們把存在內(nèi)切圓與外接圓的四邊形稱為雙圓四邊形．例如，如圖①，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙M，且每條邊均與⊙P相切，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，因此該四邊形是雙圓四邊形．【性質(zhì)初探】（1）雙圓四邊形的對角的數(shù)量關(guān)系是，依據(jù)是．（2）直接寫出雙圓四邊形的邊的性質(zhì)．（用文字表述）（3）在圖①中，連接GE，HF，求證GE⊥HF．【揭示關(guān)系】（4）根據(jù)雙圓四邊形與四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系，在圖②中畫出雙圓四邊形的大致區(qū)域，并用陰影表示．【特例研究】（5）已知P，M分別是雙圓四邊形ABCD的內(nèi)切圓和外接圓的圓心，若AB＝1，∠BCD＝60°，∠B＝90°，則PM的長為．30．（2023秋?廣陵區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0），（7，0）．（1）對于坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)P，給出如下定義：如果∠APB＝45°，則稱點(diǎn)P為線段AB的“等角點(diǎn)”．顯然，線段AB的“等角點(diǎn)”有無數(shù)個(gè)，且A、B、P三點(diǎn)共圓．①設(shè)A、B、P三點(diǎn)所在圓的圓心為C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是，⊙C的半徑是；②y軸正半軸上是否有線段AB的“等角點(diǎn)”？如果有，求出“等角點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果沒有，請說明理由；（2）若點(diǎn)P在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．2023年中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍（江蘇專用）專題13新定義材料閱讀類創(chuàng)新題（江蘇真題15道模擬30道）【真題再現(xiàn)】直面中考真題，實(shí)戰(zhàn)培優(yōu)提升一、解答題1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）定義：函數(shù)圖像上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于n(n≥0)的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖像的“n階方點(diǎn)”．例如，點(diǎn)13,13是函數(shù)y=x圖像的“12(1)在①?2,?12；②(?1,?1)；③(1,1)三點(diǎn)中，是反比例函數(shù)(2)若y關(guān)于x的一次函數(shù)y=ax?3a+1圖像的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，求a的值；(3)若y關(guān)于x的二次函數(shù)y=?(x?n)2?2n+1圖像的“n答案:(1)②③(2)3或?1；(3)1分析：（1）根據(jù)“n階方點(diǎn)”的定義逐個(gè)判斷即可；（2）如圖作正方形，然后分a＞0和a＜0兩種情況，分別根據(jù)“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)判斷出所經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入坐標(biāo)求出a的值，并舍去不合題意的值即可得；（3）由二次函數(shù)解析式可知其頂點(diǎn)坐標(biāo)在直線y＝－2x＋1上移動(dòng)，作出簡圖，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)二次函數(shù)圖象過點(diǎn)（n，－n）和點(diǎn)（－n，n）時(shí)為臨界情況，求出此時(shí)n的值，由圖象可得n的取值范圍．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)?2,?12到∴不是反比例函數(shù)y=1∵點(diǎn)(?1,?1)和點(diǎn)(1,1)都在反比例函數(shù)y=1∴(?1,?1)和(1,1)是反比例函數(shù)y=1故答案為：②③；（2）如圖作正方形，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，2），（－2，2），（－2，－2），（2，－2），當(dāng)a＞0時(shí)，若y關(guān)于x的一次函數(shù)y=ax?3a+1圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，則y=ax?3a+1過點(diǎn)（－2，2）或（2，－2），把（－2，2）代入y=ax?3a+1得：2=?2a?3a+1，解得：a=?1把（2，－2）代入y=ax?3a+1得：?2=2a?3a+1，解得：a=3；當(dāng)a＜0時(shí)，若y關(guān)于x的一次函數(shù)y=ax?3a+1圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，則y=ax?3a+1過點(diǎn)（2，2）或（－2，－2），把（2，2）代入y=ax?3a+1得：2=2a?3a+1，解得：a=?1；把（－2，－2）代入y=ax?3a+1得：?2=?2a?3a+1，解得：a=3綜上，a的值為3或?1；（3）∵二次函數(shù)y=?(x?n)2?2n+1圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（n∴二次函數(shù)y=?(x?n)2?2n+1圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)在直線y∵y關(guān)于x的二次函數(shù)y=?(x?n)2?2n+1∴二次函數(shù)y=?(x?n)2?2n+1的圖象與以頂點(diǎn)坐標(biāo)為（n，n），（－n，n），（－n，－n），（n如圖，當(dāng)y=?(x?n)2?2n+1過點(diǎn)（n將（n，－n）代入y=?(x?n)2?2n+1解得：n=1，當(dāng)y=?(x?n)2?2n+1過點(diǎn)（－n將（－n，n）代入y=?(x?n)2?2n+1解得：n=14或由圖可知，若y關(guān)于x的二次函數(shù)y=?(x?n)2?2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，n【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確理解“n階方點(diǎn)”的幾何意義，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”．例如，點(diǎn)(1,1)是函數(shù)y=1（1）分別判斷函數(shù)y=x+2,y=x（2）設(shè)函數(shù)y=3x(x>0),y=?x+b的圖象的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．當(dāng)△ABC（3）若函數(shù)y=x2?2(x≥m)的圖象記為W1，將其沿直線x=m翻折后的圖象記為W2答案:（1）函數(shù)y=x+2沒有“等值點(diǎn)”；函數(shù)y=x2?x的“等值點(diǎn)”為(0，0)，(2，2)；（2）b=43或?23分析：（1）根據(jù)定義分別求解即可求得答案；（2）根據(jù)定義分別求A(3，3)，B(b2，b（3）由記函數(shù)y=x2-2（x≥m）的圖象為W1，將W1沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為W2，可得W1與W2的圖象關(guān)于x=m對稱，然后根據(jù)定義分類討論即可求得答案．【詳解】解：（1）∵函數(shù)y=x+2，令y=x，則x+2=x，無解，∴函數(shù)y=x+2沒有“等值點(diǎn)”；∵函數(shù)y=x2?x，令y=x，則x解得：x1∴函數(shù)y=x（2）∵函數(shù)y=3x，令y=x，則解得：x=3∴函數(shù)y=3x的“等值點(diǎn)”為A(3，∵函數(shù)y=?x+b，令y=x，則x=?x+b，解得：x=b∴函數(shù)y=?x+b的“等值點(diǎn)”為B(b2，b△ABC的面積為12即b2解得：b=43或?2（3）將W1沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為W2．∴W1與W2兩部分組成的函數(shù)W的圖象關(guān)于x=m對稱，∴函數(shù)W的解析式為y=x令y=x，則x2?2=x，即解得：x1∴函數(shù)y=x令y=x，則(2m?x)2?2=x，即當(dāng)m≥2時(shí)，函數(shù)W的圖象不存在恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”的情況；當(dāng)?1<m<2時(shí)，觀察圖象，恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”；當(dāng)m<?1時(shí)，∵W1的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”(-1，-1)，(2，2)，∴函數(shù)W2沒有“等值點(diǎn)”，∴△=?整理得：8m+9<0，解得：m<?9綜上，m的取值范圍為m<?98或【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的對稱性．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．3．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，小明知道，將點(diǎn)P繞著某定點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α，能得到一個(gè)新的點(diǎn)P′．經(jīng)過進(jìn)一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上述點(diǎn)P在某函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P′也隨之運(yùn)動(dòng)，并且點(diǎn)試根據(jù)下列各題中所給的定點(diǎn)A的坐標(biāo)和角度α的大小來解決相關(guān)問題．

【初步感知】如圖1，設(shè)A(1,1)，α=90°，點(diǎn)P是一次函數(shù)y=kx+b圖像上的動(dòng)點(diǎn)，已知該一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)P1（1）點(diǎn)P1旋轉(zhuǎn)后，得到的點(diǎn)P（2）若點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過點(diǎn)P【深入感悟】（3）如圖2，設(shè)A(0,0)，α=45°，點(diǎn)P反比例函數(shù)y=?1x(x<0)的圖像上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P′作二、四象限角平分線的垂線，垂足為【靈活運(yùn)用】（4）如圖3，設(shè)A(1,?3)，α=60°，點(diǎn)P是二次函數(shù)y=12x2+2答案:（1）(1,3)；（2）y=12x+3分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得AP1=AP1（2）根據(jù)題意得出P2（3）先根據(jù)y=?xy=?1x(x<0)計(jì)算出交點(diǎn)坐標(biāo)，再分類討論①當(dāng)x≤?1時(shí)，先證明△PQA≌△P′MA(AAS)再計(jì)算△OM（4）先證明△OAB為等邊三角形，再證明△C′AO≌△CAB(SAS)，根據(jù)在Rt△C′GB中，∠C′GB=90°?∠C′B【詳解】（1）由題意可得:A∴P′1故答案為：(1,3)；（2）∵P′P2坐標(biāo)為∵P1(?1,1)，∴設(shè)原一次函數(shù)解析式為y=kx+b則?k+b=1∴k=∴原一次函數(shù)表達(dá)式為y=1（3）設(shè)雙曲線與二、四象限平分線交于N點(diǎn)，則y=?x解得N(?1,1)①當(dāng)x≤?1時(shí)作PQ⊥x軸于Q∵∠QAM=∠PO∴∠PAQ=∠∵PM⊥AM∴∠∴在△PQA和△P∠PQA=∠∴△PQA≌△S即S△OM②當(dāng)-1<x<0時(shí)作PH⊥于y軸于點(diǎn)H∵∠PO∴∠PON=∠∴∠M=45°?∠∴∠POH=∠PO=45°?∠∴∠POH=∠OM在△POH和△OP∠PHO=∠OM∴△PHO≌△O∴S△（4）連接AB，AC，將B，C繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得B′，C′，作AH⊥x∵A(1,3)∴OH=BH=1∴OA=AB=OB=2∴△OAB為等邊三角形，此時(shí)B′與O重合，即連接C′O∴∠CAB=∠∴在△C′AOC∴△∴C′O=CB=1∴作C′G⊥y在Rt△C∴C∴OG=32，即C′1設(shè)過P且與B′C′平行的直線∵S∴當(dāng)直線l與拋物線相切時(shí)取最小值則y=即3∴1當(dāng)Δ=0時(shí)，得b=∴y=設(shè)l與y軸交于T點(diǎn)∵S∴S==【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)、全等三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)的解析式、反比例函數(shù)的幾何意義、兩函數(shù)的交點(diǎn)問題，函數(shù)的最小值的問題，靈活進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵．4．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點(diǎn)O是圓心，直徑AB的長是12cm，C是半圓弧上的一點(diǎn)（點(diǎn)C與點(diǎn)A、B不重合），連接AC、BC(1)沿AC、BC剪下△ABC，則△ABC是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)分別取半圓弧上的點(diǎn)E、F和直徑AB上的點(diǎn)G、H．已知剪下的由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長為6cm(3)經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點(diǎn)C，一定存在線段AC上的點(diǎn)M、線段BC上的點(diǎn)N和直徑AB上的點(diǎn)P、Q，使得由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長為4cm答案:(1)直角(2)見詳解(3)小明的猜想正確，理由見詳解分析：（1）AB是圓的直徑，根據(jù)圓周角定理可知∠ACB=90°，即可作答；（2）以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點(diǎn)E，再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于⊙O點(diǎn)F連接EF、FO、EA，G、H點(diǎn)分別與A、O點(diǎn)重合，即可；（3）當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)A時(shí)，設(shè)CM=13CA，CN=13CB，可證MN∥AB,推出MN=13AB=4cm，分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交【詳解】（1）解：如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB是直角，即△ABC是直角三角形，故答案為：直角；（2）解：以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點(diǎn)E，再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于⊙O點(diǎn)F連接EF、FO、EA，G、H點(diǎn)分別與A、O點(diǎn)重合，即可，作圖如下：由作圖可知AE=EF=FH=HG=OA=12AB即四邊形EFHG是邊長為6cm的菱形；（3）解：小明的猜想正確，理由如下：如圖，當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)A時(shí)，設(shè)CM=13∴CMCA∴MN∥∴MNAB∴MN=1分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點(diǎn)P，Q，作MD⊥AB于點(diǎn)D，NE⊥AB于點(diǎn)E，∴MN=MP=NQ=4cm∵M(jìn)N∥AB,MD⊥AB，∴MD=NE，在RtΔMDP和RtΔMP=NQMD=NE∴RtΔMDP?∴∠MPD=∠NQE，∴MP//又∵M(jìn)P=NQ，∴四邊形MNQP是平行四邊形，又∵M(jìn)N=MP，∴四邊形MNQP是菱形；同理，如圖，當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)B時(shí)，采樣相同方法可以得到四邊形MNQP是菱形，故小明的猜想正確．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、尺規(guī)作圖、菱形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用上述知識(shí)解決問題．5．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）在四邊形ABCD中，O是邊BC上的一點(diǎn)．若△OAB≌△OCD，則點(diǎn)O叫做該四邊形的“等形點(diǎn)”．(1)正方形_______“等形點(diǎn)”（填“存在”或“不存在”）；(2)如圖，在四邊形ABCD中，邊BC上的點(diǎn)O是四邊形ABCD的“等形點(diǎn)”．已知CD=42，OA=5，BC=12，連接AC，求AC(3)在四邊形EFGH中，EH//FG．若邊FG上的點(diǎn)O是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，求OFOG答案:(1)不存在，理由見詳解(2)4(3)1分析：（1）根據(jù)“等形點(diǎn)”的概念，采用反證法即可判斷；（2）過A點(diǎn)作AM⊥BC于點(diǎn)M，根據(jù)“等形點(diǎn)”的性質(zhì)可得AB=CD=42，OA=OC=5，OB=7=OD，設(shè)MO=a，則BM=BO-MO=7-a，在Rt△ABM和Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM，則在Rt△AMC中利用勾股定理即可求出AC（3）根據(jù)“等形點(diǎn)”的性質(zhì)可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根據(jù)EH∥FG，可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，進(jìn)而有OE=OH，可得OF=【詳解】（1）不存在，理由如下：假設(shè)正方形ABCD存在“等形點(diǎn)”點(diǎn)O，即存在△OAB≌△OCD，∵在正方形ABCD中，點(diǎn)O在邊BC上，∴∠ABO=90°，∵△OAB≌△OCD，∴∠ABO=∠CDO=90°，∴CD⊥DO，∵CD⊥BC，∴DO∥∵O點(diǎn)在BC上，∴DO與BC交于點(diǎn)O，∴假設(shè)不成立，故正方形不存在“等形點(diǎn)”；（2）如圖，過A點(diǎn)作AM⊥BC于點(diǎn)M，如圖，∵O點(diǎn)是四邊形ABCD的“等形點(diǎn)”，∴△OAB≌△OCD，∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，∵CD=42，OA=5，BC∴AB=CD=42，OA=OC∴OB=BC-OC=12-5=7=OD，∵AM⊥BC，∴∠AMO=90°=∠AMB，∴設(shè)MO=a，則BM=BO-MO=7-a，∴在Rt△ABM和Rt△AOM中，AM∴AB2?B解得：a=3，即MO=3，∴MC=MO+OC=3+5=8，AM=∴在Rt△AMC中，AC=A即AC的長為45（3）如圖，∵O點(diǎn)是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，∴△OEF≌△OGH，∴OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，∵EH∥∴∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，∴根據(jù)∠EOF=∠GOH有∠OEH=∠OHE，∴OE=OH，∵OF=OH，OE=OG，∴OF=OG，∴OFOG【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)、平行的性質(zhì)等知識(shí)，充分利用全等三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？（1）如圖①，圓錐的母線長為12cm，B為母線OC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在底面圓周上，AC的長為4πcm．在圖②所示的圓錐的側(cè)面展開圖中畫出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B（2）圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成．O是圓錐的頂點(diǎn)，點(diǎn)A在圓柱的底面圓周上．設(shè)圓錐的母線長為l，圓柱的高為h．①螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)O的最短路徑的長為________（用含l，h的代數(shù)式表示）．②設(shè)AD的長為a，點(diǎn)B在母線OC上，OB=b．圓柱的側(cè)面展開圖如圖④所示，在圖中畫出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑的示意圖，并寫出求最短路徑的長的思路．答案:（1）作圖如圖所示；（2）①h+l；②見解析．分析：（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可得到最短路徑；連接OA，AC，可以利用弧長與母線長求出∠AOC，進(jìn)而證明出△OAC是等邊三角形，利用三角函數(shù)即可求解；（2）①由于圓錐底面圓周上的任意一點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離都等于母線長，因此只要螞蟻從點(diǎn)A爬到圓錐底面圓周上的路徑最短即可，因此順著圓柱側(cè)面的高爬行，所以得出最短路徑長即為圓柱的高h(yuǎn)加上圓錐的母線長l；②如圖，根據(jù)已知條件，設(shè)出線段GC的長后，即可用它分別表示出OE、BE、GE、AF，進(jìn)一步可以表示出BG、GA，根據(jù)B、G、A三點(diǎn)共線，在Rt△ABH中利用勾股定理建立方程即可求出GC的長，最后依次代入前面線段表達(dá)式中即可求出最短路徑長．【詳解】解：（1）如圖所示，線段AB即為螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑；設(shè)∠AOC=n°，∵圓錐的母線長為12cm，AC的長為4πcm∴12πn180∴n=60；連接OA、CA，∵OA=OC=12，∴△OAC是等邊三角形，∵B為母線OC的中點(diǎn)，∴AB⊥OC，∴AB=OA×sin（2）①螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)O的最短路徑為：先沿著過A點(diǎn)且垂直于地面的直線爬到圓柱的上底面圓周上，再沿圓錐母線爬到頂點(diǎn)O上，因此，最短路徑長為h+l②螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑的示意圖如下圖所示，線段AB即為其最短路徑（G點(diǎn)為螞蟻在圓柱上底面圓周上經(jīng)過的點(diǎn)，圖中兩個(gè)C點(diǎn)為圖形展開前圖中的C點(diǎn)）；求最短路徑的長的思路如下：如圖，連接OG，并過G點(diǎn)作GF⊥AD，垂足為F，由題可知，OG=OC=l，GF=h，OB=b，由AD的長為a，得展開后的線段AD=a，設(shè)線段GC的長為x，則GC的弧長也為x，由母線長為l，可求出∠COG，作BE⊥OG，垂足為E，因?yàn)镺B=b，可由三角函數(shù)求出OE和BE，從而得到GE，利用勾股定理表示出BG，接著由FD=CG=x，得到AF=a-x，利用勾股定理可以求出AG，將AF+BE即得到AH，將EG+GF即得到HB，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短，∴A、G、B三點(diǎn)共線，利用勾股定理可以得到：AB2=AH2將x的值回代到BG和AG中，求出它們的和即可得到最短路徑的長．【點(diǎn)睛】本題考查的是曲面上的最短路徑問題，涉及到圓錐和圓柱以及它們的組合體上的最短路徑問題，解題過程涉及到“兩點(diǎn)之間、線段最短”以及勾股定理和三角函數(shù)等知識(shí)，本題為開放性試題，答案形式不唯一，對學(xué)生的空間想象能力以及圖形的感知力要求較高，蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合等思想方法．7．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，甲，乙都是高為6米的長方體容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形．如圖②，已知正方形ABCD與矩形EFGH滿足如下條件：正方形ABCD外切于一個(gè)半徑為5米的圓O，矩形EFGH內(nèi)接于這個(gè)圓O，EF=2EH．（1）求容器甲，乙的容積分別為多少立方米？（2）現(xiàn)在我們分別向容器甲，乙同時(shí)持續(xù)注水（注水前兩個(gè)容器是空的），一開始注水流量均為25立方米/小時(shí)，4小時(shí)后．把容器甲的注水流量增加a立方米/小時(shí)，同時(shí)保持容器乙的注水流量不變，繼續(xù)注水2小時(shí)后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小時(shí)，同時(shí)容器乙的注水流量仍舊保持不變．直到兩個(gè)容器的水位高度相同，停止注水．在整個(gè)注水過程中，當(dāng)注水時(shí)間為t時(shí)，我們把容器甲的水位高度記為?甲，容器乙的水位高度記為?乙，設(shè)?乙??甲=?①求a的值；②求圖③中線段PN所在直線的解析式．答案:（1）甲600立方米，乙240立方米；（2）①a=37.5；②?=?1分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形即可直接得出正方形ABCD的邊長AB=10，即可求出容器甲的容積；連接FH，由圓周角定理的推論可知FH為直徑，即FH=10，再在Rt△EFH中，根據(jù)勾股定理即可求出EF和EH的長，即可求出容器乙的容積．（2）根據(jù)題意可求出容器甲的底面積為100平方米，容器乙的底面積為40平方米．①當(dāng)t=4時(shí)，根據(jù)題意即可求出此時(shí)?的值，即得出M點(diǎn)坐標(biāo)．由MN平行于橫軸，即得出N點(diǎn)坐標(biāo)，即6小時(shí)后高度差仍為?米，由此即可列出關(guān)于a的等式，解出a即可．②設(shè)注水b小時(shí)后，?乙??甲=0，根據(jù)題意可列出關(guān)于b的等式，解出b即得到P【詳解】（1）由圖知，正方形ABCD的邊長AB=10，∴容器甲的容積為102如圖，連接FH，∵∠FEH=90°，∴FH為直徑．在Rt△EFH中，EF=2EH，F(xiàn)H=10，根據(jù)勾股定理，得EF=45，EH=2∴容器乙的容積為25（2）根據(jù)題意可求出容器甲的底面積為10×10=100平方米，容器乙的底面積為①當(dāng)t=4時(shí)，?=4×25∵M(jìn)N平行于橫軸，∴M4，1.5，N由上述結(jié)果，知6小時(shí)后高度差仍為1.5米，∴25×640解得a=37.5．②設(shè)注水b小時(shí)后，?乙??解得b=9，即P9，0設(shè)線段PN所在直線的解析式為?=kt+m，∵N6，1.5、P9，0在直線∴1.5=6k+m0=9k+m解得：k=?1∴線段PN所在直線的解析式為?=?1【點(diǎn)睛】本題考查圓的內(nèi)接和外切四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理以及一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意畫出圖形求出兩個(gè)容器的各邊長和理解題意找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，李老師設(shè)計(jì)了一份活動(dòng)單：已知線段BC=2，使用作圖工具作∠BAC=30°，嘗試操作后思考：（1）這樣的點(diǎn)A唯一嗎？（2）點(diǎn)A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追夢”學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報(bào)：點(diǎn)A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點(diǎn)B、C除外），……．小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓弧（如圖1）．（1）小華同學(xué)提出了下列問題，請你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長為___________；②△ABC面積的最大值為_________；（2）經(jīng)過比對發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點(diǎn)不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內(nèi)部，我們記為A′，請你利用圖1證明∠B（3）請你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決問題：如圖2，已知矩形ABCD的邊長AB=2，BC=3，點(diǎn)P在直線CD的左側(cè)，且tan∠DPC=①線段PB長的最小值為_______；②若S△PCD=2答案:（1）①2；②3+2；（2）見解析；（3）①97?5分析：（1）①設(shè)O為圓心，連接BO，CO，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=60°，證明△OBC是等邊三角形，可得半徑；②過點(diǎn)O作BC的垂線，垂足為E，延長EO，交圓于D，以BC為底，則當(dāng)A與D重合時(shí)，△ABC的面積最大，求出OE，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；（2）延長BA′，交圓于點(diǎn)D，連接CD，利用三角形外角的性質(zhì)和圓周角定理證明即可；（3）①根據(jù)tan∠DPC=43，連接PD，設(shè)點(diǎn)Q為PD中點(diǎn)，以點(diǎn)Q為圓心，12PD為半徑畫圓，可得點(diǎn)P在優(yōu)弧CPD上，連接BQ，與圓Q交于P′，可得BP′即為BP的最小值，再計(jì)算出BQ和圓②根據(jù)AD，CD和S△PCD=23S△PAD推出點(diǎn)P在∠ADC的平分線上，從而找到點(diǎn)P的位置，過點(diǎn)C作CF⊥【詳解】解：（1）①設(shè)O為圓心，連接BO，CO，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°，又OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OB=OC=BC=2，即半徑為2；②∵△ABC以BC為底邊，BC=2，∴當(dāng)點(diǎn)A到BC的距離最大時(shí)，△ABC的面積最大，如圖，過點(diǎn)O作BC的垂線，垂足為E，延長EO，交圓于D，∴BE=CE=1，DO=BO=2，∴OE=BO2?B∴DE=3+2∴△ABC的最大面積為12×2×3（2）如圖，延長BA′，交圓于點(diǎn)D，連接CD，∵點(diǎn)D在圓上，∴∠BDC=∠BAC，∵∠BA′C=∠BDC+∠A′CD，∴∠BA′C＞∠BDC，∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在BC上，且PC=32∵∠PCD=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，∴tan∠DPC=CDPC=4連接PD，設(shè)點(diǎn)Q為PD中點(diǎn)，以點(diǎn)Q為圓心，12PD∴當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧CPD上時(shí)，tan∠DPC=43，連接BQ，與圓Q交于P此時(shí)BP′即為BP的最小值，過點(diǎn)Q作QE⊥BE，垂足為E，∵點(diǎn)Q是PD中點(diǎn)，∴點(diǎn)E為PC中點(diǎn)，即QE=12CD=1，PE=CE=12PC=∴BE=BC-CE=3-34=9∴BQ=BE2+Q∵PD=CD2+P∴圓Q的半徑為12∴BP′=BQ-P′Q=97?54，即BP的最小值為②∵AD=3，CD=2，S△PCD則CDAD∴△PAD中AD邊上的高=△PCD中CD邊上的高，即點(diǎn)P到AD的距離和點(diǎn)P到CD的距離相等，則點(diǎn)P到AD和CD的距離相等，即點(diǎn)P在∠ADC的平分線上，如圖，過點(diǎn)C作CF⊥PD，垂足為F，∵PD平分∠ADC，∴∠ADP=∠CDP=45°，∴△CDF為等腰直角三角形，又CD=2，∴CF=DF=22=2∵tan∠DPC=CFPF=4∴PF=32∴PD=DF+PF=2+32【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，三角形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)，最值問題，解直角三角形，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大，解題時(shí)要根據(jù)已知條件找到點(diǎn)P的軌跡．9．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．（1）△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點(diǎn)，且AE=1，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖1，求CF的長；（2）△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖2，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長；（3）△ABC是邊長為3的等邊三角形，M是高CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以BM為邊作等邊三角形BMN，如圖3，在點(diǎn)M從點(diǎn)C到點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑長；（4）正方形ABCD的邊長為3，E是邊CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過程中，小亮以B為頂點(diǎn)作正方形BFGH，其中點(diǎn)F、G都在直線AE上，如圖4，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F、G、H與點(diǎn)B重合．則點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為______，點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為______．答案:（1）1；（2）3；（3）323；（4）3分析：（1）由ΔABC、ΔBEF是等邊三角形，BA=BC，BE=BF，∠ABE=∠CBF，可證ΔABE≌ΔCBF即可；（2）連接CF，ΔABC、ΔBEF是等邊三角形，可證ΔABE≌ΔCBF，可得∠BCF=∠ABC，又點(diǎn)E在C處時(shí)，CF=AC，點(diǎn)E在A處時(shí)，點(diǎn)F與C重合．可得點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑的長=AC=3；（3）取BC中點(diǎn)H，連接HN，由ΔABC、ΔBMN是等邊三角形，可證ΔDBM≌ΔHBN，可得NH⊥BC．又點(diǎn)M在C處時(shí)，HN=CD=332，點(diǎn)M在D處時(shí)，點(diǎn)N與H重合．可求點(diǎn)N（4）連接CG,AC，OB，由∠CGA=90°，點(diǎn)G在以AC中點(diǎn)為圓心，AC為直徑的BC上運(yùn)動(dòng)，由四邊形ABCD為正方形，BC為邊長，設(shè)OC=x，由勾股定理CO2+BO2=BC2即，可求x=322，點(diǎn)G【詳解】解:（1）∵ΔABC、ΔBEF是等邊三角形，∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°．∴∠ABE+∠CBE=∠CBF+∠CBE，∴∠ABE=∠CBF，∴ΔABE≌ΔCBF，∴CF=AE=1；（2）連接CF，∵ΔABC、ΔBEF是等邊三角形，∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°．∴∠ABE+∠CBE=∠CBF+∠CBE，∴∠ABE=∠CBF，∴ΔABE≌ΔCBF，∴CF=AE，∠BCF=∠BAE=60°，∵∠ABC=60°，∴∠BCF=∠ABC，∴CF//AB，又點(diǎn)E在C處時(shí)，CF=AC，點(diǎn)E在A處時(shí)，點(diǎn)F與C重合．∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑的長=AC=3；（3）取BC中點(diǎn)H，連接HN，∴BH=1∴BH=1∵CD⊥AB，∴BD=1∴BH=BD，∵ΔABC、ΔBMN是等邊三角形，∴BM=BN，∠ABC=∠MBN=60°，∴∠DBM+∠MBH=∠HBN+∠MBH，∴∠DBM=∠HBN，∴ΔDBM≌ΔHBN，∴HN=DM，∠BHN=∠BDM=90°，∴NH⊥BC，又點(diǎn)M在C處時(shí)，HN=CD=332，點(diǎn)M在D處時(shí)，點(diǎn)N∴點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑的長=CD=3（4）連接CG,AC，OB，∵∠CGA=90°，∴點(diǎn)G在以AC中點(diǎn)為圓心，AC為直徑的BC上運(yùn)動(dòng)，∵四邊形ABCD為正方形，BC為邊長，∴∠COB=90°，設(shè)OC=x，由勾股定理CO2+B∴x=3點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為BC長=14點(diǎn)H在以BC中點(diǎn)為圓心，BC長為直徑的弧BN上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為BN的長度，∵點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)圓周的四分之一，∴點(diǎn)H也運(yùn)動(dòng)圓周的四分一，點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為BN的長=14故答案為34π；【點(diǎn)睛本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，90°圓周角所對弦是直徑，圓的弧長公式，掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，90°圓周角所對弦是直徑，圓的弧長公式是解題關(guān)鍵．10．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）木門常常需要雕刻美麗的圖案．（1）圖①為某矩形木門示意圖，其中AB長為200厘米，AD長為100厘米，陰影部分是邊長為30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心點(diǎn)P處，在雕刻時(shí)始終保持模具的一邊緊貼木門的一邊，所刻圖案如虛線所示，求圖案的周長；（2）如圖②，對于1中的木門，當(dāng)模具換成邊長為303厘米的等邊三角形時(shí)，刻刀的位置仍在模具的中心點(diǎn)P處，雕刻時(shí)也始終保持模具的一邊緊貼本門的一邊，使模具進(jìn)行滑動(dòng)雕刻．但當(dāng)模具的一個(gè)頂點(diǎn)與木門的一個(gè)頂點(diǎn)重合時(shí)，需將模具繞著重合點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)雕刻，直到模具的另一邊與木門的另一邊重合．再滑動(dòng)模具進(jìn)行雕刻，如此雕刻一周，請?jiān)趫D②答案:（1）480cm；（2）雕刻所得圖案的草圖見解析，圖案的周長為600?120分析：（1）過點(diǎn)P作PE⊥CD,求出PE，進(jìn)而求得該圖案的長和寬，利用長方形的周長公式即可解答；（2）如圖，過P作PQ⊥CD于Q，連接PG,先利用等邊三角形的性質(zhì)求出PQ、PG及∠PGE，當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn)P'時(shí)，求得旋轉(zhuǎn)角和點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的路徑長，用同樣的方法繼續(xù)移動(dòng)，即可畫出圖案的草圖，再結(jié)合圖形可求得所得圖案的周長．【詳解】1如圖，過點(diǎn)P作PE⊥CD,垂足為E∵P是邊長為30cm的正方形模具的中心，∴PE=15cm,同理：A′B′與A'D'與AD之間的距離為15cm,B'C′與BC∴A'B'=C'D'=200?15?15=170cm,B'C'=A'D'=100?15?15=70cm,∴C答：圖案的周長為480cm．2如圖，連接PE、PF、PG,過點(diǎn)P作PQ⊥CD，垂足為Q∵P是邊長為30cm的等邊三角形模具的中心，∴PE=PG=PF,∠PGF=30°∵PQ⊥GF,∴GQ=QF=15∴PQ=CQ?tan30°=15cm,PG=CQ當(dāng)三角形EFG向上平移至點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，由題意可得：△E'F′G′使得E'G'與AD邊重合∴DP'繞點(diǎn)D順時(shí)針旋