搶分通關(guān)15 二次函數(shù)新定義型綜合問(wèn)題（3題型）（原卷版）

2/2搶分通關(guān)15二次函數(shù)新定義型綜合問(wèn)題（壓軸通關(guān)）目錄【中考預(yù)測(cè)】預(yù)測(cè)考向，總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）二次函數(shù)新定義型綜合問(wèn)題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點(diǎn)頻率看，二次函數(shù)新定義型綜合問(wèn)題是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)。2．從題型角度看，以解答題的最后一題或最后第二題為主，分值12分左右，著實(shí)不少！題型一新定義型二次函數(shù)之共生或伴隨拋物線【例1】（新考法，拓視野）（2024·江西九江·一模）定義：若兩條拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)，這樣的兩條拋物線稱(chēng)之為“共生拋物線”，如拋物線與是共生拋物線，已知拋物線的頂點(diǎn)是點(diǎn)P，它的共生拋物線的頂點(diǎn)是Q；(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是_________，拋物線的函數(shù)關(guān)系式是．(2)直線與拋物線、均有兩個(gè)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)從左到右分別是A、B、C、D．①求m的取值范圍；②若，求m的值；本題考查了二次函數(shù)的新定義，正確利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．本題考查了二次函數(shù)的新定義，正確利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【例2】（2023·江蘇泰州·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于函數(shù)，其中、、為常數(shù)，，定義：函數(shù)是的衍生函數(shù)，點(diǎn)是函數(shù)的衍生點(diǎn)，設(shè)函數(shù)與其衍生函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．(1)若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)、，其衍生點(diǎn)，求函數(shù)的解析式；(2)①若函數(shù)的衍生函數(shù)為，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；函數(shù)的圖象如圖所示，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的位置；(3)是否存在常數(shù)，使得無(wú)論為何值，函數(shù)的衍生點(diǎn)始終在直線上，若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．新定義：我們把拋物線（其中與拋物線稱(chēng)為“關(guān)聯(lián)拋物線”，例如，拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為已知拋物線：的“關(guān)聯(lián)拋物線”為，與y軸交于點(diǎn)E．(1)若點(diǎn)E的坐標(biāo)為，求的解析式；(2)設(shè)的頂點(diǎn)為F，若△OEF是以O(shè)F為底的等腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)過(guò)x軸上一點(diǎn)P，作x軸的垂線分別交拋物線，，于點(diǎn)M，N．①當(dāng)MN=6時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為2a，求a的值．2．（2023·廣東廣州·一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，直線稱(chēng)為拋物線的伴隨直線，如直線為拋物線的伴隨直線．(1)求拋物線的伴隨直線；(2)無(wú)論取何值，拋物線：總會(huì)經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)，拋物線：的伴隨直線經(jīng)過(guò)該定點(diǎn)，求的值；(3)頂點(diǎn)在第一象限的拋物線與它的伴隨直線交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，軸上存在點(diǎn)，使得取得最大值，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．題型二新定義型二次函數(shù)之特殊形狀問(wèn)題【例1】（新考法，拓視野）（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·期末）定義：由兩條與x軸有相同的交點(diǎn)，并且開(kāi)口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱(chēng)為“月牙線”．【概念理解】（1）拋物線與拋物線是否圍成“月牙線”？說(shuō)明理由．【嘗試應(yīng)用】（2）拋物線與拋物線組成一個(gè)如圖所示的“月牙線”，與軸有相同的交點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸的交點(diǎn)分別為．①求的值．②已知點(diǎn)和點(diǎn)在“月牙線”上，，且的值始終不大于2，求線段長(zhǎng)的取值范圍．本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及新定義，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及新定義，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解“月牙線”的概念．【例2】二次函數(shù)的圖象交軸于原點(diǎn)及點(diǎn)．感知特例（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，拋物線上的點(diǎn)，，，，分別關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，，，，，如下表：…（___，___）………①補(bǔ)全表格；②在圖1中描出表中對(duì)稱(chēng)后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為．形成概念我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象上的點(diǎn)和拋物線上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)是的“孔像拋物線”．例如，當(dāng)時(shí)，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”．探究問(wèn)題（2）①當(dāng)時(shí)，若拋物線與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，則的取值范圍為_(kāi)______；②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)取不同值時(shí)，通過(guò)畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)的所有“孔像拋物線”，都有唯一交點(diǎn)，這條拋物線的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；③若二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，求的值．1．（2023·江西贛州·一模）定義：若直線與開(kāi)口向下的拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離叫做這條拋物線的“反碟長(zhǎng)”．如圖，已知拋物線：與直線相交于，．(1)拋物線的“反碟長(zhǎng)”________．(2)拋物線隨其頂點(diǎn)沿直線向上平移，得到拋物線．①當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)平移到點(diǎn)，拋物線的解析式是________．拋物線的“反碟長(zhǎng)”是________．②若拋物線的“反碟長(zhǎng)”是一個(gè)偶數(shù)，則其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)可能是________．（填寫(xiě)所有正確的選項(xiàng)）A．15

B．16

C．24

D．25③當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)和拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)等邊三角形時(shí)（點(diǎn)在點(diǎn)左右），求點(diǎn)的坐標(biāo)．題型三新定義型二次函數(shù)與其他函數(shù)的綜合問(wèn)題【例1】（新考法，拓視野）（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果函數(shù)的自變量與函數(shù)值滿(mǎn)足：當(dāng)時(shí)，（為實(shí)數(shù)，且，我們稱(chēng)這個(gè)函數(shù)在上是“民主函數(shù)”．比如：函數(shù)在上是“民主函數(shù)”．理由：由，得．，，解得，，是“民主函數(shù)”．(1)反比例函數(shù)是上的“民主函數(shù)”嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由：(2)若一次函數(shù)在上是“民主函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式（可用含的代數(shù)式表示）；(3)若拋物線在上是“民主函數(shù)”，且在上的最小值為，設(shè)拋物線與直線交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．若的內(nèi)心為，外心為，試求的長(zhǎng)．本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形外心和內(nèi)心的性質(zhì)等知識(shí)，理解新定義，得出拋物線的解析式從而得出本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形外心和內(nèi)心的性質(zhì)等知識(shí)，理解新定義，得出拋物線的解析式從而得出的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【例2】（2023·江蘇南通·一模）定義：若函數(shù)圖象上存在點(diǎn)，，且滿(mǎn)足，則稱(chēng)t為該函數(shù)的“域差值”．例如：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的“域差值”為2(1)點(diǎn)在的圖象上，“域差值”，求m的值；(2)已知函數(shù)，求證該函數(shù)的“域差值”；(3)點(diǎn)為函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，將函數(shù)的圖象記為W1，將函數(shù)的圖象沿直線翻折后的圖象記為當(dāng)兩部分組成的圖象上所有的點(diǎn)都滿(mǎn)足“域差值”時(shí)，求a的取值范圍．1．（2023·江蘇南通·一模）定義：若函數(shù)的圖象上至少存在一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在函數(shù)的圖象上，則稱(chēng)函數(shù)，為關(guān)聯(lián)函數(shù)，這兩個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)，的一對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)．例如，函數(shù)與函數(shù)為關(guān)聯(lián)函數(shù)，點(diǎn)和點(diǎn)是這兩個(gè)函數(shù)的一對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)．(1)判斷函數(shù)與函數(shù)是否為關(guān)聯(lián)函數(shù)？若是，請(qǐng)直接寫(xiě)出一對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)；若不是，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)與始終為關(guān)聯(lián)函數(shù)，求的值；(3)若函數(shù)與函數(shù)(，為常數(shù))為關(guān)聯(lián)函數(shù)，且只存在一對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求的取值范圍．2．（2024·浙江湖州·一模）定義：對(duì)于y關(guān)于x的函數(shù)，函數(shù)在范圍內(nèi)的最大值，記作如函數(shù)，在范圍內(nèi)，該函數(shù)的最大值是6，即，．請(qǐng)根據(jù)以上信息，完成以下問(wèn)題：已知函數(shù)（a為常數(shù)）(1)若．①直接寫(xiě)出該函數(shù)的表達(dá)式，并求的值；②已知求p的值．(2)若該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，求k的值．題型四新定義型二次函數(shù)與幾何圖形的綜合問(wèn)題【例1】（新考法，拓視野）（2023·江蘇南通·二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是圖形上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)是圖形上的任意一點(diǎn)，若存在直線滿(mǎn)足且（或滿(mǎn)足且），則稱(chēng)直線是圖形與的“界線”．例如：直線是函數(shù)的圖象與拋物線的一條“界線”．已知點(diǎn)．(1)若，在直線①，②，③中，是函數(shù)的圖象與正方形的“界線”的有______（填序號(hào)）；(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)是的半徑為與正方形的“界線”有且只有一條，求“界線”的函數(shù)關(guān)系式；(3)若存在直線是函數(shù)的圖象與正方形的“界線”，求的取值范圍．本題考查二次函數(shù)的本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，弄清“界線”的定義與圖形之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．【例2】（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測(cè)）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，P、Q為平面內(nèi)不重合的兩個(gè)點(diǎn)，其中．若：，則稱(chēng)點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“等和點(diǎn)”．(1)如圖1，已知點(diǎn)，求點(diǎn)P在直線上“等和點(diǎn)”的坐標(biāo)；(2)如圖2，的半徑為1，圓心A坐標(biāo)為．若點(diǎn)在上有且只有一個(gè)“等和點(diǎn)”，求m的值；(3)若函數(shù)的圖像記為，將其沿直線翻折后的圖像記為．當(dāng)，兩部分組成的圖像上恰有點(diǎn)的兩個(gè)“等和點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的取值范圍．1．（2023·江蘇揚(yáng)州·一模）對(duì)于二次函數(shù)給出如下定義：在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)，，為常數(shù)，且的圖象頂點(diǎn)為（不與坐標(biāo)原點(diǎn)重合），以為邊構(gòu)造正方形，則稱(chēng)正方形為二次函數(shù)的關(guān)聯(lián)正方形，稱(chēng)二次函數(shù)為正方形的關(guān)聯(lián)二次函數(shù)．若關(guān)聯(lián)正方形的頂點(diǎn)落在二次函數(shù)圖象上，則稱(chēng)此點(diǎn)為伴隨點(diǎn)．(1)如圖，直接寫(xiě)出二次函數(shù)的關(guān)聯(lián)正方形頂點(diǎn)N的坐標(biāo)___,并驗(yàn)證點(diǎn)N是否為伴隨點(diǎn)___（填“是”或“否”）：(2)當(dāng)二次函數(shù)的關(guān)聯(lián)正方形的頂點(diǎn)與位于軸的兩側(cè)時(shí)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：①若關(guān)聯(lián)正方形的頂點(diǎn)、在軸的異側(cè)時(shí)，求的取值范圍：②當(dāng)關(guān)聯(lián)正方形的頂點(diǎn)是伴隨點(diǎn)時(shí)，求關(guān)聯(lián)函數(shù)的解析式；③關(guān)聯(lián)正方形被二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸分成的兩部分的面積分別為與，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．2．（2024·江西九江·一模）定義概念：在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線為拋物線的“衍生直線”．如圖1，拋物線與其“衍生直線”交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線和“衍生直線”的表達(dá)式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)如圖2，拋物線的“衍生直線”與y軸交于點(diǎn)，依次作正方形，正方形，…，正方形（n為正整數(shù)），使得點(diǎn)，，，…，在“衍生直線”上，點(diǎn)，，，…，在x軸負(fù)半軸上．①直接寫(xiě)出下列點(diǎn)的坐標(biāo)：______，______，______，______；②試判斷點(diǎn)，，…，是否在同一條直線上？若是，請(qǐng)求出這條直線的解析式；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2023·江西新余·一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，那么我們把經(jīng)過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線稱(chēng)為這條拋