山西省晉中市平遙縣二中2025屆高一數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考試題含解析

山西省晉中市平遙縣二中2025屆高一數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名學生參加演講比賽，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．至少有1名男生和至少有1名女生B．至多有1名男生和都是女生C．至少有1名男生和都是女生D．恰有1名男生和恰有2名男生2．某工廠對一批新產(chǎn)品的長度(單位：)進行檢測，如下圖是檢測結(jié)果的頻率分布直方圖，據(jù)此估計這批產(chǎn)品的中位數(shù)與平均數(shù)分別為()A．20，22.5 B．22.5，25 C．22.5，22.75 D．22.75，22.753．數(shù)列的一個通項公式為（）A． B．C． D．4．圓周運動是一種常見的周期性變化現(xiàn)象，可表述為：質(zhì)點在以某點為圓心半徑為r的圓周上的運動叫“圓周運動”，如圖所示，圓O上的點以點A為起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)到點P，若連接OA、OP，形成一個角，當角，則（）A． B． C． D．15．設的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，其外接圓半徑為2，且有，則三角形的面積為（）A． B． C．或 D．或6．在直角坐標平面上，點的坐標滿足方程，點的坐標滿足方程則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．若直線平分圓的周長，則的值為（）A．-1 B．1 C．3 D．58．式子的值為()A． B．0 C．1 D．9．已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．直線的傾斜角不可能為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列的通項公式是，若將數(shù)列中的項從小到大按如下方式分組：第一組：，第二組：，第三組：，…，則2018位于第________組.12．若2弧度的圓心角所對的弧長為4cm，則這個圓心角所夾的扇形的面積是______．13．如圖，緝私艇在處發(fā)現(xiàn)走私船在方位角且距離為12海里的處正以每小時10海里的速度沿方位角的方向逃竄，緝私艇立即以每小時14海里的速度追擊，則緝私艇追上走私船所需要的時間是__________小時.14．已知圓及點，若滿足：存在圓C上的兩點P和Q，使得，則實數(shù)m的取值范圍是________.15．中，，，，則________.16．古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定兩點，，動點滿足（其中和是正常數(shù)，且），則的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”，該圓的半徑為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知首項為的等比數(shù)列不是遞減數(shù)列，其前n項和為，且成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的最大項的值與最小項的值．18．如圖，已知四棱錐，底面是邊長為的菱形，，側(cè)面為正三角形，側(cè)面底面，為側(cè)棱的中點，為線段的中點（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求三棱錐的體積19．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最大值，以及取到最大值時所對應的的集合；（2）在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．20．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD，，，，M為線段AD上一點，，N為PC的中點.（1）證明：平面PAB；（2）求直線AN與平面PMN所成角的余弦值.21．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）求的圖像的對稱中心與對稱軸.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】試題分析：A中兩事件不是互斥事件；B中不是互斥事件；C中兩事件既是互斥事件又是對立事件；D中兩事件是互斥但不對立事件考點：互斥事件與對立事件2、C【解析】

根據(jù)平均數(shù)的定義即可求出．根據(jù)頻率分布直方圖中，中位數(shù)的左右兩邊頻率相等，列出等式，求出中位數(shù)即可．【詳解】：根據(jù)頻率分布直方圖，得平均數(shù)為1（12.1×0.02+17.1×0.04+22.1×0.08+27.1×0.03+32.1×0.03）＝22.71，∵0.02×1+0.04×1＝0.3＜0.1，0.3+0.08×1＝0.7＞0.1；∴中位數(shù)應在20～21內(nèi)，設中位數(shù)為x，則0.3+（x﹣20）×0.08＝0.1，解得x＝22.1；∴這批產(chǎn)品的中位數(shù)是22.1．故選C．【點睛】本題考查了利用頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)的中位數(shù)平均數(shù)的應用問題，是基礎題目．3、C【解析】

利用特殊值,將代入四個選項即可排除錯誤選項.【詳解】將代入四個選項,可得A中B中D中只有C中所以排除ABD選項故選：C【點睛】本題考查了根據(jù)幾個項選擇數(shù)列的通項公式,特殊值法是解決此類問題的簡單方法,屬于基礎題.4、A【解析】

運用求任意角的三角函數(shù)值的步驟：化正、脫周、變銳角和求值，可得所求值.【詳解】.故選：A.【點睛】本題考查任意角三角函數(shù)值的求法，屬于基礎題.5、C【解析】

的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，可得角A、C的關系，將已知條件中角C消去，利用三角函數(shù)和差角公式展開即可求出角A的值，再由三角形面積公式即可求得三角形面積.【詳解】的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，則，解得，所以，所以，整理得，則或，因為，解得或.①當時，；②當時，，故選C.【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、等差數(shù)列性質(zhì)、三角函數(shù)和差角公式、三角函數(shù)輔助角公式，綜合性較強，屬于中檔題；解題中主要是通過消元構(gòu)造關于角A的三角方程，其中利用三角函數(shù)和差角公式和輔助角公式對式子進行化解是解題的關鍵.6、B【解析】

由點的坐標滿足方程，可得在圓上，由坐標滿足方程，可得在圓上，則求出兩圓內(nèi)公切線的斜率，利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】點的坐標滿足方程，在圓上，在坐標滿足方程，在圓上，則作出兩圓的圖象如圖，設兩圓內(nèi)公切線為與，由圖可知，設兩圓內(nèi)公切線方程為，則，圓心在內(nèi)公切線兩側(cè)，，可得，，化為，，即，，的取值范圍，故選B.【點睛】本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關系以及數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于綜合題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法，尤其在解決選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關鍵是運用這種方法的關鍵是正確作出曲線圖象，充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠使問題化難為簡，并迎刃而解.7、D【解析】

求出圓的圓心坐標，由直線經(jīng)過圓心代入解得.【詳解】解：所以的圓心為因為直線平分圓的周長所以直線過圓心，即解得，故選：D.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系的綜合應用，屬于基礎題．8、D【解析】

利用兩角和的正弦公式可得原式為cos（），再由特殊角的三角函數(shù)值可得結(jié)果.【詳解】cos（）＝coscos，故選D．【點睛】本題考查兩角和的余弦公式，熟練掌握兩角和與差的余弦公式以及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵，屬于基礎題.9、D【解析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【詳解】由線性約束條件作出可行域，如下圖三角形陰影部分區(qū)域（含邊界），令，直線：，平移直線，當過點時取得最大值，當過點時取得最小值，所以的取值范圍是.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用．本題先正確的作出不等式組表示的平面區(qū)域，再結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義進行解答是解決本題的關鍵．10、D【解析】

根據(jù)直線方程，分類討論求得直線的斜率的取值范圍，進而根據(jù)傾斜角和斜率的關系，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，可得當時，直線方程為，此時傾斜角為；當時，直線方程化為，則斜率為：，即，又由，解得或，又由且，所以傾斜角的范圍為，顯然A，B都符合，只有D不符合，故選D.【點睛】本題主要考查了直線方程的應用，以及直線的傾斜角和斜率的關系，著重考查了分類討論思想，以及推理與運算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

根據(jù)題意可分析第一組、第二組、第三組、…中的數(shù)的個數(shù)及最后的數(shù)，從中尋找規(guī)律使問題得到解決．【詳解】根據(jù)題意:第一組有2＝1×2個數(shù)，最后一個數(shù)為4；第二組有4＝2×2個數(shù)，最后一個數(shù)為12，即2×（2+4）；第三組有6＝2×3個數(shù)，最后一個數(shù)為24，即2×（2+4+6）；…∴第n組有2n個數(shù)，其中最后一個數(shù)為2×（2+4+…+2n）＝4（1+2+3+…+n）＝2n（n+1）．∴當n＝31時，第31組的最后一個數(shù)為2×31×1＝1984，∴當n＝1時，第1組的最后一個數(shù)為2×1×33＝2112，∴2018位于第1組．故答案為1．【點睛】本題考查觀察與分析問題的能力，考查歸納法的應用，從有限項得到一般規(guī)律是解決問題的關鍵點，屬于中檔題．12、【解析】

先求出扇形的半徑，再求這個圓心角所夾的扇形的面積.【詳解】設扇形的半徑為R,由題得.所以扇形的面積為.故答案為：【點睛】本題主要考查扇形的半徑和面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.13、【解析】

設緝私艇追上走私船所需要的時間為小時，根據(jù)各自的速度表示出與，由，利用余弦定理列出關于的方程，求出方程的解即可得到的值．【詳解】解：設緝私艇上走私船所需要的時間為小時，則，，在中，，根據(jù)余弦定理知：，或（舍去），故緝私艇追上走私船所需要的時間為2小時．故答案為：．【點睛】本題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關鍵，屬于中檔題．14、【解析】

設出點P、Q的坐標，利用平面向量的坐標運算以及兩圓相交的條件求出實數(shù)m的取值范圍.【詳解】設點，由得，由點在圓上，得，又在圓上，，與有交點，則，解得故實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：【點睛】本題考查了向量的坐標運算、利用圓與圓的位置關系求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.15、7【解析】

在中，利用余弦定理得到，即可求解，得到答案.【詳解】由余弦定理可得，解得.故答案為：7.【點睛】本題主要考查了余弦定理的應用，其中解答中熟記三角形的余弦定理，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.16、【解析】

設，由動點滿足（其中和是正常數(shù)，且），可得，化簡整理可得.【詳解】設，由動點滿足（其中和是正常數(shù)，且），所以，化簡得，即，所以該圓半徑故該圓的半徑為.【點睛】本題考查圓方程的標準形式和兩點距離公式，難點主要在于計算.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）最大項的值為,最小項的值為【解析】試題分析：(1)根據(jù)成等差數(shù)列,利用等比數(shù)列通項公式和前項和公式,展開.利用等比數(shù)列不是遞減數(shù)列,可得值,進而求通項.(2)首先根據(jù)(1)得到,進而得到,但是等比數(shù)列的公比是負數(shù),所以分兩種情況:當?shù)漠攏為奇數(shù)時，隨n的增大而減小，所以;當n為偶數(shù)時，隨n的增大而增大，所以，然后可判斷最值.試題解析：（1）設的公比為q．由成等差數(shù)列，得.即，則.又不是遞減數(shù)列且，所以.故.（2）由（1）利用等比數(shù)列的前項和公式，可得得當n為奇數(shù)時，隨n的增大而減小，所以，故.當n為偶數(shù)時，隨n的增大而增大，所以，故.綜上，對于，總有，所以數(shù)列最大項的值為，最小值的值為.考點：等差中項,等比通項公式;數(shù)列增減性的討論求最值.18、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）連接，交于點；根據(jù)三角形中位線可證得；由線面平行判定定理可證得結(jié)論；（Ⅱ）由等腰三角形三線合一可知；由面面垂直的性質(zhì)可知平面；根據(jù)線面垂直性質(zhì)可證得結(jié)論；（Ⅲ）利用體積橋的方式將所求三棱錐體積轉(zhuǎn)化為；根據(jù)已知長度和角度關系分別求得四邊形面積和高，代入得到結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）證明：連接，交于點四邊形為菱形為中點又為中點平面，平面平面（Ⅱ）為正三角形，為中點平面平面，平面平面，平面平面，又平面（Ⅲ）為中點又，，由（Ⅱ）知，【點睛】本題考查立體幾何中線面平行、線線垂直關系的證明、三棱錐體積的求解問題；涉及到線面平行判定定理、面面垂直性質(zhì)定理和判定定理的應用、體積橋的方式求解三棱錐體積等知識，屬于?？碱}型.19、，，;（2）【解析】

（1）．此時，（2），，即，．，，且，，即的取值范圍是．20、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）如圖所示，為中點，連接，證明為平行四邊形得到答案.（2）分別以為軸建立直角坐標系，平面的法向量為，計算向量夾角得到答案.【詳解】（1）如圖所示，為中點，連接.為中點，N為PC的中點，故，，，故，且，故為平行四邊形.故，平面，故平面PAB.（2）中點為，，故，故，底面ABCD，故，.分別以為軸建立直角坐標系，則，，，，.設平面的法向量為，則，即，取得到，故，故直線AN與平面P