二項(xiàng)式定理(高)

二項(xiàng)式定理根底知識(shí)梳理1．二項(xiàng)式定理公式(a＋b)n＝

(n∈N*)叫做二項(xiàng)式定理．其中Cnk(k＝0,1,2，…，n)叫做

．Tk＋1＝

叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，它表示第k＋1項(xiàng)．Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnnbn二項(xiàng)式系數(shù)Cnkan－kbk在公式中，交換a，b的順序是否有影響？【思考·提示】從整體看，(a＋b)n與(b＋a)n相同，但具體到某一項(xiàng)為哪一項(xiàng)不同的，如第k＋1項(xiàng)Tk＋1＝Cnkan－kbk，T′k＋1＝Cnkbn－kak.思考？2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱(chēng)性：與首末兩端“

”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Cnm＝Cnn－m.等距離根底知識(shí)梳理(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和(a＋b)n的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即

＝2n.二項(xiàng)展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝

.Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnr＋…＋Cnn2n－1根底知識(shí)梳理三基能力強(qiáng)化A．16B．70C．1792D．560答案：C2．二項(xiàng)式(a＋2b)n展開(kāi)式中的第二項(xiàng)的系數(shù)是8，那么它的第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為()A．24B．18C．16D．6答案：D三基能力強(qiáng)化3．(1＋x)2n(n∈N＋)的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是()答案：C4．假設(shè)(ax－1)5的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是－80，那么實(shí)數(shù)a的值是________．答案：－2三基能力強(qiáng)化答案：B課堂互動(dòng)講練通項(xiàng)公式中含有a，b，n，r，Tr＋15個(gè)元素，只要知道了其中的4個(gè)元素，就可以求出第5個(gè)元素，在求展開(kāi)式中的指定項(xiàng)問(wèn)題時(shí)，一般是利用通項(xiàng)公式，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程(或方程組)．這里必須注意隱含條件n，r均為非負(fù)整數(shù)且r≤n.課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)一求展開(kāi)式中的指定項(xiàng)

例1求(x－23x)10的展開(kāi)式中的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、第4項(xiàng)的系數(shù)、第4項(xiàng)．3課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練【點(diǎn)評(píng)】(1)正確區(qū)別二項(xiàng)展開(kāi)式的某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)、項(xiàng)三個(gè)不同概念．(2)對(duì)于通項(xiàng)，要注意以下幾點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開(kāi)式中的第r＋1項(xiàng)，只要r確定，該項(xiàng)也隨即被確定；②公式表示的是第r＋1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)；③公式中a，b的位置不能顛倒，它們的指數(shù)和一定為n.課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練例2(1)求n；(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù)；(3)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)．課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練∵r∈Z，∴k應(yīng)為偶數(shù)．∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.所以第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練【規(guī)律小結(jié)】(1)解此類(lèi)問(wèn)題可以分兩步完成：第一步是根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)；課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練(2)求二項(xiàng)展開(kāi)式中的有理項(xiàng)，一般是根據(jù)通項(xiàng)公式所得到的項(xiàng)，其所有的未知數(shù)的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)．解這種類(lèi)型的問(wèn)題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解．假設(shè)求二項(xiàng)展開(kāi)式中的整式項(xiàng)，那么其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)的方式一致．本例題條件不變，問(wèn)：“這個(gè)展開(kāi)式中是否含有x的一次項(xiàng)？”假設(shè)沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由，假設(shè)有，請(qǐng)求出．互動(dòng)探究課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練賦值法是求展開(kāi)式中的系數(shù)與系數(shù)和的常用方法，注意賦值要有利于問(wèn)題的解決，可以取一個(gè)或幾個(gè)值，常賦的值為0，±1.考點(diǎn)二賦值法在二項(xiàng)展開(kāi)式中的應(yīng)用課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練一般地，要使展開(kāi)式中項(xiàng)的關(guān)系變?yōu)橄禂?shù)的關(guān)系，令x＝0得常數(shù)項(xiàng)，令x＝1可得所有項(xiàng)系數(shù)和，令x＝－1可得奇數(shù)次項(xiàng)系數(shù)之和與偶數(shù)次項(xiàng)系數(shù)之和的差，而當(dāng)二項(xiàng)展開(kāi)式中含負(fù)值項(xiàng)時(shí)，令x＝－1那么可得各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和．例4(解題示范)(此題總分值12分)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練【思路點(diǎn)撥】二項(xiàng)展開(kāi)式是一個(gè)恒等式．即對(duì)任意的x∈R都成立，因而可采用賦值完成．【解】令x＝1，那么a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1①令x＝－1，那么a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37②2分課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練(1)∵a0＝C70＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.3分(2)(①－②)÷2得：課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練(4)法一：∵(1－2x)7展開(kāi)式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)，＝1093－(－1094)＝2187.12分法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|，即(1＋2x)7展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和，令x＝1∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2187.12分1.(此題總分值12分)在二項(xiàng)式(2x－3y)9展開(kāi)式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和；(2)各項(xiàng)系數(shù)之和；(3)所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和；(4)系數(shù)絕對(duì)值的和．解：設(shè)(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y91分(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和為：C90＋C91＋C92＋…＋C99＝29.3分高考檢閱課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練(2)各項(xiàng)系數(shù)之和為：a0＋a1＋a2＋…＋a9.令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.6分(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1.①7分令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝(2＋3)9＝59.②8分課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…＋a8－a9＝59.12分課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練-256B-101．根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，n為偶數(shù)時(shí)中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．2．求展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)不同，求展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)的步驟是：先假定第r＋1項(xiàng)系數(shù)最大，那么它比相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)都不小，列出不等式組并求解此不等式組求得．考點(diǎn)三求二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練例3(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)．課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，列方程求解n，系數(shù)絕對(duì)值最大問(wèn)題需要列不等式組求解．【解】由題意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32，解得n＝5.(2)設(shè)第r＋1項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，那么Tr≤Tr＋1，且Tr＋1≥Tr＋2.課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練【思維總結(jié)】在運(yùn)用二項(xiàng)式定理時(shí)不能無(wú)視展開(kāi)式中系數(shù)的正負(fù)符號(hào)．當(dāng)然還需考慮二項(xiàng)式系數(shù)與展開(kāi)式某項(xiàng)的系數(shù)之間的差異：二項(xiàng)式系數(shù)只與二項(xiàng)式的指數(shù)和項(xiàng)數(shù)有關(guān)，與二項(xiàng)式無(wú)關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)不僅與二項(xiàng)式的指數(shù)和項(xiàng)數(shù)有關(guān)，還與二項(xiàng)式有關(guān)．值得注意的是，本例中是求“系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)”，假設(shè)改為“系數(shù)最大的項(xiàng)”又該如何處理？因?yàn)榈?項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)值，所以系數(shù)最大項(xiàng)必是第3項(xiàng)或第5項(xiàng)中的某一項(xiàng)．比較這兩項(xiàng)的系數(shù)C10228與C10426大小即可．課堂互動(dòng)講練1．二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式的應(yīng)用(1)對(duì)于二項(xiàng)式定理，不僅要掌握其正向運(yùn)用，而且應(yīng)學(xué)會(huì)逆向運(yùn)用與變形運(yùn)用．有時(shí)先作適當(dāng)變形后再展開(kāi)較為簡(jiǎn)便，有時(shí)需適當(dāng)配湊后逆用二項(xiàng)式定理．規(guī)律方法總結(jié)(2)運(yùn)用二項(xiàng)式定理一定要牢記通項(xiàng)Tk＋1＝Cnkan－kbk，注意(a＋b)n與(b＋a)n雖然相同，但用二項(xiàng)式定理展開(kāi)后，具體到它們展開(kāi)式的某一項(xiàng)時(shí)是不相同的，一定要注意順序問(wèn)題．(3)在通項(xiàng)公式Tk＋1＝Cnkan－kbk(n∈N*)中，要注意有n∈N*，k∈N，k≤n，即k＝0,1,2，…，n.規(guī)律方法總結(jié)2．項(xiàng)的系