第7講 善用內力定理（含解析）

兀【例1】已知F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且上則橢圓和雙曲線的離心率的倒數之和的最大值為()B.C.3D.2△PAB,△PBC,△PAC的面積S1,S2,S3滿足,則【例3】已知在等腰△ABC中,AB=AC,BD是腰AC的中線,且BD=3,則△ABC的面積S△ABC的最大值是.【例4】已知在△ABC中,a,b,c分別為內角A,B,C的對邊,若a+b=4,(2?cosA)tan=sinA,則△ABC面積的最大值為.【例5】設a,b,c分別是△ABC中內角A,B,C的對邊,且=6cosC,1.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點F1,F2,P是它們的一個交點,且<F1PF2=60。,記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1,e2,則當取最大值時,e1,e2的值分別是()2.已知在△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c.若asinA+bsinB-csinC=·asinB,則7C=. 3.已知在凸四邊形ABCD中,AB=1,BC=·3,ACTCD,AC=CD,當7ABC變化時,對角線BD的最大值是.4.已知在等腰△ABC中,AB=AC,點D在線段AC上,AD=kAC(k為常數,且0<k<1),BD=l為定長,則△ABC的面積最大值是.5.已知在△ABC中,內角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,若tanB=tanC,則△ABC面積的最大值為.?！纠?】已知F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且上則橢圓和雙曲線的離心率的倒數之和的最大值為()【解析】由正弦定理的得,即,故3sinθ,當且僅當時等號成立,故【點撥】本題可以從橢圓與雙曲線的定義入手﹐得到橢圓與雙曲線的離心率的倒數之和接下來圍繞這個等式求最值﹐方法很多﹐可以采用正弦定理、余弦定理、配方法、基本不等式法、判別式法、平面幾何法﹑向量法等不同的方法求解.22mncos60。=m2+n2mn思路一：配方法222mn當且僅當n=0時等號成立,故選A.思路二:基本不等式法也就是當且僅當時等號成立，故選A.思路三:判別式法2m2c(2c)2=m2+n2—mn得n2-mn+m2-4c2=2m2c關于n的一元二次方程有解，,也就是,故選A.【點撥】第一類方法：記F1F2=m>0,PF2=n>0,F1F2=別為e1和e2，不妨設m>n,則PF1+PF2=m+n,PF1-PF2=m-n,則橢圓和雙曲線離心率的倒數之和易得如圖72,c為定值,只要m最大即可.故當且僅當t=時等號成立,故選A.【點撥】本題也可以從橢圓與雙曲線的焦點三角形面積公式入手﹐得到橢圓與雙曲線的離心率的恒等關系式接下來圍繞這個等式求最值﹐方法很多﹐可以采用換元法,均值不等式法、柯西不等式法、線性規(guī)劃法﹑導數法、齊次式法等不同的方法求解.第二類方法：利用在橢圓中=b2tan上在雙曲線中S△=b2cot上設橢圓在雙曲線中，b12當且僅當e2=3e1=3時等號成立,故選A.問題轉化為約束條件+=1下，求z=x+y的最大值.+y,,則x2+3y2=4,需求x+y的最大值.設,則f,,所以f處取得最大值,.所以f(t)max=16,即x+y的最大值為4·i3.【賞析】本題以橢圓、友曲線為載體,考查圓錐曲線的定義和性質、正余弦定理等知識點,注重知識的遷移,條件的等價轉化能力.第一類方法圍繞離心率的倒數之和,從粆圓與雙曲線的定義入手,得到橢圓與攵曲線的離心率的倒數之和接下來圍繞這個等式求最值,方法很多,可以采用正弦定理、余弦定理、配方法、基本不等式法、判別式法、平面幾何法、向量法等不同的方法求解.解法1:把所求問題化成三角函數問題,利用正弦函數的有界性求最值,注意等號取得的條件.解法2:利用余弦定理得到4c2=m2+n2-mn后,從配方法、基本不等式法和判別式法三個角度展開.其中判別式法應注意變量的轉換,把等式看成關于n的方程.【解法1】和【解法2】系常規(guī)解法,上手容易.【解法3】:利用平面幾何知識,數形結合,需要較好的初中基礎.解法4:基于向量的角度思考,以向量為工具,把所求問題通過換元法轉化為不等式問題,是值得關注的解法.第二類方法從柇圓與雙曲線的焦點三角形面積公式入手,得到橢圓與雙曲線的離心率的恒等關系式接下來圍繞這個等式求最值,方法很多,可以采用換元法、均值不等式法、柯西不等式法、線性規(guī)劃法、導數法、齊次式法等不同的方法求解,體現了多種思考視角,蘊含著豐富的數學思想,值得細細品味.【解法5】:利用平方和為定值采取三角換元的方法,最后用輔助角公式化成正弦函數形式,注意取等的條件.【解法6】:巧妙構造出均值不等式的形式,思想靈活,切入點難,不易想到.【解法7】:用柯西不等式求解,對學生能力要求較高.【解法8】:以線性規(guī)劃為工具,在目標區(qū)域內求出目標函數的最大值,體現了數形結合思想.解法9:采取暴力求導的方法,對學生要求較高,適合基礎較好的學生練習使用.【解析】【解法10】利用齊次化的方法,最后通過求導的方法求最值. △PAB,△PBC,△PAC的面積S1,S2,S3滿足,則【解析】因為DPAC+DBAP=DPAC+DPCA=60°所以所以AP=2BP,CP=2AP=4BP,所以【點撥】數形結合,利用三角形相似的判定定理進行等價轉換，問題即可迎刃而解.【解法2】如圖7-4,作點P關于AB,BC,AC的對稱點P1,P2,P3,則7P1=7P1AP3=7AP3C=7BP2C=120。,12,237PBP=180。712,23=AP3,即x=2y,所以P2P3=2AP1,即z=2x=4y,所以.【點撥】數形結合,作出點P關于AB,BC,AC的對稱點P1,P2,P3,結合圖形的特點,即可求解.【解法3】如圖7-5，由條件知sinDAPB=sinDAPC=sinDBPC,所以7APB=7APC=7BPC=120。,作△APC的外接圓圓O,延長BP交圓O于點D.因為7CAB=7ADC,所以BA是圓O的切線,又因為7BPC=120。,所以7DPC=60。,7DAC=60。.所以△DAC為等邊三角形,因為7BCD=7BCA+7ACD=90。,所以DCTBC, 所以BD=7,因為BA2=BP.BD,所以BP=.【點撥】數形結合,作出△APC的外接圓,結合余弦定理即可求解.因為所以上APB=上APC=上BPC=12再由面積關系有xy+yz+zx=2,所以x2+y2+z2=3,所以(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=7,即x+y+z=·,將x=·-(y+z)代入x2+y2+z2=3得7-2(y+z)+y2+z2+2yz+y2+z2=3再將y2+z2+yz=3代入上式可得y+z=所以【點撥】利用面積公式結合條件得出上APB=上BPC=上CPA=120。,再利用余弦定理列方程組求解.在△ABP中，由正弦定理有所以【點撥】引入角參數,利用三角形內角和定理及正弦定理進行邊化角求解.【賞析】本題條件涉及三角形邊、角和面積關系,結論是求長度的比值問題,有一定的難度.【解法1】和【解法2】通過平面幾何的知識,回歸三角形的本質,減少運算量,體現了數形結合的思想.【解法3】:通過構造外接圓,再利用相關的平面幾何知識和余弦定理進行求解.這三種解法都需要掌握必要的幾何知識,對學生的平面幾何能力要求比較高,值得品味.解法4:通過余弦定理建立各末知量的方程關系,消元求解,需要很好的運算功底.3【解法5】通過正弦定理,將邊的關系轉化為角的關系,再利用三角公式進行求解,是解有關三角形題目的常見方法.3,則△ABC的面【例3】已知在等腰△ABC中,AB=AC,BD是腰AC的中線,則△ABC的面積S△ABC的最大值是.【解析】所以S△ABC=.2x.2x.sinA【點撥】設出邊長,巧用余弦定理,把面積最值問題轉化為函數最值問題，即可求出△ABC面積的最大值.所以由海倫公式2【點撥】利用海倫公式、中線性質及中線長公式,結合均值不等式求解.所以,5S5S,所以S24,S2.【點撥】設出邊長,利用余弦定理及輔助角公式進行等價變換,即可求出△ABC面積的最大值.【解法4】如圖710,設AD=DC=x,BC=2y,則AB=2x.22+(2y)2化簡得2x2=64y2,,【點撥】利用余弦定理引出三邊的關系,巧用均值不等式,即可求出△ABC面積的最大值.因為D為AC的中點,則DE= ,,所以S△ABC=4sinαcosα=2sin2α2.【點撥】利用中線及重心性質,將S△ABC轉化為S△ABC問題,以角代邊,利用三角函數有界性解題.【解法6】如圖7-12,過點A作AO丄BC,以BC為x軸,AO為y軸建立平面直角坐標系,設又因為D為AC的中點,所以D,所以 所以所以ab2,【解法7】設點G為△ABC的重心,因為AB=AC,所以BG=CG=【點撥】直接利用重心的性質即可求出△ABC面積的最大值.【解法8】取BC的中點H,AH^BC,G為VABC的重心，BG=S△ABC=6S△BGH2(當且僅當x=y=時取等號)【點撥】利用重心的性質找到等價關系式,再結合基本不等式,即可求出△ABC面積的最大值.【解法9】如圖7—13,G為△ABC的重心,取BC中點E,平方得則BE.EA2,【點撥】利用重心的性質及向量的數量積性質,結合均值不等式,即可求出△ABC面積的最大值.【解法10】如圖714,以BD中點O為坐標原點,OD及OD的垂直平分線所在直線分別為x軸,y軸建立坐標系.化簡得2+y2=2,所以【點撥】建立平面直角坐標系，求出點A的軌跡方程,即可求出△ABC面積的最大值.【解法11】如圖7-15,因為AB=2AD,所以點A的軌跡是以EF為直徑的圓,其中E,F是使的內外分點,且EF=3.當點A到BD的距離為圓的半徑【點撥】確定點A的軌跡圓,利用幾何法求解.【解法12】如圖7-16,過點A作外角平分線AG,過點A作BC的垂線AE,交BD于點F,易證B,F,D,G四點共線,即=2,上EAG=90。,所以A點的軌跡是以FG為直徑的圓.【點撥】通過作輔助線﹐確定點A的軌跡圓,利用幾何法求解.點C的軌跡是以為圓心為半徑的圓,其中直徑端點M,N分別為線段AB的內外分點CM,CN分別為上ACB的內外角平分解法13】如圖7-18,B0,3,A-a解法13】如圖7-18,B0,3,A-a,-,Ca,,所以【點撥】建系﹐用坐標表示所求三角形面積,再結合中線長,利用二次函數求最值.【賞析】本題主要考查函數最值的應用,根據條件設出變量,利用二次函數的性質求出最值,或構造建系轉化為均值不等式問題,注意取等條件.本題考查學生的邏輯思維能力和運算能力,運算量較大,屬于中檔題.如果能利用阿波羅尼斯圓的性質則運算就簡化許多,值得推廣.解法1:設出邊長,巧用余弦定理,把面積最值問題轉化為函數最值問題,即可求出△ABC面積的最大值.【解法2】:利用周長的關系,把周長轉化為三邊的關系,巧用海倫公式結合均值不等式,即可求出△ABC面積的最大值.【解法3】和解法4:設出邊長,利用余弦定理及輔助角公式進行等價變換，即可求出面積的最大值.【解法5】:面積轉化后利用倍角公式轉化求值域.解法6:建立平面直角坐標系,把問題坐標化,然后利用勾股定理進行轉化,再巧用均值不等式,即可求出△ABC面積的最大值.解法7,8、9利用三角形的重心的性質進行解題,從不同側面考慮間題,體現了數形結合的思想.【解法9】到12利用了阿波羅尼斯圓的具體性質解題.解法13:建立平面直角坐標系,設出點A,C的坐標,利用模長關系,把面積最值問題轉化為函數最值問題,即可求出△ABC面積的最大值.【例4】已知在△ABC中,a,b,c分別為內角A,B,C的對邊,若a+b=4,(2?cosA)tan,則△ABC面積的最大值為.【解析】又a+c=4,即BC+BA=4>AC,故B點軌跡是棛圓（除去長軸兩個端點).以線段AC的中點為原點,線段AC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系,則A(-1,0),C(1,0),點B的軌跡方程為以A,C為焦點的橢圓（除去長軸兩個端點),即【點撥】根據題干條件進行等價變換,即可得出點B的軌昹方程是橢圓,然后利用橢圓的性質,即可求出△ABC面積的最大值.因為=sinA,所以2sinB=sinA+sinC,所以由海倫公式得S△ABC=·p(p-a)(p-b)(p-c)3(33(3-a)(3-c)2 【點撥】根據題千條件進行等價變換，然后利用海倫公式及均值不等式的常用變形,即可求出△ABC面積的最大值.因為=sinA，所以2sinB=sinA+sinC,所以b=2.【點撥】根據題干條件進行等價變換﹐然后利用余弦定理及基本不等式，即可求出△ABC面積的最大值.【賞析】本題給出的三個解法均由條件(2-cosA)tan=sinA得到b=2,后續(xù)的解法有所不同.【解析】【解法1】:利用BA+BC為定值,得到點B的軌跡為橢圓（去掉長軸兩個端點),然后利用B為短軸端點時△ABC面積最大的特點,求出最值.解法2:注意到三角形的周長為定值,利用海倫公式及平均值不等式得解.【解法3】:由余弦定理求出cosB,進而有sinB,再利用均值不等式可得ac2=4,得到△ABC面積的最大值.【例5】設a,b,c分別是△ABC中內角A,B,C的對邊,且=6cosC,【解析】【解法1】+===+2cosC=6cosC→=4cosC【點撥】根據題干條件進行等價變換,然后利用正弦定理,化邊為角，即可求出代數式的值.222222ababab222222ababab【點撥】根據題干條件進行等價變換﹐然后利用余弦定理,即可求出代數式的值.【解法3】+=6cosC→+=6sinAsinB-6cosAcosB+=6tanAtanB-6tan2B+tan2A+2tan2Atan2B=6tanAtanB(tanAtanB-1)(tanB+tanA)2+2tanAtanB(tanAtanB-1)=6tanAtanB(tanA-tanB)(tanAtanB,(tanB+tanA)tanC=4tanAtanB→tanC(|1(tanAtanB,【點撥】根據題千條件進行等價變換,化邊為角,然后利用同角三角函數的基本關系式,轉化為