2025屆舟山市重點(diǎn)中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2025屆舟山市重點(diǎn)中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知直線l的方程為2x+3y＝5，點(diǎn)P（a，b）在l上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．2．已知直線與互相垂直，垂足坐標(biāo)為，且，則的最小值為（）A．1 B．4 C．8 D．93．將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)沿軸向右平移個單位長度，所得函數(shù)圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．4．如圖，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點(diǎn)C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于（）A． B． C． D．5．執(zhí)行如下圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的的值為（）A． B． C． D．6．在中，角所對的邊分別為，已知，則最大角的余弦值是()A． B． C． D．7．設(shè)，，，若則，的值是（）A．， B．，C．， D．，8．在中，分別為角的對邊)，則的形狀是()A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形9．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，公差，，若成等比數(shù)列，則的最小值為()A． B．2 C． D．10．從1，2，3，…，9這個9個數(shù)中任取5個不同的數(shù)，則這5個數(shù)的中位數(shù)是5的概率等于（）A．57 B．59 C．2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．對于正項(xiàng)數(shù)列，定義為的“光陰”值，現(xiàn)知某數(shù)列的“光陰”值為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____．12．函數(shù)的最小正周期是________．13．正項(xiàng)等比數(shù)列中，存在兩項(xiàng)使得，且，則的最小值為______.14．如圖，在正方體中，有以下結(jié)論：①平面；②平面；③；④異面直線與所成的角為.則其中正確結(jié)論的序號是____（寫出所有正確結(jié)論的序號）.15．福利彩票“雙色球”中紅色球由編號為01，02，…，33的33個個體組成，某彩民利用下面的隨機(jī)數(shù)表（下表是隨機(jī)數(shù)表的第一行和第二行）選取6個紅色球，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表中第1行的第6列和第7列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第3個紅色球的編號為______.4954435482173793232887352056438426349164572455068877047447672176335025839212067616．下圖中的幾何體是由兩個有共同底面的圓錐組成．已知兩個圓錐的頂點(diǎn)分別為P、Q，高分別為2、1，底面半徑為1．A為底面圓周上的定點(diǎn)，B為底面圓周上的動點(diǎn)（不與A重合）．下列四個結(jié)論：①三棱錐體積的最大值為；②直線PB與平面PAQ所成角的最大值為；③當(dāng)直線BQ與AP所成角最小時，其正弦值為；④直線BQ與AP所成角的最大值為；其中正確的結(jié)論有___________.（寫出所有正確結(jié)論的編號）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量（），向量，，且.（Ⅰ）求向量；（Ⅱ）若，，求.18．?dāng)?shù)列中，，.前項(xiàng)和滿足.（1）求（用表示）；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）若，現(xiàn)按如下方法構(gòu)造項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列，當(dāng)時，；當(dāng)時，.記數(shù)列的前項(xiàng)和，試問：是否能取整數(shù)？若能，請求出的取值集合：若不能，請說明理由.19．已知函數(shù)的最小正周期為.將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象.（1）求的值及函數(shù)的解析式；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間及對稱中心20．已知數(shù)列的首項(xiàng).（1）證明:數(shù)列是等比數(shù)列；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和.21．設(shè)遞增等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝1，a4是a3和a7的等比中項(xiàng)，（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

由題意可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），將所求式子化為b的關(guān)系式，由基本不等式可得所求最小值．【詳解】直線l的方程為2x+3y＝5，點(diǎn)P（a，b）在l上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），則[（11﹣6b）+（9+6b）]（）（7），當(dāng)且僅當(dāng)時，即b，a，上式取得最小值，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查變形能力和化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．2、B【解析】

代入垂足坐標(biāo)，可得，然后根據(jù)基本不等式，可得結(jié)果.【詳解】由兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為所以代入可得，即又，所以即當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式，屬基礎(chǔ)題.3、A【解析】

先求得圖象變換后的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)對稱中心，求出正確選項(xiàng).【詳解】向右平移的單位長度，得到，由解得，當(dāng)時，對稱中心為，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換，考查三角函數(shù)對稱中心的求法，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

在三角形中，利用正弦定理求得，然后在三角形中求得.【詳解】在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查解直角三角形，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】由題意，當(dāng)輸入，則；；；，終止循環(huán)，則輸出，所以，故選D.6、B【解析】

由邊之間的比例關(guān)系，設(shè)出三邊長，利用余弦定理可求.【詳解】因?yàn)?，所以c邊所對角最大，設(shè)，由余弦定理得，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理，計算求解能力，屬于基本題.7、B【解析】

由向量相等的充要條件可得：，列出方程組，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，向量，，，又因?yàn)?，所以，所以，解得，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)乘運(yùn)算及向量相等的充要條件，其中解答中熟記向量的共線條件，列出方程組求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解析】

根據(jù)正弦定理得到，化簡得到，得到，得到答案.【詳解】，則，即，即，，故，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理判斷三角形形狀，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.9、A【解析】

由成等比數(shù)列可得數(shù)列的公差，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式可得為關(guān)于的式子，再利用對勾函數(shù)求最小值.【詳解】∵成等比數(shù)列，∴，解得：，∴，令，令，其中的整數(shù)，∵函數(shù)在遞減，在遞增，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量運(yùn)算、函數(shù)的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意為整數(shù)，如果利用基本不等式求解，等號是取不到的.10、C【解析】試題分析：設(shè)事件為“從1，2，3，…，9這9個數(shù)中5個數(shù)的中位數(shù)是5”，則基本事件總數(shù)為種，事件所包含的基本事件的總數(shù)為：，所以由古典概型的計算公式知，，故應(yīng)選.考點(diǎn)：1.古典概型；二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)的定義把帶入即可?！驹斀狻俊摺唷摺啖佟啖冖?②得∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義題，解新定義題首先需要讀懂新定義，其次再根據(jù)題目的條件帶入新定義即可，屬于中等題。12、【解析】

根據(jù)周期公式即可求解.【詳解】函數(shù)的最小正周期故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦型函數(shù)的周期，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

先由已知求出公比，然后由求出滿足的關(guān)系，最后求出的所有可能值得最小值．【詳解】設(shè)數(shù)列公比為，由得，∴，解得（舍去），由得，，∵，所以只能取，依次代入，分別為2，，2，，，最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查求最小值問題．解題關(guān)鍵是由等比數(shù)列性質(zhì)求出滿足的關(guān)系．接著求最小值，容易想到用基本不等式求解，但本題實(shí)質(zhì)上由于，因此對應(yīng)的只有5個，可以直接代入求值，然后比較大小即可．14、①③【解析】

①：利用線面平行的判定定理可以直接判斷是正確的結(jié)論；②：舉反例可以判斷出該結(jié)論是錯誤的；③：可以利用線面垂直的判定定理，得到線面垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可以判斷是正確的結(jié)論；④：可以通過，可以判斷出異面直線與所成的角為，即本結(jié)論是錯誤的，最后選出正確的結(jié)論序號.【詳解】①：平面，平面平面，故本結(jié)論是正確的；②：在正方形中，，顯然不垂直，而，所以不互相垂直，要是平面，則必有互相垂直，顯然是不可能的，故本結(jié)論是錯誤的；③：平面，平面，，在正方形中，，平面，，所以平面，而平面，故，因此本結(jié)論是正確的；④：因?yàn)?，所以異面直線與所成的角為，在正方形中，，故本結(jié)論是錯誤的，因此正確結(jié)論的序號是①③.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理，考查了異面直線所成的角、線面垂直的性質(zhì).15、05【解析】

根據(jù)給定的隨機(jī)數(shù)表的讀取規(guī)則，從第一行第6、7列開始，兩個數(shù)字一組，從左向右讀取，重復(fù)的或超出編號范圍的跳過，即可.【詳解】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表，排除超過33及重復(fù)的編號，第一個編號為21，第二個編號為32，第三個編號05，故選出來的第3個紅色球的編號為05.【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡單隨機(jī)抽樣中的隨機(jī)數(shù)表法，屬于容易題.16、①③【解析】

由①可知只需求點(diǎn)A到面的最大值對于②，求直線PB與平面PAQ所成角的最大值，可轉(zhuǎn)化為到軸截面距離的最大值問題進(jìn)行求解對于③④，可采用建系法進(jìn)行分析【詳解】選項(xiàng)①如圖所示，當(dāng)時，四棱錐體積最大，選項(xiàng)②中，線PB與平面PAQ所成角最大值的正弦值為，所以選項(xiàng)③和④，如圖所示：以垂直于方向?yàn)閤軸，方向?yàn)閥軸，方向?yàn)閦軸，其中設(shè),.,設(shè)直線BQ與AP所成角為，，當(dāng)時，取到最大值，，此時，由于，，，所以取不到答案選①、③【點(diǎn)睛】幾何體的旋轉(zhuǎn)問題需要結(jié)合動態(tài)圖形和立體幾何基本知識進(jìn)行求解，需找臨界點(diǎn)是正確解題的關(guān)鍵，遇到難以把握的最值問題，可采用建系法進(jìn)行求解.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】

（Ⅰ）∵,，∵，∴，即，①又，②由①②聯(lián)立方程解得，，．∴；（Ⅱ）∵，即，，∴，，又∵，，∴.18、（1）（2）證明見詳解.（3）能取整數(shù),此時的取值集合為.【解析】

（1）利用遞推關(guān)系式,令,通過,求出即可.（2）遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為：,化簡推出數(shù)列是等比數(shù)列.（3）由,求出,求出,得到通項(xiàng)公式,然后求解的分母與分子,討論要使取整數(shù),需為整數(shù),推出的取值集合為時,取整數(shù)【詳解】解：（1）令,則,將,代入,有.解得：.（2）由得,化簡得,又,是等比數(shù)列.（3）由,,又是等比數(shù)列,,,①當(dāng)時,依次為,.②當(dāng)時,,,,要使取整數(shù),需為整數(shù),令,,,要么都為整數(shù),要么都不是整數(shù),又所以當(dāng)且僅當(dāng)為奇數(shù)時,為整數(shù),即的取值集合為時,取整數(shù).【點(diǎn)睛】本題主要考查利用遞推公式結(jié)合,為判斷等比數(shù)列,考查數(shù)列前項(xiàng)和的比的問題的轉(zhuǎn)化與化歸思想的綜合性解題能力.19、（1），；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，，對稱中心為.【解析】

（1）整理可得：，利用其最小正周期為即可求得：，即可求得：，再利用函數(shù)圖象平移規(guī)律可得：，問題得解.（2）令，，解不等式即可求得的單調(diào)遞增區(qū)間；令，，解方程即可求得的對稱中心的橫坐標(biāo)，問題得解.【詳解】解：（1），由,得.所以.于是圖象對應(yīng)的解析式為.（2）由,得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.由，解得.所以的對稱中心為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角公式、兩角和的正弦公式應(yīng)用及三角函數(shù)性質(zhì)，考查方程思想及轉(zhuǎn)化能力、計算能力，屬于中檔題。20、（1）證明見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）對兩邊取倒數(shù)得，化簡得，所以數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由（1）是等比數(shù)列.，求得