人教版(新教材)高中數(shù)學必修1(第一冊)學案：5. 5 . 2 簡單的三角恒等變換

5.5.2簡單的三角恒等變換

【學習目標】1.能用二倍角公式導(dǎo)出半角公式2了解三角恒等變換的特點、變換技巧，掌握三

角恒等變換的基本思想方法.3.能利用三角恒等變換對三角函數(shù)式化簡、求值以及證明三角恒

等式，并能進行一些簡單的應(yīng)用.

知識梳理梳理教材夯實基礎(chǔ)

知識點一半角公式

a/1+cosa

哼=±\

a_/1—cosasina1—cosa

tan21+cosoc1+cosotsince'

知識點二輔助角公式

a/1十cosa

1.cos2=x\/--7-----(X)

ot1、

2.對任意a￡R,sin'=］cosa都不成立.(X)

3.若cosa=g,且。￡(0,7i),則8$卷=半.(V)

4.對任意Q都有sina+小cosa=2sin(a+0.(V)

題型探究探究重點素養(yǎng)提升

--------------------N--------------------

一、三角恒等式的證明

..tl+sin———coseLl+siii1+cose2

"T1+sine+cos。l+sing—cos。sin夕

「4?ee-〃?夕e

2sm5十2sHi5cos52cos弓十zsinzcosT

證明方法一左邊=

c用?ee「4?ee

2cos［十zsinTcosT2sin］十ZSIBTCOST

乙乙乙乙NN

,ee

sin/cos]]2

―3+—e=—e3=sine=右邊?

cos'sin]cos5smi

所以原式成立.

、—,.(]+sin。-cos。)2+(]+sin9+cosgp

萬,一工J(l+sin9+cose)(l+sin8—cos。)

2(1+sin。)2+2cos2。4+4sine_____2

(l+sin0*2—cos202sin^+2sin2^sin。

所以原式成立.

反思感悟三角恒等式證明的常用方法

⑴執(zhí)因索果法：證明的形式一般是化繁為簡；

⑵左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個式子；

(3)拼湊法：針對題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對性地變形，以消除它們之間的差異，簡言之,

即化異求同；

(4)比較法：設(shè)法證明“左邊一右邊=0"或“左邊/右邊=1"；

⑸分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，直到已知條件或明顯的事

實為止，就可以斷定原等式成立.

跟蹤訓練1求證：

_________2sinxcosx___________1+cosx

(sinx+cosx-l)(sinx-cosx+1)siiix'

2sinxcosx

證明左邊=

____2siaxcosx_______sinx

).H亡??

4sin2dcos2^—sin弓I2sin2T

%c/

cos}2cost1I

221+cosx

———:—右邊.

.x.xxsinx

sin/2smicos/

所以原等式成立.

二、三角恒等變換的綜合問題

例2已知函數(shù)yU)=4cos0x-sin(ox+3(o>O)的最小正周期為兀.

⑴求。的值；

冗

⑵討論以X)在區(qū)間[o,m上的單調(diào)性.

角星(1)J(x)=4cos①》sin(①x+§

=2r\f2sincDX-coscox-\-2\f2cos2cox

=y[2(sin2cox+cos2s:)

=2sin(2①x+3+也.

因為y(x)的最小正周期為兀，且口＞0,

2兀

從而有京=兀，故8=1.

(2)由(1)知，五x)=2sin(2x+2+，I

若OWx若，則;W2x+g系.

當芍，即044,於）單調(diào)遞增；

當京2x+：W苧，即引3W冷時，式的單調(diào)遞減.

綜上可知，/（X）在區(qū)間［o,幻|上單調(diào)遞增，在區(qū)間《，5」上單調(diào)遞減.

反思感悟研究三角函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性和最值問題，通常是把復(fù)雜的三角函數(shù)通過恰當

的三角變換，轉(zhuǎn)化為一種簡單的三角函數(shù)，再研究轉(zhuǎn)化后函數(shù)的性質(zhì).在這個過程中通常利

用輔助角公式，將y=〃siiu:+Z?cosx轉(zhuǎn)化為》=①111（%+夕）或y=Acos（x+g）的形式，以便研究

函數(shù)的性質(zhì).

跟蹤訓練2已知函數(shù)/jXtMsinZx—sinzQ—專），x￡R.

（1）求加）的最小正周期；

⑵求段）在區(qū)間［一?"上的最大值和最小值.

q士1—cos2x—cos（2x—2

解（1）由已知，有fix）=2—2

=1^cos2x+坐sin2,-1cos2x

=^in2x-|cos2x4in^-§.

所以於）的最小正周期7=號771=兀

⑵因為?。┰趨^(qū)間［蘭，一,上是減函數(shù)，在區(qū)間［一/田上是增函數(shù)，

且/W4司=一玄巧邛,

所以犬x）在區(qū)間一1，:上的最大值為坐，最小值為一：

三、三角函數(shù)的實際應(yīng)用

例3如圖，有一塊以點。為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個內(nèi)接矩形ABCD

開辟為綠地，使其一邊AD落在半圓的直徑上，另兩點3,C落在半圓的圓周上.已知半圓

的半徑長為20m,如何選擇關(guān)于點。對稱的點A,。的位置，可以使矩形ABC。的面積最大，

最大值是多少？

DOA

解連接OB（圖略），設(shè)/&。8=a

貝AB=OBsin0=2OsinO,OA=OBcos3=2Ocos0,且6d（0,百）.

因為A,關(guān)于原點對稱，

所以AD=20A—4Ocos0.

設(shè)矩形ABC。的面積為S,則

S=AZ>A3=40cos820sin9=400sin2夕

因為所以當sin28=l,

7T

即時，Smax=400（m2）.

此時40=00=1至（01）.

故當A,。距離圓心。為lS「m時，矩形ABC。的面積最大，其最大面積是400m2.

反思感悟（1）三角函數(shù)與平面幾何有著密切聯(lián)系，幾何中的角度、長度、面積等問題，常借

助三角變換來解決；實際問題的意義常反映在三角形的邊、角關(guān)系上，故常用三角恒等變換

的方法解決實際的優(yōu)化問題.

（2）解決此類問題的關(guān)鍵是引進角為參數(shù)，列出三角函數(shù)式.

跟蹤訓練3如圖所示，要把半徑為R的半圓形木料截成長方形，應(yīng)怎樣截取，才能使△042

的周長最大？

0B

TF

解設(shè)NA05=a,則0<冰亍△Q45的周長為/,

0B

則AB=Rsina,OB=Rcosa,

.'.l—OA+AB+OB—R+Rsina+Rcosa

=R(sina+cosa)+E

=梃Z?sin(a+J+R.

?.八兀.兀,7i3K

.0<a<2，

；?/的最大值為陋R+R=(陋+1)R,

IIM?1兀兀口H兀

此時，a+a=5，即Q=W，

即當a=彳時，△04B的周長最大.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學以致用

1.已知cosa=g,aG岸，2兀），則si球等于（）

A.辭乎普D.羋

『答案』A

『解析』V?e（y,2K）,

2.若函數(shù)兀0=-si/x+aCrGR）,則八尤）是（）

A.最小正周期為方的奇函數(shù)

B.最小正周期為兀的奇函數(shù)

C.最小正周期為2兀的偶函數(shù)

D.最小正周期為兀的偶函數(shù)

『答案』D

1—X11

『解析』4%）=-----2------+]=]cos2x.故選D.

3.下列各式與tanoc相等的是()

/1-cos2asina

A'/1+cos2a^l+cosoc

since1—cos2a

01—cos2aDsin2a

『答案』D

l—cos2a2sin2asina

『解析』sin2a2sin(zcosotcosatana.

4.函數(shù)y=—d5sinx+cosx在［一茅看上的值域是

『答案』『0,3』

『解析』y=—'45sinx+cosx=2sin《一，

又???-卜%吟

???。日尤奇.

；.0WyWS.

a17tEJa

5.已知Isin]—cos2=—j1,