圓-四點(diǎn)共圓8學(xué)

第十二講四點(diǎn)共圓

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1、四點(diǎn)共圓的判定方法

（1）利用圓的定義，即：各點(diǎn)與一定點(diǎn)等距離（R）,則各點(diǎn)在

以定點(diǎn)為圓心，半徑為R的圓上；

（2）若一線(xiàn)段（AB）同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)C和D,對(duì)這條線(xiàn)段的兩點(diǎn)

（A和B）的張角相等，則這四點(diǎn)A、B、C、D共圓；

A'、一—JB

（3）若一線(xiàn)段（AB）異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)C和D,對(duì)這條線(xiàn)段的兩點(diǎn)D

A、B的張角互補(bǔ)，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓；

C

（4）兩線(xiàn)段AB、CD交于E點(diǎn)，若滿(mǎn)足AEEB=CEED,則A、0.

B、C、D四點(diǎn)共圓；A\

C

二、例題

例1通過(guò)兩個(gè)相交圓得公共弦上的任一點(diǎn)P,引第一個(gè)圓的弦KM和第二個(gè)圓的弦LN,證明：KLMN

可內(nèi)接于一圓.

例2圓5,。2相交于AB,P是BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，割線(xiàn)PCD交圓5于C、D,害!|線(xiàn)PEF交圓Ch于E、

F,求證：C、D、E、F四點(diǎn)共圓.

例3AB為圓直徑，過(guò)A在AB同側(cè)作弦AP、AQ,交B處的切線(xiàn)于點(diǎn)R、S,求證：P、Q、S、R四點(diǎn)

共圓；

例4A為。O外一點(diǎn)，AB,AC和。O分別切于B、C兩點(diǎn)，APQ為。O的一條割線(xiàn)，過(guò)B作BR〃AQ

交。O于點(diǎn)R,連結(jié)CR交AQ于點(diǎn)M,試證：A、B、C^O、M五點(diǎn)共圓；

例5/ABC中，AB=AC,ZA=90°,AM為底邊BC上的中線(xiàn)，過(guò)M、C兩點(diǎn)的圓交AC于E,交BE

于F,求證：AF_LBE；

例6過(guò)已知。。的中心作OA垂直于圓外的直線(xiàn)MN,自垂足A作圓的割線(xiàn)交圓于B、C,過(guò)B、C分別

作圓的切線(xiàn)交MN于D、E,求證：AD=AE；

例7AB、AC切（DO于B、C,任作割線(xiàn)AEF交圓周于E、F,弦BD平分弦EF交EF于M,求證：CD

〃EF；

例8已知，。0與。O,外切于P,過(guò)P點(diǎn)作直線(xiàn)交。O與。O5于A、B,AC是。O的弦，過(guò)B點(diǎn)作。O,

的切線(xiàn)交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于D,求證：APAB=ADAC；

例9圓O”O(jiān)2相交于A、B,從圓Oi上一點(diǎn)P引直線(xiàn)PA、PB,交圓。2于C、D,過(guò)P作PHLCD于H,

求證：PH過(guò)圓O］的圓心；

例10如圖，AD是圓的直徑，直線(xiàn)1是過(guò)D的切線(xiàn)，割線(xiàn)AB、AC交I于點(diǎn)B、C,交圓于點(diǎn)E、F；(1)

求證：AEAB=AFAC；(2)如果使直線(xiàn)1向上平行移動(dòng)成為圓的割線(xiàn)，而AB、AC仍與1交于點(diǎn)B、C,

與圓仍交于點(diǎn)E、F,那么等式AE-AB=AFAC是否仍成立，為什么？

例11PA、PB為。O的切線(xiàn)，A、B為切點(diǎn)，連結(jié)AB與PO交于M,QR是過(guò)M的任意一條弦，求證:

OP平分NQPR；

例12如圖,P為。O上任一點(diǎn),AB為任意弦,過(guò)AB作。O的兩條切線(xiàn)相交于Q,PD±QA于D,PE1QB

于E,PCJ_AB于C,求證：PC2=PDPE；

例13如圖，。。內(nèi)接/ABC,AQ_LBC于D點(diǎn)，交。。于Q,AD是。O,的直徑，。0,交AB于M,

交AC于N,AQ交MN于P,求證：AD2=APAQ；

例14在/ABC中邊AB=AC,有一個(gè)圓Oj內(nèi)切于/ABC的外接圓O并且與AB、AC分別相切于P、

Q,求證：P、Q連線(xiàn)的中點(diǎn)O是/ABC的內(nèi)切圓的圓心;

三、練習(xí)題

1.銳角/ABC的三條高AD、BE、CF交于H,在A、B、C、D、E、F、H七個(gè)點(diǎn)中，能組成四點(diǎn)共圓

的組數(shù)為（）

A.4組B.5組C.6組D.7組

2.在/ABC中，AB=AC,D為BC邊中點(diǎn)，且BE_LAC于E,交AD于P,已知BP=3,PE=1,則

PA的值為（）

A.S'B.2A/3C.72D.A/6

3.直線(xiàn)AB和AC與。O分別相切于B、C兩點(diǎn)，P為圓上一點(diǎn)，如圖，P到AB、AC的距離分別為6

厘米，4厘米，則P到BC的距離為；

4.正方形ABCD的中心為O,面積為1989cm2,P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且/OPB=45°,PA：PB=5：14,

貝！1PB=；

AB

5.已知PA是/ABC的外接圓的切線(xiàn)，PD〃AC且與AB、BC分別交于點(diǎn)E、D,求證：EAEB=EDEP；

6.如圖，OOi和。Ch相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A作一條直線(xiàn)分別交。Oi和。Ch于C、D,過(guò)C、D分別

作。Oi和。。2的切線(xiàn)，它們相交于E,連結(jié)BC、BD和BE,求證：NBCD=/BED.

7.已知NACE=NCDE=90。，點(diǎn)B在CE上，CA=CB=CD,過(guò)A、C、D三點(diǎn)的圓交AB于點(diǎn)F,求

證：F為/CDE的內(nèi)心；

8.已知：BE>CF是/ABC的兩條高，M是