高三數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)微專題36講08.隱零點(diǎn)代換與估計(jì)

隱零點(diǎn)代換與估計(jì)隱零點(diǎn)問(wèn)題是函數(shù)零點(diǎn)中常見(jiàn)的問(wèn)題之一，其源于含指對(duì)函數(shù)的方程無(wú)精確解，這樣我們只能得到存在性之后去估計(jì)大致的范圍（數(shù)值計(jì)算不再考察之列）.高考中曾多次考察隱零點(diǎn)代換與估計(jì)，所以本節(jié)我們做一個(gè)特地的分析與探討.一．基本原理1.解題步驟：第1步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列出零點(diǎn)方程，并結(jié)合的單調(diào)性得到零點(diǎn)的范圍；第2步：以零點(diǎn)為分界點(diǎn)，說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到的最值表達(dá)式；第3步：將零點(diǎn)方程適當(dāng)變形，整體代入最值式子進(jìn)行化簡(jiǎn)：①要么消退最值式中的指對(duì)項(xiàng)②要么消退其中的參數(shù)項(xiàng)；從而得到最值式的估計(jì).2.隱零點(diǎn)的同構(gòu)事實(shí)上，許多隱零點(diǎn)問(wèn)題產(chǎn)生的緣由就是含有指對(duì)項(xiàng)，而這類問(wèn)題由往往具有同構(gòu)特征，所以下面我們看到的這兩個(gè)問(wèn)題，它的隱零點(diǎn)代換則須要同構(gòu)才能做出，否則，我們可能很難找到隱零點(diǎn)合適的代換化簡(jiǎn)方向.我們看下面兩例：一類同構(gòu)式在隱零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用：原理分析所以在解決形如，這些常見(jiàn)的代換都是隱零點(diǎn)中常見(jiàn)的操作.二．典例分析1.隱零點(diǎn)代換例1．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，若曲線在處的切線方程為，證明：；（2）若，求的取值范圍.解析：（2）記，依題意，恒成立，求導(dǎo)得，令，則在上單調(diào)遞增，又，則，使得，即成立，則當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增，，由，得，于是得，當(dāng)時(shí)，令，有在上單調(diào)遞減，而在上單調(diào)遞增，即有函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是得函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)且時(shí)，由（1）中知，，有，從而，由知，因此滿意，又在上單調(diào)遞增，則有，而，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.例2．已知函數(shù)（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，試推斷在上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)隨意，．解析：（1）在上只有一個(gè)極值點(diǎn)，即唯一微小值點(diǎn)；（2）證明：由，設(shè)，則在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以存在，使得，?dāng)時(shí)，，則，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，即在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的微小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，則，又因?yàn)?，所以，即證：對(duì)隨意，，即證：對(duì)隨意，，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，故，故?duì)隨意，.例3.（2015四川卷）已知函數(shù).設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，摸索討的單調(diào)性；證明：存在，使得在區(qū)間恒成立，且在內(nèi)有唯一解.分析：第（1）問(wèn)常規(guī)操作.此處分析第（2）問(wèn).對(duì)于其次問(wèn)的分析尤為重要，因?yàn)檫@個(gè)題目用常規(guī)的恒成立與零點(diǎn)處理手法很難奏效，終歸的結(jié)構(gòu)是很困難的.若要在區(qū)間恒成立等價(jià)于，而同時(shí)在內(nèi)有唯一解，這就表現(xiàn)，這才是這個(gè)題目的突破點(diǎn).既然要?jiǎng)t在區(qū)間必定先減后增，于是函數(shù)的最小值不在端點(diǎn)處出現(xiàn)而是區(qū)間內(nèi)點(diǎn)，這就意味著最小值處導(dǎo)函數(shù)值為零.基于上面的分析，我們便可入手解題.解析：由，得．代入解析式，令,則，．故存在，使得．令，．由知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以．即．當(dāng)時(shí)，有，．由(1)知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，從而；當(dāng)時(shí)，，從而．所以，當(dāng)時(shí)，．綜上所述，存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立,且在區(qū)間內(nèi)有唯一解．點(diǎn)評(píng)：通常我們處理隱零點(diǎn)的策略是代換掉指對(duì)項(xiàng)，但此解法利用隱零點(diǎn)代換掉參數(shù)，從而得到不含參數(shù)的表達(dá)式來(lái)解決，這個(gè)思想值得我們學(xué)習(xí).例4.（2024新高考1卷）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積；（2）若，求的取值范圍.解析：（1）切線方程為,故切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,所求三角形面積為.（2）由于,，且.設(shè),則即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，,∴,∴成立.當(dāng)時(shí)，，,∴存在唯一，使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，因此,故恒成立；當(dāng)時(shí)，∴不是恒成立.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.2.隱零點(diǎn)同構(gòu)例5.已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.（1）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)隨意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：（1）有兩個(gè)零點(diǎn)關(guān)于的方程有兩個(gè)相異實(shí)根，由，知有兩個(gè)零點(diǎn)有兩個(gè)相異實(shí)根.令，則，由得：，由得：，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）當(dāng)時(shí)，，原命題等價(jià)于對(duì)一切恒成立對(duì)一切恒成立.令

，，令，，則，在上單增，又，，使即①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在遞減，在遞增，由①知，函數(shù)在單調(diào)遞增，即，，實(shí)數(shù)的取值范圍為.注：本題再次涉及隱零點(diǎn)同構(gòu)，否則的話，很難找到隱零點(diǎn)詳細(xì)的代換方向！例6.（2024成都一診理）已知函數(shù).（1）當(dāng)，探討的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的取值范圍.解析：（2）由題意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.即恒成立，即恒成立.設(shè).則.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，有.在上單調(diào)遞增，且，.函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，且.當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增.即為在定義域內(nèi)的最小值..，得，.令，.方程等價(jià)于，.而在上恒大于零，在上單調(diào)遞增.故等價(jià)于，.設(shè)函數(shù)，.易知單調(diào)遞增.又，，是函數(shù)的唯一零點(diǎn).即，.故的最小值.實(shí)數(shù)b的取值范圍為.注：留意，這一步代換！3.隱零點(diǎn)的估計(jì).例7.（2017新課標(biāo)2卷）已知函數(shù)，且．（1）求；（2）證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且QUOTEe-2<f(x0)<2習(xí)題2.解析：（1）．（2）由（1）知，．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，，所以在有唯一零點(diǎn)，在有唯一零點(diǎn)1，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此，所以是的唯一極大值點(diǎn)．由得，故．由得，．因?yàn)槭窃诘淖畲笾迭c(diǎn)，由，得．所以．例8.（2016年全國(guó)2卷）（1）探討函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，；（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值．設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域．解析（1）證明：∵當(dāng)時(shí)，∴在上單調(diào)遞增∴時(shí)，∴（2），由（1）知，單調(diào)遞