2022年銀川市重點中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知非零向量滿足，若夾角的余弦值為，且，則實數(shù)的值為（）A． B． C．或 D．2．過拋物線的焦點的直線與拋物線交于、兩點，且，拋物線的準線與軸交于，的面積為，則（）A． B． C． D．3．已知是平面內(nèi)互不相等的兩個非零向量,且與的夾角為,則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．下列四個圖象可能是函數(shù)圖象的是（）A． B． C． D．6．從裝有除顏色外完全相同的3個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回的摸取5次，設(shè)摸得白球數(shù)為，已知，則A． B． C． D．7．偶函數(shù)關(guān)于點對稱，當(dāng)時，，求（）A． B． C． D．8．若雙曲線：的一條漸近線方程為，則（）A． B． C． D．9．一個幾何體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個邊長為的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成，則這個幾何體的表面積是（）A． B． C． D．10．設(shè)，，則（）A． B． C． D．11．若等差數(shù)列的前項和為，且，，則的值為（）．A．21 B．63 C．13 D．8412．己知，，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．給出下列等式：，，，…請從中歸納出第個等式：______.14．已知隨機變量，且，則______15．在棱長為的正方體中，是面對角線上兩個不同的動點.以下四個命題：①存在兩點，使；②存在兩點，使與直線都成的角；③若，則四面體的體積一定是定值；④若，則四面體在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值.其中為真命題的是____.16．在平面直角坐標系中，已知點，，若圓上有且僅有一對點，使得的面積是的面積的2倍，則的值為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中,已知橢圓：（）的左、右焦點分別為、,且點、與橢圓的上頂點構(gòu)成邊長為2的等邊三角形．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓相切于點,且分別與直線和直線相交于點、．試判斷是否為定值,并說明理由．18．（12分）“綠水青山就是金山銀山”，為推廣生態(tài)環(huán)境保護意識，高二一班組織了環(huán)境保護興趣小組，分為兩組，討論學(xué)習(xí)．甲組一共有人，其中男生人，女生人，乙組一共有人，其中男生人，女生人，現(xiàn)要從這人的兩個興趣小組中抽出人參加學(xué)校的環(huán)保知識競賽.（1）設(shè)事件為“選出的這個人中要求兩個男生兩個女生，而且這兩個男生必須來自不同的組”，求事件發(fā)生的概率；（2）用表示抽取的人中乙組女生的人數(shù)，求隨機變量的分布列和期望19．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的短軸長為，直線與橢圓相交于兩點，線段的中點為.當(dāng)與連線的斜率為時，直線的傾斜角為（1）求橢圓的標準方程；（2）若是以為直徑的圓上的任意一點，求證：20．（12分）已知，函數(shù)有最小值7.（1）求的值；（2）設(shè)，，求證：.21．（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）過點（0,），且滿足a+b＝3．（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為的直線與橢圓C交于兩個不同點A，B，點M坐標為（2,1），設(shè)直線MA與MB的斜率分別為k1，k2，試問k1+k2是否為定值？并說明理由．22．（10分）已知拋物線：的焦點為，過上一點（）作兩條傾斜角互補的直線分別與交于，兩點，（1）證明：直線的斜率是－1；（2）若，，成等比數(shù)列，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)向量垂直則數(shù)量積為零，結(jié)合以及夾角的余弦值，即可求得參數(shù)值.【詳解】依題意，得，即.將代入可得，，解得（舍去）.故選：D.【點睛】本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，涉及由向量垂直求參數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.2、B【解析】

設(shè)點、，并設(shè)直線的方程為，由得，將直線的方程代入韋達定理，求得，結(jié)合的面積求得的值，結(jié)合焦點弦長公式可求得.【詳解】設(shè)點、，并設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去得，由韋達定理得，，，，，，，，可得，，拋物線的準線與軸交于，的面積為，解得，則拋物線的方程為，所以，.故選：B.【點睛】本題考查拋物線焦點弦長的計算，計算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.3、C【解析】試題分析：如下圖所示，則，因為與的夾角為，即，所以，設(shè)，則，在三角形中，由正弦定理得，所以，所以，故選C．考點：1．向量加減法的幾何意義；2．正弦定理；3．正弦函數(shù)性質(zhì)．4、B【解析】

分別比較復(fù)數(shù)的實部、虛部與0的大小關(guān)系，可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限.【詳解】因為時，所以，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

首先求出函數(shù)的定義域，其函數(shù)圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到，因為為奇函數(shù)，即可得到函數(shù)圖象關(guān)于對稱，即可排除A、D，再根據(jù)時函數(shù)值，排除B，即可得解.【詳解】∵的定義域為，其圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到，∵為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，∴的圖象關(guān)于點成中心對稱.可排除A、D項.當(dāng)時，，∴B項不正確.故選：C【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識圖能力，一般根據(jù)四個選擇項來判斷對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)，即可排除三個不符的選項，屬于中檔題.6、B【解析】

由題意知，，由，知，由此能求出．【詳解】由題意知，，，解得，，．故選：B．【點睛】本題考查離散型隨機變量的方差的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意二項分布的靈活運用．7、D【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由此可得出，代值計算即可.【詳解】由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則，，，則，所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由于當(dāng)時，，則.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的對稱性和奇偶性求函數(shù)值，推導(dǎo)出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.8、A【解析】

根據(jù)雙曲線的漸近線列方程，解方程求得的值.【詳解】由題意知雙曲線的漸近線方程為，可化為，則，解得.故選：A【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

畫出直觀圖，由球的表面積公式求解即可【詳解】這個幾何體的直觀圖如圖所示，它是由一個正方體中挖掉個球而形成的，所以它的表面積為.故選：C【點睛】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計算，考查空間想象能力和運算求解能力.10、D【解析】

集合是一次不等式的解集，分別求出再求交集即可【詳解】，，則故選【點睛】本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解析】

由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項公式及求和公式可求，，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解．【詳解】解：因為，，所以，解可得，，，則．故選：B．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解析】

先將三個數(shù)通過指數(shù)，對數(shù)運算變形，再判斷.【詳解】因為，，所以，故選：B.【點睛】本題主要考查指數(shù)、對數(shù)的大小比較，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

通過已知的三個等式，找出規(guī)律，歸納出第個等式即可．【詳解】解：因為：，，，等式的右邊系數(shù)是2，且角是等比數(shù)列，公比為，則角滿足：第個等式中的角，所以；故答案為：．【點睛】本題主要考查歸納推理，注意已知表達式的特征是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．14、0.1【解析】

根據(jù)原則，可得，簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：隨機變量，則期望為所以故答案為：【點睛】本題考查正態(tài)分布的計算，掌握正態(tài)曲線的圖形以及計算，屬基礎(chǔ)題.15、①③④【解析】

對于①中，當(dāng)點與點重合，與點重合時，可判斷①正確；當(dāng)點點與點重合，與直線所成的角最小為，可判定②不正確；根據(jù)平面將四面體可分成兩個底面均為平面，高之和為的棱錐，可判定③正確；四面體在上下兩個底面和在四個側(cè)面上的投影，均為定值，可判定④正確.【詳解】對于①中，當(dāng)點與點重合，與點重合時，，所以①正確；對于②中，當(dāng)點點與點重合，與直線所成的角最小，此時兩異面直線的夾角為，所以②不正確；對于③中，設(shè)平面兩條對角線交點為，可得平面，平面將四面體可分成兩個底面均為平面，高之和為的棱錐，所以四面體的體積一定是定值，所以③正確；對于④中，四面體在上下兩個底面上的投影是對角線互相垂直且對角線長度均為1的四邊形，其面積為定義，四面體在四個側(cè)面上的投影，均為上底為，下底和高均為1的梯形，其面積為定值，故四面體在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值，所以④正確.故答案為：①③④.【點睛】本題主要考查了以空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征為載體的謎題的真假判定及應(yīng)用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，異面直線的關(guān)系和椎體的體積，以及投影的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與論證能力，屬于中檔試題.16、【解析】

寫出所在直線方程，求出圓心到直線的距離，結(jié)合題意可得關(guān)于的等式，求解得答案．【詳解】解：直線的方程為，即．圓的圓心到直線的距離，由的面積是的面積的2倍的點，有且僅有一對，可得點到的距離是點到直線的距離的2倍，可得過圓的圓心，如圖：由，解得．故答案為：．【點睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系以及點到直線的距離公式應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）為定值．【解析】

（1）根據(jù)題意,得出,從而得出橢圓的標準方程．（2）根據(jù)題意設(shè)直線方程：,因為直線與橢圓相切,這有一個交點,聯(lián)立直線與橢圓方程得,則,解得①把和代入,得和,,的表達式,比即可得出為定值．【詳解】解：（1）依題意,,,．所以橢圓的標準方程為．（2）為定值.①因為直線分別與直線和直線相交,所以,直線一定存在斜率．②設(shè)直線：,由得,由,得．①把代入,得,把代入,得,又因為,所以,,②由①式,得,③把③式代入②式,得,,即為定值．【點睛】本題考查橢圓的定義、方程、和性質(zhì),主要考查橢圓方程的運用,考查橢圓的定值問題,考查計算能力和轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列見解析，.【解析】

（Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求.（Ⅱ）先由題得可能取值為,再求x的分布列和期望.【詳解】（Ⅰ）（Ⅱ）可能取值為,,,,,的分布列為0123.【點睛】本題主要考查古典概型的計算，考查隨機變量的分布列和期望的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19、（1）；（2）詳見解析.【解析】

（1）由短軸長可知，設(shè)，，由設(shè)而不求法作差即可求得，將相應(yīng)值代入即求得，橢圓方程可求；（2）考慮特殊位置，即直線與軸垂直時候，成立，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合中點坐標公式，弦長公式，得到與的關(guān)系，將表示出來，結(jié)合基本不等式求最值，證明最后的結(jié)果【詳解】解：（1）由已知，得由，兩式相減，得根據(jù)已知條件有，當(dāng)時，∴，即∴橢圓的標準方程為（2）當(dāng)直線斜率不存在時，，不等式成立.當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)由得∴，∴由化簡，得∴令，則當(dāng)且僅當(dāng)時取等號∴∵∴當(dāng)且僅當(dāng)時取等號綜上，【點睛】本題為直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查了橢圓方程的求法，點差法處理多未知量問題，能夠利用一元二次方程的知識轉(zhuǎn)化處理復(fù)雜的計算形式，要求學(xué)生計算能力過關(guān)，為較難題20、（1）.（2）見解析【解析】

（1）由絕對值三解不等式可得，所以當(dāng)時，，即可求出參數(shù)的值；（2）由，可得，再利用基本不等式求出的最小值，即可得證；【詳解】解：（1）∵，∴當(dāng)時，，解得.（2）∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立.∴.【點睛】本題主要考查絕對值三角不等式及基本不等式的簡單應(yīng)用，屬于中檔題．21、（1）（2）k1+k2為定值0，見解析【解析】

（1）利用已知條件直接求解，得到橢圓的方程；（2）設(shè)直線在軸上的截距為，推出直線方程，然后將直線與橢圓聯(lián)立，設(shè)，利用韋達定理求出，然后化簡求解即可.【詳解】（1）由橢圓過點（0,），則，又a+b＝3，所以，故橢圓的方程為；（2），證明如下：設(shè)直線在軸上的截距為，所以直線的方程為：，由得：，由得，設(shè)，則，所以，又，所以，故.【點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程的求